2023年中考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（山西卷）（全解全析）

2023年中考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷

數(shù)學(xué)-全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分,共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

又擊的絕對值的是（）

1

A.-2022B.2022C.D.------

20232023

【答案】D

【分析】根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解J熬卜盛，故D正確.

故選：D.

a（a>0）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的意義，同=<0（。=0）.

-a（a<0）

2.如圖，下列四種標(biāo)志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的為（）

中國移動中國網(wǎng)誦中國由信

【答案】B

【詳解】A.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意;

B.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意;

C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

D.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選B.

3.2023年《政府工作報(bào)告》提出，“義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展”.根據(jù)預(yù)算報(bào)告，支持學(xué)前教育發(fā)展資金安排

250億元、增加20億元，擴(kuò)大普惠性教育資源供給.其中250億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.5xlO87CB.2.5x10"元C.0.25x108元D.2.5x10",7C

【答案】D

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為〃xlO”的形式，其中"為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變

成〃時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：250億元用科學(xué)記數(shù)法表示為2.5x10表

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的衣示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中ISaKIO,"為整

數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

%+7>1

4.一元一次不等式組x-l,解集為（）

------<4

I3

【分析】先解每個(gè)不等式的解集，再求兩個(gè)不等式的解集的公共部分即可.

【詳解】解：解不等式x+7>I得：x>-6,

解不等式三44得：x<13,

不等式組的解集為-6<xV13,

在數(shù)軸上表示為：

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解?元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.

5.在立方體六個(gè)面上，分別標(biāo)上“我、愛、洛、灣、中、學(xué)”，如圖是立體的三種不同擺法，則三種擺法的

左側(cè)面上三個(gè)字分別是（）

B.我、洛、學(xué)

C.我、學(xué)、洛

D.中、學(xué)、灣

【答案】c

【分析】觀察圖形，根據(jù)與“愛’湘鄰的字有“學(xué)、洛、中、我”可知，“愛”的相對面是“灣”，同理可推出結(jié)論.

【詳解】觀察圖形知,“愛”與“灣”相對，“洛”與“我”相對，“中”與“學(xué)”相對,

所以，三種擺法的左側(cè)面上三個(gè)字分別是：我、學(xué)、洛，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的相對兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相鄰面入手找出四個(gè)相鄰的

字，從而得到對面的字是解題的關(guān)鍵.

6.一只蜘蛛爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機(jī)的，則停留在陰影區(qū)域上的概率是（）

【答案】c

【分析】設(shè)每小格的面積為1,易得整個(gè)方磚的面積為9,陰影區(qū)域的面積3,然后根據(jù)概率的定義計(jì)算即

可.

【詳解】解：設(shè)每小格的面積為1，

，整個(gè)方磚的面積為9,

陰影區(qū)域的面積為3,

最終停在陰影區(qū)域上的概率為：|3=1

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了求幾何概率的方法：先利用幾何性質(zhì)求出整個(gè)幾何圖形的面積n,再計(jì)算出其中某個(gè)區(qū)

域的幾何圖形的面積m,然后根據(jù)概率的定義計(jì)算出落在這個(gè)幾何區(qū)域的事件的概率=絲.

n

7.如圖，線段是。的直徑，C,D為。上兩點(diǎn)，如果A3=6,AC=3,那么N49C的度數(shù)是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】連接BC,構(gòu)造直角三角形，利用已知邊的長度結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義求得NABC的度數(shù)，最后

利用圓周角定理確定/相＞C的度數(shù)即可.

【詳解】解：如圖，連接BC,

,/AB是直徑，

,ZABC=90°,

VAB=6,AC=3,

??sinNABC==一,

AB2

ZABC=30°,

：.ZADC=ZABC=30°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是能夠作出半徑構(gòu)造直角三角形.

8.如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，ZACB=90°,ZABC=60°,ZEFD=90°,

NDEF=45°,AB//DE.則NAED的度數(shù)是（）

A.25°B.20°C.15°D.10°

【答案】C

【分析】利用三角板的度數(shù)可得24=30。，ZD=45°,由平行線的性質(zhì)定理可得N1=NO=45。，利用三角形

外角的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】解:如圖,

ZACB=90°,ZABC=60°,

.-.ZA=180o-ZACB-ZABC=180o-90o-60o=30°,

/EFD=9O。,ZDEF=45°,

.?.ZD=180o-ZFFD-ZDEF=180o-90o-45o=45°,

AB//DE,

/.Z1=ZD=45°,

.?.ZAro=Zl-ZA=45°-3O°=15°,

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查「平行線的性質(zhì)定理和外角的性質(zhì)，求出/A,NO的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

9.如圖，二次函數(shù)丁=依2+法+。的圖象與X軸相交于4(7,0),3兩點(diǎn)，對稱軸是直線x=l,下列說法正

確的是（）

B.當(dāng)戶-1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大

C.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0)D.4c/+2Z>+c>0

【答案】D

【分析】根據(jù)該拋物線的開口方向，即可判斷A：根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可判斷B；根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和對稱

軸，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可判斷C；根據(jù)點(diǎn)3的坐標(biāo)，即可判斷D.

【詳解】解：A、?.?該拋物線開口向下，

a<0,

故A不正確，不符合題意;

B、VA(-l,0),

...當(dāng)x=-l時(shí)，y=0,

故B不正確，不符合題意;

C、???A(-LO),該拋物線對稱軸是直線x=l,

二8(3,0),

故C不正確，不符合題意；

D、?.?該拋物線對稱軸是直線x=l,

...當(dāng)x>l時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，

???3(3,0),該拋物線開口向下，

二當(dāng)x=2時(shí)，y>0,

4a+2b+c>0,

故D正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的增減性，對稱性，根據(jù)圖

象確定各項(xiàng)系數(shù)的符號以及式子的正負(fù).

10.如圖，在矩形ABC。中，DC=3,AD=?DC,P是A。上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PGLAC,垂足為G,

連接3P,取3P中點(diǎn)E,連接EG,則線段EG的最小值為（）

【答案】A

【分析】取AP的中點(diǎn)F,連接EF,作G//LAD于"，作ETLGH于T,根據(jù)已知得出ZDAC=30。，分別求

得PH,GH,進(jìn)而求得GT,ET,在RjEGT中，勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，取AP的中點(diǎn)凡連接￡尸，作G”J_AZ＞于，，作ETLGH于T,

設(shè)AP=m,

V四邊形A8C0是矩形，

/.ZD=90°,AB=CD=3,

/c.cCDCD6

..tanNJDAC=-----=-廣—=—,

ADV3CD3

ZZMC=30°,

PG±ACf

??.PG=-AP=-m

22f

ZAPG=90°-ADAC=60。,

PH=PGcosNAPG=cos6O°=L/?7,

24

ic

GH=PG-sinNAPG=-m?sin60°=—m,

24

/PFE=/BAP=90°,ZEPF=NBPA,

:?&EPFsBPA,

.PF_EFPE

??麗一罰一而一5'

131

:.EF=—AB=jPF=—m,

222

:.GT=GH-HT=GH-EF=—m--,

42

ET=FH=PF-PH=-m--m=-m,

244

在Rt.EGT中，EG2=GT2+ET2=(-m--)2+('相『='(m-—)2+—,

4244216

.?.當(dāng)根=士叵時(shí)，方取得最小值工

216

EG>0,

???EG的最小值為;3.

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.第

n卷

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.計(jì)算佇且的結(jié)果是

75

【答案】2夜

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解：原式=也學(xué)叵=2a,

故答案為：2近.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將式子中的根式化簡，再進(jìn)行計(jì)算是解答本

題的關(guān)鍵.

12.密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，在溫度不變的情況下，當(dāng)容器的體積V（單位：nP）變化時(shí)，氣

體的密度〃（單位：kg/n?）隨之變化，已知密度p是體積V的反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)p

=3.3kg/m3時(shí)，相應(yīng)的體積V是m3.

p

由(5198)

o\,iv

【答案】3

【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式，再把'=3.3代入計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)密度"與體積丫的反比例函數(shù)解析式為

把點(diǎn)(5,1.98)代入解p=9得；9.9,

，密度〃與體積丫的反比例函數(shù)解析式為Q=/99，V>0.

9.9

當(dāng)0=3.3時(shí)，V=—=3,

即當(dāng)〃=3.3kg/m3時(shí)，相應(yīng)的體積V是3m3.

故答案為:3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和概念，解答此題的關(guān)鍵是找出變量之間的函數(shù)關(guān)系.

13.甲、乙兩名同學(xué)本學(xué)期五次引體向上的測試成績(個(gè)數(shù))如圖所示，由圖可知，甲、乙兩名同學(xué)方差

的大小關(guān)系為S,甲S5.

【答案】＜

【分析】分別計(jì)算出兩人成績的方差可得出答案.

【詳解】甲同學(xué)的成績依次為：8、9、8、7、8,

則平均數(shù)為8,方差為3K8-8)2+(9-8＞+(8-8＞+(7-8)2+(8-8)2]=0.4；

乙同學(xué)的成績依次為：6、7、10、8、9,

則平均數(shù)為8,方差為(XK6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10_8)2]=2,

22

??S甲＜S乙

故答案為：＜.

【點(diǎn)睛】本題考查了方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個(gè)量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)

定性也越?。悍粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.此題分別求出二者方差即可比較.

14.用甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素含量及購買這兩種原料的價(jià)格如下表：

甲種原料乙種原料

維生素C含量(單位/千克)600200

原料價(jià)格(元/千克)84

現(xiàn)配制這種飲料10千克，要求至少含有4200單位的維生素C,若所需甲種原料的質(zhì)量為X千克，則X應(yīng)滿

足的不等式為.

【答案】600x+200(l0-A)>4200

【分析】甲種原料含維生素C+乙種原料含維生素64200,列出不等式即可.

【詳解】：配制這種飲料10千克，要求至少含有4200單位的維生素C,所需甲種原料的質(zhì)量為x千克，

A600x+200(10-x)>4200,

故答案為：600.r+200(l0-x巨4200.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在邊長為友的正方形48。中，點(diǎn)E為對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，將線段BE繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。，得到線段戰(zhàn)，連接。尸，點(diǎn)G為。/的中點(diǎn)，則點(diǎn)E從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A的過程中，點(diǎn)G的運(yùn)動路

徑長為.

【答案】1

【分析】取A。中點(diǎn)H,連接AF,GH,證明ZX/W尸/△C8E,得出=N8CE=45。，ZFAC=90°,

從而確定尸在過點(diǎn)A,且垂直與AC的直線上運(yùn)動，當(dāng)E和C重合時(shí)，F(xiàn)和A重合，G和，重合，當(dāng)E和A

重合時(shí)，尸為M重合(M為AF與的交點(diǎn))，此時(shí)G在A3中點(diǎn)N處，然后根據(jù)三角形中位線定理可

NH=gAF,利用勾股定理求出AC=AF,即可解答.

【詳解】解：取AO中點(diǎn)H,連接AT,GH,

BC

:正方形ABC。的邊長為亞，

AZABC=90°,ABAC=ZBCA=45°,AB=BC=y/2<

二AC=2,

?旋轉(zhuǎn)，

:.NEBF=90。,BE=BF,

：.ZABF=90。一ZABE=ZCBE,

：.AABF^ACBE（SAS）,

ZBAF=NBCE=45°,AF=CE,

：.ZFAC=90°,

，點(diǎn)尸在過點(diǎn)4且垂直與AC的直線上運(yùn)動，當(dāng)E和C重合時(shí)，尸和A重合，G和H重合，當(dāng)E和A重

合時(shí)，尸為M重合（例為"1與BC的交點(diǎn)），此時(shí)G在AB中點(diǎn)N處，

如圖，

.?.G的運(yùn)動軌跡是線段N”，

.”為月。中點(diǎn)，G為。尸中點(diǎn)，

NH=-AF,

2

VZBAF=45°ABAC,AF^AC,AB=AB,

：.^ABF^_ABC,

，AF=AC=2,

ANH=l,即點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證

明ZE4c=90。,確定點(diǎn)F的運(yùn)動路徑，進(jìn)而確定G的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.(1)計(jì)算：(-§)-'+3tan30°-用+(-1)236

(2)解方程：/+2x-i=o.

【答案】(1)-2-26(2)%=母-1,4=~^-1

【分析】(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序，首先計(jì)算乘方、開方和乘法，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式

(-g)T+3tan30°-a+(-l)刈6的值是多少即可；

(2)方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上1變形后，開方即可求出解.

【詳解】解：(1)(-1r'+3tan30°-V27+(-l)2°,6

=-3+3x-3-^3+1

3

=-3+6-36+1

=-2-26

(2)方程變形得:f+2x+l=2，

配方得：(X+1)2=2

開方得：x+l=+V2

解得：Xy=>/2-1,Xj=—72-1

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算、解一元二次方程-配方

法等知識點(diǎn)，熟練掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)則、完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

17.如圖ABC,ZC=90°.

(1)請?jiān)贏C邊上確定點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到直線A8的距離等于C。的長(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，標(biāo)注有關(guān)

字母，不寫作法和證明)；

⑵若NA=30。，CD=3,求的長.

【答案】(1)作圖見解析

(2)6

【分析】(1)作射線8。平分NA3C交8c于點(diǎn)。，點(diǎn)。即為所求：

(2)過點(diǎn)。作于點(diǎn)，，利用角平分線的性質(zhì)和30。角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)。即為所求.

；8。平分/ABC,ZC=90°,CD=3,

：.DH=CD=3,

XVNA=30°,

二AD=2DH=6.

A。的長為6.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)定理，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識點(diǎn).掌

握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.電子商務(wù)的迅速崛起，帶來了物流運(yùn)輸和配送的巨大需求.某快遞公司采購A、B兩種型號的機(jī)器人進(jìn)

行5公斤以下的快遞分揀，已知A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多分揀10件快遞，且A型機(jī)器人分揀700

件快遞所用的時(shí)間與8型機(jī)器人分揀600件快遞所用的時(shí)間相同，求B型機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞的件數(shù).

【答案】8型機(jī)器人每小時(shí)分揀60件快遞

【分析】設(shè)8型機(jī)器人卷小時(shí)分揀x件快遞，則A型機(jī)器人每小時(shí)分揀(x+10)件快遞，然后根據(jù)A型機(jī)器

人分揀700件快遞所用的時(shí)間與B型機(jī)器人分揀600件快遞所用的時(shí)間相同列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)分揀x件快遞，則A型機(jī)器人每小時(shí)分揀(x+10)件快遞,

700600

由題意，得

x+10x

解得x=60.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是原方程的解，且符合題意.

答：B型機(jī)器人每小時(shí)分揀60件快遞.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

19.某校組織全校學(xué)生進(jìn)行了“航天知識競賽”，教務(wù)處從中隨機(jī)抽取了〃名學(xué)生的競賽成績（滿分100分,

每名學(xué)生的成績記為x分）分成如表中四組，并得到如下不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)

圖.根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

分組頻數(shù)

A：60Vx<70a

B：70Vx<8018

C：80Vx<9024

D：90<x<100h

（2）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“。的圓心角的度數(shù)為。；

（3）競賽結(jié)束后，九年級一班從本班獲得優(yōu)秀（尤280）的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)為抽取兩名宣講航天

知識，請用列表或畫樹狀圖的方法求恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的概率.

【答案】（1）60,6,12

（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖見解析，144

（3）恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的概率為，

【分析】（1）由8的人數(shù)除以所占百分比得出〃的值，即可求出4、〃的值；

（2）由（1）的結(jié)果補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖,再由3600乘以“仁所占的比例即可；

（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果,其中恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，再由概率公式求

解即可.

【詳解】（1）解：〃=18-30%=60,

a=60x10%=6,

??.8=60—6—18—24=12,

故答案為：60,6,12；

扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“C’的圓心角的度數(shù)為360。、刀=144。,

60

故答案為：144；

（3）解：畫樹狀圖如下：

開始

甲乙丙丁

/N/N/l\/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，

，恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的概率為白2=1

126

【點(diǎn)睛】此題主要考查了樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識，樹狀圖法可以不重復(fù)

不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回試驗(yàn)還是不放

回試驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.下面是小聰同學(xué)進(jìn)行分式運(yùn)算的過程，請仔細(xì)閱讀并完成任務(wù).

4____2_

a-li74-1

（）、

解：原式=鬲4c島+l一高島……第一步=++1）-2（加1）……第二步

=4a+4-2a+2……第三步

=2a+6……第四步

任務(wù)一：①以上求解過程中，第一步的依據(jù)是.

②小聰同學(xué)的求解過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤.

任務(wù)二：請你寫出正確的計(jì)算過程.

【答案】任務(wù)一：①分式的基本性質(zhì)；②二；任務(wù)二：過程見解析，竺，

a-1

【分析】任務(wù)一：①先利用分式的基本性質(zhì)把分式進(jìn)行通分，②小聰同學(xué)的求解過程從第二步開始弄丟了

分母：

任務(wù)二：先利用分式的基本性質(zhì)把分式進(jìn)行通分，再把分子相減，即可求解.

【詳解】解：任務(wù)一：①第一步的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；

故答案為：分式的基本性質(zhì)

②小聰同學(xué)的求解過程從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

任務(wù)二：-7

a-1a+\

4(a+l)2(a-l)

+(a-l)(a+l)

4(a+l)-2(a-l)

(?-l)(a+l)

_4。+4-2。+2

(a-l)(a+l)

2〃+6

(a-l)(?+l)

2a+6

-a2-}

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.如圖是某景區(qū)的觀光扶梯建設(shè)示意圖.起初工程師計(jì)劃修建一段坡度為3:2的扶梯扶梯總長為

1()岳米.但這樣坡度太陡，扶梯太長容易引發(fā)安全事故.工程師修改方案：修建AC、DE兩段扶梯，并

減緩各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平臺形成的NACD為135。，從E點(diǎn)看。點(diǎn)的仰角為30。，AC段扶

梯長20米.(參考數(shù)據(jù)：應(yīng)w1.41,6=1.73)

(1)求點(diǎn)A到BE的距離.

(2)OE段扶梯長度約為多少米？(結(jié)果保留1位小數(shù))

【答案］⑴30米

(2)31.8米

【分析】(1)過點(diǎn)A作AF_LE8,垂足為凡根據(jù)已知可設(shè)AF=3x米，則8尸=2x米，然后在RtABf中，

利用勾股定理求事=米，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)延長DC交AF于點(diǎn)G,過點(diǎn)0作垂足為“，根據(jù)題意可得：DGYAG,DH=GF,

利用平角定義可得ZACG=45°,然后在RtACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長，從而求出DH,

FG的長，最后在RtAJMH中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】(D解：過點(diǎn)A作AFLEB,垂足為F,

?扶梯A3的坡度為3:2,

.AF3

??---=—,

BF2

二設(shè)AF=3x米，則BF=2x米,

在Rt.AB尸中，尸+8尸=J(3x/+(2xp=月》(米)，

；AB=10布米，

；?V13x=10Vi3,

??x—10,

：.AF=3x=30(米)，

二點(diǎn)A到BE的距離為30米：

(2)解：如圖，延長。C交四于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作。垂足為”,

EHB

由題意得：DG1AG,DH=GF,

,?NAC￡>=135°,

ZACG=180?！猌ACD=45°,

在Rt_4CG中，AC=20米，

AG=ACsin45°=20x—=1072（米），

2

AF=30米，

/.=GF=AF-AG=（30-10甸米，

在RtZXOEH中，NDEH=30°,

?*-DE=2DH=60-205/2?31.8（米），

OE段扶梯長度約為31.8米.

【點(diǎn)睛】本題考查J'解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，坡度坡角問題，含30度角的直角三角形，根

據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

22.如圖1,矩形ODE尸的一邊落在矩形A8C。的一邊上，并且矩形。叫戶矩形A8C0,其相似比為1:4,

矩形ABC。的邊48=4,BC=48

C

O

D圖2

（1）矩形ODEF的面積是二

⑵將圖1中的矩形。叫戶繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，若旋轉(zhuǎn)過程中。尸與。4夾角（圖2中的NFOA）的正切

的值為x,兩個(gè)矩形重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（3）將圖1中的矩形ODE/繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA,以比的面積是否存在最大值或最小值?

若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）6

3

-x0<x<

23

(2)y='

3J

（3）存在，最大值為8力+8,最小值為86-8

【分析】(1)根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方求解即可得出答案;

(2)先求出矩形OD所的邊長為1、日再分①當(dāng)0。工且時(shí)，重疊部分是直角三角形和②當(dāng)走時(shí),

33

重疊部分是四邊形，矩形。DEF剩余部分是直角三角形兩種情況求解;

(3)旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)。為圓心以2為半徑的圓，所以AACE的AC邊上的高就是點(diǎn)E到AC的

距離，也就是AC到圓上的點(diǎn)的距離，最大值為點(diǎn)。到AC的距離與圓的半徑的和，最小值為點(diǎn)。到AC的

距離與圓的半徑的差，再利用三角形的面積公式求解即可得出答案.

【詳解】(1)矩形O￡>￡尸矩形ABC。，其相似比為1:4,

S矩形8￡尸=nS矩形48co=而X4X46=百

(2)矩形8即矩形ABC。，其相似比為1:4,矩形ABC。的邊AB=4,BC=4也

:.OF=BOD=l

tanNFOE=—

3

如圖

tanZFOA=—

OF

/.FM-OF-tanZ.FOA

111Q

:.y=-OFFM=-(9FOFtanNFOA=一義小瓜=-x；

2222

②當(dāng)正時(shí)，重疊部分是四邊形，如圖

3

CB

0A

D

DN

tanZDOA=—ZDOA+ZFOA=90°

OD9

.?.DN=CD-tanNOQA=OD----?——

tanZFOA

=ODOF--ODOD——1——=lx/3--xlxl=73---

y>

2tanZ.FOA2x2x

(3)存在

OE=yjOF'+OD-="可+F=2，

???點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)O為圓心以2為半徑的圓,

設(shè)點(diǎn)。到AC的距離為〃，

AC=>JAB2+BC2=J42+(4百『=8

8/?=4x46

解得〃=2百

二當(dāng)點(diǎn)E到AC的距離為26+2時(shí)，△ACE的面積有最大值，

當(dāng)點(diǎn)E到AC的距離為26-2時(shí)、zMCE的面積有最小值，

$母大=；X8(26+2)=86+8

S展小=；x8(2g-2)=88一8

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，分情況討論的思想，勾股定理，圓上的點(diǎn)到直線的距離的取值范

圍，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，拋物線y=-d+2x+3交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)8(4在8左邊)，與y軸交于點(diǎn)C,尸是拋物線上第一象

限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

PD

(2)連接AP交線段BC于點(diǎn)。，當(dāng)CP與x軸不平行時(shí)，三的最大值=_；

DA

(3)若直線0P交BC于點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)尸，使以B、0、M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在,

求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

【答案】（1）A點(diǎn)為（一1,0）,B點(diǎn)為（0,3）,C點(diǎn)為（0,3）

嗚

⑶存在’七叵或者6

【分析】（I）對于y=-x2+2x+3,令x=0,得y=3；令y=0,得為=-1,*2=3,從而可得結(jié)論；

（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線8C的解析式為y=-x+3,過點(diǎn)尸作PQAB爻BC千點(diǎn)、<2,設(shè)

2

P（m,-m+2m+3）,得Q（病—2磯-川+2根+3）,求出PQA8,證明ADB,得絲=絲，得

DAAB

PD14

W=一:〃?2+3初，再運(yùn)用二次根式的性質(zhì)可得結(jié)論；

￡>A44

（3）由勾股定理求出BC=4應(yīng),過M作MN工HS,用求MN=NB=