2023年湘豫名校聯(lián)考高考數(shù)學二模試卷（文科）及答案解析

2023年湘豫名校聯(lián)考高考數(shù)學二模試卷(文科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={%€2|言式0},8={丫僅=3工+1},則4。8=()

A.{2,3}B.{1,2,3}C.(1,4)D.[0,1,2,3}

2.已知復數(shù)z滿足(l+2i)z=(3—i)(l+i),貝收在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.己知函數(shù)/Q)=尤+f(2)/nx+2,則/'(2)=()

A.2B.1C.-1D.-2

4.設(shè)皿，兀1分別是三條不同的直線，a是平面，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若rnJLn,ml/,nca,Lua,則m_La

B.若m1n,nua,則m1a

C.若m〃九，n1a,則?n_La

D.若m〃a,riua,則m〃7i

5.有兩個質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個玩具的各面上分別寫有數(shù)字1,2,3,

4.同時拋擲兩個玩具，則朝下的面的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為()

157

C-D-

4-

A.1616

6.某公司為了解本公司的用電情況，統(tǒng)計了4天氣溫武汽)與用電量y(度)之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如

下表所示：

X9121518

y60m3020

若它們之間的線性回歸方程為丫=一六+103,則m=()

A.48B.50C.52D.54

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的71=()

8.已知F是拋物線C：y2=2x的焦點，直線［與拋物線C交于4B兩點，橫坐標為―：的點P在

直線2上，且滿足而=一而，則黑!=()

A.2B.3C.1D.|

9.己知數(shù)列｛an｝的前n項和為又，%=1,且?於-1+1)5.=nSn_1+an(n>2且nGN*),

若品=表,則k=()

A.46B.49C.52D.55

10.已知函數(shù)/Xx)=Asin^x+0)(3>0,\<p\<今的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確

的是()

An

A”一

B.f(x)的圖象關(guān)于點弓,0)中心對稱

C.若f(x)在區(qū)間(-(⑷上存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍為哈,+8)

D.f(x)的圖象關(guān)于直線％建對稱

11.已知橢圓C：捻+，=l(a>b>0)的上頂點為4,直線1：9%-10丫-57=0與橢圓。相

交于P，Q兩點，線段PQ的中點為B,直線4B恰好經(jīng)過橢圓C的右焦點凡且南=3而，則橢

圓C的離心率為()

A.5B.6C.小或貯D.5或里衛(wèi)

105551010

12.已矢口菱形4BCD的邊長為2,/.BAD=與，點E,F分別在4D,CD上，&EF//AC,將aDEF

沿EF折到△D'EF的位置，則當五棱錐D'-ABCFE的體積最大時，三棱錐D'-DEF外接球的

表面積為()

A.47rB.—nC.—nD.57r

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量胃=(與2),另=(一％,1),且|2五+3|=。^，則實數(shù)%=.

%+3y-9<0

14.若％、y滿足約束條件%—y+320,貝ijz=/的取值范圍是.

y-2>0

15.已知函數(shù)/(X)滿足：對于任意與，x2e(-8,+8),且與牛x2,不等式"X?[3)<2恒

成立.若/(%)是奇函數(shù)，且/(a)>2a,則實數(shù)a的取值范圍是.

16.如圖，已知銳角AABC為圓。的內(nèi)接三角形，圓。的半徑為R,夕[一'

且BC=0，NBAC的平分線交邊BC于點D,且點。為邊BC上靠近/\\、\

點B的三等分點，=則AABC的面積為./\

三、解答題(本大題共7小題，共80.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛。工滿足H。，(1+3a])(l+3a2)(1+3a3)(1+3an)=an(nGN*).

(1)證明：數(shù)列｛工｝是等差數(shù)列；

an

(2)求數(shù)列｛a/n+i｝的前n項和加

18.(本小題12.0分)

2022年10月12日，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講，新晉“太空教師”劉洋用2米長

的吸管成功喝到了芒果汁.這是中國航天員首次在問天實驗艙內(nèi)進行授課，并通過網(wǎng)絡(luò)向全國

進行直播，這場直播極大地激發(fā)了廣大中學生對航天知識的興趣，為領(lǐng)悟航天精神，感受中

國夢想，某校高一年級組織了一次“尋夢天宮”航天知識競賽活動，為了解男生和女生對航

天知識的掌握情況，該校隨機抽取了100名男生和100名女生的競賽成績作為樣本數(shù)據(jù)，并將

數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],整理得到如下頻率

(1)估計該校男生和女生競賽成績的平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

(2)若競賽成績?yōu)?0分或70分以上的學生稱為“太空達人”，完善2x2列聯(lián)表，并判斷：是

否有95%的把握認為是否獲得“太空達人”稱號與性別有關(guān)?

非“太空達人”“太空達人”總計

男生

女生

總計

附.2_n(ad-bc)2,

K其中n=a+b+c+d.

,—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>ko)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱柱ABC。中，底面力BCD為平行四邊形,44i=2AB=2,Z.BAD=60°,

平面BBS。_L平面4BCC,BC1BDltDDX1BD,E為C%上的一點.

(1)求證:AD_L平面BBiDi。；

(2)若A%〃平面BDE,求三棱錐E-ABDi的體積.

20.(本小題12.0分)

在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線=l(a>0,b>0)的右焦點為F,離心率為2,

且過點P(2,3).

(1)求雙曲線E的標準方程；

(2)設(shè)過原點0的直線匕在第一、三象限內(nèi)分別交雙曲線E于4,C兩點，過原點。的直線％在第

二、四象限內(nèi)分別交雙曲線E于B,D兩點，若直線力。過雙曲線的右焦點F,求四邊形4BC。面

積的最小值.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=minx+xH—.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當m=l時,證明：x2/(x)<ex+x3.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標系xOy中，直線，的參數(shù)方程為9為參數(shù))，以坐標原點為極點，》軸

一乙十c

的正半軸為極軸建立極坐標系，動點M到定點N(l,0)的距離為，至,記動點M的軌跡為曲線C.

(1)求直線1的普通方程，曲線C的直角坐標方程與極坐標方程；

(2)設(shè)點且直線I與曲線C交于直B兩點,求|PA|?(|PB|+焉)+|PB|?([P川+焉)

lrnlp

的值.

23.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|-3|x-1|.

（1）作出函數(shù)/（X）的圖象，并求r（x）的值域；

（2）若存在x,使得不等式f（x）2|4x-a|成立，求實數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由當W0得一l〈x<4,

x-4

所以集合4={-1,0,1,2,3).

又因為B={y\y>1],

所以2nB={2,3}.

故選：A.

由已知先求出集合4,B,然后結(jié)合集合交集運算即可求解.

本題考查不等式的求解和集合的交集運算，考查邏輯推理能力和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

2.【答案】D

【解析】解：因為(3—i)(l+i)=4+21

4+2t(4+2t)(l-2i)8-6l

所以Z=,=(I+WTE)=M，

所以z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為《,-,位于第四象限.

故選：D.

利用復數(shù)乘法、除法運算即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解:因為/(x)=x+/'(2)/nx+2,

所以尸(為=1+42，

所以/'(2)=1+竽，解得f'(2)=2.

故選：A.

根據(jù)導數(shù)的運算法則，結(jié)合代入法進行求解即可.

本題主要考查導數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：4選項，當n〃加j,直線m可能不垂直于平面a,A錯誤；

8選項，當m,7i異面時，也存在平面a,使得mJLn,nua,m//a,B錯誤；

C選項，由線面垂直的性質(zhì)可知，當m〃n,nla時，必有m1a,C正確；

0選項，當?n〃a時，顯然也可以有m,n異面，nua,mln,。錯誤.

故選：C.

利用直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系即可判斷.

本題考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，屬中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，同時拋擲兩個玩具，朝下的面寫有的數(shù)字有16種情況，

分別為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),

(4,2),(4,3),(4,4),

朝下的面的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的結(jié)果有7種，

分別為(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),

則數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為P=白，

1O

故選：D.

利用古典概型的概率公式即可求得本題答案.

本題考查古典概型相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

一177—1

【解析】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得x=/x(9+12+15+18)=^,y=ix(60+m+30+20)=

110+m

將點鳥，普巧代入回歸方程得臂％=-yX^+103.

解得m=50.

故選：B.

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得樣本中心(:，當也)，代入回歸方程，即可求解.

本題考查線性回歸方程的運用，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程恒過樣本中心點，這是線性回歸

方程中最常考的知識點，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：分析程序中各變量、各語句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是

1

+6的值

2-

1111216

S-O++++值H

2-2-2-2-?

所以九=6.

故選D.

分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=9+

F+F+...+F的值，并輸出.

222

根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分

析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)

據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）=②建立數(shù)學模型，根據(jù)第

一步分析的結(jié)果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型③解模.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)4（%1％），B（x2,y2）'

由4P=—得一"一刀1=—；（*2+；）,

整理得*2=+

由拋物線C的方程，得焦點尸?,0），準線為％=6，

根據(jù)拋物線的定義，知|4F|=.+2，|BF|=&+；，

x+\_2x+1+1_2

所喘=2x

1—1一乙

故選：A.

根據(jù)向量相等以及拋物線的定義求得黨.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，拋物線的焦半徑公式額應(yīng)用，屬中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：,當n>2時，3層一1+=nSn_i+an，即V析一IS"=(n-l)5n_r

.Sn_n-1_Vn-1

"-V(n+l)(n-lj-T^TT)

1

由累乘法得Sn71=,XIX--X=內(nèi)義常*》義桌X-Xx注言=一/j^Z^=

SiS2Sn_1V3V4v5V6VnVn+1VnxVn+1

又Si=%=1適合上式，則Sn=^==.

??0=春?.?了品^=表’解得上=49或卜=一50(舍去).

O?JVA.^rvIXJ

故選：B.

根據(jù)遞推關(guān)系利用累乘法求數(shù)列的通項，即可得出答案.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：由題圖知，/(X)的最小正周期「="/+居)=乃，則3=^=2.

所以/(%)=As以(2%+").

將(一/0)代入得Asin(一界8)=0,則T+0=2kMk6Z),

即勿=?+2版(keZ).

因為|0|<*

所以0=全

將借，一2)代入得4sin*+今=-2,則4=2,

所以/(x)=2sin(2x+今，A選項錯誤；

當x=學時，/(y)=2sin(2xy+1)=一，3*0,

所以點包,0)不是f(%)的圖象的一個對稱中心，B選項錯誤；

易得f(x)在(一"卷)上單調(diào)遞增，且/舄)=2sin(2x^+9=2sin1=2,

即小)在"號時取得最大值，所以a＞壬

即實數(shù)a的取值范圍為給,+8),C正確.

當x建時，fa=2s譏(2x科今=刀＜2,

所以直線x=*不是f(x)的圖象的一個對稱軸，。選項錯誤；

故選：C.

根據(jù)圖象求得f(x)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、最值等知識對選項進行分析，從而確定正

確答案.

本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】。

【解析】解：設(shè)F(c,O),4(0,b),P(x〕yi)，Q(x2,y2),J5(x0,y0)>

???荏=3而，：.AF=2FB，即(c,-b)=2(&-c,y())，

"xo=7o=-p即B有,一2).

???B為線段PQ的中點，:%i+x2=3c,+y2=-b,又P,Q為橢圓上兩點,

%+城=1

????”/'兩式相減得氮+x?)畀-以+%+之)”-及)=°,

4+4=i.h

k=玄&=一。筆這=一4.與=焉化筒得2a2=10bc,

7町一％2a/、1+、2由一人10

又???a2=b2+c2,???2(h2+c2)=lObc,即(b—3c)(3b—c)=0,

根據(jù)向量共線的坐標表示求得B點坐標，利用點差法求得也進而求得橢圓C的離心率.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：如圖，設(shè)。E=x，貝lj4E=2-x.I)'

當五棱錐D'-ABCFE的體積最大時，平面D'EFJL平面2BCD.

設(shè)H是EF的中點，則D'H1EF.因為平面D'EFC平面4BCD=

EF,

所以D'H，平面4BCD.因為D'H=?x，S五邊形即CFE=gX

2x2x^+1(x+2)x(C-?x)=2c一早產(chǎn)，

所以力，-4BCFE=qX?XX(2>/~3-1=l(8x-x3).

設(shè)V(x)=:(8x-x3)(0<x<2),

o

則7(x)=：(8-3x2).令『(x)>0,得o<%<亨；

令片(x)<0,得竽<%<2，

所以V(x)在(0,竽)上單調(diào)遞增，在(竽,2)上單調(diào)遞減，

所以當％時，五棱錐A-ABCFE的體積最大，

設(shè)4D'EF外接圓的圓心為。1，△OE尸外接圓的圓心為。2，

如圖，過點01，外分別作平面D'EF和平面。EF的垂線交于點。,

則點。即為三棱錐D'-DEF外接球的球心.

因為。Q==個，。10=//02="?義手=?,

2

所以。。2=01。2+0rD'=(殍)2+(亨)2=y.

所以球。的表面積為S=4兀x9=等兀.

故選：B.

設(shè)OE=x,求得五棱錐D'-4BCFE的體積表達式，并利用導數(shù)求得此時x的值，判斷出球心的位

置，計算出球的半徑，進而求得球的表面積.

本題考查兒何體外接球有關(guān)的問題，解題關(guān)鍵是首先要找到球心的位置，再利用勾股定理等知識

求得球的半徑，考查運算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】±1

【解析】解：由題意，得2丘+石=(x,5)，

故|2E+31=Vx2+52=V^6-解得％=±1.

故答案為：±1.

利用向量的坐標運算、向量的模長公式求解即可.

本題主要考查向量的坐標運算，以及向量模長公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】[4,13]

x4-3y—9<0

【解析】解：不等式組k-y+3N0表示的可行域如圖中陰影部分所示,

y-2>0

0

目標函數(shù)Z=/+y2的幾何意義表示原點與可行域中任意一點的距離的平方，

結(jié)合圖形可知，z在點。(0,2)處取得最小值4,

z在點4處取得最大值，聯(lián)立方程=0,可得后二；，即點4(3,2),此時Zmax=13.

所以z=/+*的取值范圍為413].

故答案為：[4,13].

作出不等式組所表示的可行域，分析可知目標函數(shù)z=/+y2的幾何意義表示原點與可行域中任

意一點的距離的平方，找出使得目標函數(shù)Z=/+y2取得最大值和最小值對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目

標函數(shù)即可得解.

本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(一8,0)

【解析】解：因為對于任意的匕，%2G(-oo,+oo),且匕力都有*E詈<2,

不妨設(shè)％1>x2，則f(%1)-/(%2)<2%1-2X2，即/(%1)-2%1</(%2)-2%2，

所以9(%)=/(%)-2%在R上單調(diào)遞減，

又y=/。)是定義域為R的奇函數(shù)，所以/(0)=0，則g(0)=/(0)-0=0，

因為〃a)>2a,所以/(a)-2a>0,即g(a)>g(0),

因為9(x)=/(x)-2x在R上單調(diào)遞減，

所以a<0,即不等式/'(a)>2a的解集為{a|a<0},

故實數(shù)a的取值范圍為(-8,0).

故答案為:(—co,0).

根據(jù)題目條件構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐步轉(zhuǎn)化，即可求得不等式的解集.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，考查了函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題.

16.【答案】歲

8

【解析】解：因為BC=CR，所以根據(jù)正弦定理，得sin/BAC=器=?，

2R2

又因為NBAC為銳角，得NB4C=W，由題可知ZBAD=NCAD=%

5o

化簡得黎=P

因噌/所以鬻寸即駕黑I弓

設(shè)AC=2%,在△4BC中，

加+十一才

因為cosziBAC=

-2ABAC-，

所以cos巳=注3出近，化簡得X=R，

32x-2x

所以4B=R,AC=2R,又BC=CR，

所以4B2+BC2=4。2,則=*

在RtZiABD中，AB=AD-cos7=V_3xBC-V_3/?—y/~3X,

6LL2L

所以SAABC=\AB,BC=；x5x亨=亨.

故答案為：2￡2.

8

利用正弦定理，先求出ZBAC的大小，然后由萼=：,可以得到瞿=:，結(jié)合余弦定理，即可求出

AB,AC的值，由此可知代入三角形的面積公式，即可得到本題答案.

本題考查圓的內(nèi)接三角形面積的求解，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，化

歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題.

17.【答案】證明：(1)因為(1+3%)(1+3a2)(1+3a3)…(1+3an)=0n①,

所以當n22時，(1+3%)(1+3a2)(1+3a3)-(1+3即-1)=即-i②，

因為an片0,所以由票得1+3即=言；，即an_]+3anan-i=an,

所以;+3=,即;---=-3,

anan—lanan—1

由(14-3的)(1+3a2)(1+3a3)???(1+3an)=an,

得1+3al=a]，所以的=—；,

所以｝=_2,

所以數(shù)列｛；｝是以-2為首項，-3為公差的等差數(shù)列；

an

解：(2)由(1)得上=-2-3(n-1)=-3n+l(nGN*),

an

即即=一有匕⑺GN*),

所以0n0n+l=(-3n-l)(-3n+2)=§(3n-l-3n+2〉

aa

所以%=i2+a2a3+a3a4+?-?+anan+1=§"一》+式g-](京一缶+…+亙(市7一

1.1,11,11,11,,11,1,11、n，〃…、

3^2)=3<2-5+5-8+8-n+-"+3^T_3^2)=3(2-3^2)=6^(nG/V》

【解析】(1)利用退一作差法，結(jié)合等差數(shù)列的知識證得數(shù)列｛；｝是等差數(shù)列；

an

(2)利用裂項求和法求得7；.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了裂項相消法求和，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)男生競賽成績的平均數(shù)為：45X0.05+55x0.15+65X0.2+75X0.3+85x

0.2+95x0.1=72.5,

女生競賽成績的平均數(shù)為：45X0.1+55x0.2+65X0.25+75x0.2+85x0.15+95x0.1=

69.

(2)完善2x2列聯(lián)表如下：

非“太空達人”“太空達人”總計

男生4060100

女生5545100

總計95105200

2200x(40x45-60x55)2)…

???K2的觀測值心…（黑荔）…=

100X100X95X105"4.511>3.841,

二有95%的把握認為是否獲得“太空達人”稱號與性別有關(guān).

【解析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).

（2）完善2X2列聯(lián)表，計算K2的值，由此作出判斷.

本題考查獨立性檢驗原理的應(yīng)用，平均數(shù)的概念，屬中檔題.

19.【答案】解：（1）證明：因為平面8%歷0_L平面4BCD,平面8當500平面4BC。=8。,

又DD、1BD,DD]u平面BBiA。，

所以，平面4BC。，

又因為4Du平面4BCD,

所以DDi14。；

因為四邊形ABCO為平行四邊形，

所以BC〃/1。，

又因為BC1BDr,

所以4DIB。I，

因為BDiu平面88也。，D%u平面世心。，且叫nDDr=

所以4。1平面8當。1￡>.

（2）如圖，連接AC交BC于點0,連接0E,

因為平面8DE,平面4皿C平面BDE=OE,也u平面4皿，

所以ADJ/OE,

因為。為AC的中點，所以E為CD1的中點，

因為4。_L平面88也。，BDu平面8當。10,filfl^AD1BD,

因為NBA。=60°,所以44BC=30°,

因為AB=1,所以在Rt△力BD中，AD=ABsin300=

所以SAACD='CD-sinl20°=；xgx1xVE-XBDJ=,^C-ABD1=]5「ABC=

11111

%=XXX

2-2-3-2-3-2X9=7

【解析】（1）由面面垂直的性質(zhì)，可得DO】J■平面ABCD,從而DDi_L4D,結(jié)合ZDIBD1，即可證

明4。_L平面BBiDiD；

（2）利用等體積法，求三棱錐E-4BA的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐體積的一半，即可求得本

題答案.

本題考查線面垂直的判定定理，考查三棱錐的體積求解，考查空間想象能力，推理論證能力和運

算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）由雙曲線E：，一￡=1（（1>0,6>0）的右焦點為凡離心率為2,

則？=2①，

因為雙曲線E過點P（2,3）,

所以白一W=1②，

又c2=a2+又③,

聯(lián)立①②③式，解得a=l,b=C，

故雙曲線E的標準方程為爐一［=i；

(2)由雙曲線的對稱性，知四邊形力BCD為平行四邊形,

所以S四邊形ABCD=4SAOA。,

由題意知直線的斜率不為零，直線4C過雙曲線的右焦點F(2,0),

設(shè)4。的方程為x=my+2(機力+

x=my+2

聯(lián)立%2y2_］消去％,化簡整理可得，(3m2-l)y2+12my4-9=0,

4=36(m2+1)>0,

—12m9

由韋達定理可得，yr+y2=

因為力，。均在雙曲線右支,

%+x>0,

所以2

%1-X2>0,

m(yi+牧)+4=>0,

所以《3m2—1解得0<m2<i

c——4

m2yly2+2M(乃+y2)+4=3nl2T>0,

—12m9

所以SACMD=|X|OF|x|yx-y2|=J(%+丫2=一4y,2=)2—4X

3m2-13m2-1

6Vm2+l,2,1、

n<5)

令“病+1=t(l<t<與=)，則/=t2-1,

所以SAOAD=$=含(1Wt<浮)?

令函數(shù)f(t)=3-33易得/(t)在區(qū)間口,亨)上單調(diào)遞減,

所以當t=1時,(.S^oAD)min=6.

所以四邊形4BCD面積的最小值為24.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線過點P(2,3),再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解;

(2)根據(jù)雙曲線的對稱性，推得S四邊形Mg=4SAOA。，設(shè)出直線4。的方程，并與雙曲線聯(lián)立，推

得(3jn2-l)y2+i2nly+9=0,再根據(jù)韋達定理，三角形面積公式，函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

本題主要考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題可得:(%)=￡+1-等=豆羋產(chǎn)必，%>0,

當m+1>0,即m>—1時，%4-(m4-1)>0,

由得x>1；由/'(%)V0,得OV%<1,

所以f(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減.

當m+1<—1,即和<—2時，

由((X)>0,得x>—m—1或0V%V1；由/'(%)<0,得1<xV—m—1,

所以f(x)在(0,1),(-血一1,+8)上單調(diào)遞增，在(1,一瓶一1)上單調(diào)遞減，

當一1<TH+1V0,即—2VTHV—1時，

由/(%)>0,得0V%V-m-1或%>1；由((%)<0,得-m-1<%<1,

所以/(%)在(0,-ni-1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(一/n-1,1)上單調(diào)遞減，

當m+l=-l,即m=-2時，/,(%)>0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

綜上所述，當僧之一1時，/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；

當血<一2時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(-m-l,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,_M一1)；

當—2<mV—1時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,—m—1),(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—m—1,1);

當?n=—2時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).

(2)證明：當zn=l時，由產(chǎn)(仇》+久+$Ve*+/，得m%+%+：<&+%,

即3—Inx-->0.

x

、IPX7

設(shè)h(%)=——Inx-%>0,

則"(X)=弋2對二+芻=缸2零一2

XXXX

設(shè)k(x)=ex-x,%>0,則/(%)=ex—1.

因為當％>0時，kr(x)>0,所以函數(shù)k(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又因為k(0)=l>0,