高一數(shù)學(xué)集合與函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中課程復(fù)習(xí)專題PAGE４高中課程復(fù)習(xí)專題——數(shù)學(xué)集合與函數(shù)專題一、集合相關(guān)概念1、集合中元素的特性⑴元素的確定性：組成集合的元素必須是確定的。⑵元素的互異性：集合中不得有重復(fù)的元素。⑶元素的無序性：集合中元素的排列不遵循某種順序，是隨意排列的。2、集合的表示方法⑴列舉法：將集合中元素一一列出。⑵描述法：將集合中元素的公共屬性用語(yǔ)言描述出來。⑶解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共屬性。⑷圖示法：用韋恩圖直觀的畫出集合中的元素。3、集中特殊數(shù)集的表示方法自然數(shù)集：N正整數(shù)集：N+整數(shù)集：Z有理數(shù)集：Q實(shí)數(shù)集：R空集：Φ二、集合間的基本關(guān)系——子集與真子集1、自反性——任何一個(gè)集合都是它本身的子集：A?A。2、如果A?B且A≠B，則，A是B的真子集。3、傳遞性：如果A?B，B?C，則A?C。4、如果A?B且B?A，則A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有n個(gè)元素的集合，有2n個(gè)子集，有2n-1個(gè)真子集。三、集合間的運(yùn)算運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集定義由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A和B的交集（A∩B）。即A∩B={x∣x∈A且x∈B}由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A和B的并集（A∪B）。即A∪B={x∣x∈A或x∈B}設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中不屬于A的元素組成的集合稱為S中A的補(bǔ)集（CSA）。即CSA={x∣x∈S且xA}圖示性質(zhì)A∩A=AA∩Φ=ΦA(chǔ)∩B=B∩AA∩B?AA∩B?BA∪A=AA∪Φ=AA∪B=B∪AA?A∪BB?A∪BCSA∩CSB=CS（A∪B）CSA∪CSB=CS（A∩B）A∪CSA=SA∩CSA=Φ四、函數(shù)的相關(guān)概念1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，如果按照某個(gè)特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函數(shù)的值域。★2、函數(shù)定義域的解題思路：⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于0。⑶對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于0。⑷指數(shù)對(duì)數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。⑸指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)不得為0。⑹如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。⑺實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義。3、相同函數(shù)⑴表達(dá)式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。⑵定義域一致，對(duì)應(yīng)法則一致。4、函數(shù)值域的求法⑴觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡(jiǎn)單的由初等函數(shù)通過四則運(yùn)算得到的函數(shù)。⑵圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。⑶配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。⑷代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測(cè)未知函數(shù)的值域。5、函數(shù)圖像的變換⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進(jìn)行加減。⑵伸縮變換：在x前加上系數(shù)。⑶對(duì)稱變換：高中階段不作要求。6、映射：設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射。⑴集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。⑵集合A中的不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)。⑶不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。7、分段函數(shù)⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達(dá)式。⑵各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。8、復(fù)合函數(shù)：如果（u∈M），u=g(x)（x∈A）,則，y=f[g(x)]=F(x)（x∈A），稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。a的取值a>10<a<1圖像定義域x∈Rx∈R值域y∈(0，+∞)y∈(0，+∞)單調(diào)性全定義域單調(diào)遞增全定義域單調(diào)遞減奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)過定點(diǎn)（0,1）（0,1）注意：⑴由函數(shù)的單調(diào)性可以看出，在閉區(qū)間[a,b]上，指數(shù)函數(shù)的最值為：a>1時(shí)，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1時(shí)，最小值f(b)，最大值f(a)。⑵對(duì)于任意指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)，都有f(1)=a。2、對(duì)數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=logax(a>0且a≠1))，叫做對(duì)數(shù)函數(shù)a的取值a>10<a<1圖像定義域x∈(0，+∞)x∈(0，+∞)值域y∈Ry∈R單調(diào)性全定義域單調(diào)遞全定義域單調(diào)遞減奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)過定點(diǎn)(1,0)(1,0)3、冪函數(shù)：函數(shù)y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數(shù)只研究第I象限的情況。⑴所有冪函數(shù)都在(0，+∞)區(qū)間內(nèi)有定義，而且過定點(diǎn)(1,1)。⑵a>0時(shí)，冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)，且在(0，+∞)區(qū)間為增函數(shù)，a越大，圖像坡度越大。⑶a<0時(shí)，冪函數(shù)在(0，+∞)區(qū)間為減函數(shù)。當(dāng)x從右側(cè)無限接近原點(diǎn)時(shí)，圖像無限接近