數(shù)學(xué)建模 人口模型與預(yù)測(cè)

馬艷杰：人口模型與預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)建模PAGE8人口模型與預(yù)測(cè)摘要人口的增長(zhǎng)是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問(wèn)題，作為世界上人口最多的國(guó)家，我國(guó)的人口問(wèn)題是十分突出的，由于人口基數(shù)大，盡管我國(guó)已經(jīng)實(shí)行了20多年的計(jì)劃生育政策，人口的增長(zhǎng)依然很快，巨大的人口壓力給我國(guó)的社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)療、就業(yè)等帶來(lái)了一系列的問(wèn)題。因此，研究和解決人口問(wèn)題在我國(guó)顯得尤為重要。我們經(jīng)常在報(bào)刊上看見關(guān)于人口增長(zhǎng)的預(yù)報(bào),說(shuō)到本世紀(jì)末，或到下世紀(jì)中葉，全世界(或某地區(qū))的人口將達(dá)到多少億。你可能注意到不同報(bào)刊對(duì)同一時(shí)間人口的預(yù)報(bào)在數(shù)字上長(zhǎng)有較大的區(qū)別，這顯然是由于用了不同的人口模型計(jì)算的結(jié)果。人類社會(huì)進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái),在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時(shí),世界人口也以空前的規(guī)模增長(zhǎng)。人口每增加十億的時(shí)間,由一百年縮短為十二三年.我們賴以生存的地球,已經(jīng)攜帶著它的60億子民踏入21世紀(jì).長(zhǎng)期以來(lái),人類的繁殖一直在自發(fā)地進(jìn)行著,只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化,人們才猛然醒悟,開始研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律，以及如何進(jìn)行人口控制等問(wèn)題本文建立兩個(gè)模型（1）中國(guó)人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。（2）中國(guó)人口的Logistic模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。而且利用MATLAB圖形，標(biāo)出中國(guó)人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測(cè)曲線和兩種預(yù)測(cè)模型的誤差比較圖，并分別標(biāo)出其誤差。關(guān)鍵詞指數(shù)增長(zhǎng)模型Logistic模型MATLAB軟件人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

1問(wèn)題的提出下表列出了中國(guó)1982-1998年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，取1982年為起始年（），萬(wàn)人，萬(wàn)人。年198219831984198519861987198819891990人口（萬(wàn)）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口（萬(wàn)）115823117171118517119850121121122389123626124810要求：（1）建立中國(guó)人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。（2）建立中國(guó)人口的Logistic模型，并用該模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。（3）利用MATLAB圖形，標(biāo)出中國(guó)人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預(yù)測(cè)曲線。（4）利用MATLAB圖形，畫出兩種預(yù)測(cè)模型的誤差比較圖，并分別標(biāo)出其誤差?！咀ⅰ砍Ｎ⒎址匠桃浑A初值問(wèn)題的MATLAB庫(kù)函數(shù)為：ode45。語(yǔ)法為：[t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0)2問(wèn)題的分析人口的變化受到眾多方面因素的影響，因此對(duì)人口的預(yù)測(cè)與控制也就十分復(fù)雜，很難在一個(gè)模型中綜合考慮到各個(gè)因素的影響。要預(yù)報(bào)未來(lái)若干年的人口，最重要的影響因素自然是今年的人口和今后這些年的增長(zhǎng)率（即人口出生率減去死亡率），根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行人口預(yù)報(bào)是十分容易的。例如據(jù)人國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局1990年10月30日歸表的公報(bào)。1990年7月1日我國(guó)人口總數(shù)為11.6億，過(guò)去8年的平均年增長(zhǎng)率為14.8‰。如果今后的年增長(zhǎng)率保持這個(gè)數(shù)字,那么容易算出，1年后我國(guó)人口為11.6×（1+0.0148）=11.77（億），10年后即2000年將為11.6×（1+0.0148）13.44（億）。這種算法用式子表示也十分簡(jiǎn)單。記人口為（1）顯然，這個(gè)公式的基本前提是年增長(zhǎng)率r保持不變。這個(gè)條件在什么情況下才能成立，如果不成立又該怎公辦。歷史上，人口模型的發(fā)展過(guò)程回答了這個(gè)問(wèn)題。早在18世紀(jì)人們就開始進(jìn)行人口預(yù)報(bào)工作了，一二百年來(lái)發(fā)展了許多模型，指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型事其中最簡(jiǎn)單的兩種模型。3模型一3．1模型假設(shè):（1）假設(shè)不存在某抽樣年齡段出現(xiàn)0死亡概率（2）假設(shè)人口平穩(wěn)增長(zhǎng)，無(wú)大型自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭(zhēng)等因素的影響（3）假設(shè)境內(nèi)外遷移率對(duì)我國(guó)未來(lái)人口影響不計(jì)（4）人口的凈增長(zhǎng)率（即出生率減去死亡率）為常數(shù)（5）時(shí)刻t的人口函數(shù)是連續(xù)可微的；3.2名詞解釋與符號(hào)說(shuō)明t表示年份（選定初始年份的t=0）r表示人口增長(zhǎng)率x表示人口數(shù)量3.3模型的建立及求解記時(shí)刻t的人口為x(t)，當(dāng)考察一個(gè)國(guó)家或一個(gè)很大地區(qū)的人口時(shí)，x(t)是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時(shí)刻(t=0)的人口為，人口增長(zhǎng)率為r，r是單位時(shí)間內(nèi)x(t)的增量與x(t)的比例系數(shù)。根據(jù)r是常數(shù)的基本假設(shè)，t到t+時(shí)間內(nèi)人口的增量為于是x(t)滿足如下的微分方程：（2）由這個(gè)線性常系數(shù)微分方程容易解出（3）表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)(r>0)。將t以年為單位離散化，（3）式表明，人口以為公比的等比數(shù)列增長(zhǎng)。因?yàn)檫@時(shí)r表示年增長(zhǎng)率，通常r<<1，所以可用近似關(guān)系可得出（4）（1）式與（4）式比較可知，前面給出的預(yù)報(bào)公式（1）不過(guò)是指數(shù)增長(zhǎng)模型離散形式的近似表示。由（3）或（2）式給出的模型，與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好地吻合.一些人口增長(zhǎng)率長(zhǎng)期穩(wěn)定不變的國(guó)家和地區(qū)用這個(gè)模型進(jìn)行預(yù)報(bào),結(jié)果也令人滿意.3．4模型檢驗(yàn)98年由指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)出的人口數(shù)于實(shí)際人口數(shù)相差最小，而其他年份的真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間有差別年實(shí)際人口(萬(wàn)人)指數(shù)增長(zhǎng)模型(萬(wàn)人)誤差199111433319921158231156162071993117171116914257199411851711822629119951198501195532971996121121120894227199712238912225113819981236261236233其中人口的自然增長(zhǎng)率為這幾年的平均增長(zhǎng)率=0.01116，指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果很好的反映了實(shí)際情況。按此模型預(yù)測(cè)現(xiàn)在中國(guó)人口已超過(guò)13億，到2016年中國(guó)人口將超過(guò)15億。我們看到，盡管中國(guó)人口調(diào)控政策比較得力，但中國(guó)近幾年處于高生育期，按指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果均比實(shí)際人口要少。同時(shí)由于中國(guó)人口調(diào)控政策比較得力，中國(guó)人口的自然增長(zhǎng)率在逐年下降，已經(jīng)從1991年的千分之十五降到1998年的千分之十左右。而按照近幾年的平均增長(zhǎng)率=0.01116預(yù)測(cè)，肯定和實(shí)際之間有一定的誤差。隨著人口的增加,自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口繼續(xù)增長(zhǎng)的阻滯作用越來(lái)越明顯。如果當(dāng)人口較少時(shí)人口增長(zhǎng)率還可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率就會(huì)隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少.許多國(guó)家人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況完全證明了這點(diǎn).為了生存及人類文明程度的不斷提高，順其自然地會(huì)采取有效措施來(lái)控制人口的增長(zhǎng)，使增長(zhǎng)率成為一個(gè)遞減數(shù)，而可供人類生存的自然資源、環(huán)境等條件也為人口數(shù)量的最大值給予了強(qiáng)硬的限制。這就導(dǎo)至了比較適合于人口發(fā)展規(guī)律的新數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生。3.5模型的應(yīng)用與推廣用指數(shù)增長(zhǎng)模型確實(shí)可以預(yù)測(cè)人口的增長(zhǎng)，但是它只適合于短期的人口預(yù)測(cè)，為了使人口預(yù)報(bào)特別是長(zhǎng)期預(yù)報(bào)更好地符合實(shí)際情況,必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè)了。為了生存及人類文明程度的不斷提高，順其自然地會(huì)采取有效措施來(lái)控制人口的增長(zhǎng)，使增長(zhǎng)率成為一個(gè)遞減數(shù)，而可供人類生存的自然資源、環(huán)境等條件也為人口數(shù)量的最大值給予了強(qiáng)硬的限制。這就導(dǎo)至了比較適合于人口發(fā)展規(guī)律的新數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生。4模型二4.1假設(shè)（1）地球上的資源有限，不妨設(shè)為1；而一個(gè)人的正常生存需要占用資源（這里事實(shí)上也內(nèi)在的假定了地球的極限承載人口數(shù)為）；在時(shí)刻t，人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，為簡(jiǎn)單起見也假設(shè)與當(dāng)時(shí)剩余資源成正比；比例系數(shù)表示人口的固有增長(zhǎng)率；設(shè)人口數(shù)P(t)足夠大，可以視做連續(xù)變量處理，且P(t)關(guān)于t連續(xù)可微。4.2符號(hào)說(shuō)明 t年份（初始年份t=0）r人口增長(zhǎng)率p人口數(shù)4.5模型建立及求解由模型假設(shè)，可將人口數(shù)的凈增長(zhǎng)率視為人口數(shù)P(t)的函數(shù)，由于資源對(duì)人口增長(zhǎng)的限制，應(yīng)是P(t)的減函數(shù)，特別是當(dāng)P(t)達(dá)到極限承載人口數(shù)時(shí)，應(yīng)有凈增長(zhǎng)率，當(dāng)人口數(shù)P(t)超過(guò)時(shí)，應(yīng)當(dāng)發(fā)生負(fù)增長(zhǎng)?；谌缟舷敕?，可令。用代替指數(shù)增長(zhǎng)模型中的導(dǎo)出如下微分方程模型：（2）這是一個(gè)Bernoulli方程的初值問(wèn)題，其解為。在這個(gè)模型中，我們考慮了資源量對(duì)人口增長(zhǎng)率的阻滯作用，因而稱為阻滯增長(zhǎng)模型（或Logistic模型）。其圖形如圖3-3所示。圖3-34.6模型檢驗(yàn)從圖3-3可以看出，人口總數(shù)具有如下規(guī)律：當(dāng)人口數(shù)的初始值時(shí)，人口曲線（虛線）單調(diào)遞減，而當(dāng)人口數(shù)的初始值時(shí)，人口曲線（實(shí)線）單調(diào)遞增；無(wú)論人口初值如何，當(dāng)，它們皆趨于極限值。4.7模型討論阻滯增長(zhǎng)模型從一定程度上克服了指數(shù)增長(zhǎng)模型的不足，可以被用來(lái)做相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)期的人口預(yù)測(cè)，而指數(shù)增長(zhǎng)模型在做人口的短期預(yù)測(cè)時(shí)因?yàn)槠湫问降南鄬?duì)簡(jiǎn)單性也常被采用。不論是指數(shù)增長(zhǎng)模型曲線，還是阻滯增長(zhǎng)模型曲線，它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即均為單調(diào)曲線。但我們可以從一些有關(guān)我國(guó)人口預(yù)測(cè)的資料發(fā)現(xiàn)這樣的預(yù)測(cè)結(jié)果：在直到2030年這一段時(shí)期內(nèi)，我國(guó)的人口一直將保持增加的勢(shì)頭，到2030年前后我國(guó)人口將達(dá)到最大峰值16億，之后，將進(jìn)入緩慢減少的過(guò)程——這是一條非單調(diào)的曲線，即說(shuō)明其預(yù)測(cè)方法不是本節(jié)提到的兩種方法的任何一種。還有比指數(shù)增長(zhǎng)模型、阻滯增長(zhǎng)模型更好的人口預(yù)測(cè)方法嗎？事實(shí)上，人口的預(yù)測(cè)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，影響人口增長(zhǎng)的因素除了人口基數(shù)與可利用資源量外，還和醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素有關(guān)，特別在做中短期預(yù)測(cè)時(shí)，我們希望得到滿足一定預(yù)測(cè)精度的結(jié)果，比如在剛剛經(jīng)歷過(guò)戰(zhàn)爭(zhēng)或是由于在特定的歷史條件下采納了特殊的人口政策等，這些因素本身以及由此而引起的人口年齡結(jié)構(gòu)的變動(dòng)就會(huì)變的相當(dāng)重要，進(jìn)而需要必須予以考慮。

5模型作圖圈：人口的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)綠線：人口的指數(shù)增長(zhǎng)曲線（=101654（1982人口），r=0.01116）紅線：人口的Logistic增長(zhǎng)曲線（p*=1600000000，p0=）左圖為指數(shù)增長(zhǎng)曲線與真實(shí)數(shù)據(jù)的誤差圖，右圖為L(zhǎng)ogistic增長(zhǎng)曲線與真實(shí)數(shù)據(jù)的誤差圖

6參考文獻(xiàn)

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