2023年福建省廈門高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1—.\

1.已知a=(cost/,sine),b=(cos(-a),sin(-a)),那么〃石=o是a=匕7+^(攵eZ)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.如圖，正方體-的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)E在線段4G上，八"分別是AD、CD的中點(diǎn)，則下列

A.FM"A3,B.存在點(diǎn)E,使得平面8所//平面

C.平面D.三棱錐B-CEE的體積為定值

3.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=a*-a'+2(。＞()且。。1),若g(2)=a,則

函數(shù)/(一+2耳的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(F,1)C.(1,-Hx))D.(-1,+℃)

4.已知/3=485(的+9)卜＞0,/＞0,陷＜|^€/?)的部分圖象如圖所示，則/(x)的表達(dá)式是()

37t

A.2cos一1+一B.2cosx+—

24I4

3兀

C.2cos2x--D.2cos—x---

I424

5.若向量五=(0,—2),G=(G,1),則與2記+3共線的向量可以是()

A.(73,-1)B.(-1,73)C.(-73,-1)D-(-1,-73)

6.已知/,機(jī)是兩條不同的直線，機(jī)J■平面a,則“///a"是"/JL/n”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.設(shè)函數(shù)/(*)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+2)=2/(x),且當(dāng)xw(0,2］時(shí),f(x)=-x(x-2).若對(duì)任意xe(-OO,m],

40

都有f(x)<—,則m的取值范圍是().

91923

-00,—-00,-----C.(-a),7]D.—00,——

433

8.函數(shù)/(x)=Asin(的+。)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與/(x)的圖象交于M,N兩點(diǎn)，且M在V軸

上，則下列說(shuō)法中正確的是

A.函數(shù)f(x)的最小正周期是2兀

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（g兀,0）成中心對(duì)稱

C.函數(shù)/（x）在（-=,-芻）單調(diào)遞增

36

D.函數(shù)/（X）的圖象向右平移二后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

12

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=三（i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)xe［2,3O］時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的X不小于103的概率是（）

11.在區(qū)間［-11］上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)左，使直線,y=%（x+3）與圓Y+y2=i相交的概率為（）

1172V2

A.-B.-C.—D.—

2424

Q2

12.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足S6-2/=2,則0?的最小值為

a2

A.8B.16C.24D.36

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人，分為甲、乙兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示,

若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81,乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73,則x-y的值為.

甲乙

7

727oy

6x85

09

14.已知等差數(shù)列{《,}的各項(xiàng)均為正數(shù)，6=1,且出+4=6,若〃—4=10,則與一4

15.如圖△ABC是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)近=2瓶,

AB=A，則AEDE的面積為.

16.已知集合A={x|x4l,xeZ},8={x|0W2}，則=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

-23"

17.（12分）已知矩陣4=,的一個(gè)特征值為4,求矩陣A的逆矩陣A-、

t1

18.（12分）已知點(diǎn)A為圓C：（x—1『+丁=1上的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)P（（）,4）作直線。4的垂線（當(dāng)A、O

重合時(shí)，直線Q4約定為＞軸），垂足為以。為極點(diǎn)，N軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程；

（\OA\

（2）直線/的極坐標(biāo)方程為psin夕+§=4,連接04并延長(zhǎng)交/于3,求蘇的最大值.

19.（12分）已知橢圓后:，+口=1（。＞。＞0）的右焦點(diǎn)為入，過(guò)尸2作左軸的垂線交橢圓E于點(diǎn)A（點(diǎn)A在x軸上

ab~

方），斜率為M左＜0）的直線交橢圓E于A,8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線AC交橢圓￡于點(diǎn)C,且直線AC交

N軸于點(diǎn)￡＞.

（b2\\

（D設(shè)橢圓E的離心率為e,當(dāng)點(diǎn)8為橢圓E的右頂點(diǎn)時(shí)，。的坐標(biāo)為0,-—,求e的值.

Ia3J

（2）若橢圓E的方程為］+y2=i,且k〈當(dāng),是否存在攵使得及|48|=口。|成立？如果存在，求出攵的值;

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(12分)將棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-44Gq截去三棱錐2-ACO后得到如圖所示幾何體，。為4G的中點(diǎn)?

(1)求證：08〃平面AC2；

(2)求二面角c—A4-G的正弦值.

/、f/(%),x<3

21.(12分)已知/(x)=|x-l|+l,/=:.

[12-3x,x>3

(1)解不等式2x+3；

(2)若方程E(x)=a有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.(10分)已知拋物線C：y2=2px(〃>0)上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4.

(1)求p的值；

(2)設(shè)P(面,%)(0</42)為拋物線G上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作圓(1+1)2+^=1的兩條切線分別與3，軸交于4、B

兩點(diǎn).求|A@的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由￡石=0,可得cos2a=0,解出即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

解：因?yàn)閍=（cosa,sinc）,石=（以）5（一。）,5111（一。））且￡石=0

，coso?cos（-a）+sina*sin（-a）=cos2a-sin2a-cos2a=0.

ITIT

2a=Ikjt±—,解得a=Z4±w（Z￡Z）.

IT

:是a=k兀+巴（ksZ）的必要不充分條件.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐B-CE尸以三角

形8CR為底，則高和底面積都為定值，判斷D.

【詳解】

在A中，因?yàn)榉謩e是AD,CZ）中點(diǎn)，所以用W//AC〃4￡,故A正確；

在B中，由于直線8尸與平面CGR。有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)￡，使得平面8EF//平面CG9。，故B錯(cuò)誤；

在C中，由平面幾何得BMLb,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合線面垂直的判定定理得出80_1平

面CC7,故C正確；

在D中，三棱錐B-CE尸以三角形8b為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐B-CE尸的體積為定值，故D正

確；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.

3.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，進(jìn)而求出。，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.

【詳解】

依題意有./■(x)+g(x)=a*-a7+2,①

f(-x)+g(-x)=尸-優(yōu)+2=—f(x)+g(x),②

①一②得f(x)=ax-ax,g(x)=2,又因?yàn)間(2)=a,

所以a=2,/(x)=2'-2r,/(x)在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(f+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—1,+co).

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.

4.D

【解析】

71

由圖象求出A以及函數(shù)的最小正周期T的值，利用周期公式可求得①的值，然后將點(diǎn)-,2的坐標(biāo)代入函

67

數(shù)y=/(x)的解析式，結(jié)合。的取值范圍求出。的值，由此可得出函數(shù)y=/(x)的解析式.

【詳解】

2TV3

由圖象可得A=2,函數(shù)y=/(x)的最小正周期為T=2x(0=---=

T2

將點(diǎn)依21代入函數(shù)y=/(x)的解析式得/闈=23序2+9)=2,得cos,+?

式717171371771c71

??,——<(p<—,：.——<夕+一<—,貝—=0,(p=——,

2244444

因此，/(%)=2C0S^y-^.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

5.B

【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量2沅+“，然后利用向量平行的條件判斷即可.

【詳解】

?.?慶=（0,-2）,弁

2m+n=（6,—3）

卜1,伺=一￥（后,一3）

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定，屬于基礎(chǔ)題，在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)，切

不可錯(cuò)位.

6.A

【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)mJL平面a時(shí)，若/〃a"則成立，即充分性成立，

若LLa則/〃a或/ua,即必要性不成立，

則“/〃a”是充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題

7.B

【解析】

求出/*）在xe（2〃,2〃+2］的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)xe(2〃,2"+2]時(shí)，X-2MG(0,2],/(%)=2nf(x-2n)=-2"(x-2n)(x-2n-2),

40

/(x)m"=2",X4<—<8,所以，”至少小于7,此時(shí)/(x)=-23(x-6)(x—8)，

令/(》)=當(dāng)，得-23(X-6)(X-8)=R解得或％=§，結(jié)合圖象，故屋?

99^35

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

8.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)/(x)=Asin(2x+《)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

TT1TT7171

根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為二，所以=(_：)=u，解得T=1，

32362

所以/(x)的最小正周期T=〃，不妨令A(yù)>0,0<。<?,由周期7=%，所以。=2,

又/(4]=0,所以0=。，所以/(x)=Asin[2x+g

Arr(d

-0-2x+—=k7r,keZ,解得犬=必^一生，左eZ當(dāng)攵=3時(shí)，》=《-，即函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為辦°

326

即函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)「辦成中心對(duì)稱.故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得

三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為。+6①、OeR)的形式，可以確定z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于的象限.

【詳解】

解：復(fù)數(shù)z==="2=-(2i_/)=-l-2i

II

故復(fù)數(shù)二對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(-1,-2)位于第三象限

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出x的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.

【詳解】

程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的x的范圍是[23,247],

747-1031449

所以輸出的X不小于103的概率為——5.

247-2322414

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

利用直線y=A：(x+3)與圓x2+>2=i相交求出實(shí)數(shù)人的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【詳解】

由于直線丁=左(％+3)與圓f+y2=l相交，則盟_<1,解得—也〈上〈也.

收+144

9也

因此，所求概率為D46.

1---------

24

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

方法一：由題意得56-253=(品-53)-53=2,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得SLSOW-SSS成等差數(shù)列，設(shè)S3=x(x>0),

則S$—&=x+2,S,-S6=X+4,則支=誓=(%+.+丁尸+竺+822、辟+8=16,

。23%4+。2+/S3xXvX

當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)等號(hào)成立，從而必1的最小值為16,故選B.

a2

方法二：設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛“〃｝的公差為d,由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及§6-2S3=2,化簡(jiǎn)可得

6q+^^4-2(34+^^4)=2,即"=，，貝！J3〃8-=3(%+6d)-=3(%+、)=3“十也十口？鼠.也+8=16,當(dāng)且

229a2%%23%-123%

僅當(dāng)3%=吃,即4=2時(shí)等號(hào)成立,從而各的最小值為16,故選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-3

【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念，求出x、y的值.

【詳解】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：

甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為(x(72+77+80+x+86+90)=81,

解得x=0；

又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73,貝ljy=3；

x-y=0-3=-3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于簡(jiǎn)單題.

14.10

【解析】

設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為d>0,根據(jù)q=l,且%+4=/，可得2+6d=l+71,解得d,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)公差為d,

因?yàn)?+4=6，

所以q+d+G+5d=%+7d,

所以d=4=1,

所以=(p-q)d=10xl=10

故答案為：10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.百

【解析】

根據(jù)3個(gè)全等的三角形，得到4尸=。6,設(shè)A尸=x=DB,求得AO=3x,利用余弦定理求得x,再利用三角形的

面積公式，求得三角形EOF的面積.

【詳解】

由于三角形A3C是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，所以=在三角

形ABD中，ZADB=180-60=120.設(shè)A尸=x=,則AD=3x.由余弦定理得13=f一6/cos120°,

解得x=l.所以三角形紅中邊長(zhǎng)為2,面積為]x2x2xsin60=6.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的面積計(jì)算公式、余弦定理、全等三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

16.{0,1}

【解析】

直接根據(jù)集合A和集合B求交集即可.

【詳解】

解：A={x|x〈l,xeZ},

8={x[0<2},

所以4口3={0,1}.

故答案為：{0,1}

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

-A-

.22.

【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式可得/(4)=(4-2)(4-1)-3/=0,可得f=2,進(jìn)而可得矩陣A的逆矩陣A，

【詳解】

因?yàn)榫仃嘇的特征多項(xiàng)式/(田=(丸-2)(；1-1)一3乙所以/(4)=(4一2)(4-1)-31=0,所以，=2.

-23'

因?yàn)锳=,且2x1—2x3=T0(),

21

.

一1_13

-3-1--

-44

T-4

I一

所以AT=一11

2--

-222

-4V

一

一

【點(diǎn)睛】

本題考查矩陣的特征多項(xiàng)式以及逆矩陣的求解，是基礎(chǔ)題.

18.(1)Q=4sin6；(2)?通.

8

【解析】

(1)設(shè)/的極坐標(biāo)為(Q,。)，在AOPM中，有夕=4sin。，即可得結(jié)果；

⑵設(shè)射線。4：0=a,圓C的極坐標(biāo)方程為夕=2cos8,聯(lián)立兩個(gè)方程，可求出|叫聯(lián)立

/sm,+S=4可得依用，則計(jì)算可得靄=%m(2￡+?)+手，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.

6=a?'

【詳解】

（1）設(shè)M的極坐標(biāo)為（p,。），在AOPM中，有夕=4sin。,

???點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程為P=4sin0:

(2)設(shè)射線。4：0=a,as,-2J,圓C的極坐標(biāo)方程為。=2cose,

由《得：|OA|=/?|=2cosa,

0=a

psinf(9+—|=4|OB|=02=——4

由)得

I3J?sin|I/，

0=a

\OA\_2cosa

一|OB|一4

sin[a+￡|

1.(叫

=—cosa-sina+—

2I3)

1.(.n.70

=—coscrsinsin?cos—+cos<zsin-

2I3二

1.62

=-sinacosad-----cosa

44

="sin2a+g(cos2a+1)

_1/兀、6

——sin2aH—4-----,

4I3)8

Qa，等)

2?！髫?兀

-----<2aH—<—

3339

???當(dāng)2a+安，即a*時(shí)，儡)2+下）

8，

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

19.(1)e=~；(2)不存在，理由見(jiàn)解析

2

【解析】

(b2}

(D寫出A4一,根據(jù)AD_LAB,斜率乘積為-1,建立等量關(guān)系求解離心率;

a

(2)寫出直線A8的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，計(jì)算出弦長(zhǎng)|A8|,根據(jù)垂直關(guān)系同理可得|AC|,利用等

式及|AB|=|Aq即可得解.

【詳解】

(1)由題可得Ac,—,過(guò)點(diǎn)A作直線AC交橢圓￡于點(diǎn)C,且直線AC交>軸于點(diǎn)O.

a

（h21

點(diǎn)B為橢圓E的右頂點(diǎn)時(shí)，。的坐標(biāo)為0,——-a

（a3

ABLAC即AD_LAB,

I

a

kk--11~o

KADKAB_，a3a.a__j

0-cc-a

化簡(jiǎn)得：2c2一3。。+。2=（）,

即2/—3e+l=0,解得c或e=l(舍去),

2

所以e=：；

2

(2)橢圓E的方程為與+>2=1,

kx-k+-^-,后

由(1)可得A,AB-.y

22

也

y-kx-k+

2

聯(lián)立得：（1+2后2）d-2A:（2jl-&）x+2公一20k-l=O,

X2，,

—+V=1

I2

設(shè)B的橫坐標(biāo)與，根據(jù)韋達(dá)定理1xXB=2嚴(yán);:祟-1

2k2-2y/2k-\

即4k一旦

1+2公2

所以|AB|=JiTF忖7=一加芯,：片

同理可得|AC|=-?史

1+2I

若存在A使得及|AB|=|AC|成立,

則-密品荷票,

化簡(jiǎn)得：/公+左+痣=0，/<0,此方程無(wú)解，

所以不存在Z使得0149|=IAC|成立.

【點(diǎn)睛】

此題考查求橢圓離心率，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，關(guān)鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋

達(dá)定理在解決解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.

20.(1)見(jiàn)解析；(2)B.

3

【解析】

(D取AC的中點(diǎn)連接8M、DM,連接BQ-證明出四邊形MBOA為平行四邊形，可得出OW/MA，然

后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AA、44、4A所在直線分別為％、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可

求得二面角c-A2-G的余弦值，進(jìn)而可求得其正弦值.

【詳解】

(1)取AC中點(diǎn)/，連接MO、BM.RM,

?.?AA〃CC|且M=CG，；?四邊形MG。為平行四邊形，.?.4?！?。|且4。=46,

???0、M分別為4G、4。中點(diǎn)，，4〃〃4。且4知=4。，

則四邊形A410M為平行四邊形，,OM〃AA且。例=AA1，

???A4,HBB\且A4,=84,OMHBB、且OM=BB],

所以，四邊形85QM為平行四邊形，二臺(tái)加〃。。且6M=。2，

四邊形MBOB、為平行四邊形，.1OB//D.M,

MD】cz平面ACO|,OBZ平面ACZ）,,OB//平面ACD,

(2)以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD、4與、4A所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系4一孫z,

則。(2,2,2)、4(0,0,2)、C,(2,2,0),D,(2,0,0),

麗=（2,0,—2）,/=（2,2,0）,萌=（0,2,0）,

設(shè)平面的法向量為五=(%,y,zj,

m-AC-0戶1+2必=0

傳3—24=0?取玉=1,貝！lx=-1Z1=l,.?.：〃=（1,一1,1）,

海?西'=0

設(shè)平面AAG的法向量為7=(9,%,Z2),

2y2=0

n-D{C}=0得鼠g=。'取—°,

由z2=1,=（1,0,1）,

n-AD1=0

-一m-n2V6

cos<m-n>=...=-j=_-j==—,sin<m,n>=Jl-cos2<m,n>=，

|m|-|n|v3x5/23

3

因此，二面角c—AA—G的正弦值為3.