專題06 全等三角形常見五種輔助線添法專訓（解析版）

專題06全等三角形常見五種輔助線添法專訓【目錄】輔助線添法一倍長中線法輔助線添法二截長補短法輔助線添法三旋轉(zhuǎn)法輔助線添法四作平行線法輔助線添法五作垂線法【經(jīng)典例題一倍長中線法】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．【常見模型】【例1】（2021春·遼寧大連·八年級大連市第三十四中學?？计谥校┤鐖D，四邊形、都是正方形，是的中點，連接、．(1)當、、三點共線時，求證：，且．(2)當、、三點不共線時，（1）中的結(jié)論是否成立，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)成立，證明見解析【分析】（1）延長交于點N，連接，通過證明，得出即點M為中點，再證明，得出為等腰直角三角形，即可求證；（2）過點E作；延長，交于點N；延長交于點P；與相交于點Q；連接；用和（1）一樣的方法即可證明．【詳解】（1）證明：延長交于點N，連接，∵四邊形為正方形，∴，∴，∵是的中點，∴，在和中，，∴∴，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴為等腰直角三角形，∵，∴，即點M為中點，∴．（2）過點E作；延長，交于點N；延長交于點P；與相交于點Q；連接；∵是的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴為等腰直角三角形，∵，∴，即點M為中點，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行證明．【變式訓練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，進而求得的取值范圍；（2）如圖②：繞著點D旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系得出即可得出結(jié)論；（3）將繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到可得，得出，證出，再由證明，得出，進而證明結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到∴（），∴，,即∵是邊上的中線，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴，即，∴；故答案為；（2）證明：如圖②：繞著點D旋轉(zhuǎn)得到∴（），∴，∵∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，將繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∴△DCF≌△BCH，∴∴∵∴，∴點A、B、H三點共線∵，∴∴，在和中，，∴（）∴，∵∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的三邊關(guān)系定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，通過旋轉(zhuǎn)得到構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.2（2022秋·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）已知中，（1）如圖1，點E為的中點，連并延長到點F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若，點E為邊一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點D在內(nèi)部，且滿足，，點M在的延長線上，連交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）通過證明，即可求解；（2）過點A引交于點F，通過得到，再通過即可求解；（3）過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明、，即可解決．【詳解】證明：（1）由題意可得：在和中∴∴（2）過點A引交于點F，如下圖：由題意可得：，且則又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴（3）證明：過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，如下圖：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．（2022秋·八年級課時練習）在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，直線于點．直線于點，連接，．（1）如圖1，若點，在直線的異側(cè)，延長交于點．求證：．（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時，，，求的長度．（3）若過點作直線于點．試探究線段、和的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）；（3）線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證得再根據(jù)，即可得到，得到．（2）延長與的延長線相交于點．證明，推出，求出的面積即可解決問題．（3）位置關(guān)系的證明比較簡單，數(shù)量關(guān)系分四種情形：當直線與線段交于一點時，當直線與線段交于一點時，當直線與線段的延長線交于一點時，當直線與線段的延長線交于一點時，畫出對應的圖形，利用三角形和梯形的面積公式分別證明即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1，直線于點，直線于點，，，，又為邊中點，，在和中，，，．（2）解：如圖2，延長與的延長線相交于點，直線于點，直線于點，，，，，又為中點，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論∵直線于點．直線于點，直線于點，∴，①如圖3，當直線與線段交于一點時，由（1）可知，，即，，，，∵，．②當直線與線段交于一點時，如圖，延長交的延長線于點．直線于點，直線于點，，，，又為邊中點，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如圖4，當直線與線段的延長線交于一點時．由（2）得：，，，∴，即，．④當直線與線段的延長線交于一點時，如圖，延長交的延長線于點．直線于點，直線于點，，，，，又為中點，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，以及三角形和梯形的面積公式的應用等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形熟練運用全等三角形的判定與性質(zhì)．【經(jīng)典例題二截長補短法】【模型分析】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系．截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段．該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）．【模型圖示】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段．例：如圖，求證BE＋DC＝AD方法：①在AD上取一點F，使得AF＝BE，證DF＝DC；②在AD上取一點F，使DF＝DC，證AF＝BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE＋DC＝AD方法：①延長DC至點M處，使CM＝BE，證DM＝AD；②延長DC至點M處，使DM＝AD，證CM＝BE【例2】（2023·全國·九年級專題練習）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫出答案）(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，證明見解析．【分析】（1）在AE上取一點F，使AF=AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根據(jù)三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由線段的和差可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點G，使EG=ED，連接CG，根據(jù)全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG，進而證得△CFG是等邊三角形，就有FG=CG=BD，從而可證得結(jié)論．【詳解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一點F，使AF=AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD邊的中點，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案為：AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．證明：在AE上取點F，使AF=AB，連結(jié)CF，在AE上取點G，使EG=ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等邊三角形，∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，能熟練應用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022秋·全國·八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析；（2）；理由見解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題；（2）延長到點，使，連接，證明，可得，即（3）連接，過點作于，證明，，進而根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延長到點，使得，連接，如圖．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．（或者：，）．延長到點，使，連接，如圖2所示．由（1）可知，．為等邊三角形．，．，．．，為等邊三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3），，之間的數(shù)量關(guān)系為：．（或者：，）解：連接，過點作于，如圖3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國·八年級專題練習）閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．【思考引導】因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知條件和輔助線的作法，證得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代換得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的長；（2）在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖2，在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的長為5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，在△DEB和△DBC中，，∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟悉這些定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點．（1）如圖1，當點E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．【答案】（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，由此即可解題；（2）在AC邊上取一點M使AM=AB，構(gòu)造，根據(jù)即可得出答案；（3）畫出圖形，根據(jù)點E的位置分四種情況，當點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，可得，設(shè)，則；根據(jù)∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有，列方程；當點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，得出，設(shè)，則；∠BAC＝24°，根據(jù)AD為△ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內(nèi)角和列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD為△ABC的角平分線，即，∴；∴（2）如圖2，在AC邊上取一點M使AM=AB，連接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如圖，點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；當點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；如圖，點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度數(shù)為44°或104°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三旋轉(zhuǎn)法】【模型分析】旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等．注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個圖形的短邊共線），該方法常在半角模型中使用．【模型圖示】例：如圖，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求證BM＋CN＝MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE＝MN【例3】（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）已知：，，．(1)如圖1當點在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）由全等可知，所以當點在上時，為等腰三角形，依據(jù)已知計算即可．（2）因為兩個三角形中有一邊相等，只要找到這兩個底對應高之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案為：．（2）解：如下圖所示：過點作的邊上的高，過點作的邊上的高，由作圖及知：，，，（同角的余角相等），

在與中有：（），，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是使用分析法找到:兩個三角形面積相等時，底相等則高相等，從而構(gòu)造全等證明對應高相等．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）成立，理由見解析【分析】（1）典型的“夾半角模型”，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；（2）圖形變式題可以參考第一問的思路，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；【詳解】解：（1）證明：延長到，使得

連接

∵四邊形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）證明：延長到，使得

連接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的根據(jù)“夾半角模型”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋·天津和平·八年級?？计谥校┰谥?，，，是過A的一條直線，于點D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側(cè)，易得與，的關(guān)系是____________；（2）若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時，（），其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請予以證明；（3）若直繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，（），問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明．【答案】（1）；（2），證明過程見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件證明即可得解；（2）根據(jù)已知條件證明即可得解；（3）根據(jù)已知條件證明即可得解；【詳解】（1）在和中，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又，∴，即；故答案是：；（2）答：；證明：∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；（3）∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；【點睛】本題主要考查了全等三角形的綜合應用，準確分析證明是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）首先求出BE的長度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．【點睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四作平行線法】【例4】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點，且，連接交于點．求讓：【答案】見詳解【分析】過點D作DE∥AC，交BC于點E，根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì)得∠MDE=∠MEC，DE=CE，從而證明?EMD??CME，進而即可得到結(jié)論．【詳解】過點D作DE∥AC，交BC于點E，∵是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴是等邊三角形，∴BD=DE，∵，∴DE=CE，又∵∠EMD=∠CME，∴?EMD??CME，∴．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）DE＝3．【分析】（1）過點P作PF∥BC交AC于點F；證出△APF也是等邊三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS證明△PDF≌△QDC，得出對應邊相等即可；（2）過P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS證明△PFD≌△QCD，得出對應邊相等FD=CD，證出AE+CD=DEAC，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）如圖1所示，點P作PF∥BC交AC于點F．∵△ABC是等邊三角形，∴△APF也是等邊三角形，AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；（2）如圖2所示，過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．∵AC=6，∴DE=3．

【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定（AAS）與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定（AAS）與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．2．（2022秋·八年級課時練習）讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明．已知:如圖,E是BC的中點,點A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此,要證明AB=CD,必須添加適當?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中兩種對原題進行證明．圖(1):延長DE到F使得EF=DE圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F圖(3):過C點作CF∥AB交DE的延長線于F.【答案】選擇（1）（3）證明，證明見解析【分析】如圖(1)延長DE到F使得EF=DE,證明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,結(jié)合題干條件即可得到結(jié)論;如圖3,過C點作CF∥AB交DE的延長線于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,結(jié)合題干條件即可得到結(jié)論,【詳解】如圖(1)延長DE到F使得EF=DE在△DCE和△FBE中,∴△DCE≌△FBE（SAS)∴∠CDE=∠F,BF=DC∵∠BAE=∠CDE∴BF=AB∴AB=CD如圖3,過C點作CF∥AB交DE的延長線于F在△ABE和△FCE中∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=FC∵∠BAE=∠CDE∴∠F=∠CDE∴CD=CF∴AB=CD【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用三角形全等的性質(zhì)證明3．（2023春·全國·七年級專題練習）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點M．請?zhí)骄浚?1)如圖（1），當點E在線段AC上，點D在AB延長線上時，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖（2），當點E在CA的延長線上，點D在AB的延長線上時，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），當點E在CA的延長線上，點D在線段AB上（點D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點M，若CE＝2BD，請直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)DM=EM．理由見詳解；(2)成立，理由見詳解；(3)MD=ME．【分析】（1）DM=EM；過點E作EF//AB交BC于點F，然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；（2）成立；過點E作EF//AB交CB的延長線于點F，然后利用平行線的性質(zhì)與已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；（3）MD=ME．過點E作EF//AB交CB的延長線于點F，然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件得到△DBM∽△EFM，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；【詳解】（1）解：DM=EM；證明：過點E作EF//AB交BC于點F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中，∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．（2）解：成立；證明：過點E作EF//AB交CB的延長線于點F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；（3）解：過點E作EF//AB交CB的延長線于點F，∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF∴△DBM∽△EFM，∴BD：EF=DM：ME，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠F=∠ABC，∴∠F=∠C，∴EF=EC，∴BD：EC=DM：ME=1：2，∴MD=ME．【點睛】本題主要考查了三角形綜合，涉及了等腰三角形性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，利用平行構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五作垂直法】【例5】（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．(1)如圖1，是中的遙望角．①直接寫出與的數(shù)量關(guān)系___________；②連接AE，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，四邊形ABCD中，，點E在BD的延長線上，連CE，若已知，求證：是中的遙望角．【答案】(1)①；②，理由見解析(2)見解析【分析】（1）①運用角平分線的定義，以及三角形外角的性質(zhì)，推導得到，，即、可得出；②過點作交延長線于點，過點作交于點，過點作交延長線于點，運用角平分線的性質(zhì)及判定定理可證，由，可得；（2）過作交于點，過作交延長線于點，先證四邊形是矩形，再證，最后證得平分，平分即可．【詳解】（1）解：①∵平分，即，∴．∵平分，即，∴．又∵，∴．②猜想：，理由如下：如圖2，過點作交延長線于點，過點作交于點，過點作交延長線于點，∵平分，，，∴，同理，，∴，∵，，∴平分，即，∵，∴．（2）證明：如圖3，過作交于點，過作交延長線于點，∵，，，∴，，，∴四邊形是矩形，∴，即，∵，∴，∴，∵，，∴，在與中，∵，∴，∴，∵，，∴平分，∴，即平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，∵平分，∴是中的遙望角．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)及判定，熟練掌握角平分線判定定理及相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022秋·八年級課時練習）如圖1，已知四邊形ABCD，連接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延長CA到點E，使得AE＝AD，點F為AB上一點，連接FE、FD，F(xiàn)D交AC于點G．（1）求證：△EAF≌△DAF；（2）如圖2，連接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠DCF＝45°．【分析】（1）由垂直定義可得∠CAD=∠ACB=90°，再根據(jù)題意得∠EAF=∠DAF，即可證得結(jié)論；（2）過點F作FM⊥FA交AC于點M，由“AAS”可證△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可證△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．【詳解】證明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS）；（2）如圖2，過點F作FM⊥FA交AC于點M，∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，∴∠FMA＝45°＝∠FAM，∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，∵EF＝FC，∴∠FEM＝∠FCA，在△AEF和△MCF中，，∴△AEF≌△MCF（AAS），∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，∵△EAF≌△DAF，∴∠EFA＝∠DFA，∴∠DFA＝∠MFC，∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∵DF＝EF＝CF，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠DCF＝45°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【分析】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·八年級課時練習）如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證AB=CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形請用二種不同的方法證明．【答案】見解析【分析】方法一：如圖1，作BF⊥DE交DE的延長線于點F，CG⊥DE于點G，先證明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再證明△ABF≌△DCG即可；方法二：如圖2中，作CF∥AB交DE的延長線于點F，先證明CF=CD，再證明△ABE≌△FCE即可．【詳解】證明：方法一：如圖1，作BF⊥DE交DE的延長線于點F，CG⊥DE于點G．∴∠F=∠CGE=90°，在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE（AAS），∴BF=CG，在△ABF和△DCG中，，∴△ABF≌△DCG（AAS），∴AB=CD；方法二：如圖2，作CF∥AB交DE的延長線于點F．∴∠F=∠BAE．又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D，∴CF=CD，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB=CF，∴AB=CD．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．【重難點訓練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【分析】（1）延長至，使，連接，然后再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，利用等量代換可得；（2）把，代入（1）的結(jié)論里，再解不等式即可．【詳解】（1）證明：如圖延長至，使，連接，∵為中邊上的中線，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的對應邊相等），在中，由三角形的三邊關(guān)系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，利用倍長中線的方式構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①見解析；②；（3）MN=2BD，理由見解析【分析】（1）①只需要利用SAS證明△CED≌△ABD即可；②根據(jù)△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三邊的關(guān)系可得即則，再由，可得；（2），延長BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后證明∠BAE=∠MBN，則可證△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【詳解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中線，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案為：；（2）MN=2BD，理由如下：如圖所示，延長BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，∵BC=BN，∴AE=BN，∵∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又∵AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，∵BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握倍長中線法證明兩個三角形全等．3．（2023春·全國·七年級專題練習）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點E，交于F，且．求證：．【答案】（1）（2）C（3）見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由三角形三邊關(guān)系得到，即可求出；（3）延長到點M，使，連接，證明，得到，由得到，進而推出，即可證明．【詳解】解：（1）如圖2，延長到點E，使，連接．∵為的中線，∴，又∵，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，故答案為：C；（3）證明：延長到點M，使，連接，∵是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）利用“倍長中線”法，延長AD，然后通過全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；（2）取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，通過“倍長中線”思想全等證明，進而得到AB=CQ，AD=EQ，然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論；（3）同（2）處理方式一樣，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，結(jié)合“倍長中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【詳解】證：（1）如圖所示，延長AD至P點，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點，BD=CD，在△ABD與△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點，D、E為BC三等分點，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時，延長AE，交CQ于K點，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如圖所示，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M為DE中點，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時，延長AE，交CN于T點，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【點睛】本題考查全等三角形證明問題中輔助線的添加，掌握“倍長中線”的基本思想，以及熟練運用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．【答案】(1)，證明見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）延長至F，使，連接，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）在上截取，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）延長至G，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：（1）如圖1，延長至F，使，連接，則，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）證明：如圖3，在上截取，使，連接∵分別平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）證明：如圖4：延長至G，使，連接，則，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．【點睛】本題主要考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，靈活運用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在銳角中，，點D，E分別是邊上一動點，連接BE交直線于點F．(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，點N是的中點，連接．在點D，E運動過程中，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）如圖1中，在射線上取一點K，使得，證明，推出，再證明，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：．首先證明．如圖2中，延長到Q，使得，連接，證明，推出，延長到P，使得，則是等邊三角形，再證明，推出，，推出是等邊三角形，可得結(jié)論【詳解】（1）解：如圖1中，在射線上取一點K，使得，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如圖2中，延長到Q，使得，連接，∵，∴，∴，，∴，∴．延長到，使得，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．7．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明見解析；(3)結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論是：EF=BE-FD．證明見解析．【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）延長CB至M，使BM=DF，連接AM．證明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出EF=ME，即EF=BE+BM，則可得出結(jié)論；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．證明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：EF=BE+FD．延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案為：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．證明：如圖②中，延長CB至M，使BM=DF，連接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：結(jié)論EF=BE+FD不成立，結(jié)論：EF=BE-FD．證明：如圖③中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．8．（2023·全國·九年級專題練習）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，見解析；（3）結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，見解析【分析】（1）延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，證明△ABG≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再證明△GAE≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝EG，結(jié)合圖形計算，證明結(jié)論；（2）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，仿照（1）的證明方法解答；（3）在EB上截取BH＝DF，連接AH，仿照（1）的證明方法解答．【詳解】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如圖1，延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠2+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如圖3，在EB上截取BH＝DF，連接AH，同（2）中證法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠FAE，在△HAE和△FAE中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求證：BE＝AD；（2）若將等腰△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請你用圖2證明你的猜想）【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝AD，理由見解析．【分析】（1）證出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出結(jié)論；（2）圖2、圖3、圖4同樣證出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：圖2、圖3、圖4中，BE＝AD，以圖2為例，理由如下：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．【點睛】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．10．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于點M，連接MC．(1)求證：BE＝AD；(2)用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；(3)當時，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3)等腰直角三角形．【分析】（1）利用SAS證明，即可得BE=AD；（2）根據(jù)得出，再利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出的度數(shù)；（3）先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出CP=CQ，，然后得，進而得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，，，在和中，，，．（2）解：如圖1，，，在中，，====，在中，==．（3）解：為等腰直角三角形．證明：如圖2，由（1）得BE=AD，AD，BE的中點分別為點P、Q，，，，與中，，，，又，，，為等腰直角三角形．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理等知識，準確找到全等三角形是解決此題的關(guān)鍵．11．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，點D在內(nèi)，，，點E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說是等腰三角形，小明說是等邊三角形，___________的說法更準確，并說明理由；(3)連接，若，求的長．【答案】(1)(2)小明，理由見解析(3)5【分析】（1）首先證明△DBC是等邊三角形，推出∠BDC=60°，可證明△ADB≌△ADC，繼而推出∠ADB=∠ADC進行計算即可；（2）小明更準確，△ABE是等邊三角形．只需證明△ABD≌△EBC即可；（3）首先證明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的長，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的說法更準確，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等邊三角形．（3）解：連接DE，如圖所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖1，已知△ABC、△ADE都是等邊三角形，點E在直線BC上，F(xiàn)在直線AC上，且FE＝EA，DE與AB相交于點G，連接BD、EF．（1）如圖1，當點E在線段BC上時，①求證：∠BAE＝∠BDE；②求證：BD＋CF＝BC．（2）如圖2，如果點E在線段BC的延長線上，其他條件不變，請直接寫出線段BD、CF、BC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）CF＝BC+BD，理由見解析【分析】（1）①先證明得到,得到，從而證得∠BAE＝∠BDE；②結(jié)合，得到，繼而證明，得到，結(jié)合圖形即可得到BD＋CF＝BC；（2）先證，得到，繼而證明，得到，結(jié)合圖形即可得到CF＝BC+BD；【詳解】解：①∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴=DE，,∴，∴，∴，∴，∵∴∠BAE＝∠BDE②∵,∴，∵∠DBE＝∠DBA+∠ABC=60o+60o=120o,又∠ECF＝180o-∠ACB=180o-60o=120o,∴∠DBE=∠ECF∵FE＝EA∴∠EAC=∠EFA∴又，而∴∴∠EFA=∠BED又∵FE＝EA=DE∴∴,∴（2），簡證如下：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，同理可得：，得到，，由，得到，又FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴又，而，∴∠DAB＝∠BED，∴∠EFA＝∠BED，∴∴【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）在內(nèi)有一點，過點分別作，，垂足分別為，．且，點，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請說明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的條件和，可以證明，從而可以得到；（2）作輔助線，過點作，交于點，從而可以得到，然后即可得到，，再根據(jù)題目中的條件可以得到，即可得到，然后即可得到，，具有的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：過點作，交于點，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．【點睛】本題考查全等三角形的判定、解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．（2022秋·八年級課時練習）在中，，，點為直線上的一個動點（不與點，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連．（1）如圖1，當點在線段上時，①與的位置關(guān)系是______；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，當點在線段的延長線上時，（1）中的兩個結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請寫出正確的結(jié)論再給出證明．【答案】（1）①垂直；②；（2）位置關(guān)系：垂直，數(shù)量關(guān)系：，證明見解析；【分析】（1）①先求證，得到，從而求得，即可求解；②根據(jù)①中的全等三角形，得到，從而求得；（2）先求證，得到，，從而求得，【詳解】解：（1）∵，∴∵∴又∵，∴∴，①∴，∴②∴（2）位置關(guān)系：垂直，數(shù)量關(guān)系：，證明如下：∵，∴∴∵∴又∵，∴∴，∴∴又∵∴【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法及有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD還存在（1）中的關(guān)系嗎？請寫出結(jié)論并說明理由．（3）將圖①中的△COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【分析】（1）延長BD交AC于點E．易證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可證∠AED=∠BOD=90o即可；（2）延長BD交AC于點F，交AO于點G．易證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90o即可；（3）BD交AC于點H，AO于M，可證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90o即可．【詳解】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明：延長BD交AC于點E．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90o，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，

∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90o，∴AC⊥BD；（2）存在，證明：延長BD交AC于點F，交AO于點G．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90o，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．證明：BD交AC于點H，AO于M，∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90o，∴AC⊥BD．

．【點睛】本題考查了三角形旋轉(zhuǎn)變換中對應相等的位置與數(shù)量關(guān)系，掌握三角形全等的證明方法，及其角度計算是解題關(guān)鍵．16．（2021秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）[發(fā)現(xiàn)]：（1）如圖1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過點A作AH⊥BC于點H，求證：AH=BC．[拓展]：（2）如圖2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，點D、B、C在同一條直線上，AH為△ABC中BC邊上的高，連接CE．則∠DCE的度數(shù)為________，同時猜想線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．[應用]：（3）在圖3、圖4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面內(nèi)有一點P，滿足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，請求出點A到BP的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）∠DCE的度數(shù)為90°，CE+2AH=CD，理由見解析；（3）或．【分析】發(fā)現(xiàn)：根據(jù)同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根據(jù)AAS證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得結(jié)論；拓展：證明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度數(shù)為90°，線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系；應用：如圖3，過點A作AH⊥BP于點H，連接AP，過A作AD垂直于AP，交PB于點D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根據(jù)DP=BP-BD=6-1=5，AH⊥DP，即可得點A到BP的距離；同理如圖4，過點A作AH⊥BP于點H，連接AP，