專(zhuān)題06 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決有關(guān)將軍飲馬問(wèn)題之壓軸題四種模型全攻略(解析版)_第1頁(yè)
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專(zhuān)題06利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決有關(guān)將軍飲馬問(wèn)題之壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類(lèi)型一幾何圖形中的最小值問(wèn)題】 1【類(lèi)型二實(shí)際問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題】 13【類(lèi)型三一次函數(shù)中線段和最小值問(wèn)題】 19【類(lèi)型四一次函數(shù)中線段差最大值問(wèn)題】 28【典型例題】【類(lèi)型一幾何圖形中的最小值問(wèn)題】例題:(2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè))如圖,是的角平分線,的面積為12,長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是,上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是()A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【分析】作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),由是的角平分線,得到點(diǎn)一定在上,過(guò)作于,交于,則此時(shí),的值最小,的最小值,過(guò)作于,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】解:作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),是的角平分線,點(diǎn)一定在上,過(guò)作于,交于,則此時(shí),的值最小,的最小值,過(guò)作于,的面積為12,長(zhǎng)為6,,垂直平分,,,,的最小值是4,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是正確的作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和利用垂直平分線的性質(zhì)證明的最小值為三角形某一邊上的高線.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在中,,,面積是10;的垂直平分線分別交,邊于E、D兩點(diǎn),若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為(

A.7 B.9 C.10 D.14【答案】A【分析】連接,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得,周長(zhǎng),再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積求出,,即可得出答案.【詳解】解:如圖所示.連接,

∵是的垂直平分線,∴,∴周長(zhǎng).連接,∵,點(diǎn)F是的中點(diǎn),∴,∴.∵,∴,,∴周長(zhǎng)的最小值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求線段和最小值等,判斷周長(zhǎng)的最小值是解題的關(guān)鍵.2.(2023秋·河南許昌·八年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末)如圖,等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4,面積是18,腰的垂直平分線分別交,邊于E,F(xiàn)點(diǎn).若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn),點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為(

A.4 B.9 C.11 D.13【答案】C【分析】連接,由于是等腰三角形,點(diǎn)D是邊的中點(diǎn),故,再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng),再根據(jù)是線段的垂直平分線,可知,點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A,故的長(zhǎng)為的最小值,由此即可得出結(jié)論.【詳解】解:連接,

∵是等腰三角形,點(diǎn)D是邊的中點(diǎn),∴,∴,解得,∵的周長(zhǎng),又是定值,∴當(dāng)最小時(shí),的周長(zhǎng)最小,∵是線段的垂直平分線,∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A,∴,∴當(dāng)A、G、D三點(diǎn)共線時(shí),最小,最小值為的長(zhǎng),∴的周長(zhǎng)最短.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,垂線段最短,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.3.(2022春·七年級(jí)單元測(cè)試)如圖,中,,,,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)在的平分線上運(yùn)動(dòng),則的長(zhǎng)度最小值為(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】利用最短路徑直接將點(diǎn)對(duì)稱(chēng),然后連線求兩線段和的最小值即可.【詳解】將關(guān)于對(duì)稱(chēng)至點(diǎn),連接,∴,∴,∴,∵,,,且,∴是中點(diǎn),∴.∴故選:B【點(diǎn)睛】此題考查最短路徑,解題關(guān)鍵是將一個(gè)定點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)線段之和最短.4.(2023秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,,M是邊上的一個(gè)定點(diǎn),且,N,P分別是邊上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是.【答案】/厘米【分析】作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q,過(guò)Q作于N,交于P,則此時(shí)的值最小,連接,得出,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可.【詳解】作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q,過(guò)Q作于N,交于P,則此時(shí)的值最小,連接,則,∴,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì),軸對(duì)稱(chēng)—最短路徑問(wèn)題,垂線段最短的應(yīng)用,確定點(diǎn)P、N的位置的解題的關(guān)鍵.5.(2023春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)惠來(lái)縣第一中學(xué)??计谀┤鐖D,在等腰中,,,作于點(diǎn)D,,點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn),點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為.

【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),延長(zhǎng)至,使,連接,交于,此時(shí)的值最小,就是的長(zhǎng),證明即可.【詳解】解:作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),延長(zhǎng)至,使,連接,交于,此時(shí)的值最小,就是的長(zhǎng),

,,,,,,,,是等邊三角形,點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn),,,即的最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng),最短路徑問(wèn)題和直角三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn),掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用.6.(2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn),分別是角兩邊、上的定點(diǎn),,.點(diǎn),分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是.

【答案】4【分析】如圖所示,作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得,,證明是等邊三角形,;推出當(dāng)H、F、E、G四點(diǎn)共線時(shí),最小,即最小,最小為的長(zhǎng),由此即可得到答案.【詳解】解:如圖所示,作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G,連接,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得,,∴,∴是等邊三角形,∴;∵,∴當(dāng)H、F、E、G四點(diǎn)共線時(shí),最小,即最小,最小為的長(zhǎng),∴的最小值為4,故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題,等邊三角形的性質(zhì)與判定,正確作出輔助線確定有最小值的情形是解題的關(guān)鍵.7.(2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考期中)如圖,已知≌,將沿所在的直線折疊至的位置,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,連結(jié).

(1)直接填空:與的位置關(guān)系是__________;(2)點(diǎn)P、Q分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B、C重合),已知的面積為36,,求的最小值;(3)試探索:的內(nèi)角滿足什么條件時(shí),是直角三角形?【答案】(1)(2)9(3)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可判斷;(2)根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),在上取點(diǎn),使得,結(jié)合對(duì)稱(chēng)性質(zhì)推出,確定三點(diǎn)共線且垂直于時(shí),取得最小值,結(jié)合面積進(jìn)行計(jì)算即可;(3)分和兩種情況,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答.【詳解】(1)解:∵沿所在的直線折疊至的位置,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,∴,故答案為:;(2)解:如圖所示,在上取點(diǎn),使得,連接,根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),,

∴,要求的最小值,求的最小值即可,∴當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線,且時(shí),取得最小值,此時(shí),如圖所示,

由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),,∵取得最小值時(shí),,∴,即:,解得:,∴的最小值為9;(3)解:①當(dāng)時(shí),;∵由翻折變換的性質(zhì)可知,,∴,∵,∴,∴,∴;②由翻折的性質(zhì),當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)-最短路徑問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)等,熟知折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換,屬于軸對(duì)稱(chēng),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵.8.(2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末)【初步感知】(1)如圖1,已知為等邊三角形,點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn),點(diǎn)重合).以為邊向右側(cè)作等邊,連接.求證:;

【類(lèi)比探究】(2)如圖2,若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上,隨著動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置不同,猜想并證明:①與的位置關(guān)系為:___________;②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為:___________.【拓展應(yīng)用】(3)如圖3,在等邊中,,點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)且,若點(diǎn)為射線上動(dòng)點(diǎn),以為邊向右側(cè)作等邊,連接、.請(qǐng)問(wèn):是否有最小值?若有,請(qǐng)直接寫(xiě)出其最小值;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①,②;()有,【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得,,從而證,從而即可證明;(2)證得,,,利用平行線的判定及線段的和差關(guān)系即可得證;(3)在延長(zhǎng)線上截取,連接,證,得,,再判定是等邊三角形得,從而有點(diǎn)在角平分線上運(yùn)動(dòng),作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接與交于點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,于是,即可求解.【詳解】(1)證明:∵和是等邊三角形∴,∵∴即在和中∴(2)解:,,∵和是等邊三角形∴,∵∴即在和中∴∴,∴∴∵,∴,故答案為:,;(3)有最小值,在延長(zhǎng)線上截取,連接

∵和是等邊三角形∴,,∵,∴,∵,∴,∵,∴,在和中∴∴,∴是等邊三角形∴,∴即點(diǎn)在角平分線上運(yùn)動(dòng)作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接與交于點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,∴最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、平行線的判定、角平分線的定義以及最短距離,熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【類(lèi)型二實(shí)際問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題】例題:(2023春·廣東廣州·八年級(jí)華南師大附中校考期中)如圖,A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè),A、B兩村到河岸的距離分別為,,,現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來(lái)水,要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短.(1)在圖中作出水廠E的位置(要求:尺規(guī)作圖,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡);(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】(1)延長(zhǎng),取,再連接,與交于點(diǎn)E即可;(2)作出以為斜邊的直角,求出直角邊,利用勾股定理求出結(jié)果.【詳解】(1)解:如圖所示:點(diǎn)E即為水廠的位置;(2)如圖,作出以為斜邊的直角,由(1)可知:,由題意可得:,,,∴,,,∴水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,勾股定理,主要利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),找出點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是確定建水廠位置的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖,A,B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè),兩村莊的距離為a千米,,它們到河CD的距離分別是1千米和3千米.為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問(wèn)題,鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A,B兩村輸送水.(1)在圖上作出向A,B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M.(只需作圖,不需要證明)(2)經(jīng)預(yù)算,修建水廠需20萬(wàn)元,鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬(wàn)元,其他費(fèi)用需5萬(wàn)元,求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬(wàn)元.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)50萬(wàn)元.【分析】(1)作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,交于M點(diǎn),即M為所求;(2)連接交于H點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作,根據(jù)勾股定理求出,即可得出答案.【詳解】(1)解:如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,交于M點(diǎn),即M為所求.(2)解:如圖,連接交于H點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作,由題意可知:,,,∴,∴在中,,∴在中,,由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知:,水管長(zhǎng),完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為(萬(wàn)元)【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題,勾股定理,題目比較典型,是一道比較好的題目,考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力.2.(2021秋·江蘇蘇州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,小區(qū)A與公路l的距離AC=200米,小區(qū)B與公路l的距離BD=400米,已知CD=800米,(1)政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺(tái)Q,使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等,求CQ的長(zhǎng);(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P,使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短,求PA+PB的最小值,并求CP的長(zhǎng)度.【答案】(1)475米(2)1000米,米【分析】(1)根據(jù)勾股定理列出方程,解方程即可;(2)如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,交直線l于點(diǎn)P.則AP=P,AP+BP=P+BP,PA+PB的最小值為B.(1)解:如圖1,此時(shí)AQ=BQ.設(shè)CQ=x,則DQ=800﹣x,∴,解得x=475,即CQ的長(zhǎng)為475米;(2)解:如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,交直線l于點(diǎn)P.則AP=P,AP+BP=P+BP,PA+PB的最小值為=1000米.∵,∴,∴,∴CP===(米),即CP的長(zhǎng)度為米.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題,作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),確定出Q、P的位置是本題的關(guān)鍵.3.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))問(wèn)題情境:老師在黑板上出了這樣一道題:直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A,B,在直線上是否存在點(diǎn),使得的值最???小明的解法如下:如圖,作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,則與直線的交點(diǎn)即為,且的最小值為.問(wèn)題提出:(1)如圖,等腰的直角邊長(zhǎng)為4,E是斜邊的中點(diǎn),是邊上的一動(dòng)點(diǎn),求的最小值.問(wèn)題解決:(2)如圖,為了解決A,B兩村的村民飲用水問(wèn)題,A,B兩村計(jì)劃在一水渠上建造一個(gè)蓄水池,從蓄水池處向A,B兩村引水,A,B兩村到河邊的距離分別為千米,千米,千米.若蓄水池往兩村鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元,請(qǐng)你在水渠上選擇蓄水池的位置,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少,并求出最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用.【答案】(1)(2)最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用是225000元【分析】(1)作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接交于P,此時(shí)的值最小,連接先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng),再判斷出,根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)確定水廠位置,作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出、,根據(jù)勾股定理求出,得到,結(jié)合題意計(jì)算即可.【詳解】(1)解:如圖,作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接交于,此時(shí)的值最小,連接.因?yàn)榈妊闹苯沁呴L(zhǎng)為4,E是斜邊的中點(diǎn),所以,,因?yàn)?,所以,所以.?)如圖,延長(zhǎng)到點(diǎn),使,連接交于點(diǎn),點(diǎn)即為所選擇的位置,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).在中,千米,千米,所以(千米),所以最短路線(千米),最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為(元).答:最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用是元.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形綜合題,軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題、勾股定理的應(yīng)用,掌握軸對(duì)稱(chēng)的概念和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間,線段最短的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【類(lèi)型三一次函數(shù)中線段和最小值問(wèn)題】例題:(2023春·山東德州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,以線段為邊在第二象限內(nèi)作等腰.(可能用到的公式:若,①中點(diǎn)坐標(biāo)為;②(1)求線段的長(zhǎng);(2)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.(3)點(diǎn)D是中點(diǎn),在直線上是否存在一點(diǎn)P,使得有最小值?若存在,則求出此最小值;若不存在,則說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在,最小值是【分析】(1)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理求解即可;(2)先證明,得出點(diǎn)C坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;(3)作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連接交直線于點(diǎn)P,則此時(shí)有最小值,即為的長(zhǎng),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求出點(diǎn)D、M的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求解.【詳解】(1)對(duì)于,令,則,令,則,解得,∴,∴;(2)作軸于點(diǎn)F,如圖,則,∵等腰,∴,,∴,∴,∴,設(shè)直線的解析式為,則,解得,∴直線的解析式為;

(3)∵D是中點(diǎn),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是,作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連接交直線于點(diǎn)P,則此時(shí)有最小值,且,即的最小值是的長(zhǎng),∵,∴C、A、M三點(diǎn)共線,且A是中點(diǎn),設(shè),則,解得,∴,∴,故存在最小值,是.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求線段和的最小值以及兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí),具有一定的綜合性,熟練掌握相關(guān)知識(shí)、明確求解的方法是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)??计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),.點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)圖像上(1)求這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式;(2)求的值;(3)點(diǎn)C為的中點(diǎn),點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn),求的最小值.【答案】(1)(2)2(3)【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;(2)將代入一次函數(shù)解析式求解即可;(3)作C與C'關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱(chēng),連接C'D交y軸于P,則PC+PD的最小值就是線C'D的長(zhǎng)度,再求出最小值即可.【詳解】(1)將,代入得,,解得∴;(2)將代入得,解得;(3)解:如圖,由平面坐標(biāo)系中的對(duì)稱(chēng)性可知,C與關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱(chēng),連接交y軸于P,則的最小值就是線的長(zhǎng)度,∵,,∴,,∵C與關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱(chēng),∴,∴,∴的最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)函數(shù)綜合題,主要考查了軸對(duì)稱(chēng)性,一次函數(shù)的性質(zhì),勾股定理,解本題的關(guān)鍵是找到使距離之和最小時(shí)的點(diǎn)P位置.2.(2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與直線:交于點(diǎn).

(1)求的值和直線的解析式;(2)直線與軸交于點(diǎn),求的面積;(3)在軸上是否存在點(diǎn),使得的值最小,若存在,請(qǐng)求出的最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1),直線的解析式為(2)(3)存在,的最小值為【分析】(1)由直線:經(jīng)過(guò)點(diǎn)即可求得,然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式;(2)由直線的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用三角形面積公式求得即可;(3)作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,交軸于點(diǎn),則此時(shí)的值最小,的最小值為,利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可得.【詳解】(1)解:點(diǎn)代入得:,設(shè)直線的解析式為,將點(diǎn),代入得:,解得,則直線的解析式為.(2)解:對(duì)于直線:,當(dāng)時(shí),,即,則的面積=.(3)解:存在,求解過(guò)程如下:如圖,作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,交軸于點(diǎn),則此時(shí)的值最小,的最小值為,

,,的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.3.(2023春·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州第一中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖1,直線與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),直線與x軸,y軸分別交于C,D兩點(diǎn),兩直線相交于點(diǎn)P,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、P的坐標(biāo),并求出直線的函數(shù)表達(dá)式;(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,交直線于點(diǎn)M,點(diǎn)Q是線段上的一動(dòng)點(diǎn),連接,當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值.(3)在第(2)問(wèn)的條件下,若點(diǎn)N是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以D,Q,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】(1),;(2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,周長(zhǎng)的最小值(3)或或或【分析】(1)對(duì)于,令,求出可得點(diǎn)A的坐標(biāo),再把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入,求出x的值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可;(2)先求出點(diǎn)D的坐標(biāo),再運(yùn)用勾股定理求出,過(guò)點(diǎn)D作的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),得,連接,交于占M,由兩點(diǎn)之間,線段最短可知的最小值為的長(zhǎng),從而可得周長(zhǎng)的最小值,再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式,進(jìn)一步可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo);(3)設(shè),分別求出的長(zhǎng),再分,,三種情況討論求解即可.【詳解】(1)對(duì)于,當(dāng)時(shí),,解得,,,∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,;設(shè)直線的解析式為把代入得,,解得:,∴直線的解析式為;(2)對(duì)于直線,當(dāng)時(shí),∴過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接交于點(diǎn),根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”可知,的最小值為的長(zhǎng),∵,∴又∴,∴的周長(zhǎng)最小值為:設(shè)的解析式為:把,代入得,,解得,∴直線的解析式為當(dāng)時(shí),∴;(3)設(shè),∵,,∵當(dāng)時(shí),有∵,解得,∴;當(dāng)時(shí),有∴,解得,,(不符合題意,舍去)∴當(dāng)時(shí),有∴,解得,,,∴或,綜上,點(diǎn)N的坐標(biāo)為:或或或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)和判定、最短問(wèn)題等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最值問(wèn)題.【類(lèi)型四一次函數(shù)中線段差最大值問(wèn)題】例題:(2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖所示,直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),求出滿足條件且異于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo);(3)點(diǎn)為軸上一定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值.【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)(3)【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特點(diǎn)即可求解,聯(lián)立兩條直線的解析式,解二元一次方程組即可求解;(2)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),求出的面積,設(shè),用含的式子表示的面積,根據(jù)即可求解;(3)如圖,作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交直線于,求的最大值轉(zhuǎn)換為求,根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】(1)解:∵直線與軸交于點(diǎn),∴令,則,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與直線得,,解得,,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.(2)解:如圖,直線與軸交于點(diǎn),直線,令,則,∴點(diǎn)的坐標(biāo),直線,令,則,∴點(diǎn)的坐標(biāo),且點(diǎn),∴,∴,∵,∵點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P只能在點(diǎn)C的左下方,∴設(shè),∴,∴,∴,解得或(舍去),∴當(dāng)時(shí),;∴滿足條件且異于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.(3)解:如圖,作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交直線于,∴,,設(shè)直線交x軸于E,由(2)知,∵,∴,∴,∵點(diǎn)的坐標(biāo),∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo),∴的最大值為,∵點(diǎn),∴,∴的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合,掌握一次函數(shù)圖像的性質(zhì),幾何圖形的變換,解二元一次方程組的方法,勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.如圖①,平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A(﹣10,0),與y軸交于點(diǎn)B,與直線y=﹣x交于點(diǎn)C(a,7).(1)求直線AB的表達(dá)式;(2)如圖②,在(1)的條件下,過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸,交直線y=﹣x于點(diǎn)F,交直線y=kx+b于點(diǎn)G,若點(diǎn)E的坐標(biāo)是(﹣15,0),求△CGF的面積;(3)點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn),直線l上是否存在點(diǎn)P,使PM﹣PC的值最大?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,說(shuō)明理由;【答案】(1)y=x+10(2)240(3)存在,【分析】(1)先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)(-3.7),再將C(-3,7)和A(-10,0)代入y=kx+b,即可得到直線AB的解析式;(2)先求得點(diǎn)G、F的坐標(biāo),再利用三角形面積公式求解即可;(3)由三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P、M、C在一條直線上時(shí),PM-PC的值最大,據(jù)此求解即可;(1)將點(diǎn)C(a,7)代入y=x,可得a=-3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,7),將C(-3,7)和A(-10,0)代入y=kx+b,可得,解得,∴直線AB的解析式為y=x+10;(2)∵點(diǎn)E的坐標(biāo)是(﹣15,0).∴當(dāng)時(shí),y=和y=-15+10=-5,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-15,35),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(-15,-5),∴;(3)存在,證明:由三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P、M、C在一條直線上時(shí),PM-PC的值最大,令x=0,則y=10,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)(0,10),∵點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn),∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,5),設(shè)直線MC的解析式為y=ax+5,將C(-3,7)代入得:7=-3a+5,解得:a=-,∴直線MC的解析式為y=?x+5,當(dāng)x=-15時(shí),y=?×(?15)+5=15,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-15,15),∴;【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題,主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,三角形的面積,軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握三角形面積在坐標(biāo)系內(nèi)的求法,并且能夠熟練使用三角形全等解題.2.在進(jìn)行13.4《最短路徑問(wèn)題》的學(xué)習(xí)時(shí),同學(xué)們從一句唐詩(shī)“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”(唐?李頎《古從軍行》出發(fā),一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題.同學(xué)們先研究了最特殊的情況,再利用所學(xué)的軸對(duì)稱(chēng)知識(shí),將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題,找到了問(wèn)題的答案,并進(jìn)行了證明.下列圖形分別說(shuō)明了以上研究過(guò)程.證明過(guò)程如下:如圖4,在直線l上另取任一點(diǎn),連結(jié),∵點(diǎn)B,關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),點(diǎn)C,在l上,∴_________,_________,∴_________.在中,∵,∴,即最?。?1)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整.(直接填在橫線上)(2)課堂小結(jié)時(shí),小明所在的小組同學(xué)提出,如圖1,A,B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).在直線l上是否存在一點(diǎn)P,使的值最大呢?請(qǐng)你類(lèi)比“將軍飲馬”問(wèn)題的探究過(guò)程,先說(shuō)明如何確定點(diǎn)P的位置,再證明你的結(jié)論是正確的.(3)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,,P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn),則的最大值為_(kāi)________,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________.(直接寫(xiě)答案)【答案】(1)(2)連結(jié)并延長(zhǎng),交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求;證明見(jiàn)解析(3)或;或【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)B,關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),可得,,從而得到.在中,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,即可;(2)連結(jié)并延長(zhǎng),交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,即可;(3)分兩種情況討論:當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在x軸上時(shí),作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求;此時(shí)的最大值為;當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),連接,延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn),則點(diǎn)即為所求,此時(shí)的最大值為,即可求解.【詳解】(1)解:證明:如圖4,在直線l上另取任一點(diǎn),連結(jié),∵點(diǎn)B,關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),點(diǎn)C,在l上,∴,,∴.在中,∵,∴,即最?。蚀鸢笧椋海?)解:連結(jié)并延長(zhǎng),交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.證明:如圖,在直線l上任取任一點(diǎn),連結(jié),在中,根據(jù)兩邊之差小于第三邊得:,而當(dāng)點(diǎn)B,A,P共線時(shí),,所以此時(shí)最大;(3)解:如圖,當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在x軸上時(shí),作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求;此時(shí)的最大值為,∵,∴點(diǎn),∵,∴,設(shè)直線的解析式為,把點(diǎn),代入得:,解得:,∴直線的解析式為,當(dāng)時(shí),,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為;當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),連接,延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn),則點(diǎn)即為所求,此時(shí)的最大值為,設(shè)直線的解析式為,把點(diǎn)代入得:,解得:,∴直線的解析式為,當(dāng)時(shí),,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,綜上所述,的最大值為或,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或.故答案為:或;或【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際,最短距離問(wèn)題,勾股定理,三角形的三邊關(guān)系,熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),勾股定理,三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3.如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線l:y=x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B,點(diǎn)A,直線x=﹣2交AB于點(diǎn)C,D是直線x=﹣2上一動(dòng)點(diǎn),且在點(diǎn)C的上方,設(shè)D(﹣2,m)(1)求點(diǎn)O到直線AB的距離;(2)當(dāng)四邊形AOBD的面積為38時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo),此時(shí)在x軸上有一點(diǎn)E(8,0),在y軸上找一點(diǎn)M,使|ME﹣MD|最大,請(qǐng)求出|ME﹣MD|的最大值以及M點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,將直線l:y=x+8左右平移,平移的距離為t(t>0時(shí),往右平移;t<0時(shí),往左平移)平移后直線上點(diǎn)A,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、點(diǎn)B′,當(dāng)△A′B′D為等腰三角形時(shí),求t的值.【答案】(1)4.8;(2)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,)時(shí),|ME﹣MD|取最大值2;(3)t的值為﹣2﹣4、

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