專(zhuān)題06 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決有關(guān)將軍飲馬問(wèn)題之壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專(zhuān)題06利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決有關(guān)將軍飲馬問(wèn)題之壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類(lèi)型一幾何圖形中的最小值問(wèn)題】 1【類(lèi)型二實(shí)際問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題】 13【類(lèi)型三一次函數(shù)中線段和最小值問(wèn)題】 19【類(lèi)型四一次函數(shù)中線段差最大值問(wèn)題】 28【典型例題】【類(lèi)型一幾何圖形中的最小值問(wèn)題】例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是的角平分線，的面積為12，長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由是的角平分線，得到點(diǎn)一定在上，過(guò)作于，交于，則此時(shí)，的值最小，的最小值，過(guò)作于，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形的面積即可得到結(jié)論．【詳解】解：作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是的角平分線，點(diǎn)一定在上，過(guò)作于，交于，則此時(shí)，的值最小，的最小值，過(guò)作于，的面積為12，長(zhǎng)為6，，垂直平分，，，，的最小值是4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確的作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和利用垂直平分線的性質(zhì)證明的最小值為三角形某一邊上的高線．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）

A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得，周長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積求出，，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示．連接，

∵是的垂直平分線，∴，∴周長(zhǎng)．連接，∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴，，∴周長(zhǎng)的最小值是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求線段和最小值等，判斷周長(zhǎng)的最小值是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南許昌·八年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是18，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）

A．4 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線，可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，

∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，解得，∵的周長(zhǎng)，又是定值，∴當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，∴，∴當(dāng)A、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，∴的周長(zhǎng)最短．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，垂線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在的平分線上運(yùn)動(dòng)，則的長(zhǎng)度最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用最短路徑直接將點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后連線求兩線段和的最小值即可．【詳解】將關(guān)于對(duì)稱(chēng)至點(diǎn)，連接，∴，∴，∴，∵，，，且，∴是中點(diǎn)，∴．∴故選：B【點(diǎn)睛】此題考查最短路徑，解題關(guān)鍵是將一個(gè)定點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)線段之和最短．4．（2023秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，M是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，且，N，P分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】/厘米【分析】作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，過(guò)Q作于N，交于P，則此時(shí)的值最小，連接，得出，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【詳解】作M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，過(guò)Q作于N，交于P，則此時(shí)的值最小，連接，則，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)—最短路徑問(wèn)題，垂線段最短的應(yīng)用，確定點(diǎn)P、N的位置的解題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，證明即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，

，，，，，，，，是等邊三角形，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，，，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)，最短路徑問(wèn)題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用．6．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，分別是角兩邊、上的定點(diǎn)，，．點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】4【分析】如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，，證明是等邊三角形，；推出當(dāng)H、F、E、G四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，最小為的長(zhǎng)，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，，∴，∴是等邊三角形，∴；∵，∴當(dāng)H、F、E、G四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，最小為的長(zhǎng)，∴的最小值為4，故答案為：4．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線確定有最小值的情形是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考期中）如圖，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點(diǎn)P、Q分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)(2)9(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可判斷；（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，在上取點(diǎn)，使得，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性質(zhì)推出，確定三點(diǎn)共線且垂直于時(shí)，取得最小值，結(jié)合面積進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分和兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：∵沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，在上取點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，，

∴，要求的最小值，求的最小值即可，∴當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線，且時(shí)，取得最小值，此時(shí)，如圖所示，

由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，，∵取得最小值時(shí)，，∴，即：，解得：，∴的最小值為9；（3）解：①當(dāng)時(shí)，；∵由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∵，∴，∴，∴；②由翻折的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)-最短路徑問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)等，熟知折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．8．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【初步感知】（1）如圖1，已知為等邊三角形，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）．以為邊向右側(cè)作等邊，連接．求證：；

【類(lèi)比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，隨著動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置不同，猜想并證明：①與的位置關(guān)系為：___________；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：___________．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊中，，點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)且，若點(diǎn)為射線上動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，連接、．請(qǐng)問(wèn)：是否有最小值？若有，請(qǐng)直接寫(xiě)出其最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，②；（）有，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，從而證，從而即可證明；（2）證得，，，利用平行線的判定及線段的和差關(guān)系即可得證；（3）在延長(zhǎng)線上截取，連接，證，得，，再判定是等邊三角形得，從而有點(diǎn)在角平分線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，于是，即可求解．【詳解】（1）證明：∵和是等邊三角形∴，∵∴即在和中∴（2）解：，，∵和是等邊三角形∴，∵∴即在和中∴∴，∴∴∵，∴，故答案為：，；（3）有最小值，在延長(zhǎng)線上截取，連接

∵和是等邊三角形∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中∴∴，∴是等邊三角形∴，∴即點(diǎn)在角平分線上運(yùn)動(dòng)作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接與交于點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、平行線的判定、角平分線的定義以及最短距離，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型二實(shí)際問(wèn)題中的最短路徑問(wèn)題】例題：（2023春·廣東廣州·八年級(jí)華南師大附中校考期中）如圖，A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來(lái)水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）延長(zhǎng)，取，再連接，與交于點(diǎn)E即可；（2）作出以為斜邊的直角，求出直角邊，利用勾股定理求出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)E即為水廠的位置；（2）如圖，作出以為斜邊的直角，由（1）可知：，由題意可得：，，，∴，，，∴水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理，主要利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，找出點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是確定建水廠位置的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問(wèn)題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬(wàn)元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬(wàn)元，其他費(fèi)用需5萬(wàn)元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬(wàn)元．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)50萬(wàn)元.【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求；（2）連接交于H點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求.（2）解：如圖，連接交于H點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，由題意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知：，水管長(zhǎng)，完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為（萬(wàn)元）【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，勾股定理，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力．2．（2021秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺(tái)Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長(zhǎng)度．【答案】(1)475米(2)1000米，米【分析】（1）根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交直線l于點(diǎn)P．則AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值為B．（1）解：如圖1，此時(shí)AQ＝BQ．設(shè)CQ＝x，則DQ＝800﹣x，∴，解得x＝475，即CQ的長(zhǎng)為475米；（2）解：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交直線l于點(diǎn)P．則AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值為=1000米．∵，∴，∴，∴CP＝＝＝（米），即CP的長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，確定出Q、P的位置是本題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）問(wèn)題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，在直線上是否存在點(diǎn)，使得的值最??？小明的解法如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．問(wèn)題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長(zhǎng)為4，E是斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．問(wèn)題解決：(2)如圖，為了解決A，B兩村的村民飲用水問(wèn)題，A，B兩村計(jì)劃在一水渠上建造一個(gè)蓄水池，從蓄水池處向A，B兩村引水，A，B兩村到河邊的距離分別為千米，千米，千米．若蓄水池往兩村鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元，請(qǐng)你在水渠上選擇蓄水池的位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，并求出最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用．【答案】(1)(2)最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用是225000元【分析】(1)作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于P，此時(shí)的值最小，連接先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再判斷出，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)確定水廠位置，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)勾股定理求出，得到，結(jié)合題意計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于，此時(shí)的值最小，連接．因?yàn)榈妊闹苯沁呴L(zhǎng)為4，E是斜邊的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以．?）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所選擇的位置，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．在中，千米，千米，所以（千米），所以最短路線（千米），最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為（元）．答：最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用是元．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形綜合題，軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題、勾股定理的應(yīng)用，掌握軸對(duì)稱(chēng)的概念和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型三一次函數(shù)中線段和最小值問(wèn)題】例題：（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線段為邊在第二象限內(nèi)作等腰．（可能用到的公式：若，①中點(diǎn)坐標(biāo)為；②(1)求線段的長(zhǎng)；(2)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(3)點(diǎn)D是中點(diǎn)，在直線上是否存在一點(diǎn)P，使得有最小值？若存在，則求出此最小值；若不存在，則說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值是【分析】（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）先證明，得出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（3）作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接交直線于點(diǎn)P，則此時(shí)有最小值，即為的長(zhǎng)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求出點(diǎn)D、M的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求解．【詳解】（1）對(duì)于，令，則，令，則，解得，∴，∴；（2）作軸于點(diǎn)F，如圖，則，∵等腰，∴，，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為；

（3）∵D是中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接交直線于點(diǎn)P，則此時(shí)有最小值，且，即的最小值是的長(zhǎng)，∵，∴C、A、M三點(diǎn)共線，且A是中點(diǎn)，設(shè)，則，解得，∴，∴，故存在最小值，是．

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求線段和的最小值以及兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，具有一定的綜合性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)、明確求解的方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，．點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)圖像上(1)求這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式；(2)求的值；(3)點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入一次函數(shù)解析式求解即可；（3）作C與C'關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱(chēng)，連接C'D交y軸于P，則PC+PD的最小值就是線C'D的長(zhǎng)度，再求出最小值即可．【詳解】（1）將，代入得，，解得∴；（2）將代入得，解得；（3）解：如圖，由平面坐標(biāo)系中的對(duì)稱(chēng)性可知，C與關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱(chēng)，連接交y軸于P，則的最小值就是線的長(zhǎng)度，∵，，∴，，∵C與關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)函數(shù)綜合題，主要考查了軸對(duì)稱(chēng)性，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是找到使距離之和最小時(shí)的點(diǎn)P位置．2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與直線：交于點(diǎn)．

(1)求的值和直線的解析式；(2)直線與軸交于點(diǎn)，求的面積；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使得的值最小，若存在，請(qǐng)求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，直線的解析式為(2)(3)存在，的最小值為【分析】（1）由直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；（2）由直線的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求得即可；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，則此時(shí)的值最小，的最小值為，利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可得．【詳解】（1）解：點(diǎn)代入得：，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的解析式為．（2）解：對(duì)于直線：，當(dāng)時(shí)，，即，則的面積=．（3）解：存在，求解過(guò)程如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，則此時(shí)的值最小，的最小值為，

，，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，兩直線相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，并求出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值．(3)在第（2）問(wèn)的條件下，若點(diǎn)N是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以D，Q，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,周長(zhǎng)的最小值(3)或或或【分析】（1）對(duì)于，令，求出可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入，求出x的值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理求出，過(guò)點(diǎn)D作的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，得，連接，交于占M，由兩點(diǎn)之間，線段最短可知的最小值為的長(zhǎng)，從而可得周長(zhǎng)的最小值，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進(jìn)一步可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）設(shè)，分別求出的長(zhǎng)，再分，，三種情況討論求解即可．【詳解】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得，，，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，；設(shè)直線的解析式為把代入得，，解得：，∴直線的解析式為；（2）對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，∴過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，的最小值為的長(zhǎng)，∵，∴又∴，∴的周長(zhǎng)最小值為：設(shè)的解析式為：把，代入得，，解得，∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，∴；（3）設(shè)，∵，，∵當(dāng)時(shí)，有∵，解得，∴；當(dāng)時(shí)，有∴，解得，，（不符合題意，舍去）∴當(dāng)時(shí)，有∴，解得，，，∴或，綜上,點(diǎn)N的坐標(biāo)為:或或或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)和判定、最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最值問(wèn)題．【類(lèi)型四一次函數(shù)中線段差最大值問(wèn)題】例題：（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求出滿足條件且異于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)為軸上一定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特點(diǎn)即可求解，聯(lián)立兩條直線的解析式，解二元一次方程組即可求解；（2）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求出的面積，設(shè)，用含的式子表示的面積，根據(jù)即可求解；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于，求的最大值轉(zhuǎn)換為求，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點(diǎn)，∴令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與直線得，，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）解：如圖，直線與軸交于點(diǎn)，直線，令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，直線，令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，且點(diǎn)，∴，∴，∵，∵點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P只能在點(diǎn)C的左下方，∴設(shè)，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，；∴滿足條件且異于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于，∴，，設(shè)直線交x軸于E，由（2）知，∵，∴，∴，∵點(diǎn)的坐標(biāo)，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，∴的最大值為，∵點(diǎn)，∴，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何的綜合，掌握一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，幾何圖形的變換，解二元一次方程組的方法，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖①，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)A（﹣10，0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線y＝﹣x交于點(diǎn)C（a，7）．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)如圖②，在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交直線y＝﹣x于點(diǎn)F，交直線y＝kx＋b于點(diǎn)G，若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（﹣15，0），求△CGF的面積；(3)點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn)，直線l上是否存在點(diǎn)P，使PM﹣PC的值最大？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由；【答案】(1)y=x+10(2)240(3)存在，【分析】（1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)（-3.7），再將C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，即可得到直線AB的解析式；（2）先求得點(diǎn)G、F的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求解即可；（3）由三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P、M、C在一條直線上時(shí)，PM-PC的值最大，據(jù)此求解即可；(1)將點(diǎn)C（a，7）代入y=x，可得a=-3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，7），將C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得，解得，∴直線AB的解析式為y=x+10；(2)∵點(diǎn)E的坐標(biāo)是（﹣15，0）．∴當(dāng)時(shí)，y=和y=-15+10=-5，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-15，35），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-15，-5），∴；(3)存在，證明：由三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P、M、C在一條直線上時(shí)，PM-PC的值最大，令x=0，則y=10，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，10），∵點(diǎn)M為y軸上OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，5），設(shè)直線MC的解析式為y=ax+5，將C（-3，7）代入得：7=-3a+5，解得：a=-，∴直線MC的解析式為y=?x+5，當(dāng)x=-15時(shí)，y=?×(?15)+5＝15，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-15，15），∴；【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握三角形面積在坐標(biāo)系內(nèi)的求法，并且能夠熟練使用三角形全等解題．2．在進(jìn)行13.4《最短路徑問(wèn)題》的學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們從一句唐詩(shī)“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題．同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，找到了問(wèn)題的答案，并進(jìn)行了證明．下列圖形分別說(shuō)明了以上研究過(guò)程．證明過(guò)程如下：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)，連結(jié)，∵點(diǎn)B，關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C，在l上，∴_________，_________，∴_________．在中，∵，∴，即最?。?1)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．（直接填在橫線上）(2)課堂小結(jié)時(shí)，小明所在的小組同學(xué)提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使的值最大呢？請(qǐng)你類(lèi)比“將軍飲馬”問(wèn)題的探究過(guò)程，先說(shuō)明如何確定點(diǎn)P的位置，再證明你的結(jié)論是正確的．(3)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________．（直接寫(xiě)答案）【答案】(1)(2)連結(jié)并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；證明見(jiàn)解析(3)或；或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B，關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，可得，，從而得到．在中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可；（2）連結(jié)并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可；（3）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；此時(shí)的最大值為；當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，連接，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，此時(shí)的最大值為，即可求解．【詳解】（1）解：證明：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)，連結(jié)，∵點(diǎn)B，關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C，在l上，∴，，∴．在中，∵，∴，即最?。蚀鸢笧椋海?）解：連結(jié)并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．證明：如圖，在直線l上任取任一點(diǎn)，連結(jié)，在中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得：，而當(dāng)點(diǎn)B，A，P共線時(shí)，，所以此時(shí)最大；（3）解：如圖，當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；此時(shí)的最大值為，∵，∴點(diǎn)，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，連接，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，此時(shí)的最大值為，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，的最大值為或，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或．故答案為：或；或【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際，最短距離問(wèn)題，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，直線x＝﹣2交AB于點(diǎn)C，D是直線x＝﹣2上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)C的上方，設(shè)D（﹣2，m）（1）求點(diǎn)O到直線AB的距離；（2）當(dāng)四邊形AOBD的面積為38時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，此時(shí)在x軸上有一點(diǎn)E（8，0），在y軸上找一點(diǎn)M，使|ME﹣MD|最大，請(qǐng)求出|ME﹣MD|的最大值以及M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將直線l：y＝x+8左右平移，平移的距離為t（t＞0時(shí)，往右平移；t＜0時(shí)，往左平移）平移后直線上點(diǎn)A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、點(diǎn)B′，當(dāng)△A′B′D為等腰三角形時(shí)，求t的值．【答案】（1）4.8；（2）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）時(shí)，|ME﹣MD|取最大值2；（3）t的值為﹣2﹣4、