經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第三版） 課件 第六章 投入產(chǎn)出模型的建立

第六章

投入產(chǎn)出模型的建立目

錄CONTENTS1總產(chǎn)值價(jià)值形成問題及解決方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue2使用EXCEL討論投入產(chǎn)出問題UsingExceltoDiscussInput-outputProblems3進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：線性代數(shù)初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra總產(chǎn)值價(jià)值形成問題及解決方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue1一、問題引入試建立線性方程組來確定當(dāng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)和服務(wù)業(yè)面臨的最終需求分別為33、8和16萬億元時(shí)，各部門的總產(chǎn)出應(yīng)該是多少？表6-1投入產(chǎn)出表(萬億元)1.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題一、問題引入任何產(chǎn)品生產(chǎn)的技術(shù)過程都是一個(gè)投入產(chǎn)出過程，引例要求我們回答的就是分析系統(tǒng)各部門之間相互輸入(投入)和輸出(產(chǎn)出)的產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)我們考慮一個(gè)工業(yè)體系時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)每種工業(yè)都需要使用其它工業(yè)的“產(chǎn)出”作為自己的原材料，反過來，它所“產(chǎn)出”的產(chǎn)品又必然是某些別的工業(yè)的“投入”，從而構(gòu)成了相互依賴的關(guān)系。那么，如何把各部門的投入來源和產(chǎn)出方向去向縱橫交叉地編制成投入產(chǎn)出表？如何根據(jù)產(chǎn)出表的平衡關(guān)系，建立投入產(chǎn)出模型？如何借助投入產(chǎn)出表和投入產(chǎn)出模型進(jìn)行各種經(jīng)濟(jì)分析？1.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題一、問題引入2.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題的數(shù)學(xué)模型平衡關(guān)系③每一個(gè)部門的總投入等于該部門的總產(chǎn)出。①從縱向看，中間投入+最初投入=總投入。②從橫向看，中間使用+最終需求=總產(chǎn)出。一、問題引入2.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題的數(shù)學(xué)模型直接消耗系數(shù)：計(jì)算每個(gè)部門總產(chǎn)出1元價(jià)值的產(chǎn)品時(shí)，相應(yīng)各部門向該部門的直接輸出所占的比例。表6-2直接消耗系數(shù)表你能解釋其經(jīng)濟(jì)意義嗎？一、問題引入2.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題的數(shù)學(xué)模型表6-3計(jì)劃投入產(chǎn)出表(萬億元)一、問題引入2.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題的數(shù)學(xué)模型根據(jù)投入產(chǎn)出表行的平衡關(guān)系，有以下消耗平衡方程組：一、問題引入2.總產(chǎn)值價(jià)值形成問題的數(shù)學(xué)模型消耗平衡方程組最終需求分別為33、8和16時(shí)，三個(gè)部門的總產(chǎn)出應(yīng)該為50、30和40。本章重點(diǎn)：解線性方程組(6.2)二、矩陣的概念線性方程組(6.2)的系數(shù)、右端常數(shù)按照原來的位置擺放，構(gòu)成一個(gè)矩形數(shù)表：引例2不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)表(6.3)決定了方程組(6.2)是否有解，以及如果有解，解是什么等問題.因而研究這個(gè)數(shù)表就很有必要.(6.3)二、矩陣的概念二、矩陣的概念幾種特殊矩陣行矩陣列矩陣N階方陣所有元素均為零的矩陣，記為Om×n零矩陣二、矩陣的概念單位矩陣幾種特殊矩陣二、矩陣的概念定義：矩陣相等

如果都是m

n矩陣,并且它們的對(duì)應(yīng)元素都相等,則稱矩陣A和矩陣B相等,記作A=B.例1已知

且A=B,求a,b,c,d.解由矩陣相等的概念,有三、矩陣的運(yùn)算1.矩陣的線性運(yùn)算兩個(gè)m

n矩陣對(duì)應(yīng)的元素相加得到m

n矩陣,稱為矩陣A與矩陣B的和,記作A+B.定義注：只有兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算三、矩陣的運(yùn)算1.矩陣的線性運(yùn)算定義

以數(shù)k乘以矩陣的每一個(gè)元素所得的矩陣，稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記作kA.三、矩陣的運(yùn)算

例2已知解三、矩陣的運(yùn)算解

2個(gè)產(chǎn)地與3個(gè)銷地每噸的運(yùn)費(fèi)用矩陣表示為三、矩陣的運(yùn)算三、矩陣的運(yùn)算2.矩陣與矩陣的乘法定義矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和作為一個(gè)新矩陣的第i行第j列的元素注意：⑴只有當(dāng)左邊矩陣A的列數(shù)等于右邊矩陣B的行數(shù)時(shí)，矩陣A與B才能作乘法運(yùn)算.⑵矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)m，列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)n

.三、矩陣的運(yùn)算2.矩陣與矩陣的乘法例4已知求AB與BA．解三、矩陣的運(yùn)算矩陣的乘積不滿足交換律例4已知求AB與BA．三、矩陣的運(yùn)算2.矩陣與矩陣的乘法矩陣的乘法滿足以下規(guī)律：（其中k為常數(shù)）．注意兩矩陣的乘法與兩數(shù)的乘法有很大的差別.（1）結(jié)合律（2）分配律（3）數(shù)乘結(jié)合律三、矩陣的運(yùn)算3.矩陣的轉(zhuǎn)置定義

矩陣A的行列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。記作例5

已知矩陣，求解三、矩陣的運(yùn)算3.矩陣的轉(zhuǎn)置例6

已知,求解

(1)

首先計(jì)算于是，(2)(AB)T=BTAT三、矩陣的運(yùn)算3.矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算規(guī)律：三、矩陣的運(yùn)算4.逆矩陣設(shè)A是一個(gè)n階方陣,E是一個(gè)n階單位矩陣.如果存在一個(gè)n階方陣B,使AB=BA=E,則稱B為A的逆矩陣,簡(jiǎn)稱為A的逆陣,或A的逆．這時(shí)稱A為可逆矩陣,簡(jiǎn)稱可逆陣.定義例如三、矩陣的運(yùn)算4.逆矩陣性質(zhì)1如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是惟一的．因此，矩陣A的逆矩陣常記作例如：性質(zhì)2可逆矩陣A的逆矩陣滿足注意：A的逆矩陣可通過EXCEL中的函數(shù)MINVERSE求得。四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示1.線性方程組的有關(guān)概念系數(shù)矩陣右端常數(shù)四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示1.線性方程組的有關(guān)概念系數(shù)矩陣右端常數(shù)增廣矩陣四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示2.投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示直接消耗系數(shù)表和最終需求可表示如下表示每生產(chǎn)單位價(jià)值第j種產(chǎn)品所需直接消耗的第i種產(chǎn)品的價(jià)值。投入產(chǎn)出方程組可以表示為對(duì)應(yīng)的解為稱為里昂惕夫逆矩陣。四、投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示2.投入產(chǎn)出方程組的矩陣表示求解一個(gè)投入產(chǎn)出方程組,通常有兩種方法,即(1)逆矩陣法:

先求出里昂惕夫逆矩陣(I－A)-1,再利用式(6.7)求出X.(2)消元法:通過對(duì)方程組施以同解變換,逐步消元,從而求出X.第二節(jié)我們將討論如何借助Excel軟件實(shí)現(xiàn)逆矩陣法解線性方程組,其數(shù)學(xué)原理將在第三節(jié)討論.下面先介紹求解線性方程組的消元法.五、消元法解線性方程組1.消元法解線性方程組

每一個(gè)方程兩端同乘以10，將方程未知量的系數(shù)化為整數(shù)，得增廣矩陣五、消元法解線性方程組交換第一個(gè)方程和第三個(gè)方程的位置，得第一個(gè)方程的－1倍加到第二個(gè)方程，第一個(gè)方程的8倍加到第三個(gè)方程五、消元法解線性方程組第二個(gè)方程的兩端同除以8，得第二個(gè)方程的9倍加到第三個(gè)方程五、消元法解線性方程組線性方程組的同解變換：

交換某兩個(gè)方程的位置；

用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程的兩邊；

將一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程.通常把過程①-⑥稱為消元過程，矩陣⑥稱為行階梯形矩陣，與之對(duì)應(yīng)的方程組⑥則稱為行階梯形方程組.五、消元法解線性方程組繼續(xù)上述方程組，第三個(gè)方程兩邊同除以38，得第三個(gè)方程的1倍加到第二方程，第三個(gè)方程的－6倍加到第一個(gè)方程五、消元法解線性方程組第二個(gè)方程的1倍加到第一個(gè)方程第一個(gè)方程的兩邊同乘以(－1)至此，我們可以通過增廣矩陣直接“讀”出該線性方程組的解.五、消元法解線性方程組定義下面的三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：(1)交換矩陣的兩行（列）；(2)用非零數(shù)k乘以矩陣的某行（列）；(3)把矩陣的某一行（列）乘以數(shù)k后加到另一行（列）．矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．2.矩陣的初等變換五、消元法解線性方程組2.矩陣的初等變換例如：矩陣B依其形狀的特征稱為階梯形矩陣，具體定義如下：五、消元法解線性方程組2.矩陣的初等變換一般地，稱滿足下列條件的矩陣為行階梯形矩陣：⑴若有零行(元素全為零的行),則零行在矩陣的最下方；⑵非零行的第一個(gè)非零元素左邊的零的個(gè)數(shù)隨行標(biāo)遞增.矩陣B依其形狀的特征稱為階梯形矩陣。五、消元法解線性方程組一般地，稱滿足下列條件的階梯形矩陣為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣：⑴各非零行的首非零元都是1；⑵非零行的第一個(gè)非零元所在列的其余元素都是零。對(duì)上述矩陣B再作初等行變換矩陣C依其形狀的特征稱為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣。五、消元法解線性方程組例7

求解線性方程組解記矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣五、消元法解線性方程組例7

求解線性方程組由簡(jiǎn)化行階梯形矩陣可以得到原方程組的等價(jià)方程組為方程組有無窮多解，上式是所給方程組的一般解。使用EXCEL討論投入產(chǎn)出問題UsingExceltoDiscussInput-outputProblems2一、

利用Excel求直接消耗系數(shù)矩陣典型問題1利用Excel求解第一節(jié)表6-1的直接消耗系數(shù)矩陣第一步：在H4欄輸入“=C4/C$8”，得出直接消耗系數(shù)，即單位價(jià)值工業(yè)部門產(chǎn)品直接消耗0.2單位的工業(yè)部門自身產(chǎn)品。第二步：利用拖曳的方法將H5欄公式復(fù)制到H4至J6的范圍，如圖6-1所示。圖6-1直接消耗系數(shù)矩陣A二、利用Excel解線性方程組典型問題2利用Excel求解投入產(chǎn)出方程組6.2第一步：在工作表的E2至G4區(qū)域建立一個(gè)單位矩陣I，在I2至I4區(qū)域依次輸入33，8，16。第二步：計(jì)算I－A。在A6欄輸入“=E2-B2”,利用拖曳的方法將A6欄公式復(fù)制A6至C8的區(qū)域，如圖6-2所示。圖6-2方程組的系數(shù)矩陣二、利用Excel解線性方程組第三步：計(jì)算

。選中E6至G8區(qū)域，輸入公式“=MINVERSE(A6:C8)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】組合鍵，如圖6-3所示。圖8-3昂惕夫逆矩陣二、利用Excel解線性方程組第四步：利用公式求方程組(2)的解。選中I6至I8區(qū)域，輸入公式“=MMULT(E6:G8,I2:I4)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】組合鍵，得方程組的解。圖6-4線性方程組(2)的解三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型現(xiàn)階段各企業(yè)的總產(chǎn)出為多少？外部需求分別增加15萬元、5萬元和7萬元，各企業(yè)又該如何安排生產(chǎn)？表6-4，投入產(chǎn)出表(萬元)三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型解決方案x1,x2,x3分別表示3個(gè)企業(yè)現(xiàn)階段的總產(chǎn)出或三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型利用EXCEL求解上述方程組，得即3個(gè)企業(yè)現(xiàn)階段的總產(chǎn)出分別為105.16萬元、51.58萬元和54.87萬元三、

煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型外部需求分別增加15萬元、5萬元和7萬元，記則相應(yīng)地有或三、煤電系統(tǒng)的投入產(chǎn)出模型利用EXCEL求解上述方程組，得3個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加27.09萬元、12.16萬元和16.57萬元四、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測(cè)模型2021年計(jì)劃三種產(chǎn)品的庫存不變，銷量分別比2009年增加30%、20%、40%。預(yù)測(cè)該企業(yè)的總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。表6-52019年投入產(chǎn)出表(萬元)四、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測(cè)模型解決方案2021年三種產(chǎn)品的最終產(chǎn)出直接消耗系數(shù)矩陣x1,x2,x3分別表示三種產(chǎn)品的總產(chǎn)值四、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測(cè)模型下面討論該企業(yè)2021年中間產(chǎn)品和外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況。以產(chǎn)品2為例，2021年的中間產(chǎn)品使用產(chǎn)品2總投入為3179.5萬元單位價(jià)值產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1為0.1818元產(chǎn)品2所消耗的產(chǎn)品1價(jià)值為3179.5×0.1818=578萬元。2021年外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出外購產(chǎn)品占總投入的比例系數(shù)分別為0.5003、0.2814和0.2804產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的外購產(chǎn)品價(jià)值分別為1115.7萬元、894.6萬元和381.2萬元四、企業(yè)產(chǎn)銷預(yù)測(cè)模型2021年中間產(chǎn)品和外購產(chǎn)品的投入產(chǎn)出情況(匯總)結(jié)論：總產(chǎn)品、中間產(chǎn)品、外購產(chǎn)品以及其它投入會(huì)隨著三種產(chǎn)品的銷量增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)線性代數(shù)初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra3一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)在初等代數(shù)中，用加減消元法求解二元一次方程組可得若，則方程組的解為

為了研究和記憶的方便一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)易知，二階行列式是由4個(gè)數(shù)按一定的規(guī)律運(yùn)算所得到的代數(shù)和.次對(duì)角線主對(duì)角線一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)解按第一行展開，得一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)類似于二元線性方程組的討論，對(duì)三元線性方程組記若系數(shù)行列式D≠0，則該方程組有唯一解：一、二階、三階行列式的概念與性質(zhì)例9解三元線性方程組解

系數(shù)行列式同理，可得故所求方程組的解為二、矩陣的秩定義

經(jīng)過有限次初等行變換將矩陣A化為行階梯形矩陣,其非零行的行數(shù)稱為矩陣A的秩,記作秩(A)或r(A).注意：矩陣的秩是矩陣的本質(zhì)屬性.可以證明,初等變換不改變矩陣的秩.例10求矩陣的秩.解矩陣B已經(jīng)是行階梯形矩陣,且非零行的行數(shù)為3,故r(A)=3.三、可逆矩陣的性質(zhì)與求逆矩陣1.可逆矩陣的性質(zhì)基本思路：由，根據(jù)矩陣相等列方程組求解.三、可逆矩陣的性質(zhì)與求逆矩陣2.求可逆矩陣的逆矩陣在矩陣可逆的前提下,求它的逆矩陣主要有：定義法和初等行變換法(1)定義法(2)