2024屆安徽亳州闞疃金石中學數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆安徽亳州闞疃金石中學數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設三次函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（）A．的極大值為，極小值為B．的極大值為，極小值為C．的極大值為，極小值為D．的極大值為，極小值為2．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.33．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準線的距離為()A．8 B．6 C．4 D．24．若是兩個非零向量，且，則與的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．函數(shù)的圖象為（）A． B．C． D．6．已知的分布列為：設則的值為（）A． B． C． D．57．某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結論是()A．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關”B．有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星無關”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“學生性別與中學生追星有關”8．若，則A．10 B．15 C．30 D．609．函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）10．在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．設，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件12．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，則實數(shù)a的值為A．5 B．3 C．53 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，則____________．14．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．15．已知，函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是____．16．若隨機變量，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若的最小值為，正實數(shù)，滿足，求的最小值.19．（12分）如圖，已知、兩個城鎮(zhèn)相距20公里，設是中點，在的中垂線上有一高鐵站，的距離為10公里.為方便居民出行，在線段上任取一點（點與、不重合）建設交通樞紐，從高鐵站鋪設快速路到處，再鋪設快速路分別到、兩處.因地質(zhì)條件等各種因素，其中快速路造價為1.5百萬元/公里，快速路造價為1百萬元/公里，快速路造價為2百萬元/公里，設，總造價為(單位：百萬元).（1）求關于的函數(shù)關系式，并指出函數(shù)的定義域；（2）求總造價的最小值，并求出此時的值.20．（12分）學校某社團參加某項比賽，需用木料制作如圖所示框架，框架下部是邊長分別為的矩形，上部是一個半圓，要求框架圍成總面積為.（1）試寫出用料（即周長）關于寬的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）求用料（即周長）的最小值，并求出相應的的值.21．（12分）已知的最小正周期為．(1)求的值；(2)在中，角，，所對的邊分別是為，，，若，求角的大小以及的取值范圍．22．（10分）在直角梯形中，，，，為的中點，如圖1．將沿折到的位置，使，點在上，且，如圖2．（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的正切值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由的圖象可以得出在各區(qū)間的正負，然后可得在各區(qū)間的單調(diào)性，進而可得極值.【題目詳解】由圖象可知：當和時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.所以的極小值為，極大值為.故選C.【題目點撥】本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，解題的突破點是由已知函數(shù)的圖象得出的正負性.2、C【解題分析】因，故由正態(tài)分布的對稱性可知，應選答案C。3、C【解題分析】試題分析：如圖，設拋物線方程為，交軸于點，則，即點縱坐標為，則點橫坐標為，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦點到準線的距離為4，故選B.考點：拋物線的性質(zhì).4、A【解題分析】

畫出圖像：根據(jù)計算夾角為，再通過夾角公式計算與的夾角.【題目詳解】形成一個等邊三角形，如圖形成一個菱形.與的夾角為故答案選A【題目點撥】本題考查了向量的加減和夾角，通過圖形可以簡化運算.5、A【解題分析】

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，對比選項中的函數(shù)圖象，從而可得結果.【題目詳解】因為，所以，時，，在上遞增；時，，在上遞減，只有選項符合題意，故選A.【題目點撥】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.6、A【解題分析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【題目詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【題目點撥】本題考查數(shù)學期望的運算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個變量之間的關系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．7、B【解題分析】

通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項.【題目詳解】解:，可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”，故選B.【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，屬于基礎題.8、B【解題分析】

分析：由于，與已知對比可得的值1．詳解：由于，與已知對比可得故選B.點睛：本題考查二項式定理的應用，觀察分析得到是關鍵，考查分析與轉化的能力，屬于中檔題．9、B【解題分析】對函數(shù)求導，得（x>0）,令解得，因此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選B考點定位：本小題考查導數(shù)問題，意在考查考生利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)本身隱含的定義域10、D【解題分析】分析：將復數(shù)化為最簡形式，求其共軛復數(shù)，找到共軛復數(shù)在復平面的對應點，判斷其所在象限.詳解：的共軛復數(shù)為對應點為，在第四象限，故選D.點睛：此題考查復數(shù)的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導致馬虎丟分.11、C【解題分析】試題分析：當時，，當一正一負時，，當時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．12、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2a-3+a+2=6，求解即可得出結果.【題目詳解】因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N3,4，P根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2a-3+a+2=6，解得a=7故選D【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布的特征，熟記正態(tài)分布的特征即可，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解題分析】

通過，的齊次式，求得的值；再利用兩角和差的正切公式求解.【題目詳解】又解得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)關系以及兩角和差公式的應用，屬于基礎題.14、【解題分析】試題分析：對函數(shù)求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點】導數(shù)的幾何意義【名師點睛】函數(shù)f（x）在點x0處的導數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．15、【解題分析】

根據(jù)已知可得，恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖像，列不等式組解決問題.【題目詳解】,在區(qū)間上單調(diào)遞減，，解得.故填：.【題目點撥】本題考查了已知函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)是單調(diào)遞減，轉化為恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖像列不等式組，得到參數(shù)的取值范圍，一般恒成立的問題也可轉化為參變分離的方法，轉化為求函數(shù)的最值問題.16、【解題分析】

由條件求得，可得正態(tài)分布曲線的圖象關于直線對稱．求得的值，根據(jù)對稱性，即可求得答案.【題目詳解】隨機變量，且，可得，正態(tài)分布曲線的圖象關于直線對稱．，故答案為：．【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）零點分段解不等式即可（2）等價于，由，得不等式即可求解【題目詳解】（1）當時，，當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價于.又因為，所以，即.解得，結合，所以實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉化思想，是中檔題18、（1）；（2）9【解題分析】

（1）可采用零點討論法先求出零點，，再將x分為三段，，，分別進行討論求解（2）采用絕對值不等連式特點求出最小值，再采用均值不等式進行求解即可【題目詳解】解：（1）①當時，，解得；②當時，，恒成立；③當時，，解得；綜上所述，該不等式的解集為.（2）根據(jù)不等連式，所以，，，當且僅當時取等號.故最小值為9.【題目點撥】絕對值不等式的解法常采用零點討論法，分區(qū)間討論時，一定要注意零點處取不取得到的問題，如本題中將x分為三段，，；絕對值不等連式為：，應熟悉均值不等式常見的基本形式，知道基本形式都源于19、（1），()（2）最小值為，此時【解題分析】

（1）由題意，根據(jù)三角形的性質(zhì)，即可得到；（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值．【題目詳解】(1),，，，(2)設則令，又，所以.當,,,單調(diào)遞減；當,,,單調(diào)遞增；所以的最小值為.答：的最小值為(百萬元)，此時【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的實際應用問題，以及利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性與最值問題，其中解答中認真審題，合理建立函數(shù)的關系式，準確利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．20、（1），；（2），此時【解題分析】

（1）根據(jù)面積可得到與的關系，寫出周長即可（2）根據(jù)（1）寫出的，利用均值不等式求解即可.【題目詳解】（1），，，由得.（2），，當且僅當，即等號成立.【題目點撥】本題主要考查了實際問題中的函數(shù)關系，均值不等式，屬于中檔題.21、(1);(2),.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)三角恒等變換的公式，得，根據(jù)周期，得，即，即可求解的值；（2）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡，可得，可得，進而求得，即可求解的取值范圍.試題解析：(1)∵，由函數(shù)的最小正周期為，即，得，∴，∴．（2）∵，∴由正弦定理可得，∴．∵，∴．∵，．∵，∴，∴，∴，∴．22、（1）見解析（2）【解題分析】試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，為正方形，所以在圖中，，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，因為，ABBC，