2024屆北京市對外經(jīng)貿(mào)大學附屬中學數(shù)學高二第二學期期末復習檢測模擬試題含解析

2024屆北京市對外經(jīng)貿(mào)大學附屬中學數(shù)學高二第二學期期末復習檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）A．5 B．6 C．7 D．82．設是實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．設函數(shù)在上存在導函數(shù)，對于任意的實數(shù)，都有，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則的最小值為（）A．4 B．1 C． D．25．“已知函數(shù)，求證：與中至少有一個不少于.”用反證法證明這個命題時，下列假設正確的是（）A．假設且B．假設且C．假設與中至多有一個不小于D．假設與中至少有一個不大于6．一個幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）A． B． C． D．7．若動點與兩定點，的連線的斜率之積為常數(shù)，則點的軌跡一定不可能是（）A．除兩點外的圓 B．除兩點外的橢圓C．除兩點外的雙曲線 D．除兩點外的拋物線8．已知函數(shù)，表示的曲線過原點，且在處的切線斜率均為，有以下命題：①的解析式為；②的極值點有且僅有一個；③的最大值與最小值之和等于零.其中正確的命題個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個9．若隨機變量的數(shù)學期望，則的值是()A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．1611．設隨機變量X~N（0，1），已知，則（）A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.97512．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線條畫出的是一個三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在下列命題中：①兩個復數(shù)不能比較大??；②復數(shù)對應的點在第四象限；③若是純虛數(shù)，則實數(shù)；④若，則；⑤“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充要條件；⑥復數(shù)；⑦復數(shù)滿足；⑧復數(shù)為實數(shù).其中正確命題的是______.（填序號）14．已知函數(shù),若對任意,存在,，則實數(shù)的取值范圍為_____.15．已知某運動員每次投籃命中的概率都為.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出到之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了組隨機數(shù)：據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________.16．已知函數(shù)，則=______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．求：（1）圓C的直角坐標方程；（2）圓C的極坐標方程．18．（12分）甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結束；若三人均猜對，則該小組進入下一輪，該小組最多參加三輪活動．已知每一輪甲猜對歌名的概率是34，乙猜對歌名的概率是23，丙猜對歌名的概率是(I)求該小組未能進入第二輪的概率；(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．19．（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直線AB(2)在(1)的條件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G為垂足，令CG=pCA+qCB+rCB20．（12分）2018年6月14日，國際足聯(lián)世界杯足球賽在俄羅斯舉行了第21屆賽事.雖然中國隊一如既往地成為了看客，但中國球迷和參賽的32支隊伍所在國球迷一樣，對本屆球賽熱情似火，在6月14日開幕式的第二天，我校足球社團從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否收看開幕式情況進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：收看沒收看男生6020女生2020（1）根據(jù)上表說明，能否有99%的把握認為，是否收看開幕式與性別有關?（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看了開幕式的學生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加志愿者宣傳活動.（i）問男、女學生各選取了多少人？（ⅱ）若從這12人中隨機選取3人到校廣播站開展足球項目的宣傳介紹，設選取的3人中女生人數(shù)為X，寫出X的分布列，并求.附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87921．（12分）選修4一5:不等式選講已知函數(shù)，.(1)當時,解不等式；(2)若對任意,存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)有兩個不同極值點，且.（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】，故輸出.2、B【解題分析】

求解不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．【題目詳解】解：設是實數(shù)，若“”則：，即：，不能推出“”若：“”則：，即：，能推出“”由充要條件的定義可知：是實數(shù)，則“”是“”的必要不充分條件；故選：B．【題目點撥】本題考查了充分條件和必要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3、A【解題分析】

記，由可得，所以為奇函數(shù)，又當時，，結合奇函數(shù)性質，可得在上單調(diào)遞減，處理，得，所以，可得出的范圍.【題目詳解】解：因為，所以記，則所以為奇函數(shù)，且又因為當時，，即所以當時，，單調(diào)遞減又因為為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減若則即所以所以故選：A.【題目點撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構造函數(shù)法解決抽象函數(shù)問題，觀察結構特點巧妙構造函數(shù)是關鍵.4、D【解題分析】

由題意得出的一個最大值為，一個最小值為，于此得出的最小值為函數(shù)的半個周期，于此得出答案．【題目詳解】對任意的，成立.所以，，所以，故選D．【題目點撥】本題考查正余弦型函數(shù)的周期性，根據(jù)題中條件得出函數(shù)的最值是解題的關鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數(shù)的周期公式，考查分析問題的能力，屬于中等題．5、B【解題分析】分析：因為與中至少有一個不少于的否定是且，所以選B.詳解：因為與中至少有一個不少于的否定是且，故答案為：B.點睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)兩個數(shù)中至少有一個大于等于a的否定是兩個數(shù)都小于a.6、C【解題分析】

由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體是直三棱柱剪去一個角，其中為等腰直角三角形，，再由棱錐體積剪去棱錐體積求解.【題目詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體是直三棱柱剪去一個角，其中為等腰直角三角形，，

∴該幾何體的體積，

故選：C.【題目點撥】本題考查由三視圖求體積，關鍵是由三視圖還原幾何體，是中檔題.7、D【解題分析】

根據(jù)題意可分別表示出動點與兩定點的連線的斜率,根據(jù)其之積為常數(shù)，求得和的關系式，對的范圍進行分類討論，分別討論且和時，可推斷出點的軌跡.【題目詳解】因為動點與兩定點，的連線的斜率之積為常數(shù)，所以，整理得，當時，方程的軌跡為雙曲線；當時，且方程的軌跡為橢圓；當時，點的軌跡為圓，拋物線的標準方程中，或的指數(shù)必有一個是1,故點的軌跡一定不可能是拋物線，故選D.【題目點撥】本題主要考查直接法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設出動點的坐標，根據(jù)題意列出關于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法①求動點的軌跡方程的.8、C【解題分析】

首先利用導數(shù)的幾何意義及函數(shù)過原點，列方程組求出的解析式，則命題①得到判斷；然后令，求出的極值點，進而求得的最值，則命題②③得出判斷．【題目詳解】∵函數(shù)的圖象過原點，∴．又，且在處的切線斜率均為，∴，解得，∴．所以①正確．又由得，所以②不正確．可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極大值為，極小值為，又，∴，∴的最大值與最小值之和等于零．所以③正確．綜上可得①③正確．故選C．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用以及函數(shù)的極值、最值的求法，考查運算能力和應用能力，屬于綜合問題，解答時需注意各類問題的解法，根據(jù)相應問題的解法求解即可．9、C【解題分析】分析：由題意結合二項分布數(shù)學期望的計算公式求解實數(shù)p的值即可.詳解：隨機變量則的數(shù)學期望，據(jù)此可知：，解得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查二項分布的數(shù)學期望公式及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10、C【解題分析】

試題分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2?=8，當且僅當m=，n=時取等號．故選C．考點：基本不等式在最值問題中的應用．11、C【解題分析】本題考查服從標準正態(tài)分布的隨機變量的概率計算．，選C．12、B【解題分析】

由三視圖得到該幾何體為三棱錐，底面是等腰直角三角形，且，三棱錐的高為1．再由棱錐體積公式求解．【題目詳解】由三視圖還原原幾何體，如圖所示，該幾何體為三棱錐，底面是等腰直角三角形，且，三棱錐的高為1．∴該三棱錐的體積．故選B．【題目點撥】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應公式求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、⑧【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的定義和性質，依次判斷每個選項得到答案.【題目詳解】①當復數(shù)虛部為0時可以比較大小，①錯誤；②復數(shù)對應的點在第二象限，②錯誤；③若是純虛數(shù)，則實數(shù)，③錯誤；④若，不能得到，舉反例，④錯誤；⑤“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件，⑤錯誤；⑥復數(shù)，取，不能得到，⑥錯誤；⑦復數(shù)滿足，取，，⑦錯誤；⑧復數(shù)為實數(shù)，根據(jù)共軛復數(shù)定義知⑧正確.故答案為：⑧.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的性質，定義，意在考查學生對于復數(shù)知識的理解和掌握.14、【解題分析】

利用導數(shù)求函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）轉化為g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【題目詳解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＜0，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，∴f（x）min＝f（0）＝1．對任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函數(shù)g（x）＝x2﹣bx+4的對稱軸為x＝．當≤3，即b≤6時，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；當≥4，即b≥2時，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥2；當3＜＜4，即6＜b＜2時，g（x）在（3，4）上先減后增，，由≤1，解得或b，∴6＜b＜2．綜上，實數(shù)b的取值范圍為[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．【題目點撥】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力，是中檔題．15、0.25【解題分析】由題意知模擬三次投籃的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有：191、271、932、812、393.共5組隨機數(shù)，∴所求概率為.答案為：0.25.16、【解題分析】

先求內(nèi)層函數(shù)值，再求外層函數(shù)值.【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則；故答案為．【題目點撥】本題主要考查分段函數(shù)求值問題，分段函數(shù)的求值問題主要是利用“對號入座”策略.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．（2）．【解題分析】試題分析：利用消去參數(shù)可得圓的直角坐標方程，再利用公式可把直角坐標方程化為極坐標方程.試題解析：（1）圓的直角坐標方程為．5分（2）把代入上述方程，得圓的極坐標方程為．10分考點：參數(shù)方程與普通方程的互化，普通方程與極坐標方程的互化.18、（Ⅰ）34（Ⅱ）ξ的分別列為Eξ=0×1【解題分析】試題分析：（1）分別將甲、乙、丙第i次猜對歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則A（2）利用相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式即可得出．試題解析：分別將甲、乙、丙第i次猜對歌名記為事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)，則（Ⅰ）該小組未能進入第二輪的概率P=P(=P(A（Ⅱ）乙猜對歌曲次數(shù)ξ的可能取值為0,1,2,3，P(ξ=0)=P(AP(ξ=1)=P(A=P(=1P(ξ=2)=P(A==1P(ξ=3)=P(A∴ξ的分別列為Eξ=0×1點睛：本題考查了相互獨立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列的概率與數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、（1）π6；（2）3π4；（3）q=49，【解題分析】

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面A1ACC1的法向量為n=(x,y，z)，則n(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為n=(1,0，1)，取平面ABC的法向量m=(0,0，(3)作CM⊥AB，M為垂足.由B1C⊥平面ABC.可得B1C⊥AB，AB⊥平面MCB作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面ABB1.利用三角形面積計算公式、勾股定理及其CG=pCA【題目詳解】解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，C(0,0，0)，B1(0,0，1)，A(0,-1,0)，CA=(0,-1,0)，CC1=(-1,0，設平面A1ACC1的法向量為n=(x,y∴-y=-x+z=0，取x=1，則n=(1,0，1)cos<∴直線AB1與平面A1(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為取平面ABC的法向量m=(0,0，1)則cos<由圖可知：二面角A1∴二面角A1-AC-B的平面角為(3)作CM⊥AB，M為垂足．由B1C⊥平面又B1∴AB⊥平面MCB∴平面B1CM⊥平面作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面在Rt△MCB1，CM=AC×CBB1B1∴B可得CG=CBCG=pCA+qCB+rCB∴(49,-49∴q=49，p=4【題目點撥】本題考查了空間位置關系、空間角、法向量的應用、數(shù)量積的運算性質、向量相等，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）見解析，【解題分析】

（1）套用公式，算出的值與6.635比較大小，即可得到本題答案；（2）（i）由男女的比例為3：1，即可得到本題答案；（ii）根據(jù)超幾何分布以及離散型隨機變量的均值公式，即可得到本題答案.【題目詳解】（1）因為，所以有99%的把握認為，是否收看開幕式與性別有關.（2）（?。└鶕?jù)分層抽樣方法得，男生人，女生人，所以選取的12人中，男生有9人，女生有3人.（ⅱ）由題意可知，X的可能取值有0，1，2，3.，，，X0123P∴.【題目點撥】本題主要考查分層抽樣，獨立性檢驗的應用和超幾何分布以及其分布列均值的求法，考查學生的運算求解能力.21、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）當時，，分段討論即可；（2