浙江省杭州市高級中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

浙江省杭州市高級中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“”的否定是()A． B．C． D．2．若方程在區(qū)間（-1,1）和區(qū)間（1,2）上各有一根,則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．或3．雙曲線經(jīng)過點，且離心率為3，則它的虛軸長是（）A． B． C．2 D．44．甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶35．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A．144個 B．120個 C．96個 D．72個6．命題“任意”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．7．“”是“圓：與圓：外切”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分條件也不必要條件8．若函數(shù)f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則g(x)＝的圖象是()A． B． C． D．9．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．10．若函數(shù)，函數(shù)有3個零點，則k的取值范圍是()A．（0，1） B． C． D．11．設(shè)集合，則A． B． C． D．12．已知點A0,2，拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準(zhǔn)線相交于點N，若FMA．18B．14C．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，的最大值為，則實數(shù)的值為_______．14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且15．將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得________．16．已知，則展開式中項的系數(shù)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知非零向量，且，求證：．18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，是的中點，是的中點.(1)求此四棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)求證：平面平面．19．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知．（Ⅰ）求證：為等腰三角形；（Ⅱ）若是鈍角三角形，且面積為，求的值．20．（12分）如圖，直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，是的中點，是的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖所示，四棱錐中，底面，，為中點.（1）試在上確定一點，使得平面；（2）點在滿足（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出直線l經(jīng)過的定點的直角坐標(biāo)，并求曲線的普通方程；(2)若，求直線的極坐標(biāo)方程，以及直線l與曲線的交點的極坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

命題的否定：任意變存在，并對結(jié)論進行否定.【題目詳解】命題的否定需要將限定詞和結(jié)論同時否定，題目中：為限定詞，為條件，為結(jié)論；而的否定為，的否定為，所以的否定為故本題正確答案為C.【題目點撥】本題考查了命題的否定,屬于簡單題.2、B【解題分析】

函數(shù)f（x）＝在區(qū)間（﹣1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個零點，則，解得即可．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）＝ax2﹣2x+1在區(qū)間（﹣1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個零點，∴，即，解得a＜1，故選B．【題目點撥】本題考查函數(shù)零點的判斷定理，理解零點判定定理的內(nèi)容，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式組是解本題的關(guān)鍵．3、A【解題分析】

根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點和離心率，結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進而求得虛軸長.【題目詳解】將點代入雙曲線方程及離心率為得，解得，故虛軸長，故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.解題過程中要注意：虛軸長是而不是.4、A【解題分析】

設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案?！绢}目詳解】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，則，，所以【題目點撥】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體，分別求出甲乙丙的半徑，即可得出答案。5、B【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個；進而對首位數(shù)字分2種情況討論，①首位數(shù)字為5時，②首位數(shù)字為4時，每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況，再安排剩余的三個位置，由分步計數(shù)原理可得其情況數(shù)目，進而由分類加法原理，計算可得答案．解：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個，末位數(shù)字為0、2、4中其中1個；分兩種情況討論：①首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43=24種情況，此時有3×24=72個，②首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，有A43=24種情況，此時有2×24=48個，共有72+48=120個．故選B考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題．6、C【解題分析】試題分析：對此任意性問題轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)，即，，若是原命題為真命題的一個充分不必要條件，那應(yīng)是的真子集，故選C.考點：1.集合；2.充分必要條件.7、B【解題分析】

由圓：與圓：外切可得，圓心到圓心的距離是求出的值，然后判斷兩個命題之間的關(guān)系?！绢}目詳解】由圓：與圓：外切可得，圓心到圓心的距離是即可得所以“”是“圓：與圓：外切”的充分不必要條件。【題目點撥】本題考查了兩個圓的位置關(guān)系及兩個命題之間的關(guān)系，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想。屬于中檔題。8、C【解題分析】本題考查指數(shù)型函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性；對數(shù)函數(shù)的圖像及圖像的平移變換.因為是奇函數(shù)，所以恒成立，整理得：恒成立，所以則又函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以于是函數(shù)的圖像是由函數(shù)性質(zhì)平移1個單位得到.故選C9、B【解題分析】

函數(shù)，，令，解得x．利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【題目詳解】函數(shù)，，令，解得．∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．∴時函數(shù)取得極大值即最大值．．故選B．【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．求三角函數(shù)的最值問題，一般是通過兩角和差的正余弦公式將函數(shù)表達(dá)式化為一次一角一函數(shù)，或者化為熟悉的二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)來解決.10、A【解題分析】

畫出的圖像，有3個零點等價于有3個交點?！绢}目詳解】有3個零點等價于有3個交點記則過原點作的切線，有3個零點等價于有3個交點記則過原點作的切線，設(shè)切點為則切線方程為：，又切線過原點，即，將，，代入解得，所以切線斜率所以【題目點撥】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查了函數(shù)零點個數(shù)的問題，屬于中檔題。11、A【解題分析】由題意，故選A.點睛:集合的基本運算的關(guān)注點：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．12、C【解題分析】試題分析：設(shè),是點到準(zhǔn)線的距離，,|FM||MN|=55,即,那么,即直線的斜率是-2，所以，解得，故選C．考點：拋物線的簡單性質(zhì)【思路點睛】此題考察拋物線的性質(zhì)，和數(shù)形結(jié)合思想的考察，屬于偏難點的基礎(chǔ)題型，對于拋物線的考察不太同于橢圓和雙曲線，對應(yīng)拋物線的基礎(chǔ)題型，當(dāng)圖形中有點到焦點的距離，就一定聯(lián)想到點到準(zhǔn)線的距離，再跟據(jù)平面幾何的關(guān)系分析，比如此題，|FM||MN|=55，轉(zhuǎn)化為，那分析圖像等于知道的余弦值，也就知道了直線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求導(dǎo)后，若，則，可驗證出不合題意；當(dāng)時，求解出的單調(diào)性，分別在，，三種情況下通過最大值取得的點構(gòu)造關(guān)于最值的方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，解得：，不合題意，舍去當(dāng)時，令，解得：，可知在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增①當(dāng)，即時，解得：，不合題意，舍去②當(dāng)，即時，，解得：③當(dāng)，即時解得：，不合題意，舍去綜上所述：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是對于含有參數(shù)的函數(shù)，通過對極值點位置的討論確定最值取得的點，從而可利用最值構(gòu)造出方程，求解出參數(shù)的取值范圍.14、π【解題分析】依題意，由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=1215、【解題分析】

在曲線極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以，由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程.【題目詳解】在曲線極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，故答案為：.【題目點撥】本題考查曲線極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，解題時充分利用極坐標(biāo)與普通方程之間的互化公式，考查運算求解能力，屬于中等題.16、-2【解題分析】

利用定積分可求=2，則二項式為，展開式的通項：．令5-2r=-1，解得r=1．繼而求出系數(shù)即可．【題目詳解】∵=2，則二項式的展開式的通項：，令5-2r=-1，解得r=1．∴展開式中x-1的系數(shù)為.故答案為：-2．【題目點撥】本題考查二項式定理通項的應(yīng)用，根據(jù)通項公式展開即可，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解題分析】

?．同時注意，，將要證式子等價變形，用分析法即可獲證．【題目詳解】解：∵∴，要證，只需證，只需證，只需證，只需證0，即，上式顯然成立，故原不等式得證．【題目點撥】用分析法證明，即證使等式成立的充分條件成立．注意應(yīng)用條件?和．18、（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【解題分析】

(1)由題意，根據(jù)棱錐的體積，即求解該四棱錐的體積；(2)在上取中點為，連接和，證得，利用線面平行的判定定理，即可求解.(3)∵，，得到平面，進而得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面⊥平面．【題目詳解】(1)四棱錐的體積.(2)證明：在上取中點為，連接和，則易得，且，且故四邊形為平行四邊形，故，又面，面故面.(3)證明：∵，，又，∴平面，又平面，∴，又，∴平面．∴平面．又面，∴平面⊥平面．【題目點撥】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）將正切化弦，結(jié)合兩角和差正弦公式可求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和可整理為，則由正弦定理可得到結(jié)論；（Ⅱ）利用三角形面積公式可求得；根據(jù)三角形為鈍角三角形且（Ⅰ）中的，可知為鈍角，求得；利用余弦定理可構(gòu)造方程求得之間關(guān)系，從而得到所求結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）由得：則：由正弦定理可知：為等腰三角形（Ⅱ）由題意得：，解得：為鈍角三角形，且為鈍角由余弦定理得：【題目點撥】本題考查三角形形狀的求解、利用余弦定理、三角形面積公式求解三角形邊之間的關(guān)系問題，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)值的求解等知識.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

(1)由題意可得平面即可得，再利用可以得到，由線面垂直判斷定理可得平面，然后根據(jù)面面垂直判斷定理可得結(jié)論；(2)先以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，再求出平面的法向量和平面的法向量，由數(shù)量積公式求出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）∵三棱柱為直三棱柱，，∴平面，∴，∵是的中點，是的中點，∴，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則即，令得，又平面的法向量，∴，即二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查了面面垂直的證明，向量法求二面角的余弦值，考查了學(xué)生的邏輯推理以及計算能力，屬于一般題.21、(1).(2).【解題分析】【試題分析】（1）先確定點的位置為等分點，再運用線面平行的判定定理進行證明平面；（2）借助（1）的結(jié)論，及線面角的定義構(gòu)造三角形找出直線與平面所成角，再通過解直角三角形求出其正弦值：解：(1)證明:平面PAD.過M作交PA于E,連接DE.因為,所以，又，故,且，即為平行四邊形,則,又平面PAD,平面PAD,平面；(2)