數(shù)學(xué)-專項(xiàng)07 全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型（原版）

專題07全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型【模型展示】特點(diǎn)已知：在△ABC中，D為AC中點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)到E使得DE=BD，連接AE則：BC平行且等于AE．【證明】延長(zhǎng)BD到E，使DE＝BD，連接CE，∵AD是斜邊BC的中線∴AD＝CD∵∠ADE＝∠BDC∴△ADE≌△BDC（SAS）∴AE＝BC，∠DBC＝∠AED∴AE∥BC結(jié)論倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。

【模型證明】解決方案方法一：已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，則：AB＝CD．【證明】延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF＝DE．∵E是BC的中點(diǎn)∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，∴△BEF≌△CED（SAS）．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．方法二：

【證明】作BF⊥DE于點(diǎn)F，CG⊥DE于點(diǎn)G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法三：作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∴∠F＝∠BAE．又∵∠BAE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．【題型演練】一、解答題1．如圖，中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且．(1)求證：≌；(2)若，，試求DE的長(zhǎng)．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過的“倍長(zhǎng)中線”加倍構(gòu)造全等，就可以測(cè)量CD與AB數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)小明的思路，寫出CD與AB的數(shù)景關(guān)系，并證明這個(gè)結(jié)論．

3．我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點(diǎn)P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問題，按照這個(gè)思路回答下列問題．①請(qǐng)?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．4．【發(fā)現(xiàn)問題】小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：如圖1，AD是△ABC的中線，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范圍．【探究方法】小強(qiáng)所在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED＝AD，連接BE．可證出△ADC與△EDB，利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長(zhǎng)與AD轉(zhuǎn)化到同一個(gè)△ABE中，進(jìn)而求出AD的取值范圍．方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線AD延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種方法叫做倍長(zhǎng)中線法．【應(yīng)用方法】（1）請(qǐng)你利用上面解答問題的方法思路，寫出求AD的取值范圍的過程；【拓展應(yīng)用】

（2）已知：如圖2，AD是△ABC的中線，BA＝BC，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，EC＝BC．寫出AD與AE之間的數(shù)量關(guān)系并證明．5．[問題背景]①如圖1，CD為△ABC的中線，則有S△ACD＝S△BCD；②如圖2，將①中的∠ACB特殊化，使∠ACB＝90°，則可借助“面積法”或“中線倍長(zhǎng)法”證明AB＝2CD；[問題應(yīng)用]如圖3，若點(diǎn)G為△ABC的重心（△ABC的三條中線的交點(diǎn)），CG⊥BG，若AG×BC＝16，則△BGC面積的最大值是（）A．2B．8C．4D．66．先閱讀，再回答問題：如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），進(jìn)一步可得到AB=CE，AB∥CE等結(jié)論．在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且BF=AC，連結(jié)并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF．

7．（1）如圖1，若△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE，可以得到△ABD≌△ECD，這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長(zhǎng)中線法”.求證：△ACE是直角三角形（2）如圖2，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF.試說明BE2+CF2=EF2；（3）如圖3，在（2）的條件下，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面積.8．（1）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長(zhǎng)AD到Q，使得DQ＝AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14，則AD的取值范圍是_____________．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）請(qǐng)你寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明．

（3）思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°．試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明．9．在利用構(gòu)造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，怎樣求AD的取值范圍呢？我們可以延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD＝DE，然后連接BE（如圖①），這樣，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下來，在△ABE中通過AE的長(zhǎng)可求出AD的取值范圍．請(qǐng)你回答：（1）在圖①中，中線AD的取值范圍是．（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問題①如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，作DF⊥DE交AC邊于點(diǎn)F，連接EF，若BE＝4，CF＝2，請(qǐng)直接寫出EF的取值范圍．②如圖③，在四邊形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上，且滿足BC＝CF，DF＝AD，連接CE、ED，請(qǐng)判斷CE與ED的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

10．閱讀材料，解答下列問題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線．延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進(jìn)一步可得到AC=BE，AC//BE等結(jié)論．在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題．解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，且BF=AC，連結(jié)并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF．11．（1）如圖1所示，在中，為的中點(diǎn)，求證：甲說：不可能出現(xiàn)，所以此題無法解決；乙說：根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，結(jié)合我們新學(xué)的平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接、，由于，所以可得四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫出此處的依據(jù)_______________________________________（平行四邊形判定的文字描述）所以，中，，即請(qǐng)根據(jù)乙提供的思路解決下列問題：（2）如圖2，在中，為的中點(diǎn)，，，，求的面積；（3）如圖3，在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接交于，若．求證：．12．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），

①延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．13．【閱讀理解】倍長(zhǎng)中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖①，在中，是邊上的中線，若延長(zhǎng)至，使，連接，可根據(jù)證明，則．(1)【類比探究】如圖②，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求中線的取值范圍；(2)【拓展應(yīng)用】如圖③，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若是的平分線．試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．14．閱讀下面材料：小軍遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．

（1）小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問題．他的做法是：如圖2，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請(qǐng)回答：AD的取值范圍是．（2）參考小軍思考問題的方法，解決問題：如圖3，△ABC中，E為AB中點(diǎn)，P是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．求證：PA?CD＝PC?BD．15．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．(1)如圖1，是的中線，，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是___________．(2)如圖2，是的中線，點(diǎn)E在邊上，交于點(diǎn)F，且，求證：；16．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；

（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．17．問題探究：數(shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們解決這樣的一個(gè)問題：如圖①，已知E是的中點(diǎn)，點(diǎn)A在上，且．求證：．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或者等腰三角形的性質(zhì)．本題中要證相等的兩條線段不在同一個(gè)