2024年復(fù)附高一下期中試卷含答案

2023-2024學(xué)年上海市復(fù)旦附中高一年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.已知，，則_________.2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)m的值為__________.3.向量在向量方向上的投影為___________.4.在△ABC中，若，，，則___________.5.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則_________.6.方程在區(qū)間上的所有解的和為__________.7.設(shè)，，且，則_______.8.在△ABC中，邊a，b，c滿足，，則邊c的最小值為__________.9.在直角三角形中，，，，點是外接圓上的任意一點，則的最大值是___________.10.在銳角三角形ABC中，，，點O為△ABC的外心，則的取值范圍為__________.11.如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M為BD的中點，設(shè)P、Q分別為線段AB、CD上的動點，若P、M、Q三點共線，則的最大值為__.12.設(shè)函數(shù)，若恰有個零點，.則下述結(jié)論中:①若恒成立，則的值有且僅有個；②在上單調(diào)遞增；③存在和，使得對任意恒成立；④“”是“方程在恰有五個解”的必要條件.所有正確結(jié)論編號是______________；二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件14.已知頂點在原點的銳角，始邊在x軸的非負(fù)半軸，始終繞原點逆時針轉(zhuǎn)過后交單位圓于，則的值為（）A. B. C. D.15.某港口某天0時至24時的水深（米）隨時間（時）變化曲線近似滿足如下函數(shù)模型（）.若該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只有3個時刻水深為3米，則該港口該天水最深的時刻不可能為（）A.16時 B.17時 C.18時 D.19時16.設(shè)是的垂心，且，則的值為（）A B. C. D.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程.（1）若復(fù)數(shù)z是該方程一個虛根，且，求m的值；（2）記方程的兩根為和，若，求m的值.18.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間與對稱軸方程；（2）若，關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)根，，求實數(shù)的取值范圍及的值.19.近年來,為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,以中點A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點在弧BC上（不與端點重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設(shè).（1）如果點P位于弧BC中點,求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;（2）“地攤經(jīng)濟”對于“拉動靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開辟臨時攤點,積極推進“地攤經(jīng)濟”發(fā)展,預(yù)計每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高為多少?（精確到1萬元）20.在平面直角坐標(biāo)系中，，設(shè)點，是線段AB的n等分點，其中，.（1）當(dāng)時，使用，表示，；（2）當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)時，求（，，i，）的最小值.21.對于函數(shù)，，如果存在一組常數(shù)，，…，（其中k為正整數(shù)，且）使得當(dāng)x取任意值時，有則稱函數(shù)為“k級周天函數(shù)”.（1）判斷下列函數(shù)否是“2級周天函數(shù)”，并說明理由：①；②；（2）求證：當(dāng)時，是“3級周天函數(shù)”；（3）設(shè)函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.2024-2024學(xué)年上海市復(fù)旦附中高一年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.已知，，則_________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式與平方和關(guān)系求解即可.【詳解】因為，所以，所以故答案為：2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)m的值為__________.【答案】##0.2【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)z，然后根據(jù)虛部為0可得.【詳解】因為為實數(shù)，所以，所以

故答案為：3.向量在向量方向上的投影為___________.【答案】【解析】【分析】由向量投影公式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】向量在方向上的投影為.故答案為：.4.在△ABC中，若，，，則___________.【答案】【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和求得，然后由正弦定理求得．【詳解】由三角形內(nèi)角和定理可得：，因為，，由正弦定理可得，故答案為：.5.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算化簡求得復(fù)數(shù)z，然后求模.【詳解】，所以故答案為：6.方程在區(qū)間上的所有解的和為__________.【答案】##【解析】【分析】利用倍角余弦公式得到關(guān)于的一元二次方程求解，由正弦函數(shù)值求，即可得結(jié)果.【詳解】由，即，解得或，在，當(dāng)時，當(dāng)時或，所以所有解的和為.故答案為：7.設(shè)，，且，則_______.【答案】1【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可得．【詳解】因為，所以.故答案為:1.8.在△ABC中，邊a，b，c滿足，，則邊c的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式和結(jié)合余弦定理即可求解的最小值．【詳解】由余弦定理可得當(dāng)且僅當(dāng)時，即取等號，所以.故答案為：.9.在直角三角形中，，，，點是外接圓上的任意一點，則的最大值是___________.【答案】45【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用圓的方程設(shè)點的坐標(biāo)，計算的最大值．【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，外接圓，設(shè)，，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以的最大值是45．故答案：45．10.在銳角三角形ABC中，，，點O為△ABC的外心，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】三角形外接圓的性質(zhì)、正弦定理得、，、，利用向量數(shù)量積的運算律轉(zhuǎn)化求.【詳解】，因為銳角三角形中，所以，，所以，，又，即，則且，則，即.故答案為：11.如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M為BD的中點，設(shè)P、Q分別為線段AB、CD上的動點，若P、M、Q三點共線，則的最大值為__.【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由P、M、Q三點共線，設(shè)，求得，代入計算知，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得最值.【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，又Q是線段CD上的動點，設(shè)，則，可得設(shè)，，由P、M、Q三點共線，設(shè)利用向量相等消去可得：，令，，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查向量的坐標(biāo)運算，求解向量坐標(biāo)運算問題的一般思路：向量的坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運算，使得向量的線性運算可用坐標(biāo)進行，實現(xiàn)了向量坐標(biāo)運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密的結(jié)合起來，建立直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)數(shù)量運算，考查學(xué)生的邏輯思維與運算能力，屬于較難題.12.設(shè)函數(shù)，若恰有個零點，.則下述結(jié)論中:①若恒成立，則的值有且僅有個；②在上單調(diào)遞增；③存和，使得對任意恒成立；④“”是“方程在恰有五個解”的必要條件.所有正確結(jié)論的編號是______________；【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)條件畫出的圖像，結(jié)合圖像和逐一判斷即可.【詳解】恰有個零點，，，函數(shù)的圖像如圖：①如圖，即有兩個交點，正確；②結(jié)合右圖，且當(dāng)時，在遞增，錯誤；③，，，存在為最小值，為最大值，正確；④結(jié)合右圖，若方程在內(nèi)恰有五個解，需滿足，即，同時結(jié)合左圖，當(dāng)，不一定有五個解，正確.故答案為：①③④.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，屬于難題.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義判斷充分性，再舉反例判斷必要性即可【詳解】由題意，為純虛數(shù)則設(shè)，則；當(dāng)時，可取，則為純虛數(shù)不成立.故“為純虛數(shù)”是“”的充分非必要條件故選：A14.已知頂點在原點的銳角，始邊在x軸的非負(fù)半軸，始終繞原點逆時針轉(zhuǎn)過后交單位圓于，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出，然后湊角結(jié)合兩角差的正弦公式求出.【詳解】由題意得(為銳角)∵為銳角，∴，∴故選：B15.某港口某天0時至24時的水深（米）隨時間（時）變化曲線近似滿足如下函數(shù)模型（）.若該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只有3個時刻水深為3米，則該港口該天水最深的時刻不可能為（）A.16時 B.17時 C.18時 D.19時【答案】D【解析】【分析】本題是單選題，利用回代驗證法，結(jié)合五點法作圖以及函數(shù)的最值的位置，判斷即可．【詳解】解：由題意可知，時，，由五點法作圖可知：如果當(dāng)時，函數(shù)取得最小值可得：，可得，此時函數(shù)，函數(shù)的周期為：，該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只有3個時刻水深為3米，滿足，如果當(dāng)時，函數(shù)取得最小值可得：，可得，此時函數(shù)，函數(shù)的周期為：，時，，如圖：該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只有3個時刻水深為3米，不滿足，故選：D．【點睛】本題考查三角函數(shù)的模型以及應(yīng)用，三角函數(shù)的周期的判斷與函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是難題．16.設(shè)是的垂心，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角形垂心性質(zhì)及已知條件可求得，，由向量夾角公式即可求解．【詳解】由三角形垂心性質(zhì)可得，，不妨設(shè)x，∵345，∴，∴，同理可求得，∴．故選：D．【點睛】本題考查平面向量的運用及向量的夾角公式，解題的關(guān)鍵是由三角形的垂心性質(zhì)，進而用同一變量表示出，要求學(xué)生有較充實的知識儲備，屬于中檔題．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程.（1）若復(fù)數(shù)z是該方程的一個虛根，且，求m的值；（2）記方程的兩根為和，若，求m的值.【答案】（1）－2（2）或【解析】【分析】（1）利用，結(jié)合韋達定理可求解.（2）分討論方程的兩根為實根還是虛數(shù)根兩種情況討論，結(jié)合韋達定理可求解.【小問1詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，由韋達定理可得，所以；【小問2詳解】解：若方程的兩根為實數(shù)根，則，解得，若方程的兩根為虛數(shù)根，則設(shè)，，可得，則，，，所以，所以，由韋達定理可得，所以，此時，滿足題意，綜上，或18.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間與對稱軸方程；（2）若，關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)根，，求實數(shù)的取值范圍及的值.【答案】（1），；，（2），【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，結(jié)合正弦函數(shù)的基準(zhǔn)減區(qū)間和對稱軸求得的嚴(yán)格減區(qū)間和對稱軸；（2）方程化簡得和，由正弦函數(shù)性質(zhì)和的范圍，同時得出和，求得結(jié)論．【小問1詳解】，解得，令，解得，所以函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為，，對稱軸方程為；【小問2詳解】，即，形為，所以，當(dāng)，有一個解，不妨設(shè)為，則，即有不同于的兩個解，因為，所以，且上嚴(yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，要想有不同于的兩個解，則，解得，此時的兩根關(guān)于對稱，則，所以.19.近年來,為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,以中點A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點在弧BC上（不與端點重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設(shè).（1）如果點P位于弧BC的中點,求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;（2）“地攤經(jīng)濟”對于“拉動靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開辟臨時攤點,積極推進“地攤經(jīng)濟”發(fā)展,預(yù)計每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高為多少?（精確到1萬元）【答案】（1）(米)（2）2022萬元【解析】【分析】(1)根據(jù)圖依次求出三條線段長度即可求出總長度;(2)將PQ、PR、RQ三邊通過圖中的關(guān)系用關(guān)于的等式表示,再記經(jīng)濟總效益,將進行表示,通過輔助角公式化簡求出最值即可.【小問1詳解】解:由題,,同理,故,由于點P位于弧BC的中點,所以點P位于的角平分線上,則,,因為,,所以為等邊三角形,則,因此三條街道的總長度為（米）.小問2詳解】由圖可知,,,,在中由余弦定理可知:,則,設(shè)三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益,則,當(dāng)即時取最大值,最大值為.答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟總效益最高約為2022萬元.20.在平面直角坐標(biāo)系中，，設(shè)點，是線段AB的n等分點，其中，.（1）當(dāng)時，使用，表示，；（2）當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)時，求（，，i，）的最小值.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運算求解；（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解；（3）據(jù)向量的坐標(biāo)運算可得，結(jié)合函數(shù)分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，當(dāng)時，所以，.【小問2詳解】因為，則，由（1）可得：，當(dāng)時，則，，所以因為，所以，.【小問3詳解】當(dāng)時，，，可得，，，構(gòu)建，①當(dāng)，7，8，9時，，可得當(dāng)時，上式有最小值；②當(dāng)時，，③當(dāng)，2，3，4時，，可得當(dāng)時，上式有最小值；綜上所述：的最小值為.21.對于函數(shù)，，如果存在一組常數(shù)，，…，（其中k為正整數(shù)，且）使得當(dāng)x取任意值時，有則稱函數(shù)為“k級周天函數(shù)”.（1）判斷下列函數(shù)是否是“2級周天函數(shù)”，并說明理由：①；②；（2）求證：當(dāng)時，是“3級周天函數(shù)”；（3）設(shè)函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.【答案】（1）是，不是；理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）令，，然后化簡，根據(jù)定義可知；（2）令，，，然后化簡，從而得證；（3）若，則，取，則；若，則利用反證法證明即可；若時，由，可得，從而可得結(jié)論【小問1詳解】令，，則，所以是“2級周天函數(shù)”；，不對任意x都成立，所以不是“2級周天函數(shù)”；【小問2詳解】令，，，則所以是“3級周天函數(shù)”；【小問3詳解】對其進行分類討論：1°若，則，此時取，則；2°若，采用反證法，若不存在，使得，則恒成立，由（2）可知是“3級周天函數(shù)”，所以，所以，因為，，，所以，再由恒成立，所以，

進而可得，這與b，c，d是不全為0矛盾，故存在，使得；3°若，由，，得，所以存在，使得，所以命題成立.格致中學(xué)高一期中考試數(shù)學(xué)試卷202404一.填空題（本大題滿分36分，本大題共有12題）1.若點是角終邊上的一點，且，則的值是______.2.復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的模是______.3.函數(shù)的定義域為________.4.在中，，，若點滿足，則________.5.如果，那么______．6.已知向量，點，向量與方向相同，且，則點的坐標(biāo)為______．7.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則=______.8.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則__．(結(jié)果用數(shù)值表示)9.在中，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊的取值范圍是______.10.定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，的最小正周期是，且當(dāng)時，，則的值為______.11.設(shè)，為單位向量，非零向量，．若，的夾角為，則的最大值等于________．12.某同學(xué)對函數(shù)進行研究后，得出以下五個結(jié)論：①函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；②函數(shù)對定義域中任意的值，恒有成立；③函數(shù)的圖象與軸有無窮多個交點，且每相鄰兩個交點間的距離相等；④對于任意常數(shù)，存在常數(shù)，函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，且；⑤當(dāng)常數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個公共點.其中結(jié)論正確的序號是______.二.選擇題（本大題滿分12分，本大題共有4題）13.設(shè)復(fù)平面上表示和的點分別為點A和點B，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限14.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件15.設(shè)函數(shù)，其中，，若對任意的恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.圖像關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增 D.過點的直線與函數(shù)的圖像必有公共點16.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ三.解答題（本大題滿分52分，本大題共有4題）17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．（1）若，且的面積，求a，b的值；（2）若，判斷的形狀．18.已知關(guān)于的方程的一個根為.（1）求方程另一個根及實數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)，使時，不等式對恒成立？若存在，試求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.19.已知向量，，.（1）求和；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.20.在某個旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫.其中，正整數(shù)表示月份且，例如時表示1月份，A和是正整數(shù)，.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.（1）試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的的表達式；（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過400人時，該地區(qū)就進入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺季？請說明理由.格致中學(xué)高一期中考試數(shù)學(xué)試卷2024.04一.填空題（本大題滿分36分，本大題共有12題）1.若點是角終邊上的一點，且，則的值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義列式求解，注意三角函數(shù)符號的判斷.【詳解】由題意可得：，且，解得或（舍去），所以的值是.故答案為：.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是______.【答案】【解析】【分析】現(xiàn)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算花間，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的莫的計算公式即可得解.【詳解】，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，模為.故答案為：.3.函數(shù)的定義域為________.【答案】【解析】【分析】由表達式可得：，結(jié)合余弦函數(shù)圖象可得結(jié)果.【詳解】解：由表達式可得：，即，∴，函數(shù)定義域為，故答案為：【點睛】本題考查余弦型復(fù)合函數(shù)的定義域，考查三角不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.4.在中，，，若點滿足，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求解即可【詳解】因為，所以－＝(－)，即＝＋，故故答案為：5如果，那么______．【答案】i【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)除法、乘方運算求得正確答案.【詳解】因為，故，所以，故，，故.故答案為：6.已知向量，點，向量與方向相同，且，則點的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，結(jié)合題意列出方程組，解出方程組即可求解.【詳解】設(shè)，則，因向量與方向相同，且，所以，計算得，因此點的坐標(biāo)為.故答案為：.7.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則=______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：考點：本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、已知三角函數(shù)值求角．點評：綜合題，純虛數(shù)即復(fù)數(shù)的實部為0且虛部不為0.8.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則__．(結(jié)果用數(shù)值表示)【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)投影公式求得，再代入數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因為向量在向量方向上的投影向量為，且，所以，所以，則．故答案為：9.在中，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的性質(zhì)可得，分類討論，結(jié)合題意列式求解即可.【詳解】由三角形可得，解得，若該三角形為鈍角三角形，注意到，則角為鈍角或角為鈍角，可得或，即或，解得或，故邊的取值范圍是.故答案為：.10.定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，的最小正周期是，且當(dāng)時，，則的值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合周期性和奇偶性分析運算.【詳解】由題意可得.故答案為：.11.設(shè)，為單位向量，非零向量，．若，的夾角為，則的最大值等于________．【答案】2【解析】【分析】由題意，可得，，從而可得當(dāng)時，；當(dāng)時，，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值，比較大小即可得答案．【詳解】解：，為單位向量，和的夾角等于，，當(dāng)時，則；非零向量，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，取得最大值為2，綜上，取得最大值為2．故答案為：2．12.某同學(xué)對函數(shù)進行研究后，得出以下五個結(jié)論：①函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；②函數(shù)對定義域中任意的值，恒有成立；③函數(shù)的圖象與軸有無窮多個交點，且每相鄰兩個交點間的距離相等；④對于任意常數(shù)，存在常數(shù)，函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，且；⑤當(dāng)常數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個公共點.其中結(jié)論正確的序號是______.【答案】①②④【解析】【分析】分析函數(shù)奇偶性，可判斷①；利用三角函數(shù)線以及正弦型函數(shù)的有界性可判斷②；取函數(shù)與軸的三個相鄰交點、、，可判斷③；取，，可判斷④；取，數(shù)形結(jié)合可判斷⑤.【詳解】對于①，函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，①對；對于②，當(dāng)時，如下圖所示：在單位圓中，設(shè)，過點作軸，垂足為點，則，，，即，可得，則，當(dāng)時，，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，故對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，，②對；對于③，由可得，即，取函數(shù)與軸的三個相鄰交點、、，點、之間的距離為，點、之間的距離為，③錯；對于④，當(dāng)時，函數(shù)、在上均為減函數(shù)，且當(dāng)時，，，對于任意常數(shù)，存在常數(shù)，且，使得，當(dāng)、時，，即，，即，所以，，所以，函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，取，，則，④對；對于⑤，由④可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：取點，當(dāng)點在直線上，，可得，結(jié)合圖象可知，直線與函數(shù)的圖象至少兩個交點，⑤錯.故答案為：①②④.二.選擇題（本大題滿分12分，本大題共有4題）13.設(shè)復(fù)平面上表示和的點分別為點A和點B，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求出，即可得出向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點所在象限.【詳解】復(fù)平面上表示和點分別為點A和點B，則，所以，所以向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于第一象限.故選：A.14.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】若，令，滿足，但；若，則一定成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B15.設(shè)函數(shù)，其中，，若對任意的恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的圖像關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增 D.過點的直線與函數(shù)的圖像必有公共點【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，進而根據(jù)函數(shù)在處取得最大值求出參數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷答案.【詳解】由題意，，，而函數(shù)在處取得最大值，所以，所以，，則.對A，因為，即，A錯誤；對B，因為，所以B錯誤；對C，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C錯誤；對D，因為的最大值為，而，所以過點的直線與函數(shù)的圖象必有公共點，D正確.故選：D.16.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ【答案】B【解析】【分析】由題意首先確定面積最大時點P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點時，陰影部分的面積S取最大值，此時∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.【點睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.三.解答題（本大題滿分52分，本大題共有4題）17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．（1）若，且的面積，求a，b的值；（2）若，判斷的形狀．【答案】（1）；（2）是直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得，由三角形面積得到，進而即得；（2）根據(jù)題中條件及兩角和與差的正弦公式，得到，求出或，進而可