廣東省汕頭市大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省汕頭市大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則＝（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.設(shè)則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知函數(shù)f（x）=，若f（2a+1）＞f（3），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1）參考答案：A【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】作圖題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】作函數(shù)f（x）=的圖象，從而結(jié)合圖象可化不等式為|2a+1|＞3，從而解得．【解答】解：作函數(shù)f（x）=的圖象如下，，分段函數(shù)f（x）的圖象開(kāi)口向上，且關(guān)于y軸對(duì)稱；f（2a+1）＞f（3）可化為|2a+1|＞3，解得，a＞1或a＜﹣2；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．4.若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A.(2,+∞) B.(－∞,2)C.(－∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2)參考答案：D【分析】利用不等式的解集是R,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)值大于0恒成立,利用判別式即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】由題意知不等式的解集為R即的函數(shù)值在R上大于0恒成立由二次函數(shù)開(kāi)口向上可知,滿足判別式R恒成立即可即,即解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立條件的應(yīng)用,將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.對(duì)于平面、、和直線a、b、m、n,下列命題中真命題是()A.若,則B.若,則C.若則D.若,則參考答案：C試題分析：對(duì)于平面、、和直線、,真命題是“若，，，則”.考點(diǎn)：考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系.6.（5分）已知函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ǎ?A． （﹣∞，1] B． （﹣∞，21] C． （﹣∞，﹣）∩（﹣，1] D． （﹣∞，﹣）∪（﹣，1]參考答案：D考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法．專題： 計(jì)算題．分析： 由題意可得，解不等式可求函數(shù)的定義域解答： 解：由題意可得∴∴函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿龋ī伖蔬xD點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了含有分式及根式的函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)試題7.（5分）過(guò)點(diǎn)P（0，﹣2）的直線L與以A（1，1）、B（﹣2，3）為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線L的斜率k的取值范圍是（） A． B． C． D． 參考答案：B考點(diǎn)： 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；直線的斜率．專題： 計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合．分析： 由直線l恒過(guò)P（0，﹣2），由A，B及P的坐標(biāo)分別求出直線PA和直線PB方程的斜率，根據(jù)直線l與線段AB有公共點(diǎn)，結(jié)合圖形，由求出的兩斜率即可得到k的取值范圍．解答： 由題得直線過(guò)定點(diǎn)P（0，﹣2），∵KPA==3；KPB==﹣．∴要使直線l與線段AB有交點(diǎn)，則k的取值范圍是k≥3或k≤﹣．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 在解決問(wèn)題時(shí)，求出特殊位置時(shí)的斜率的值，借助圖形寫(xiě)出k的取值范圍，考查了學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題的能力．8.已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A．﹣2 B． C．﹣3 D．﹣6參考答案：D【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義，求最小值即可．【解答】解：以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），設(shè)P（x，y），則=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以?（+）=﹣x?（﹣2x）+（2﹣y）?（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+2（y﹣）2﹣3]；所以當(dāng)x=0，y=時(shí)，?（+）取得最小值為2×（﹣3）=﹣6．故選：D．9.設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)（

）A． B． C． D．參考答案：C略10.一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的母線與底面所成角是（

）A．30°

B．45°

C.60°

D．75°參考答案：C設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，底面半徑為r，則：πR=2πr，∴R=2r，∴母線與底面所成角的余弦值==，∴母線與底面所成角是60°．故選：C．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則______．參考答案：－1【分析】推導(dǎo)出f（π2）=，從而f[f（π2）]=f（-π）=sin，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵函數(shù)，∴f（π2）=，f[f（π2）]=f（-π）=sin=-sin=-1．故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出一個(gè)數(shù)，使得的概率為

．參考答案：0.313.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知單位圓O與x軸正半軸交于點(diǎn)A，P（cos2，﹣sin2）為圓上一點(diǎn)，則劣弧的弧長(zhǎng)為

．參考答案：2考點(diǎn)： 弧長(zhǎng)公式．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 利用弧長(zhǎng)公式即可得出．解答： A（1，0），P（cos2，﹣sin2）為圓上一點(diǎn)．∴劣弧所對(duì)的圓心角為2．∴劣弧的弧長(zhǎng)=2×1=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題．14.已知，則=

參考答案：方法一：，∴，即函數(shù)的解析式為。方法二：令，則?！啵?，即為所求的解析式。答案：

15.（4分）若，且，則tanα=

．參考答案：考點(diǎn)： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．專題： 計(jì)算題．分析： 由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系根據(jù)，求出cosα的值，再由tanα=，運(yùn)算求得結(jié)果．解答： 若，且，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosα=﹣．故tanα==﹣，故答案為﹣．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.在二次函數(shù)中，若,，則有最

值（填“大”或“小”），且該值為

．參考答案：大

-317.若，且，則向量與的夾角為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=cos2x+2sinx（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）求f（x）的值域．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式計(jì)算f（﹣）即可；（Ⅱ）化f（x）為sinx的二次函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性和二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=cos2x+2sinx，（Ⅰ）f（﹣）=cos（﹣）+2sin（﹣）=+2×（﹣）=﹣；（Ⅱ）f（x）=（1﹣2sin2x）+2sinx=﹣2+，∴當(dāng)x=+2kπ或x=+2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取得最大值；當(dāng)x=﹣+2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取得最小值﹣3；∴f（x）的值域是[﹣3，]．19.某種空氣清潔劑在實(shí)驗(yàn)效果時(shí)，發(fā)現(xiàn)空氣含劑量與時(shí)間之間存在函數(shù)關(guān)系，其變化的圖像如下圖所示。其中的曲線部分是某函數(shù)的圖像（虛線部分為曲線的延展）.圖中表明，噴灑1小時(shí)后，空氣含劑量最高，達(dá)到，以后逐步減小。（1）求出空氣含劑量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式及定義域.（2）實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)空氣含劑量不低于時(shí)，空氣清潔的效果最佳。求一次噴灑的“最佳效果”持續(xù)時(shí)間.參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，圖像是一線段，得解析式為,將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，∴

對(duì)于函數(shù)將點(diǎn)坐標(biāo)代入得.

∴，令得

∴函數(shù)的解析式為：

（2）當(dāng)時(shí)，在中令得

當(dāng)時(shí)，在中，令得：

，從而

，故最佳效果持續(xù)時(shí)間為小時(shí).略20.（10分）解關(guān)于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＞0（a∈R）．參考答案：【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【分析】討論a與0的大小，將不等式進(jìn)行因式分解，然后討論兩根的大小，即可求出不等式的解集．【解答】解：當(dāng)a=0時(shí)，不等式為x﹣1＜0，解得x＜1；當(dāng)a≠0時(shí)，不等式化為a（x﹣）（x﹣1）＞0，若a＜0，則不等式化為（x﹣）（x﹣1）＜0，且＜1，解得＜x＜1；若a＞0，則不等式化為（x﹣）（x﹣1）＞0；當(dāng)a=1時(shí)，=1，不等式化為（x﹣1）2＞0，解得x≠﹣1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＞1，解不等式得x＜1，或x＞；當(dāng)a＞1時(shí)，＜1，解不等式得x＜，或x＞1；綜上，a＜0時(shí)，不等式的解集是（，1）；a=0時(shí)，不等式的解集是（﹣∞，1）；0＜a≤1時(shí)，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（，+∞）；a＞1時(shí)，不等式的解集是（﹣∞，）∪（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含有字母系數(shù)的不等式求解問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定討論的標(biāo)準(zhǔn)，屬于中檔題．21.已知二次函數(shù)f（x）=ax2+x（a≠0）．（1）當(dāng)a＜0時(shí)，若函數(shù)定義域與值域完全相同，求a的值；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)定義域與值域，利用定義域與值域完全相同，求a的值；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，分類討論求函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．【解答】解：（1）當(dāng)a＜0時(shí)，定義域?yàn)閇0，﹣]．=值域?yàn)閇0，]，∴=，∴a=﹣4；（2）g（x）=，①0≤a≤1，，x≥a，g（x）min=g（）=a﹣，x＜a，g（x）min=g（0）=﹣a，a﹣≥﹣a，∴≤a≤1，h（a）=﹣a；a﹣＜﹣a，∴0＜a＜，h（a）=a﹣；②a＞1，＜a，x≥a，g（x）min=g（a），x＜a，g（x）min=g（0）=﹣a，函數(shù)在[0，a]上單調(diào)遞增，∴h（a）=﹣a；綜上所述，h（a）=．22.設(shè)α∈（0，），滿足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】（1）利用兩角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+）的值．（