微專題幾何圖形中的折疊問題

第七章圖形的變化微專題幾何圖形中的折疊問題(10年8考，除2014年外，均在解答題中考查；針對(duì)幾何圖形操作探究型問題設(shè)置此微專題)與折疊有關(guān)的計(jì)算常用性質(zhì)：(1)折疊問題的本質(zhì)是全等變換，折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖形；①線段相等：C′D＝________，BC′＝________；②角度相等：∠1＝________，∠3＝________；③全等關(guān)系：△BC′D≌________．(2)折痕可看作垂直平分線(互相重合的兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分)(3)折痕可看作角平分線(對(duì)應(yīng)線段所在的直線與折痕的夾角相等)CDBC∠2∠4△BCD類型一三角形折疊折法1如圖，D為直角三角形斜邊AC的中點(diǎn)，沿BD將∠C折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，你能發(fā)現(xiàn)什么新的結(jié)論？CD＝BD＝C′D＝AD.拓展類型那么下面的3種折法還有什么新的結(jié)論嗎？圖①：等腰三角形BCC′中“三線合一”；圖②：△AC′D是等腰三角形，AC′＝DC′；圖③：四邊形CDC′E是菱形．針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB′，若∠B＝46°，則∠ACB′＝________°.第1題圖第2題圖2.如圖，Rt△ABC紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8，∠A＝90°，折疊△ABC，使B、C兩點(diǎn)重合，折痕為DE，連接BE，則BE的長(zhǎng)為________．23.如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在AC、AB上，將△AMN沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上，若DM∥AB，則tan∠AMN的值為________．第3題圖2折法2如圖，D為直角三角形直角邊AB上一點(diǎn)，將∠B沿CD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)B′恰好落在AC上，你能發(fā)現(xiàn)什么新的結(jié)論？結(jié)論：Rt△AB′D∽R(shí)t△ABC拓展類型那么下面的折法還有什么新的結(jié)論嗎？當(dāng)B′E∥AC時(shí)，點(diǎn)B′到AC的距離最短，作B′P⊥AC，此時(shí)D、B′、P三點(diǎn)共線，Rt△ADP∽R(shí)t△ACB.針對(duì)訓(xùn)練4.如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝5.沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長(zhǎng)為________．第4題圖第5題圖5.如圖，在△ABC中，∠BAC＝105°，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，把△ADE沿DE折疊得到△A′DE，連接A′C.若∠ADE＝30°，則A′C的長(zhǎng)為________．7類型二四邊形折疊折法1如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，沿BP將△ABP折疊至△EBP，BE交CD于點(diǎn)H，你能發(fā)現(xiàn)什么新的結(jié)論？結(jié)論：①PH＝BH；②△PEH≌△BCH.針對(duì)訓(xùn)練第6題圖第7題圖6.如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，如果將該矩形沿對(duì)角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是________．7.如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)，把矩形OABC沿OB折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為____________．10折法2如圖，點(diǎn)P在AD上，將△ABP沿BP折疊至△EBP，點(diǎn)A落在CD邊的點(diǎn)E處，你能發(fā)現(xiàn)什么新的結(jié)論？結(jié)論：①一線三垂直；②△PDE∽△ECB.拓展類型那么下面的3種折法還有什么新的結(jié)論嗎？圖①：△PDE∽△DBC或△PDE∽△BDA；圖②：△DPF∽△EGF∽△CGB；圖③：①△DPE為等腰三角形；②DE∥BP；③連接AE，△APE為等腰三角形，△ADE為直角三角形；④P、A、B、E四點(diǎn)共圓；⑤△PDE∽△BAE.針對(duì)訓(xùn)練第8題圖第9題圖48.如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，若DE＝5，AB＝8，則S△ABF：S△FCE＝________．9.如圖，矩形ABCD中，E在BC上，BE＝2CE，將矩形沿DE折疊，點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處，若AB＝3，則BF的長(zhǎng)為________．3第10題圖第11題圖10.如圖，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折至△AFE，連接CF，則CF的長(zhǎng)度是________．11.如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點(diǎn)P在AB上，AP＝1.將矩形ABCD沿CP折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．B′P、B′C分別與AD交于點(diǎn)E、F，則EF＝________．折法3如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，沿EF將四邊形AEFB折疊至A′EFB′后，B′落在AD上，你能發(fā)現(xiàn)什么新的結(jié)論？結(jié)論：連接BE，四邊形EBFB′為菱形．針對(duì)訓(xùn)練12.如圖，將長(zhǎng)16cm，寬8cm的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則折痕EF的長(zhǎng)為________cm.第12題圖第13題圖13.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)E在BC上，把這個(gè)矩形沿EF折疊后，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的G點(diǎn)處，若矩形ABCD的面積為4，且∠AFG＝60°，GE＝2BG，則折痕EF的長(zhǎng)為________．2結(jié)論：①(過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，可證△GEF∽△CBB′)；②△A′EP∽△DB′P∽△CFB′.折法4如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，沿EF將四邊形AEFB折疊至A′EFB′后，B′落在DC上，你能發(fā)現(xiàn)什么新的結(jié)論？拓展類型那么下面的折法還有什么新的結(jié)論嗎？△A′EP∽△DNP∽△B′NQ∽△CFQ；C△A′EP＋C△DNP＋C△B′NQ＋C△CFQ＝C矩形ABCD.針對(duì)訓(xùn)練第14題圖第15題圖14.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為EF，若AB＝2，BC＝3，則陰影部分的周長(zhǎng)為________．15.如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，點(diǎn)F，G分別是AB、CD上的兩點(diǎn)，連接FG，將矩形ABCD沿FG折疊，使點(diǎn)B恰