高考數(shù)學(xué)微專(zhuān)題集專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法(原卷版+解析)_第1頁(yè)
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高考數(shù)學(xué)微專(zhuān)題集專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法(原卷版+解析)_第3頁(yè)
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專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法【微點(diǎn)綜述】定比點(diǎn)差在處理三點(diǎn)共線、相交弦、定點(diǎn)定值、比例問(wèn)題、調(diào)和點(diǎn)列等問(wèn)題均具有優(yōu)勢(shì),本文介紹定比點(diǎn)差法在調(diào)和點(diǎn)列中的應(yīng)用.一、調(diào)和定比分點(diǎn)若且,則稱調(diào)和分割,根據(jù)定義,那么也調(diào)和分割(其中在線段內(nèi),稱為內(nèi)分點(diǎn),在線段外,稱為外分點(diǎn)).二、調(diào)和定比分點(diǎn)的性質(zhì)【性質(zhì)1】在橢圓或雙曲線中,設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn).若存在調(diào)和分割,即滿足,,則一定有.證明:由已知點(diǎn)在橢圓或雙曲線上,設(shè).首先,則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得又,則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得當(dāng)時(shí),將代入曲線,有,②得到③③和①作差整理可得:,將前式代入整理得.【性質(zhì)2】在拋物線中,設(shè)為拋物線上的兩點(diǎn).若存在調(diào)和分割,即滿足,,則一定有.證明:設(shè),由,得,由,得,又,①—②得:,即,.定比點(diǎn)差的原理謎題解開(kāi),就是兩個(gè)互相調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓錐曲線的特征方程.【性質(zhì)3】定比點(diǎn)差轉(zhuǎn)換定理:在橢圓、雙曲線或拋物線中,設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn).若存在兩點(diǎn),滿足,,則一定有(重點(diǎn)中的重點(diǎn)!?。。┳C明:三、定比點(diǎn)差法在調(diào)和點(diǎn)列中的應(yīng)用例1.已知橢圓,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),在線段上取點(diǎn)滿足,求證:點(diǎn)在某條定直線上.【解析】解法一:設(shè),即,,設(shè),,,由于,,又,兩式相減得③①②式代入③式,④又由于,,⑤⑥式代入④式,,即點(diǎn)在定直線上.解法二:設(shè),即,,設(shè),,,則,于是有由點(diǎn)在橢圓上,則于是有,即,故點(diǎn)在定直線上.【評(píng)注】共線的四點(diǎn)成兩組等比例線段,于是設(shè),自然想到定比點(diǎn)差法,非常巧妙地得到結(jié)論,體現(xiàn)出定比點(diǎn)差法比其他方法的優(yōu)越性.例2.已知、分別為橢圓:的上、下焦點(diǎn),其中也是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn),且.(1)求橢圓的方程;(2)已知點(diǎn)和圓:,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),在線段上取一點(diǎn),滿足:,,(且).求證:點(diǎn)總在某定直線上.答案:(1);(2)析】(1)設(shè),由已知得,可求得點(diǎn)M的坐標(biāo),代入橢圓的方程中可求得,可得橢圓的方程;(2)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件,以及點(diǎn)在圓上可得出點(diǎn)Q所在的直線.【解析】(1)設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上,且,所以,解得,又點(diǎn)M在拋物線上,所以,且,即,解得,所以橢圓的方程;(2)設(shè),,因?yàn)椋?,即有,又,所以,即有,所以得:,又點(diǎn)A、B在圓上,所以,又,所以,故點(diǎn)Q總在直線上.【評(píng)注】本題考查橢圓和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),以及直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題,屬于較難題.例3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為.(1)求,的值;(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同的點(diǎn),時(shí),在線段上取點(diǎn),使得,問(wèn)點(diǎn)是否總在某條定直線上?若是,求出該直線方程,若不是,說(shuō)明理由.答案:(1),;(2)直線恒在定直線上析】(1)利用橢圓關(guān)系、離心率和三角形面積可構(gòu)造方程求得結(jié)果;(2)根據(jù)四點(diǎn)的位置關(guān)系可知,由此可得中,將直線方程代入橢圓方程,得到韋達(dá)定理形式,整理可求得,代入直線方程可知恒成立,由此可確定結(jié)論.【解析】(1)以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí),三角形另一頂點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn),,解得:,.(2)設(shè),,,,,,即,即,整理可得:,設(shè)直線:,聯(lián)立直線與橢圓:,整理得:,,,在線段上,則,點(diǎn)恒在定直線上.【評(píng)注】思路點(diǎn)睛:本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定直線問(wèn)題的求解,求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路如下:①假設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式;②利用求得變量的取值范圍,得到韋達(dá)定理的形式;③利用韋達(dá)定理表示出所求量,通過(guò)化簡(jiǎn)整理確定所求的定直線.例4.已知雙曲線的中心為原點(diǎn),左?右焦點(diǎn)分別為?,離心率為,且過(guò)點(diǎn),又點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上,且滿足.(1)求雙曲線的方程;(2)證明:直線與直線的斜率之積是定值;(3)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?,在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn),滿足,證明點(diǎn)恒在一條定直線上.答案:(1)1;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析析】(1)由離心率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程,結(jié)合雙曲線的,,的關(guān)系,即可求得,,進(jìn)而得到雙曲線的方程;(2)設(shè)出,,代入雙曲線的方程,再由,再由直線的斜率公式,得到直線與直線的斜率之積,化簡(jiǎn)整理,運(yùn)用代入,即可得到定值;(3)設(shè)點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn),,設(shè),代入可得求出坐標(biāo)之間的關(guān)系,化簡(jiǎn)可得點(diǎn)恒在定直線上.【解析】(1)雙曲線,,由于離心率為,即,代入雙曲線的方程可得,解得,,,即有雙曲線的方程為.(2)由于點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),可設(shè),再由為雙曲線上一點(diǎn),可設(shè),則,即.由,則,即有,即有,則,則直線與直線的斜率之積是定值.(3)設(shè)點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn),,則,即,,設(shè),則,即由,得,將,,代入,得,將代入,得,所以點(diǎn)恒在定直線上.例5.橢圓:的焦點(diǎn),是等軸雙曲線:的頂點(diǎn),若橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)是P,的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)M是雙曲線上任意不同于其頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線、的斜率分別為,,求證,的乘積為定值;(3)過(guò)點(diǎn)任作一動(dòng)直線l交橢圓與A,B兩點(diǎn),記,若在直線AB上取一點(diǎn)R,使得,試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)是,點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)?若是,求出該直線的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.答案:(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)是,析】(1)根據(jù)雙曲線與橢圓的關(guān)系,求得,可得結(jié)果.(2)假設(shè)點(diǎn),直接表示斜率,然后根據(jù)雙曲線方程化簡(jiǎn)即可.(3)設(shè)直線方程并與橢圓聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,然后根據(jù),求得,最后計(jì)算即可.【解析】(1)有由題可知:,由的周長(zhǎng)為,所以,即,所以,所以橢圓的方程為.(2)設(shè),由,所以,所以,又,則,所以.(3)依題可知:直線的斜率存在,設(shè)方程為,,所以,所以,,由,設(shè),由,所以,所以.【評(píng)注】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第(3)問(wèn),第一,假設(shè)直線方程;第二,聯(lián)立橢圓方程并使用韋達(dá)定理;第三,根據(jù)條件求得;第四,計(jì)算.例6.在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)已知為定直線上一點(diǎn).①過(guò)點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)(不在軸上),求證:直線與的斜率之積是定值;②若點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn),線段上的點(diǎn)滿足,求證:點(diǎn)恒在一條定直線上.答案:(1)(2)①直線與的斜率之積為定值.②點(diǎn)在定直線上析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可;(2),①令,由,得,即,即,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,而的斜率分別為,于是,即直線與的斜率之積為定值;

②令,則,代入橢圓,消元即可證明點(diǎn)在定直線上.【解析】(1)設(shè),則,點(diǎn)到直線的距離,由,得,化簡(jiǎn)得,即點(diǎn)在軌跡的方程為.(2)因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn),所以令,①令,由,得,即,即,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,而的斜率分別為,于是,即直線與的斜率之積為定值.②令,則,令點(diǎn),則,即,即由①×③,②×④,得,因?yàn)樵跈E圓上,所以,⑤×2+⑥×3,得,即,所以點(diǎn)在定直線上.【評(píng)注】本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點(diǎn),屬于難題.求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程,求出即可,注意的應(yīng)用;涉及直線與圓錐曲線相交時(shí),未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題,避免不分類(lèi)討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出,再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約束作用.【針對(duì)訓(xùn)練】(2023·江蘇·南京師大附中高三開(kāi)學(xué)考試)1.設(shè)橢圓,已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),在線段上取點(diǎn),滿足,求證:點(diǎn)總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).2.已知橢圓E:1(a>0)的中心為原點(diǎn)O,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為,點(diǎn)P是直線x上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在橢圓E上,且滿足0.(1)試求出實(shí)數(shù)a;(2)設(shè)直線PQ與直線OQ的斜率分別為k1與k2,求積k1?k2的值;(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H,滿足,證明點(diǎn)H恒在一條定直線上.3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為(1)求a,b的值(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(6,0)的動(dòng)直線1與橢圓C交于不同的點(diǎn)A,B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,使得=,問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某條定直線上?若是,求出該直線方程,若不是,說(shuō)明理由.4.已知橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為、,是上一點(diǎn),,且.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相較于不同兩點(diǎn),時(shí),在線段上取點(diǎn),且滿足,證明點(diǎn)總在某定直線上,并求出該定直線.(2023·山東·模擬預(yù)測(cè))5.在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線m與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡相交于不同的A,B兩點(diǎn),在線段上取點(diǎn)Q,滿足,求證:點(diǎn)Q總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).(2023·北京八中高二期末)6.如圖,已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、,且,橢圓C的離心率,點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與,均不重合),連接,,交于點(diǎn)T.(1)求橢圓C的方程;(2)求證:當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng);(3)是否存在直線l,使得?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法【微點(diǎn)綜述】定比點(diǎn)差在處理三點(diǎn)共線、相交弦、定點(diǎn)定值、比例問(wèn)題、調(diào)和點(diǎn)列等問(wèn)題均具有優(yōu)勢(shì),本文介紹定比點(diǎn)差法在調(diào)和點(diǎn)列中的應(yīng)用.一、調(diào)和定比分點(diǎn)若且,則稱調(diào)和分割,根據(jù)定義,那么也調(diào)和分割(其中在線段內(nèi),稱為內(nèi)分點(diǎn),在線段外,稱為外分點(diǎn)).二、調(diào)和定比分點(diǎn)的性質(zhì)【性質(zhì)1】在橢圓或雙曲線中,設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn).若存在調(diào)和分割,即滿足,,則一定有.證明:由已知點(diǎn)在橢圓或雙曲線上,設(shè).首先,則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得又,則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得當(dāng)時(shí),將代入曲線,有,②得到③③和①作差整理可得:,將前式代入整理得.【性質(zhì)2】在拋物線中,設(shè)為拋物線上的兩點(diǎn).若存在調(diào)和分割,即滿足,,則一定有.證明:設(shè),由,得,由,得,又,①—②得:,即,.定比點(diǎn)差的原理謎題解開(kāi),就是兩個(gè)互相調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓錐曲線的特征方程.【性質(zhì)3】定比點(diǎn)差轉(zhuǎn)換定理:在橢圓、雙曲線或拋物線中,設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn).若存在兩點(diǎn),滿足,,則一定有(重點(diǎn)中的重點(diǎn)?。。。┳C明:三、定比點(diǎn)差法在調(diào)和點(diǎn)列中的應(yīng)用例1.已知橢圓,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn),在線段上取點(diǎn)滿足,求證:點(diǎn)在某條定直線上.【解析】解法一:設(shè),即,,設(shè),,,由于,,又,兩式相減得③①②式代入③式,④又由于,,⑤⑥式代入④式,,即點(diǎn)在定直線上.解法二:設(shè),即,,設(shè),,,則,于是有由點(diǎn)在橢圓上,則于是有,即,故點(diǎn)在定直線上.【評(píng)注】共線的四點(diǎn)成兩組等比例線段,于是設(shè),自然想到定比點(diǎn)差法,非常巧妙地得到結(jié)論,體現(xiàn)出定比點(diǎn)差法比其他方法的優(yōu)越性.例2.已知、分別為橢圓:的上、下焦點(diǎn),其中也是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn),且.(1)求橢圓的方程;(2)已知點(diǎn)和圓:,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),在線段上取一點(diǎn),滿足:,,(且).求證:點(diǎn)總在某定直線上.答案:(1);(2)析】(1)設(shè),由已知得,可求得點(diǎn)M的坐標(biāo),代入橢圓的方程中可求得,可得橢圓的方程;(2)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件,以及點(diǎn)在圓上可得出點(diǎn)Q所在的直線.【解析】(1)設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上,且,所以,解得,又點(diǎn)M在拋物線上,所以,且,即,解得,所以橢圓的方程;(2)設(shè),,因?yàn)椋?,即有,又,所以,即有,所以得:,又點(diǎn)A、B在圓上,所以,又,所以,故點(diǎn)Q總在直線上.【評(píng)注】本題考查橢圓和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),以及直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題,屬于較難題.例3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為.(1)求,的值;(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同的點(diǎn),時(shí),在線段上取點(diǎn),使得,問(wèn)點(diǎn)是否總在某條定直線上?若是,求出該直線方程,若不是,說(shuō)明理由.答案:(1),;(2)直線恒在定直線上析】(1)利用橢圓關(guān)系、離心率和三角形面積可構(gòu)造方程求得結(jié)果;(2)根據(jù)四點(diǎn)的位置關(guān)系可知,由此可得中,將直線方程代入橢圓方程,得到韋達(dá)定理形式,整理可求得,代入直線方程可知恒成立,由此可確定結(jié)論.【解析】(1)以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí),三角形另一頂點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn),,解得:,.(2)設(shè),,,,,,即,即,整理可得:,設(shè)直線:,聯(lián)立直線與橢圓:,整理得:,,,在線段上,則,點(diǎn)恒在定直線上.【評(píng)注】思路點(diǎn)睛:本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定直線問(wèn)題的求解,求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路如下:①假設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式;②利用求得變量的取值范圍,得到韋達(dá)定理的形式;③利用韋達(dá)定理表示出所求量,通過(guò)化簡(jiǎn)整理確定所求的定直線.例4.已知雙曲線的中心為原點(diǎn),左?右焦點(diǎn)分別為?,離心率為,且過(guò)點(diǎn),又點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上,且滿足.(1)求雙曲線的方程;(2)證明:直線與直線的斜率之積是定值;(3)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?,在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn),滿足,證明點(diǎn)恒在一條定直線上.答案:(1)1;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析析】(1)由離心率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程,結(jié)合雙曲線的,,的關(guān)系,即可求得,,進(jìn)而得到雙曲線的方程;(2)設(shè)出,,代入雙曲線的方程,再由,再由直線的斜率公式,得到直線與直線的斜率之積,化簡(jiǎn)整理,運(yùn)用代入,即可得到定值;(3)設(shè)點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn),,設(shè),代入可得求出坐標(biāo)之間的關(guān)系,化簡(jiǎn)可得點(diǎn)恒在定直線上.【解析】(1)雙曲線,,由于離心率為,即,代入雙曲線的方程可得,解得,,,即有雙曲線的方程為.(2)由于點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),可設(shè),再由為雙曲線上一點(diǎn),可設(shè),則,即.由,則,即有,即有,則,則直線與直線的斜率之積是定值.(3)設(shè)點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn),,則,即,,設(shè),則,即由,得,將,,代入,得,將代入,得,所以點(diǎn)恒在定直線上.例5.橢圓:的焦點(diǎn),是等軸雙曲線:的頂點(diǎn),若橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)是P,的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)M是雙曲線上任意不同于其頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線、的斜率分別為,,求證,的乘積為定值;(3)過(guò)點(diǎn)任作一動(dòng)直線l交橢圓與A,B兩點(diǎn),記,若在直線AB上取一點(diǎn)R,使得,試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)是,點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)?若是,求出該直線的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.答案:(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)是,析】(1)根據(jù)雙曲線與橢圓的關(guān)系,求得,可得結(jié)果.(2)假設(shè)點(diǎn),直接表示斜率,然后根據(jù)雙曲線方程化簡(jiǎn)即可.(3)設(shè)直線方程并與橢圓聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,然后根據(jù),求得,最后計(jì)算即可.【解析】(1)有由題可知:,由的周長(zhǎng)為,所以,即,所以,所以橢圓的方程為.(2)設(shè),由,所以,所以,又,則,所以.(3)依題可知:直線的斜率存在,設(shè)方程為,,所以,所以,,由,設(shè),由,所以,所以.【評(píng)注】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第(3)問(wèn),第一,假設(shè)直線方程;第二,聯(lián)立橢圓方程并使用韋達(dá)定理;第三,根據(jù)條件求得;第四,計(jì)算.例6.在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)已知為定直線上一點(diǎn).①過(guò)點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)(不在軸上),求證:直線與的斜率之積是定值;②若點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn),線段上的點(diǎn)滿足,求證:點(diǎn)恒在一條定直線上.答案:(1)(2)①直線與的斜率之積為定值.②點(diǎn)在定直線上析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可;(2),①令,由,得,即,即,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,而的斜率分別為,于是,即直線與的斜率之積為定值;

②令,則,代入橢圓,消元即可證明點(diǎn)在定直線上.【解析】(1)設(shè),則,點(diǎn)到直線的距離,由,得,化簡(jiǎn)得,即點(diǎn)在軌跡的方程為.(2)因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn),所以令,①令,由,得,即,即,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,而的斜率分別為,于是,即直線與的斜率之積為定值.②令,則,令點(diǎn),則,即,即由①×③,②×④,得,因?yàn)樵跈E圓上,所以,⑤×2+⑥×3,得,即,所以點(diǎn)在定直線上.【評(píng)注】本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點(diǎn),屬于難題.求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程,求出即可,注意的應(yīng)用;涉及直線與圓錐曲線相交時(shí),未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題,避免不分類(lèi)討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出,再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約束作用.【針對(duì)訓(xùn)練】(2023·江蘇·南京師大附中高三開(kāi)學(xué)考試)1.設(shè)橢圓,已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),在線段上取點(diǎn),滿足,求證:點(diǎn)總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).2.已知橢圓E:1(a>0)的中心為原點(diǎn)O,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為,點(diǎn)P是直線x上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在橢圓E上,且滿足0.(1)試求出實(shí)數(shù)a;(2)設(shè)直線PQ與直線OQ的斜率分別為k1與k2,求積k1?k2的值;(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H,滿足,證明點(diǎn)H恒在一條定直線上.3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為(1)求a,b的值(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(6,0)的動(dòng)直線1與橢圓C交于不同的點(diǎn)A,B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,使得=,問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某條定直線上?若是,求出該直線方程,若不是,說(shuō)明理由.4.已知橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為、,是上一點(diǎn),,且.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相較于不同兩點(diǎn),時(shí),在線段上取點(diǎn),且滿足,證明點(diǎn)總在某定直線上,并求出該定直線.(2023·山東·模擬預(yù)測(cè))5.在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線m與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡相交于不同的A,B兩點(diǎn),在線段上取點(diǎn)Q,滿足,求證:點(diǎn)Q總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).(2023·北京八中高二期末)6.如圖,已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、,且,橢圓C的離心率,點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與,均不重合),連接,,交于點(diǎn)T.(1)求橢圓C的方程;(2)求證:當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng);(3)是否存在直線l,使得?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案:1.(1)(2)證明見(jiàn)解析分析:(1)根據(jù)橢圓定義即離心率求出即可.(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),分別表示出的長(zhǎng)度,代入題目關(guān)系式中,得到一組關(guān)系即,由此可發(fā)現(xiàn)可將聯(lián)立直線與橢圓的韋達(dá)定理代入,尋找Q所滿足的直線關(guān)系(1)由題意可知,解得,則橢圓的方程:(2)設(shè),,,直線的斜率顯然存在設(shè)為,則的方程為.因?yàn)樗狞c(diǎn)共線,不妨設(shè),,,,,由可得,化簡(jiǎn)可得.(*)聯(lián)立直線和橢圓的方程消去:,即,由韋達(dá)定理,,.代入(*)化簡(jiǎn)得,即又代入上式:,化簡(jiǎn):,所以點(diǎn)總在一條動(dòng)直線上,且該直線過(guò)定點(diǎn)2.(1)a=3(2)(3)證明見(jiàn)解析分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率列方程求出實(shí)數(shù)a的值;(2)由(1)可設(shè)點(diǎn)P(,t),Q(x0,y0),根據(jù)0得出再由點(diǎn)Q在橢圓E上得出,用斜率公式及可求出k1?k2的值;(3)設(shè)過(guò)P(,1)的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),點(diǎn)H(x,y),代入橢圓方程得出,,再設(shè)λ,即,,代入數(shù)據(jù)整理即可得出點(diǎn)H恒在一條定直線上.【詳解】(1)解:設(shè)橢圓E的半焦距為c,由題意可得,解得a=3;(2)解:由(1)可知,直線x,點(diǎn)F1(,0).設(shè)點(diǎn)P(,t),Q(x0,y0),∵0,∴(,﹣t)?(x0,﹣y0)=0,得.∵點(diǎn)Q(x0,y0)在橢圓E上,∴,即.∴k1?k2,∴k1?k2的值是;(3)證明:設(shè)過(guò)P(,1)的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),點(diǎn)H(x,y),則,,設(shè)λ,則,,∴(x1,y1﹣1)=λ(x2,y2﹣1),(x﹣x1,y﹣y1)=λ(x2﹣x,y2﹣y),整理得,x,1,y,從而,y,由于,,∴9y36.∴點(diǎn)H恒在直線.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系.3.(1);(2)存在,點(diǎn)總在定直線上.【解析】(1)由已知建立關(guān)于方程組,解之可求得答案;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.記,由已知得坐標(biāo)的關(guān)系:,,,,由點(diǎn)在橢圓上,代入可得定直線.【詳解】(1)由已知得,解得,所以;(2)由(1)得橢圓的方程為C:,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.由題設(shè)知均不為零,記,則且,又四點(diǎn)共線,從而,于是,,,,從而①,②,又點(diǎn)在橢圓上,所以③,④,所以①②并結(jié)合③,④,得,化簡(jiǎn)得.即點(diǎn)總在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系之:定直線問(wèn)題.證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上,其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,所以所用的方法即為求軌跡方程的方法,如定義法、消參法、交軌法等.屬于較難題.4.(Ⅰ);(Ⅱ)證明見(jiàn)解析,直線方程為.【詳解】試題分析:(1)本問(wèn)主要考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,由,可得,所以,則在中,,,再根據(jù)余弦定理及,可以求出的值,于是可以求出橢圓的方程;(2)本問(wèn)主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用,分析題意可知直線的斜率顯然存在,故設(shè)直線方程為,再聯(lián)立直線方程與橢圓方程,消去未知數(shù)得到關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和及橫坐標(biāo)之積,于是設(shè)點(diǎn),將題中條件轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的等式,于是可以得出滿足的方程,即可以證明總在一條直線上.試題解析:(1)由已知得,且,在中,由余弦定理得,解得.則,所以橢圓的方程為.(2)由題意可得直線的斜率存在

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