高考數(shù)學(xué)微專(zhuān)題集專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法(原卷版+解析)

專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法【微點(diǎn)綜述】定比點(diǎn)差在處理三點(diǎn)共線、相交弦、定點(diǎn)定值、比例問(wèn)題、調(diào)和點(diǎn)列等問(wèn)題均具有優(yōu)勢(shì)，本文介紹定比點(diǎn)差法在調(diào)和點(diǎn)列中的應(yīng)用．一、調(diào)和定比分點(diǎn)若且，則稱調(diào)和分割，根據(jù)定義，那么也調(diào)和分割（其中在線段內(nèi)，稱為內(nèi)分點(diǎn)，在線段外，稱為外分點(diǎn)）．二、調(diào)和定比分點(diǎn)的性質(zhì)【性質(zhì)1】在橢圓或雙曲線中，設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)．若存在調(diào)和分割，即滿足，，則一定有．證明：由已知點(diǎn)在橢圓或雙曲線上，設(shè)．首先，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得又，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得當(dāng)時(shí)，將代入曲線，有，②得到③③和①作差整理可得：，將前式代入整理得．【性質(zhì)2】在拋物線中，設(shè)為拋物線上的兩點(diǎn)．若存在調(diào)和分割，即滿足，，則一定有．證明：設(shè)，由，得，由，得，又，①—②得：，即，．定比點(diǎn)差的原理謎題解開(kāi)，就是兩個(gè)互相調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓錐曲線的特征方程．【性質(zhì)3】定比點(diǎn)差轉(zhuǎn)換定理：在橢圓、雙曲線或拋物線中，設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)．若存在兩點(diǎn)，滿足，，則一定有（重點(diǎn)中的重點(diǎn)！?。。┳C明：三、定比點(diǎn)差法在調(diào)和點(diǎn)列中的應(yīng)用例1．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)在某條定直線上．【解析】解法一：設(shè)，即，，設(shè)，，，由于，，又，兩式相減得③①②式代入③式，④又由于，，⑤⑥式代入④式，，即點(diǎn)在定直線上．解法二：設(shè)，即，，設(shè)，，，則，于是有由點(diǎn)在橢圓上，則于是有，即，故點(diǎn)在定直線上．【評(píng)注】共線的四點(diǎn)成兩組等比例線段，于是設(shè)，自然想到定比點(diǎn)差法，非常巧妙地得到結(jié)論，體現(xiàn)出定比點(diǎn)差法比其他方法的優(yōu)越性．例2．已知、分別為橢圓：的上、下焦點(diǎn)，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)和圓：，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，滿足：，，（且）．求證：點(diǎn)總在某定直線上．答案：（1）；（2）析】（1）設(shè)，由已知得，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓的方程中可求得，可得橢圓的方程；（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件，以及點(diǎn)在圓上可得出點(diǎn)Q所在的直線．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，且，所以，解得，又點(diǎn)M在拋物線上，所以，且，即，解得，所以橢圓的方程；（2）設(shè)，，因?yàn)椋?，即有，又，所以，即有，所以得：，又點(diǎn)A、B在圓上，所以，又，所以，故點(diǎn)Q總在直線上．【評(píng)注】本題考查橢圓和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，屬于較難題．例3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為．（1）求，的值；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同的點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，使得，問(wèn)點(diǎn)是否總在某條定直線上？若是，求出該直線方程，若不是，說(shuō)明理由．答案：（1），；（2）直線恒在定直線上析】（1）利用橢圓關(guān)系、離心率和三角形面積可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)四點(diǎn)的位置關(guān)系可知，由此可得中，將直線方程代入橢圓方程，得到韋達(dá)定理形式，整理可求得，代入直線方程可知恒成立，由此可確定結(jié)論．【解析】（1）以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，三角形另一頂點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，，解得：，．（2）設(shè)，，，，，，即，即，整理可得：，設(shè)直線：，聯(lián)立直線與橢圓：，整理得：，，，在線段上，則，點(diǎn)恒在定直線上．【評(píng)注】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定直線問(wèn)題的求解，求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出所求量，通過(guò)化簡(jiǎn)整理確定所求的定直線．例4．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，左?右焦點(diǎn)分別為?，離心率為，且過(guò)點(diǎn)，又點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足．（1）求雙曲線的方程；（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)恒在一條定直線上．答案：（1）1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析析】（1）由離心率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程，結(jié)合雙曲線的，，的關(guān)系，即可求得，，進(jìn)而得到雙曲線的方程；（2）設(shè)出，，代入雙曲線的方程，再由，再由直線的斜率公式，得到直線與直線的斜率之積，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用代入，即可得到定值；（3）設(shè)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，，設(shè)，代入可得求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)恒在定直線上．【解析】（1）雙曲線，，由于離心率為，即，代入雙曲線的方程可得，解得，，，即有雙曲線的方程為．（2）由于點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，可設(shè)，再由為雙曲線上一點(diǎn)，可設(shè)，則，即．由，則，即有，即有，則，則直線與直線的斜率之積是定值．（3）設(shè)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，，則，即，，設(shè)，則，即由，得，將，，代入，得，將代入，得，所以點(diǎn)恒在定直線上．例5．橢圓：的焦點(diǎn)，是等軸雙曲線：的頂點(diǎn)，若橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)是P，的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)M是雙曲線上任意不同于其頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為，，求證，的乘積為定值；（3）過(guò)點(diǎn)任作一動(dòng)直線l交橢圓與A，B兩點(diǎn)，記，若在直線AB上取一點(diǎn)R，使得，試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)是，點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若是，求出該直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）是，析】（1）根據(jù)雙曲線與橢圓的關(guān)系，求得，可得結(jié)果．（2）假設(shè)點(diǎn)，直接表示斜率，然后根據(jù)雙曲線方程化簡(jiǎn)即可．（3）設(shè)直線方程并與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，然后根據(jù)，求得，最后計(jì)算即可．【解析】（1）有由題可知：，由的周長(zhǎng)為，所以，即，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，由，所以，所以，又，則，所以．（3）依題可知：直線的斜率存在，設(shè)方程為，，所以，所以，，由，設(shè)，由，所以，所以．【評(píng)注】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）問(wèn)，第一，假設(shè)直線方程；第二，聯(lián)立橢圓方程并使用韋達(dá)定理；第三，根據(jù)條件求得；第四，計(jì)算．例6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知為定直線上一點(diǎn)．①過(guò)點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值；②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn)，線段上的點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上．答案：（1）（2）①直線與的斜率之積為定值．②點(diǎn)在定直線上析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可；（2），①令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值；

②令，則，代入橢圓，消元即可證明點(diǎn)在定直線上．【解析】（1）設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離，由，得，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)在軌跡的方程為．（2）因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以令，①令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值．②令，則，令點(diǎn)，則，即，即由①×③，②×④，得，因?yàn)樵跈E圓上，所以，⑤×2+⑥×3，得，即，所以點(diǎn)在定直線上．【評(píng)注】本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題，避免不分類(lèi)討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出，再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．【針對(duì)訓(xùn)練】(2023·江蘇·南京師大附中高三開(kāi)學(xué)考試）1．設(shè)橢圓，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，求證：點(diǎn)總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)．2．已知橢圓E：1（a＞0）的中心為原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，點(diǎn)P是直線x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓E上，且滿足0．（1）試求出實(shí)數(shù)a；（2）設(shè)直線PQ與直線OQ的斜率分別為k1與k2，求積k1?k2的值；（3）若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H，滿足，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上．3．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為，以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為（1）求a，b的值（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(6，0)的動(dòng)直線1與橢圓C交于不同的點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使得=，問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某條定直線上?若是，求出該直線方程，若不是，說(shuō)明理由.4．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，是上一點(diǎn)，，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相較于不同兩點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，且滿足，證明點(diǎn)總在某定直線上，并求出該定直線.(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線m與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡相交于不同的A，B兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)Q，滿足，求證：點(diǎn)Q總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).(2023·北京八中高二期末）6．如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T．(1)求橢圓C的方程；(2)求證：當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；(3)是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法專(zhuān)題12定比點(diǎn)差法及其應(yīng)用微點(diǎn)4調(diào)和點(diǎn)列中的定比點(diǎn)差法【微點(diǎn)綜述】定比點(diǎn)差在處理三點(diǎn)共線、相交弦、定點(diǎn)定值、比例問(wèn)題、調(diào)和點(diǎn)列等問(wèn)題均具有優(yōu)勢(shì)，本文介紹定比點(diǎn)差法在調(diào)和點(diǎn)列中的應(yīng)用．一、調(diào)和定比分點(diǎn)若且，則稱調(diào)和分割，根據(jù)定義，那么也調(diào)和分割（其中在線段內(nèi)，稱為內(nèi)分點(diǎn)，在線段外，稱為外分點(diǎn)）．二、調(diào)和定比分點(diǎn)的性質(zhì)【性質(zhì)1】在橢圓或雙曲線中，設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)．若存在調(diào)和分割，即滿足，，則一定有．證明：由已知點(diǎn)在橢圓或雙曲線上，設(shè)．首先，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得又，則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得當(dāng)時(shí)，將代入曲線，有，②得到③③和①作差整理可得：，將前式代入整理得．【性質(zhì)2】在拋物線中，設(shè)為拋物線上的兩點(diǎn)．若存在調(diào)和分割，即滿足，，則一定有．證明：設(shè)，由，得，由，得，又，①—②得：，即，．定比點(diǎn)差的原理謎題解開(kāi)，就是兩個(gè)互相調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓錐曲線的特征方程．【性質(zhì)3】定比點(diǎn)差轉(zhuǎn)換定理：在橢圓、雙曲線或拋物線中，設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)．若存在兩點(diǎn)，滿足，，則一定有（重點(diǎn)中的重點(diǎn)?。。。┳C明：三、定比點(diǎn)差法在調(diào)和點(diǎn)列中的應(yīng)用例1．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)在某條定直線上．【解析】解法一：設(shè)，即，，設(shè)，，，由于，，又，兩式相減得③①②式代入③式，④又由于，，⑤⑥式代入④式，，即點(diǎn)在定直線上．解法二：設(shè)，即，，設(shè)，，，則，于是有由點(diǎn)在橢圓上，則于是有，即，故點(diǎn)在定直線上．【評(píng)注】共線的四點(diǎn)成兩組等比例線段，于是設(shè)，自然想到定比點(diǎn)差法，非常巧妙地得到結(jié)論，體現(xiàn)出定比點(diǎn)差法比其他方法的優(yōu)越性．例2．已知、分別為橢圓：的上、下焦點(diǎn)，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)和圓：，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，滿足：，，（且）．求證：點(diǎn)總在某定直線上．答案：（1）；（2）析】（1）設(shè)，由已知得，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓的方程中可求得，可得橢圓的方程；（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等的條件，以及點(diǎn)在圓上可得出點(diǎn)Q所在的直線．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，且，所以，解得，又點(diǎn)M在拋物線上，所以，且，即，解得，所以橢圓的方程；（2）設(shè)，，因?yàn)椋?，即有，又，所以，即有，所以得：，又點(diǎn)A、B在圓上，所以，又，所以，故點(diǎn)Q總在直線上．【評(píng)注】本題考查橢圓和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，屬于較難題．例3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為．（1）求，的值；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同的點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，使得，問(wèn)點(diǎn)是否總在某條定直線上？若是，求出該直線方程，若不是，說(shuō)明理由．答案：（1），；（2）直線恒在定直線上析】（1）利用橢圓關(guān)系、離心率和三角形面積可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）根據(jù)四點(diǎn)的位置關(guān)系可知，由此可得中，將直線方程代入橢圓方程，得到韋達(dá)定理形式，整理可求得，代入直線方程可知恒成立，由此可確定結(jié)論．【解析】（1）以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，三角形另一頂點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，，解得：，．（2）設(shè)，，，，，，即，即，整理可得：，設(shè)直線：，聯(lián)立直線與橢圓：，整理得：，，，在線段上，則，點(diǎn)恒在定直線上．【評(píng)注】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定直線問(wèn)題的求解，求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出所求量，通過(guò)化簡(jiǎn)整理確定所求的定直線．例4．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，左?右焦點(diǎn)分別為?，離心率為，且過(guò)點(diǎn)，又點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足．（1）求雙曲線的方程；（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)恒在一條定直線上．答案：（1）1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析析】（1）由離心率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程，結(jié)合雙曲線的，，的關(guān)系，即可求得，，進(jìn)而得到雙曲線的方程；（2）設(shè)出，，代入雙曲線的方程，再由，再由直線的斜率公式，得到直線與直線的斜率之積，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用代入，即可得到定值；（3）設(shè)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，，設(shè)，代入可得求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)恒在定直線上．【解析】（1）雙曲線，，由于離心率為，即，代入雙曲線的方程可得，解得，，，即有雙曲線的方程為．（2）由于點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，可設(shè)，再由為雙曲線上一點(diǎn)，可設(shè)，則，即．由，則，即有，即有，則，則直線與直線的斜率之積是定值．（3）設(shè)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，，則，即，，設(shè)，則，即由，得，將，，代入，得，將代入，得，所以點(diǎn)恒在定直線上．例5．橢圓：的焦點(diǎn)，是等軸雙曲線：的頂點(diǎn)，若橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)是P，的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)M是雙曲線上任意不同于其頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為，，求證，的乘積為定值；（3）過(guò)點(diǎn)任作一動(dòng)直線l交橢圓與A，B兩點(diǎn)，記，若在直線AB上取一點(diǎn)R，使得，試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)是，點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若是，求出該直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）是，析】（1）根據(jù)雙曲線與橢圓的關(guān)系，求得，可得結(jié)果．（2）假設(shè)點(diǎn)，直接表示斜率，然后根據(jù)雙曲線方程化簡(jiǎn)即可．（3）設(shè)直線方程并與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，然后根據(jù)，求得，最后計(jì)算即可．【解析】（1）有由題可知：，由的周長(zhǎng)為，所以，即，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，由，所以，所以，又，則，所以．（3）依題可知：直線的斜率存在，設(shè)方程為，，所以，所以，，由，設(shè)，由，所以，所以．【評(píng)注】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）問(wèn)，第一，假設(shè)直線方程；第二，聯(lián)立橢圓方程并使用韋達(dá)定理；第三，根據(jù)條件求得；第四，計(jì)算．例6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知為定直線上一點(diǎn)．①過(guò)點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值；②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn)，線段上的點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上．答案：（1）（2）①直線與的斜率之積為定值．②點(diǎn)在定直線上析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可；（2），①令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值；

②令，則，代入橢圓，消元即可證明點(diǎn)在定直線上．【解析】（1）設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離，由，得，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)在軌跡的方程為．（2）因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以令，①令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值．②令，則，令點(diǎn)，則，即，即由①×③，②×④，得，因?yàn)樵跈E圓上，所以，⑤×2+⑥×3，得，即，所以點(diǎn)在定直線上．【評(píng)注】本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題，避免不分類(lèi)討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出，再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．【針對(duì)訓(xùn)練】(2023·江蘇·南京師大附中高三開(kāi)學(xué)考試）1．設(shè)橢圓，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，求證：點(diǎn)總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)．2．已知橢圓E：1（a＞0）的中心為原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，點(diǎn)P是直線x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓E上，且滿足0．（1）試求出實(shí)數(shù)a；（2）設(shè)直線PQ與直線OQ的斜率分別為k1與k2，求積k1?k2的值；（3）若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H，滿足，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上．3．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為，以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為（1）求a，b的值（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(6，0)的動(dòng)直線1與橢圓C交于不同的點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使得=，問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某條定直線上?若是，求出該直線方程，若不是，說(shuō)明理由.4．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，是上一點(diǎn)，，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相較于不同兩點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，且滿足，證明點(diǎn)總在某定直線上，并求出該定直線.(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線m與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡相交于不同的A，B兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)Q，滿足，求證：點(diǎn)Q總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).(2023·北京八中高二期末）6．如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T．(1)求橢圓C的方程；(2)求證：當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；(3)是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：1．(1)(2)證明見(jiàn)解析分析：（1）根據(jù)橢圓定義即離心率求出即可.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別表示出的長(zhǎng)度，代入題目關(guān)系式中，得到一組關(guān)系即，由此可發(fā)現(xiàn)可將聯(lián)立直線與橢圓的韋達(dá)定理代入，尋找Q所滿足的直線關(guān)系(1)由題意可知，解得，則橢圓的方程：(2)設(shè)，，，直線的斜率顯然存在設(shè)為，則的方程為．因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，不妨設(shè)，，，，，由可得，化簡(jiǎn)可得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程消去：，即，由韋達(dá)定理，，．代入（*）化簡(jiǎn)得，即又代入上式：，化簡(jiǎn)：，所以點(diǎn)總在一條動(dòng)直線上，且該直線過(guò)定點(diǎn)2．（1）a＝3（2）（3）證明見(jiàn)解析分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率列方程求出實(shí)數(shù)a的值；（2）由（1）可設(shè)點(diǎn)P（，t），Q（x0，y0），根據(jù)0得出再由點(diǎn)Q在橢圓E上得出，用斜率公式及可求出k1?k2的值；（3）設(shè)過(guò)P（，1）的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），點(diǎn)H（x，y），代入橢圓方程得出，，再設(shè)λ，即，，代入數(shù)據(jù)整理即可得出點(diǎn)H恒在一條定直線上．【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意可得，解得a＝3；（2）解：由（1）可知，直線x，點(diǎn)F1（，0）．設(shè)點(diǎn)P（，t），Q（x0，y0），∵0，∴（，﹣t）?（x0，﹣y0）＝0，得．∵點(diǎn)Q（x0，y0）在橢圓E上，∴，即．∴k1?k2，∴k1?k2的值是；（3）證明：設(shè)過(guò)P（，1）的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），點(diǎn)H（x，y），則，，設(shè)λ，則，，∴（x1，y1﹣1）＝λ（x2，y2﹣1），（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），整理得，x，1，y，從而，y，由于，，∴9y36．∴點(diǎn)H恒在直線．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．3．（1）；（2）存在，點(diǎn)總在定直線上.【解析】（1）由已知建立關(guān)于方程組，解之可求得答案；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.記，由已知得坐標(biāo)的關(guān)系：，，，，由點(diǎn)在橢圓上，代入可得定直線.【詳解】（1）由已知得，解得，所以；（2）由（1）得橢圓的方程為C:，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.由題設(shè)知均不為零，記，則且，又四點(diǎn)共線，從而，于是，，，，從而①，②，又點(diǎn)在橢圓上，所以③，④，所以①②并結(jié)合③，④，得，化簡(jiǎn)得.即點(diǎn)總在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系之：定直線問(wèn)題.證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.屬于較難題.4．(Ⅰ)；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析，直線方程為．【詳解】試題分析：（1）本問(wèn)主要考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由，可得，所以，則在中，，，再根據(jù)余弦定理及，可以求出的值，于是可以求出橢圓的方程；（2）本問(wèn)主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，分析題意可知直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線方程為，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去未知數(shù)得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和及橫坐標(biāo)之積，于是設(shè)點(diǎn)，將題中條件轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的等式，于是可以得出滿足的方程，即可以證明總在一條直線上.試題解析：（1）由已知得，且，在中，由余弦定理得，解得.則，所以橢圓的方程為.（2）由題意可得直線的斜率存在