初中數(shù)學(中考)關于使用配方法求二次函數(shù)的解析式和頂點坐標、對稱軸的專題問題_第1頁
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初中數(shù)學(中考)關于使用配方法求二次函數(shù)的解析式和頂點坐標、對稱軸的專題問題:關于使用配方法求二次函數(shù)的解析式和頂點坐標、對稱軸的專題問題:1.(2013?安徽模擬)已知:二次函數(shù)y=2x2+bx+c過點(1,1)和點(2,10),求二次函數(shù)的解析式,并用配方法求二次函數(shù)圖象的頂點坐標.2.(2011?普陀區(qū)一模)已知一個二次函數(shù)的圖象經過A(0,1)、B(1,3)、C(﹣1,1)三點,求這個函數(shù)的解析式,并用配方法求出圖象的頂點坐標.3.(2011?黃浦區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=2x2+bx+c的圖象經過點(1,1)與(﹣1,9).(1)求此函數(shù)的解析式;(2)用配方法求此函數(shù)圖象的頂點坐標.4.(2010?嘉定區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5).(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)用配方法求出這個二次函數(shù)的頂點坐標.5.(1999?福州)已知:二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經過點A(﹣1,12)、B(2,﹣3).(1)求該二次函數(shù)的解析式;(2)用配方法把由(1)所得的解析式化為y=(x﹣h)2+k的形式,并求出該拋物線的頂點坐標和對稱軸;(3)求拋物線與x軸的兩個交點C、D的坐標及△ACD的面積.12.(2005?廣州)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c.(1)當a=1,b=﹣2,c=1時,請在圖上的直角坐標系中畫出此時二次函數(shù)的圖象;(2)用配方法求該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標.13.(2006?遂寧)已知二次函數(shù)y=x2+4x.(1)用配方法把該函數(shù)化為y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常數(shù)且a≠0)的形式,并指出函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標;(2)函數(shù)圖象與x軸的交點坐標.14.(2005?烏蘭察布)已知拋物線y=x2﹣2x﹣3,將y=x2﹣2x﹣3用配方法化為y=a(x﹣h)2+k的形式,并指出對稱軸、頂點坐標及圖象與x軸、y軸的交點坐標.15.(1997?上海)用配方法把函數(shù)y=1﹣4x﹣2x2化成y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸.16.(1997?安徽)通過配方,確定拋物線y=﹣2x2﹣5x+7的開口方向、對稱軸和頂點坐標.17.(2014?虹口區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=﹣﹣x+.(1)用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸.18.(2009?門頭溝區(qū)二模)已知二次函數(shù)y=2x2﹣4x+5,(1)將二次函數(shù)的解析式化為y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度,再向下平移1個單位長度后,所得二次函數(shù)圖象的頂點為A,請你直接寫出點A的坐標;(3)若反比例函數(shù)y=的圖象過點A,求反比例函數(shù)的解析式.答案:1.(2013?安徽模擬)已知:二次函數(shù)y=2x2+bx+c過點(1,1)和點(2,10),求二次函數(shù)的解析式,并用配方法求二次函數(shù)圖象的頂點坐標.解:把(1,1)和(2,10)代入y=2x2+bx+c有:,解有:,∴二次函數(shù)的解析式為:y=2x2+3x﹣4,y=2x2+3x﹣4,=2(x2+x+)﹣﹣4,=2(x2+x+)﹣,=2(x+)2﹣,∴二次函數(shù)的頂點坐標為(﹣,﹣).2.(2011?普陀區(qū)一模)已知一個二次函數(shù)的圖象經過A(0,1)、B(1,3)、C(﹣1,1)三點,求這個函數(shù)的解析式,并用配方法求出圖象的頂點坐標.解:(1)設所求的二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).由這個函數(shù)的圖象過A(0,1),可知c=1.(1分)再由這個函數(shù)的圖象過點B(1,3)、C(﹣1,1),有∴(2分)∴(2分)∴這個二次函數(shù)的解析式為:y=x2+x+1.(1分)(2)y=x2+x+1.(2分)∴這個二次函數(shù)的頂點坐標為.(2分)3.(2011?黃浦區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=2x2+bx+c的圖象經過點(1,1)與(﹣1,9).(1)求此函數(shù)的解析式;(2)用配方法求此函數(shù)圖象的頂點坐標.解:(1)由條件有,解有,∴解析式為y=2x2﹣4x+3;(2)y=2x2﹣4x+3,=2(x2﹣2x+1)+3﹣2,=2(x﹣1)2+1,∴頂點坐標為(1,1).4.(2010?嘉定區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5).(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)用配方法求出這個二次函數(shù)的頂點坐標.解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5),∴(1分)∴(3分)∴這個二次函數(shù)的解析式為:y=x2﹣6x+5.(1分)(2)y=x2﹣6x+5y=(x2﹣6x+9﹣9)+5(2分)y=(x﹣3)2﹣4.(1分)∴這個二次函數(shù)的頂點坐標為(3,﹣4).(2分)5.(1999?福州)已知:二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經過點A(﹣1,12)、B(2,﹣3).(1)求該二次函數(shù)的解析式;(2)用配方法把由(1)所得的解析式化為y=(x﹣h)2+k的形式,并求出該拋物線的頂點坐標和對稱軸;(3)求拋物線與x軸的兩個交點C、D的坐標及△ACD的面積.解:根據(jù)題意,有(1分)解有;(3分)∴該二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2﹣6x+5;(4分)(2)∵y=x2﹣6x+5=(x﹣3)2﹣4,(6分)∴拋物線的頂點坐標為(3,﹣4),(7分)對稱軸為直線x=3;(8分)(3)由x2﹣6x+5=0,解有x1=1,x2=5;(9分)∴C、D兩點坐標分別為(1,0),(5,0);(10分)S△ACD=×4×12=24.(12分)6.(2010?虹口區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=x2+2x﹣3,解答下列問題:(1)用配方法將該函數(shù)解析式化為y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸,以及它的變化情況.解:(1)y=x2+2x+1﹣4=(x+1)2﹣4;(2)∵a=1>0,m=1,k=﹣4,∴該函數(shù)圖象的開口向上;頂點坐標是(﹣1,﹣4);對稱軸是直線x=﹣1;圖象在直線x=﹣1左側部分是下降的,右側的部分是上升的.7.(2012?閘北區(qū)一模)已知:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點(1,0)、(2,10)、(﹣2,﹣6).(1)求這個拋物線的解析式;(2)運用配方法,把這個拋物線的解析式化為y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的頂點坐標;(3)把這個拋物線先向右平移4個單位,再向上平移6個單位,求平移后得到的拋物線與y軸交點的坐標.解:(1)根據(jù)題意有:,解有∴這個拋物線的解析式是y=2x2+4x﹣6;(2)y=2x2+4x﹣6=2(x2+2x)﹣6,y=2(x2+2x+1)﹣2﹣6,∴y=2(x+1)2﹣8∴頂點坐標是(﹣1,﹣8);(3)將頂點(﹣1,﹣8)先向右平移4個單位,再向上平移6個單位,有頂點坐標為(3,﹣2),∴平移后到的拋物線的解析式是y=2(x﹣3)2﹣2,令x=0,則y=16,∴它與y軸的交點的坐標是(0,16).9.(2005?靜安區(qū)二模)如圖,二次函數(shù)y=x2﹣(m+1)x+m(其中m>1)與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸相交于點C.(1)求點A、B的坐標(可用m的代數(shù)式表示);(2)當△ABC的面積為6時,求這個二次函數(shù)的解析式,并用配方法求它的圖象的頂點坐標.解:(1)拋物線y=x2﹣(m+1)x+m(其中m>1)中,令y=0,有:x2﹣(m+1)x+m=0,即(x﹣m)(x﹣1)=0,解有:x1=m,x2=1;∴A(1,0),B(m,0);(2)易知C(0,m);∵S△ABC=AB?OC=(m﹣1)?m=6;∴m2﹣m﹣12=0,解有m=4,m=﹣3(不合題意,舍去);∴y=x2﹣5x+4=(x﹣)2﹣;∴拋物線的頂點坐標為(,﹣).8.(2009?通州區(qū)二模)已知二次函數(shù)y=x2﹣3x﹣4.(1)用配方法求這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸;(2)畫出這個函數(shù)的大致圖象,指出函數(shù)值不小于0時x的取值范圍.解:(1)∵y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+()2﹣()2﹣4=(x﹣)2﹣;∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(,﹣),對稱軸方程是x=.(2)∵y=x2﹣3x﹣4=(x+1)(x﹣4),圖象與x軸兩交點坐標為(﹣1,0),(4,0),∴函數(shù)值不小于0時,x的取值范圍是x≤﹣1或x≥4.圖象如圖.10.(2011?虹口區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=2x2+bx+c的圖象經過A(0,1)、B(﹣2,1)兩點.(1)求該函數(shù)的解析式;(2)用配方法將該函數(shù)解析式化為y=a(x+m)2+k.解:(1)根據(jù)題意,有,解得,,∴該二次函數(shù)的解析式是y=2x2+4x+1;(2)由(1)中的二次函數(shù)的解析式知,y=2(x2+2x)+1=2(x2+2x+1)+1﹣2=2(x+1)2﹣1.11.(2009?黃浦區(qū)一模)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點A(3,0),B(﹣1,0),C(0,3).(1)求此函數(shù)的解析式;(2)用配方法(寫出配方過程)將此函數(shù)化為y=a(x+m)2+k的形式,并寫出其頂點坐標;(3)在線段AC上是否存在點P(不含A、C兩點),使△ABP與△ABC相似?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)由題意有:,(2分)解有:;(1分)∴此函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+3;(1分)(2)y=﹣x2+2x+3=﹣(x2﹣2x+1)+3+1(2分)=﹣(x﹣1)2+4;(1分)∴頂點為(1,4);(1分)(3)假設存在點P,使△ABP與△ABC相似,則/;當時,AP=AC;(不合題意,舍去)(1分)當時,;(1分)由題意易有直線AC的解析式為:y=﹣x+3,設P(x,﹣x+3),其中0<x<3,則,解有:(舍去);(1分)∴.(1分)12.(2005?廣州)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c.(1)當a=1,b=﹣2,c=1時,請在圖上的直角坐標系中畫出此時二次函數(shù)的圖象;(2)用配方法求該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標.解:(1)當a=1,b=﹣2,c=1時,y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴該二次函數(shù)的頂點坐標為(1,0),對稱軸為直線x=1,利用函數(shù)對稱性列表如下:x…﹣10123…y…41014…在給定的坐標中描點,畫出圖象如下.(2)由y=ax2+bx+c是二次函數(shù),知a≠0y=a(x2+x)+c=a[x2+x+()2]+c﹣a×()2=a(x+)2+∴該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為.13.(2006?遂寧)已知二次函數(shù)y=x2+4x.(1)用配方法把該函數(shù)化為y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常數(shù)且a≠0)的形式,并指出函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標;(2)函數(shù)圖象與x軸的交點坐標.解:(1)∵y=x2+4x=(x2+4x+4)﹣4=(x+2)2﹣4,∴對稱軸為:x=﹣2,頂點坐標:(﹣2,﹣4);(2)y=0時,有x2+4x=0,x(x+4)=0,∴x1=0,x2=﹣4.∴圖象與x軸的交點坐標為:(0,0)與(﹣4,0).14.(2005?烏蘭察布)已知拋物線y=x2﹣2x﹣3,將y=x2﹣2x﹣3用配方法化為y=a(x﹣h)2+k的形式,并指出對稱軸、頂點坐標及圖象與x軸、y軸的交點坐標.解:y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣1﹣3=(x﹣1)2﹣4,對稱軸是x=1,頂點坐標是(1,﹣4),當x=0時,y=﹣3,∴y軸的交點坐標為(0,﹣3),當y=0時,x=3或x=﹣1即與x軸的交點坐標為(3,0),(﹣1,0).15.(1997?上海)用配方法把函數(shù)y=1﹣4x﹣2x2化成y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸.解:y=1﹣4x﹣2x2,=﹣2(x2+2x+1)+2+1,=﹣2(x+1)2+3,∴,∵a=﹣2<0,∴它的圖象的開口方向向下,頂點坐標為(﹣1,3),對稱軸為直線x=﹣1.16.(1997?安徽)通過配方,確定拋物線y=﹣2x2﹣5x+7的開口方向、對稱軸和頂點坐標.解:y=﹣2x2﹣5x+7=﹣2(x2+x)+7=﹣2(x+)2+,∵a=﹣2<0,∴拋物線開口向下,對稱軸是直線x=﹣,頂點坐標為(﹣,).17.(2014?虹口區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=﹣﹣x+.(1)用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸.解:(1)y=﹣x2﹣x+,=﹣(x2+2x+1)++,=﹣(x+1)2+4;(2)∵a=﹣<0,∴二次函數(shù)圖象的開口向下,頂點坐標為(﹣1,4),

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