六年級數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練40講之三

第二十一周抓“不變量”解題

專題簡析：

一些分?jǐn)?shù)的分子與分母被施行了加減變化，解答時關(guān)鍵要分析哪些量變了，哪些量沒有

變。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不變量進(jìn)行分析后，再轉(zhuǎn)

化并解答。

例L

將4昔3的分子與分母同時加上某數(shù)后得7（，求所加的這個數(shù)。

619

解法一：因為分?jǐn)?shù)的分子與分母加上了一個數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的分子與分母的差不變，仍是18,

所以，原題轉(zhuǎn)化成了一各簡單的分?jǐn)?shù)問題：“一個分?jǐn)?shù)的分子比分母少18,切分子

7

是分母的3，由此可求出新分?jǐn)?shù)的分子和分母?！?/p>

7

分母：（61-43）+（1--）=81

y

八P7

分子：81X-=63

81-61=20或63-43=20

437

解法二：M的分母比分子多18,g的分母比分子多2,因為分?jǐn)?shù)的與分母的差不變，所以

bl9

7

將d的分子、分母同時擴大（18+2=）9倍。

7

①W的分子、分母應(yīng)擴大：（61-43）+（9-7）=9（倍）

y

②約分后所得的（7在約分前是：7（=7X19=合

yyyAyoi

③所加的數(shù)是81-61=20

答:所加的數(shù)是20。

練習(xí)1：

972

1、分?jǐn)?shù)H的分子和分母都減去同一個數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是5那么減去的數(shù)是多少？

1815

13

2、分?jǐn)?shù)n的分子、分母同加上一個數(shù)后得.那么同加的這個數(shù)是多少？

135

3、元的分子、分母加上同一個數(shù)并約分后得亍那么加上的數(shù)是多少？

ly（

589

4、將云這個分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是可,那么減去的數(shù)是多少？

IC/O

例2：

將一個分?jǐn)?shù)的分母減去2得也如果將它的分母加上1,則得*求這個分?jǐn)?shù)。

解法一：因為兩次都是改變分?jǐn)?shù)的分母，所以分?jǐn)?shù)的分子沒有變化，由“它的分母減去2

得［可知，分母比分子的￡倍還多2o由“分母加1得!”可知，分母比分子的|倍

少1,從而將原題轉(zhuǎn)化成一個盈虧問題。

分子：(2+1)+(|-|)=12

3

分母：12X--1=17

解法二：兩個新分?jǐn)?shù)在未約分時，分子相同。

2412412

①將兩個分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，且使分母相差3。-=—

3618515

②原分?jǐn)?shù)的分母是：

18-1=17或15+2=17

19

答：這個分?jǐn)?shù)為百。

練習(xí)2

1、將一個分?jǐn)?shù)的分母加上2得手分母加上3得卓原來的分?jǐn)?shù)是多少？

2、將一個分?jǐn)?shù)的分母加上2得|,分母加上2得點原來的分?jǐn)?shù)是多少？

3、將一個分?jǐn)?shù)的分母加上5得半，分母加上4得去原來的分?jǐn)?shù)是多少？

4、將一個分?jǐn)?shù)的分母減去9得|,分母減去6得］原來的分?jǐn)?shù)是多少？

例3：

在一個最簡分?jǐn)?shù)的分子上加一個數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就等于亍如果在它的分子上減去同一個數(shù),

這個分?jǐn)?shù)就等于看求原來的最簡分?jǐn)?shù)是多少。

510

解法一：兩個新分?jǐn)?shù)在未約分時，分母相同。將這兩個分?jǐn)?shù)化成分母相同的分?jǐn)?shù)，即一,

17107

市瓦。根據(jù)題意，兩個新分?jǐn)?shù)分子的差應(yīng)為2的倍數(shù)，所以分別想誦和R的分子和

分母再乘以2。所以

510201714

7=14=28，2=14=28

17

故原來的最簡分?jǐn)?shù)是二。

Zo

解法二：根據(jù)題意，兩個新分?jǐn)?shù)的和等于原分?jǐn)?shù)的2倍。所以

5117

(濘+2=詆

17

答：原來的最簡分?jǐn)?shù)是前。

練習(xí)3：

1、一個最簡分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就等于9如果在它的分子上減去同一

O

個數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就等于自求這個分?jǐn)?shù)。

6

2、一個最簡分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就等于于如果在它的分子上減去同一

個數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就等于;，求這個分?jǐn)?shù)。

7

3、一個分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就等于不如果在它的分子上減去同一個數(shù)，

這個分?jǐn)?shù)就等于己求這個分?jǐn)?shù)。

5

例4：

將一個分?jǐn)?shù)的分母加3得/分母加5得李原分?jǐn)?shù)是多少？

7913

解法一：兩個新分?jǐn)?shù)在未約分時，分子相同。將兩個分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，即6==，7

919191

==。根據(jù)題意，兩個新分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)相差2,而現(xiàn)在只相差1,所以分別將荷和二

ZoZ(Zo

7914232142

的分子和分母再同乘以2。則土言=含合黃=含所以，原分?jǐn)?shù)的分母是(54

9275442856

42

-3=)51。原分?jǐn)?shù)是比。

9

解法二：因為分子沒有變，所以把分子看做單位“1”。分母加3后是分子的彳分母加5后

是分子的*因此，原分?jǐn)?shù)的分子是(5-3)+(|-1)=42。原分?jǐn)?shù)的分母是42

42

4-7X9-3=51,原分?jǐn)?shù)是比。

練習(xí)4：

1、一個分?jǐn)?shù)，將它的分母加5得也加8得看原來的分?jǐn)?shù)是多少？(用兩種方法)

2、將一個分?jǐn)?shù)的分母減去3,約分后得多若將它的分母減去5,則得提原來的分?jǐn)?shù)是多少？

(用兩種方法做)

3、把一個分?jǐn)?shù)的分母減去2,約分后等于I。如果給原分?jǐn)?shù)的分母加上9,約分后等于十求

原分?jǐn)?shù)。

例5：

有一個分?jǐn)?shù)，如果分子加1,這個分?jǐn)?shù)等于［如果分母加1,這個分?jǐn)?shù)就等于、這個分

40

數(shù)是多少？

根據(jù)“分子加1,這個分?jǐn)?shù)等于會可知，分母比分子的2倍多2；根據(jù)“分母加1這

個分?jǐn)?shù)就等于可知，分母比分子的3倍少1。所以，這個分?jǐn)?shù)的分子是(1+2)4-(3-2)

3

=3,分母是3X2+2=8。所以，這個分?jǐn)?shù)是

O

練習(xí)5：

一個分?jǐn)?shù)，如果分子加3,這個分?jǐn)?shù)等于今如果分母加上1,這個分?jǐn)?shù)等于:，這個分

1、

數(shù)是多少？

一個分?jǐn)?shù)，如果分子加5,這個分?jǐn)?shù)等于今如果分母減3,這個分?jǐn)?shù)等于4，這個分?jǐn)?shù)

2、

是多少？

3、一個分?jǐn)?shù)，如果分子減1,這個分?jǐn)?shù)等于看如果分母加11,這個分?jǐn)?shù)等于1這個分?jǐn)?shù)

0

是多少？

答案：

練1

1、412、173、374、16

練2

21121220

1、云2、行3.-4

41

練3

92531

1—9-Q-

164245

練4

6084165

1-9---Q---

67101222

練5

779

202416

第二十二周特殊工程問題

專題簡析：

有些工程題中，工作效率、工作時間和工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系很不明顯，這時我

們就可以考慮運用一些特殊的思路，如綜合轉(zhuǎn)化、整體思考等方法來解題。

例1:

修一條路，甲隊每天修8小時，5天完成；乙隊每天修10小時，6天完成。兩隊合作，

每天工作6小時，幾天可以完成？

把前兩個條件綜合為“甲隊40小時完成”，后兩個條件綜合為“乙隊60小時完成”。則

^5X8+10X6^4-6=4（天）

或—（5X8+10X6）X6]=4（天）

答：4天可以完成。

練習(xí)1：

1、修一條路，甲隊每天修6小時，4天可以完成；乙隊每天修8小時，5天可以完成。現(xiàn)在

讓甲、乙兩隊合修，要求2天完成，每天應(yīng)修幾小時？

2、一項工作，甲組3人8天能完成，乙組4人7天也能完成?，F(xiàn)在由甲組2人和乙組7人

合作，多少天可以完成？

3、貨場上有一堆沙子，如果用3輛卡車4天可以完成，用4輛馬車5天可以運完，用20

輛小板車6天可以運完?，F(xiàn)在用2輛卡車、3輛馬車和7輛小板車共同運兩天后，全

改用小板車運，必須在兩天內(nèi)運完。問：后兩天需要多少輛小板車？

例2：

有兩個同樣的倉庫A和B,搬運一個倉庫里的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，

丙需要15小時。甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫，同時開始搬運。中途丙轉(zhuǎn)向幫助乙搬運。

最后，兩個倉庫同時搬完，丙幫助甲、乙各多少時間？

設(shè)搬運一個倉庫的貨物的工作量為“1”?？傉w上看，相當(dāng)于三人共同完成工作量“2”

①三人同時搬運了

2+（卷++長）=8（小時）

②丙幫甲搬了

（1-^X8）4-77=3（小時）

1015

③丙幫乙搬了

8-3=5（小時）

答：丙幫甲搬了3小時，幫乙搬了5小時。

練習(xí)2：

1、師、徒兩人加工相同數(shù)量的零件，師傅每小時加工自己任務(wù)的需，徒弟每小時加工自己

任務(wù)的右。師、徒同時開始加工。師傅完成任務(wù)后立即幫助徒弟加工，直至完成任務(wù)，

15

師傅幫徒弟加工了幾小時？

2、有兩個同樣的倉庫A和B,搬運一個倉庫里的貨物，甲需要18小時，乙需要12小時，

丙需要9小時。甲、乙在A倉庫，丙在B倉庫，同時開始搬運。中途甲又轉(zhuǎn)向幫助丙

搬運。最后，兩個倉庫同時搬完。甲幫助乙、丙各多少小時？

3、甲、乙兩人同時加工一批零件，完成任務(wù)時，甲做了全部零件的？乙每小時加工12個

O

零件，甲單獨加工這批零件要12小時，這批零件有多少個？

例3：

一件工作，甲獨做要20天完成，乙獨做要12天完成。這件工作先由甲做了若干天，然

后由乙繼續(xù)做完，從開始到完工共用了14天。這件工作由甲先做了幾天？

解法一：根據(jù)兩人做的工作量的和等于單位“1”列方程解答，很容易理解。

解：設(shè)甲做了x天，則乙做了(14-x)天。

11

-x+—X(14-x)=1

X=5

解法二：假設(shè)這14天都由乙來做，那么完成的工作量就是蘇義14,比總工作量多了七X

14-1=1-乙每天的能夠做量比甲每天的工作兩哦了白義!，因此甲做了4小焉5

(天)

練習(xí)3：

1、一項工程，甲獨做12天完成，乙獨做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接著做余下的

工程，直至完成全部任務(wù)，這樣前后共用了6天，甲先做了幾天？

2、一項工程，甲隊單獨做需30天完成，乙隊單獨做需40天完成。甲隊單獨做若干天后，

由乙隊接著做，共用35天完成了任務(wù)。甲、乙兩隊各做了多少天？

3、一項工程，甲獨做要50天，乙獨做要75天，現(xiàn)在由甲、乙合作，中間乙休息幾天，這

樣共用40天完成。求乙休息的天數(shù)。

例4：

甲、乙兩人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，兩人共用

了10天才完成。如果由甲單獨加工這批零件，需要多少天才能完成？

解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲單獨做需要的天數(shù)。

17

①甲、乙同時做的工作量為不義(10-3)=-

OO

71

②乙單獨做的工作量為1—

OO

③乙的工作效率為《+3亮

o

④甲的工作效率為:一

⑤甲單獨做需要的天數(shù)為1號=12(天)

解法二：從題中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙兩人多做了(10-8=)2天。由此可知,

甲3天的工作量相當(dāng)于這批零件的2+8=1/4

34-[(10-8)4-8]=12(天)或

3X[84-（10-8）]=12（天）

答：甲單獨做需要12天完成。

練習(xí)4：

1、甲、乙兩人合作某項工程需要12天。在合作中，甲因輸請假5天，因此共用15天才完

工。如果全部工程由甲單獨去干，需要多少天才能完成？

2、一段布，可以做30件上衣，也可做48條褲子。如果先做20件上衣后，還可以做多少條

褲子？

3、一項工程，甲、乙合作6小時可以完成，同時開工，中途甲通工了2.5小時，因此，經(jīng)

過7.5小時才完工。如果這項工程由甲單獨做需要多少小時？

4、一項工程，甲先單獨做2天，然后與乙合作7天，這樣才完成全工程的一半，已知甲、

乙工作效率的比是3：2,如果這件工作由乙單獨做，需要多少天才能完成？

例5：

放滿一個水池的水，如果同時開放①②③號閥門，15小時放滿；如果同時開放①③⑤

號閥門，12小時可以放滿；如果同時開放②④⑤號閥門，8小時可以放滿。問：同時開放這

五個閥門幾小時可以放滿這個水池？

從整體入手，比較條件中各個閥門出現(xiàn)的次數(shù)可知，①③號閥門各出現(xiàn)3次，②

④⑤號閥門各出現(xiàn)2次。如果白+親小]再加一個]，則是五個閥門各放3小時的總水

101U1Zoo

量。

I（15+10+12+8+8）+3]=1+[13]=6（小時）

練習(xí)5

1、完成一件工作，甲、乙合作需15小時，乙、丙兩人合作需12小時，甲、丙合作需

10小時。甲、乙丙三人合作需幾小時才能完成？

2、一項工程，甲干3天，乙干5天可以完成〈，甲干5天、乙干3天可完成]甲、乙

合干需幾天完成？

3、完成一件工作，甲、乙兩人合作需20小時，乙、丙兩人合作需28小時，丙、丁兩

人合作需30小時。甲、丁兩人合作需幾小時？

4、一項工程，由一、二、三小隊合干需18天完成，由二、三、四小隊合干需15天完

成，由一、二、四小隊合干需12天完成，由一、三、四小隊合干需20天完成。由

第一小隊單獨干需要多少天？

答案：

練1

1、-（七+/）+2=7.5小時

2、-（忐＞2+出X7）=3天

3、（1）共同運兩天后，還剩這堆黃沙的

1111

L（&1義2+荻^5+訴X7）X2=-

(2)后兩天需要小板車：＜+(短X2)=15輛

練2

1、2+(—+77)—10=2小時

1015

1113

2、2+(曲9+5)=8小時

ioizy

甲幫乙：(I—777X8)=6小時

1Zlo

甲幫丙：(1—〈X8)+行=2小時

yio

515

3、解法一：12X(-4-—)4-(1--)=240個

o1Zo

解法二：124-(8-5)X5X12=240個

練3

1、(1x6—1)4-((-七)=3天

2、甲：(1—335)2舄一看)=15天

乙：35—15=20天

3、40—(1——X40)+777=25天

5075

練4

1、5X[124-(15-12)]=20天

2、48—48930X20=16條

3、2.5X[64-(7.5-6)]=10小時

練5

1、1?【(專+F)+2]=8小時

2、14-[(]+§)+(3+5)】=9.6天

111、一

3、14-z=21小時

NUJUzio

,11111.十

4、人【(運行巧寸而)+3—詔1=54天

第二十三周周期工程問題

專題簡析：

周期工程問題中，工作時工作人員（或物體）是按一定順序輪流交替工作的。

解答時，首先要弄清一個循環(huán)周期的工作量，利用周期性規(guī)律，使貌似復(fù)雜的問

題迅速地化難為易。其次要注意最后不滿一個周期的部分所需的工作時間，這樣

才能正確解答。

例1：一項工程，甲單獨做需要12小時，乙單獨做需要18小時。若甲做1小時

后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時……兩人如此交替工作，問完成

任務(wù)時需共用多少小時？

把2小時的工作量看做一個循環(huán)，先求出循環(huán)的次數(shù)。

①需循環(huán)的次數(shù)為：-七/）號＞7（次）

②7個循環(huán)后剩下的工作量是：「（士+士）X74

③余下的工作兩還需甲做的時間為：黑?。ㄐr）

④完成任務(wù)共用的時間為：2X7+1=14；（小時）

OO

答：完成任務(wù)時需共用14；小時。

練習(xí)1:

1、一項工程，甲單獨做要6小時完成，乙單獨做要10小時完成。如果按甲、乙；

甲、乙……的順序交替工作，每次1小時，需要多少小時才能完成？

2、一部書稿，甲單獨打字要14小時，乙單獨打字要20小時。如果先由甲打1

小時，然后由乙接替甲打1小時；再由甲接替乙打1小時……兩人如此交替

工作，打完這部書稿共需用多少小時？

3、一項工作，甲單獨完成要9小時，乙單獨完成要12小時。如果按照甲、乙；

甲、乙……的順序輪流工作，每人每次工作1小時，完成這項工程的2/3共

要多少時間？

2

例2：一項工程，甲、乙合作265天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣

交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪

流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項工程由甲單獨做要多少天才能完

成？

由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數(shù)為奇數(shù)，否則不論

“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先”的輪

流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙;甲

豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，乙做一天等

于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。

221

①甲每天能做這項工程的1?26?才廠行

②甲單獨做完成的時間1?今40（天）

答：這項工程由甲單獨做需要40天才能完成。

練習(xí)2：

1、一項工程，乙單獨做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪

流交替做，也恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流

交替做，比上次輪流做要多半天才能完成o這項工程由甲獨做幾天可以完成？

2、一項工程，甲單獨做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪

流交替做，恰好也用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流

交替做，比上次輪流做要多;天才能完成。這項工程由甲、乙合作合作幾天可

以完成？

3

3、一項工程，甲、乙合作12三小時可以完成。如果第一小時甲做，第二小時乙

做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)小時完成。如果第一小時乙做，第二小

時甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多;小時才能完成。這項工程由甲

獨做幾小時可以完成？

4、蓄水池有一跟進(jìn)水管和一跟排水管。單開進(jìn)水管5小時灌滿一池水，單開排

水管3小時排完一池水?，F(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水、排水；進(jìn)水、排

水……的順序輪流依次各開1小時，多少小時后水池的水剛好排完？

例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)

天數(shù)完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完

成時所用的天數(shù)后，還剩60個不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3o甲、

乙每天各做多少個？

由題意可以推出“甲先”的輪流方式，完成時所用的天數(shù)為奇數(shù)，否則不論

“甲先”還是“乙先”，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先”的輪

流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下：

甲乙甲乙……甲乙甲

乙甲乙甲……乙甲乙剩60個

豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，剩下的60

個零件就是甲、乙工作效率的差。

甲每天做的個數(shù)為：604-(5-3)X5=150(個)

乙每天做的個數(shù)為：604-(5-3)X3=90(個)

答：甲每天做150個，乙每天做90個。

練習(xí)3：

1、一批零件如果第一天師傅做，第二天徒弟做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)

天完成。如果第一天徒弟做，第二天師傅做，這樣交替輪流做，做到上次輪

流完成時所用的天數(shù)后，還剩84個不能完成。已知師、徒工作效率的比是7：

4O師、徒二人每天各做多少個？

2、一項工程，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流恰好用整數(shù)天完成。

2

如果死一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做要多鼻天才能完成。如果讓甲、

5

5

乙二人合作，只需2鼻天就可以完成?，F(xiàn)在，由乙獨做需要幾天才能完成？

3、紅星機械廠有1080個零件需要加工。如果第一小時讓師傅做，第二小時讓徒

弟做，這樣交替輪流，恰好整數(shù)小時可以完成。如果第一小時讓徒弟做，第

二小時讓師傅做，這樣交替輪流，做到上次輪流完成時所用的天數(shù)后，還剩

60個不能完成。如果讓師、徒二人合作，只需3小時36分就能完成。師、

徒每小時各能完成多少個？

例4：打印一部稿件，甲單獨打要12小時完成，乙單獨打要15小時完成?，F(xiàn)在,

甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時，乙工作2小時；甲工作2小時，乙工作1

小時；甲工作1小時，乙工作2小時……如此這樣交替下去，打印這部書稿共

要多少小時？

根據(jù)已知條件，我們可以把6小時的工作時間看做一個循環(huán)。在每一個循環(huán)

中，甲、乙都工作了3小時。

11Q

①每循環(huán)一次，他們共完成全部工程的年十元）X3=-

②總工作量里包含幾個9/20：1+4=2|

91

③甲、乙工作兩個循環(huán)后，剩下全工程的1-布*2=指

乙UU

④由于十』,所以，求甲工作1小時后剩下的工作由乙完成還需的時間

%，11、?11

⑤打印這部稿件共需的時間為：6X2+1+|=13；（小時）

答：打印這部稿件共需13；小時。

練習(xí)4：

1、一個水池安裝了甲、乙兩根進(jìn)水管。單開甲管，24分鐘能包空池灌滿；單開

乙管，18分鐘能把空池灌滿?，F(xiàn)在，甲、乙兩管輪流開放，按照甲1分鐘，

乙2分鐘，甲2分鐘，乙1分鐘，甲1分鐘，乙2分鐘……如此交替下去，

灌滿一池水共需幾分鐘？

2、一件工作，甲單獨做，需12小時完成；乙單獨做需15小時完成?，F(xiàn)在，甲、

乙兩人輪流工作，甲工作2小時，乙工作1小時；甲工作1小時，乙工作2

小時；甲工作2小時，乙工作1小時……如此交替下去，完成這件工作共需

多少小時？

3、一項工程，甲單獨做要50天完工，乙單獨做需60天完工?，F(xiàn)在，自某年的

3月2日兩人一起開工，甲每工作3天則休息1天，乙每工作5天則休息一

52

天，完成全部工程的云為幾月幾日？

75

4、一項工程，甲工程隊單獨做完要150天，乙工程隊單獨做完需180天。兩隊

合作時，甲隊做5天，休息2天，乙隊做6天，休息1天。完成這項工程要

多少天？

例5：

有一項工程，由甲、乙、丙三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序

輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用0.5天;

如果按丙、甲、乙次序做，比原計劃多用!天。已知甲單獨做13天完成。且3

個工程隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

由題意可以推出：按甲、乙、丙次序輪做，能夠的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余1

或余2。如果是3的倍數(shù)，三種輪流方式完工的天數(shù)，必定相同。如果按甲、乙、

丙的次序輪流做，用的天數(shù)是3的倍數(shù)余1。三種輪流方式做的情況可表示如下:

甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙］丙

丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙;甲

21912

從中可以退出：丙二可甲；由于乙二甲一5丙二甲一鼻甲Xj,又推出乙?甲；與

題中“三個工程隊的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序輪做，用

的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余2。三種輪流方式用的天數(shù)必定如下所示：

甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲乙

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙萬甲

丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲5乙

19

由此推出：丙弓甲，丙.乙

乙U

①丙隊每天做這項工程的.X：』

1322b

193

②乙隊每天做這項工程的X26+E352

1137

③甲、乙、丙合作完工需要的時間為1+(―+—+—)=5-(天)

132b529

7

答：甲、乙、丙合作要片天完工。

練習(xí)5：

1、有一項工程，由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好

用整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用;天；如果按

丙、甲、乙次序做，比原計劃多用;天。已知甲單獨做7天完成。且3個工程

隊的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

2、有一項工程，由三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好

整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用;天；如果按丙、

甲、乙次序做，比原計劃多用;天。已知甲單獨做10天完成。且3個工程隊

的工效各不相同。這項工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

3、有一項工程，由甲、乙、丙三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序

輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原計劃多用1天;

如果按丙、甲、乙次序做，比原計劃多用;天。已知這項工程由甲、乙、丙三

7

個工程隊同時合作，需13石天可以完成，且3個工程隊的工效各不相同。這

項工程由甲獨做需要多少天才能完成？

4、蓄水池裝有甲、丙兩根進(jìn)水管和乙、丁兩根排水管。要注滿一池水，單開甲

管需要3小時，單開丙管需要5小時。要排光一池水，單開乙管要4小時，

單開丁管要6小時?，F(xiàn)知池內(nèi)有春池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、

T……的順序輪流各開1小時，多長時間后水開始溢出水池？

答案:

練1

1、(1)需循環(huán)的次數(shù)

1115

1.(6+io)x=T>3

(2)3個循環(huán)后剩下的工作量

111

L(6+10)X3=5

（3）最后由乙做的時間

1111,工

（75—70）?1行0=可3小時

（4）需要的總時間

113

2乂3+1+鼻=7.小時

OO

2、（1）需循環(huán)的次數(shù)

11140

（14+20）=~>8

（2）3個循環(huán)后剩下的工作量

114

1——（—+—）X8=---

1420140

（3）最后由乙做的時間

412一

—=一小時

140~145J）

（4）需要的總時間

22

2X8中味小時

3、（1）需循環(huán)的次數(shù)

21124

9+訪）=7>3

（2）3個循環(huán)后剩下的工作量

2

（」+1）、X3=1

391212

（3）最后由乙做的時間

1.13-

—下一=一小時

1294」」

（4）需要的總時間

33

2X3+^=6］小時

練2

1、提示：甲的效率是乙的2倍

20+2=10天

9

2、提示：乙的效率是甲的可

O

.111,

1.[6X（1-3）+0=

9

3、提不：乙的效率是甲的可

O

33

1+(14-12-X-——)=21小時

53—1+3

4、(1)需幾個周期

(2)3個周期后剩下的水

1111

Q—(「3)X3=-

23510

(3)需要的時間

1119

2X3+1+(而+g)，=7正小時

練3

1、師傅：844-(7—4)X7=196個

徒弟：844-(7-4)X4=H2個

23

2、提示：乙的效率是甲的(1--)=-

55

—(14-28X5-2+5)=7天

3

3、3小時36分=3三小時

5

3

師、徒效率和:1080?3三=300個

師傅每小時的個數(shù)：(300+60)+2=180個

徒弟每小時的個數(shù)：(300—60)+2=120個

練4

1、提示：把6分鐘看作一個循環(huán)

(1)每循環(huán)一次的工作量

117

（—）*（1+2）=了

7

(2)總工作量里面有幾個區(qū)

73

1-24=37

(3)3個循環(huán)后剩下的工作量

71

一方

(4)一共需要的時間

11、11八心

6X3+1+（§—四）.五=20,分鐘

2、提示：把6分鐘看作一個循環(huán)

(1)1個循環(huán)的工作量

119

（-）*（1+2）=而

9

(2)總工作量里面有幾個萬

乙U

92

1-20=29

(3)3個循環(huán)后剩下的工作量

91

―而*2=歷

(4)一共需要的時間

111一

6X2+獷記=%小時

說明：2個循環(huán)后，是由甲接著干2小時，所以直接用上+七

3、提示：把12天看作一個循環(huán)

12天中甲的工作量

19

50X(3+3+3)=而

12天中乙的工作量

總共需要的天數(shù)

52.91

———（z.—+一）2

75,506

（12天減去最后休息的1天）

12X2-1=23天

52

完成全部任務(wù)的五為3月24日。

75

4、提示：把7天看作一個周期

22

14-（-X5+-X6）=15

OO

7X15—1=104天

練5

；、提示：按甲、乙、丙的順序輪流做，所用的整數(shù)天數(shù)為3的倍數(shù)余2,否

93

則與題意不符。由此推出丙的效率是甲的鼻，丙的效率也是乙的於

OT

192

（1）丙的工作效率?。荆急?天

?O乙JL

ooo

（2）乙的工作效率丁+7=/

21463

jOO17

（3）甲、乙、丙三隊合做的天數(shù)1+=2示天

7216323

2、提示：按甲、乙、丙的順序輪流做，所用的整數(shù)天數(shù)為3的倍數(shù)余1,否則

1Q

與題意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的乙的效率是甲的笛

（1）丙的效率

1113

（2）乙的效率mX（1--X-）=—

J.乙乙

（3）甲、乙、丙三隊合做的天數(shù)1+（^+4+白）=4得天

iuzu的y

192

3、由題意可以推出，丙的效率是甲的5=乃丙的效率是乙的引進(jìn)而推出甲、

乙dO

乙、丙工作效率的比是4：3：2。

74

(l+13gX皿)=31天

2

4、提示：每四個水管輪流打開后，水池中的水不能超過于否則開甲管的過程

O

中水池里的水就會溢出。

2

(1)水池里的水超過1時需要幾個循環(huán)

O

21111130

)+—)

(3~—7O+(3-—4757b7=7TT>4

(2)循環(huán)5次以后，池中水占

111113

~+(~—7+7-7)

O345bX5=4T

(3)總共需要的時間

313

4X5+(1—R+鼻=20彳小時

TT

第二十四周比較大小

專題簡析：

我們己經(jīng)掌握了基本的比較整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)大小的方法。本周將進(jìn)一步研究如何比較

一些較復(fù)雜的數(shù)或式子的值的大小。

解答這種類型的題目，需要將原題進(jìn)行各種形式的轉(zhuǎn)化，再利用一些不等式的性質(zhì)進(jìn)行

11a

推理判斷。如：a>b>0,那么a的平方>b的平方；如果a>b>0,那么一<口如果二〉1,

abb

b>0,那么a>b等等。

比較大小時，如果要比較的分?jǐn)?shù)都接近1時，可先用1減去原分?jǐn)?shù)，再根據(jù)被減數(shù)相等

（都是1）,減數(shù)越小，差越大的道理判斷原分?jǐn)?shù)的大小。

如果兩個數(shù)的倒數(shù)接近，可以先用1分別除以這兩個數(shù)。再根據(jù)被除數(shù)相等，商越小，

除數(shù)越大的道理判斷原數(shù)的大小。

除了將比較大小轉(zhuǎn)化為比差、比商等形式外，還常常要根據(jù)算式的特點將它作適當(dāng)?shù)淖?/p>

形后再進(jìn)行判斷。

例1：

,,1777773T888884轉(zhuǎn)一,

比較777778和888889的大小°

這兩個分?jǐn)?shù)的分子與分母各不相同，不能直接比較大小，使用通分的方法又太麻煩。由

于這里的兩個分?jǐn)?shù)都接近1,所以我們可先用1分別減去以上分?jǐn)?shù)，再比較所得差的大小，

然后再判斷原來分?jǐn)?shù)的大小。

77777358888845

因為1—777778,77778'1-888889—888889

55

777778>888889

777773888884

所以777778<888889°

練習(xí)1：

1、比較7777777和6666663的大小。

..98765987698798^..,.4Ag4川―?士

2、將面充‘薪，礪’而按從小到大的順序排列出來。

,,^.235861652971M一,

入比較235862和652974的大小。

例2：

比較黑和哥4哪個分?jǐn)?shù)大？

可以先用1分別除以這兩個分?jǐn)?shù)，再比較所得商的大小，最后判斷原分?jǐn)?shù)的大小。

inmii

因為1-TTn=ITr=10TTT

i-^―-m---i----m---u-1n—i

*mumimi

11

10Tn>10TTn

廣…111H11

所以

練習(xí)2：

/、33333,,,.

1、比較A=1666和8=演的大小

innillO444444443

2、比較222222221和888888887的大小

7.8888887/9999991一，,

3、比較8888889和9999994的大小°

例3：

,,2345T12346-,

比較98761和98765的大小°

兩個分?jǐn)?shù)中的分子與分子、分母與分母都較為接近，可以