初中數(shù)學教案設計

數(shù)學:代數(shù)部分

I」基礎定義

正數(shù)與負數(shù)：

有理數(shù)：

數(shù)軸：（三要素）

相反數(shù)：

幾何定義

絕對值

代數(shù)定義

倒數(shù)：

帶分數(shù)：

假分數(shù)：

真分數(shù)：

質(zhì)數(shù)；

合數(shù)：

自然數(shù)：

科學計數(shù)法:

近似數(shù)：

按整/分：

1.2有■理數(shù)分類

按正數(shù)、0、負數(shù)關(guān)系分類:

1.3有理數(shù)比較大小

.加法交換律

運算規(guī)律?加法結(jié)合律

通常

1.有理數(shù)1.4加

兩數(shù)同號時:

兩數(shù)異號時:

與0相加時:

法則：

1.5減「實質(zhì)：

方法：

‘交換律

運算律結(jié)合律

分配律

1.6乘

法則

.步驟

?法則

1.7除?乘除混合運算

步驟

|定義

符號法則

1.8乘方

運算性質(zhì)

|有理數(shù)混合運算順序

1.有理數(shù):整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、0；負整數(shù)，分數(shù)包括正分數(shù)和負分數(shù).

非負數(shù)指正數(shù)和0,非正數(shù)指負數(shù)和0,

有理數(shù)的分類

剖析：有理數(shù)的兩種分類方法，不同的分類標準,分類的結(jié)果不同.

⑴按正數(shù)、負數(shù)與0的關(guān)系分類：

⑵按整數(shù)、分數(shù)的關(guān)系分類：

注意:⑴有限小數(shù)可化為分母是10,100,…的分數(shù)，如0.9=,5.47=5，所以在有理數(shù)的分類中,

這樣的小數(shù)包括在分數(shù)中.

⑵無限循環(huán)小數(shù)也可化成分數(shù)，如0.333-=，所以無限循環(huán)小數(shù)也屬于有理數(shù).

⑶整數(shù)也可看成分母是1的分數(shù)，因此一切有理數(shù)都可表示為最簡分數(shù)（qWO）的形式，這里的

分數(shù)是指不包括整數(shù)的分數(shù).

2.數(shù)軸：

⑴概念:.畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（叫做原點），選取某一長度為單位長度,

規(guī)定直線向右的方向為正方向，就得到?個數(shù)軸。

⑵規(guī)定了原點、單位長度、正方向的直線叫做數(shù)軸。

⑶所有的有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示.

數(shù)軸的畫法剖析：

⑴畫一條直線，一般畫成水平的直線；

⑵在直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下邊標上"0"）；

⑶確定正方向（?般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來；

⑷選取適當?shù)拈L度為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1,2,3,-;

從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為-1,-2,-3,….

畫數(shù)軸時要注意：

⑴原點的位置、單位長度的大小可根據(jù)實際情況適當選取.

⑵確定單位長度時，根據(jù)實際情況,有時也可以每隔二個（或更多的）單位長度取一點，從原點向

右，依次表示為2,4,6,…，從原點向左，依次表示為-2,-4,-6,….

畫數(shù)軸常見的幾種錯誤:①沒有方向;②沒有原點;③單位長度不統(tǒng)一;④負數(shù)的排列錯誤.

3.相反數(shù)：

⑴幾何定義:在數(shù)軸上原點的兩側(cè)，離開原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù).

⑵代數(shù)定義:如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中的一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)。

⑶因此，要求一個數(shù)的絕對值，應先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是0,再由絕對值的意義確定去

掉絕對值符號后的結(jié)果.

4.絕對值：

⑴一個正數(shù)的絕對值是正數(shù);一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.

⑵一般地,數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|,-3的絕對值等于3,

記作1-31=3.

⑶有效數(shù)字

一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起

到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

⑷科學記數(shù)法

把?個數(shù)寫做±axl°"的形式，其中。＜1。，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法。

5.有理數(shù)大小比較：

⑴正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,一切正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小.

⑵數(shù)軸上的點，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大.

6.有理數(shù)加、減、乘、除、幕及其混合運算的運算法則

⑴有理數(shù)加法法則：

①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加

②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小

的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。

③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

⑵有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

⑶有理數(shù)乘法法則：

①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，

都得0。

②兒個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定。當負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積

為負，當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，積為正。

③兒個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0.

⑷有理數(shù)除法法則：

①除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).0不能作除數(shù)。

②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相處。0除以任何一個非0的數(shù)，都得0

⑸幕的運算法則：正數(shù)的任何次幕都是整數(shù)；負數(shù)的奇數(shù)次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次塞

是正數(shù)

0的任何正整數(shù)次幕都是都是0.

⑹有理數(shù)混合運算法則：

先算乘方，再算加減，最后算乘除。

如果有括號，就先算括號里的，再算括號外。

同級運算從左到右進行計算。

7.運算律

(1)加法交換律:a+b=b+a。(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

(3)乘法交換律:ab=ba。(4)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)。

(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac(>

8.有理數(shù)的大小比較

(1)差值比較法

(2)商值比較法

(3)絕對值比較法

(4)兩數(shù)平方法

單項式

多項式

多項式的次數(shù)

2.1基礎定義

整式'

2.整式的加減同類項

合并同類項法則

|添括號法則

2.2加減［去括號法則

|運算法則

【考點分析】

從近幾年全國各地的中考試卷來看，整式加減主要考查列式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系、單

項式、多項式、同類項的概念、運用整式的加減進行化簡求值等，多以選擇題和填空題的形

式出現(xiàn)，對這部分內(nèi)容的考查在大多數(shù)中考試卷中出現(xiàn)的題目難度不大，只要細心運算，較

容易得分。

【學習過程】

（1）自主學習

1.代數(shù)式：由數(shù)和字母用運算符號連接所成的式子稱為代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也

是代數(shù)式。（凡是式子中含有等號、不等號式子的都不是代數(shù)式）

2.代數(shù)式的書寫規(guī)則：

⑴數(shù)和表示數(shù)的字母相乘，或字母和字母相乘時，乘號可以省略不寫，或用來代替。

（2）當數(shù)和字母相乘，省略乘號時，要把數(shù)字寫到前面，字母寫后面。如：100a或100?a,

na或n?a。

⑶后面接單位的相加式子要用括號括起來。如：（5s+1）元。

（4）除法運算寫成分數(shù)形式

⑸帶分數(shù)與字母相乘時，帶分數(shù)要寫成假分數(shù)的形式。

3.列代數(shù)式時要注意：

⑴語言敘述中關(guān)鍵詞的意義，如“大”“小”“增加”“減少”“倍”“幾分之幾”等詞

語與代數(shù)式中的運算符號之間的關(guān)系。

⑵要理清運算順序和正確使用括號，以防出現(xiàn)顛倒等錯誤，例如“積的和”與“和的積”

“平方差”“差的平方”等等。

⑶在同一問題中，不同的數(shù)量必須用不同的字母表示.

4.代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式值（當數(shù)值是負

數(shù)或者分數(shù)時，一般要打上括號）

5.單項式：表示數(shù)字或字母乘積的式子，單獨的一個數(shù)字或字母也叫單項式。（凡是含有+、

分母含字母的均不是單項式）

6.單項式系數(shù)：單項式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項式數(shù)字系數(shù)，筒稱單項式的系數(shù)；

7.單項式的次數(shù)：單項式中所有字母的指數(shù)的和，叫單項式的次數(shù).8、多項式：幾個單項式

的和叫做多項式。

9.多項式的項與項數(shù)：多項式中每個單項式叫多項式的項;不含字母的項叫做常數(shù)項。多項

式里所含單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)。（多項式的項要包含前面的+、-號）

10.多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)：常數(shù)項的次數(shù)為0

注意：（若a、b、c、p、q是常數(shù)）ax2+bx+c和x2+px+q是常見的兩個二次三項式.

11.多項式的升幕排列：把一個多項式的各項按某個字母的指數(shù)從小到大排列起來，叫做按

這個字母的升褰排列。多項式的降幕排列：把一個多項式的各項按某個字母的指數(shù)從大到

小排列起來，叫做按這個字母的降幕排列。（注意：多項式計算的最后結(jié)果一般應該進行

升騫（或降騫）排列.）

12.整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式，即凡不含有除法運算，或雖含有除法運

算但除式中不含字母的代數(shù)式叫整式.

13.整式分類：多項式單項式整式.（注意：分母上含有字母的不是整式。）

14.同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項式是同類項.15、合并同類項

法：各同類項系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母指數(shù)不變。

16.去括號的法則：

（1）括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項的符號都不變；

（2）括號前面是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉，括號里各項的符號都要改變。

17.添括號的法則：

⑴若括號前邊是“+”號，括號里的各項都不變號；

⑵若括號前邊是號，括號里的各項都要變號.

18.整式的加減：進行整式的加減運算時,如果有括號先去括號，再合并同類

項；整式的加減，實際上是在去括號的基礎匕把多項式的同類項合并.整式加減的步驟：

（1）列出代數(shù)式；（2）去括號；（3）添括號;（4）合并同類項。

整式的加減：-找：（劃線）；二聚（把同類項寫在一起）；三合：（合并）

配套問題

工程問題

實際問題與方程

比賽中積分問題

打折銷售問題

;概念

:解方程與方程的解

?3.一元一次方程，等式

:等式的性質(zhì)

；解方程思想：

去分母

去括號

:解方程步驟移項

合并同類項

系數(shù)化1

1.含有未知數(shù)的等式是方程。

2.只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程叫做一元一次方程。

3.分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的等量關(guān)系列出方程，是用數(shù)學解決實際問題的一

種方法。

4.列方程解決實際問題的步驟：①設未知數(shù)；②找等量關(guān)系列方程。

5.求出使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

6.求方程的解的過程，叫做解方程。

7.用等號“="表示相等關(guān)系的式子叫做等式。

8.等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。

如果a=b,那么a土c=b±c.

9.等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

如果a=b,那么ac=bc;

a_b

如果a=b且c#0,那么cc

10.運用等式的性質(zhì)時要注意三點：

①等式兩邊都要參加運算，并且是作同一種運算；

②等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同?個式子；

③等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。

判斷一元一次方程的條件

（1）首先是一元一次方程。

（2）其次是必須只含有??個未知數(shù)

（3）未知數(shù)的指數(shù)是1

（4）分母中不含有未知數(shù)

11.解一元一次方程——合并同類項與移項

（1）＞合并同類項的依據(jù)：乘法分配律。合并同類項的作用：是一種恒等變形，起到“化

簡”的作用，它使方程變得簡單?，更接近x=a（a是常數(shù)）的形式。

（2）、把等式-一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。

（3）.移項依據(jù)：等式的性質(zhì)1.移項的作用：通過移項，使含未知數(shù)的項與常數(shù)項分別位于

方程左右兩邊，使方程更接近于x=a（a是常數(shù)）的形式。

12.解一元一次方程—去括號與去分母

（1）、方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，使方程不在含有分母，這樣的變形叫做去分

母。

（2）、順流速度=靜水速度+水流速度：逆流速度=靜水速度-水流速度。

（3）、工作總量=工作效率X工作時間。

（4）、工作量=人均效率X人數(shù)X時間。

13.實際問題與一元一次方程

（1）、售價指商品賣出去時的的實際售價。

（2）、進價指的是商家從批發(fā)部或廠家批發(fā)來的價格。進價指商品的買入價，也稱成本價。

（3）、標價指的是商家所標出的每件物品的原價。它與售價不同，它指的是原價。

（4）、打折指的是原價乘以十分之幾或百分之幾，則稱將標價打了幾折。

（5）、盈虧問題：利潤=售價一成本；售價=進價+利潤；售價=進價+進價X利潤率；

（6）、產(chǎn)油量=油菜籽畝產(chǎn)量X含油率X種植面積。

（7）、應用：行程問題：路程=時間X速度；工程問題：工作總量=工作效率又時間；

儲蓄利潤問題：利息=本金X利率X時間；本息和=本金+利息。

I算術(shù)平方根

開平方

平方根

平方根的性質(zhì)

概念

立方根性質(zhì)

概念偶次方與幾次方根

無理數(shù)

有理數(shù)

實數(shù)

整數(shù)部分

小數(shù)部分

4?實數(shù)；|按定義分類

"關(guān)【按正負分類

;實數(shù)運算法則

數(shù)軸比較法

代數(shù)比較法

差值比較法

;實數(shù)比較大小商值比較法

倒數(shù)比較法

平方比較法

|開方比較法

；實數(shù)運算順序

1.平方根

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。

正數(shù)a的平方根記做“士。

2.算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“五”。

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

a(a>0)&>0

存=時=;注意右的雙重非負性：

-a(iz<0)a>0

3.立方根

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有?個負的立方根；零的立方根是零。

注意：亞二=一夜，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。

4.實數(shù)的分類

「正有理數(shù)］

廠有理數(shù)［零4有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)，匚負有理數(shù)」

「正無理數(shù)［

匚無理數(shù)卜無限不循環(huán)小數(shù)

L負無理數(shù)」

數(shù)包括正整數(shù)、零、負整數(shù)。

1正整數(shù)又叫自然數(shù)。

.整數(shù)、零、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

5.無理數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一點，歸納起來有四類：

(1)開方開不盡的數(shù)，如J7,正等；

JI

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率口，或化筒后含有X的數(shù)，如一+8等；

3

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函數(shù)，如sin60°等(這類在初三會出現(xiàn))

6.相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零)，

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有

a+b=0,a=-b,反之亦成立。

7.絕對值

一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，Ia|20。零的絕對值是它本身，若|a|=a,

則aNO：若|a|=-a,則aWO。正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，

絕對值大的反而小。

8.倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

考點五、實數(shù)大小的比較

9.數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一

不可)。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應的，并能靈活運用。

10.實數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設a、b是實數(shù)，

a-b>O=a>b,

a-b-Qa-b,

a-b<0a<b

(3)求商比較法：設a、b是兩正實數(shù)，—>1a>b\—=1<^>?=￡>;—<\<^>a<b',

bbb

（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數(shù)，則|《〉網(wǎng)＜0。

（5）平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則。2＞匕2=。＜6。

11.實數(shù)的運算

⑴加法交換律a+h=h+a

⑴加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

⑴乘法交換律ab=ba

⑴乘法結(jié)合律(ab)c=a(be)

⑴乘法對加法的分配律a[,b+c）=ab+ac

12.實數(shù)混合運算時、對于運算順序有什么規(guī)定？

實數(shù)混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二級運算，乘方為三級運算。

同級運算時，從左到右依次進行；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而后才算加

減；運算中如有括號時，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進行。

13.有理數(shù)除法運算法則就什么？

有理數(shù)除法運算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個不等于零的數(shù)，等于乘以這個數(shù)

的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任何一個不為零

的數(shù)，商都是零。

14.什么叫有理數(shù)的乘方？幕？底數(shù)？指數(shù)？

相同因數(shù)相乘的積的運算叫乘方，乘方的結(jié)果叫暴，相同因數(shù)的個數(shù)叫指數(shù)，這個因數(shù)叫底

數(shù)。記作:an

15.有理數(shù)乘方運算的法則是什么？

負數(shù)的奇次塞是負數(shù)，負數(shù)的偶次嘉是正數(shù)。正數(shù)的任何次塞都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)幕

都是零。

16.加括號和去括號時各項的符號的變化規(guī)律是什么？

去（加）括號時如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)的式

子相應各項的符號相同；括號外的因數(shù)是負數(shù)去（加）括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式

子相應各項的符號相反。

一般形式

方程概念

定義方程的解

方程組概念

方程組的解

代入法

解方程組加減消元法

巧記口訣

審題設兩個未知

找出兩個相等關(guān)系

5.二元一次方程組實際問題與方程組步驟

解方程組

檢驗合理性

行程問題

工程問題

分配問題

實際問題舉例

等質(zhì)、體積問題

數(shù)字問題

經(jīng)濟問題

代入法

解三元一次方程組

加減消元法

1.二元一次方程的概念

含有兩個未知數(shù)，且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程

注意：(1)方程中的元指的是未知數(shù)，即二元一次方程有且只有兩個未知數(shù).

(2)含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1.

(3)二元一次方程的左右兩邊都必須是等式.(三個條件完全滿足的就是二元一次方

程)

(4)含有未知數(shù)的項的系數(shù)不等于零，且兩未知數(shù)的次數(shù)為1。即若ax"+by"=c是二元一次

方程，則aWO,bWO且m=l,n=l

2.二元一次方程組的概念

由兩個二元一次方程所組成的方程組叫二元一次方程組

注意：①方程組中有且只有兩個未知數(shù)。②方程組中含有未知數(shù)的項的次數(shù)為1。③方程組

中每個方程均為整式方程。

3.二元一次方程組的解定義

一般地，使二元一次方程組中兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值叫做二元一次

方程組的解。

4.代入消元法

用代入消元法解二元一次方程組的步驟：

(1)從方程組中選取一個系數(shù)比較簡單的方程，把其中的某一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)

的式子表示出來.

(2)把(1)中所得的方程代入另一個方程，消去一個未知數(shù).

(3)解所得到的一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值.

(4)把所求得的一個未知數(shù)的值代入(1)中求得的方程，求出另一個未知數(shù)的值，從而確

定方程組的解.

5.加減消元法

定義：兩個二元?次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相

加減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程這種方法叫做加減消元法，簡稱加減

法。

6.一次函數(shù)與二元一次方程(組)

從數(shù)的角度看

求二元一次方程組的解卜為何值時，兩個函數(shù)的值相等

從形的角度看：

求二元一次方程組的解|。一是確定兩條直線交點的坐標

7.實際問題與二元一次方程組

列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、歹I」、解、答”五步，即：

(1)審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表

示其中的兩個未知數(shù)；

(2)找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；

(3)歹I」：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；

(4)解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；

(5)答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎匕寫出答案.

8.列方程組解應用題中常用的基本等量關(guān)系

1.行程問題：

(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的…種，它的特點是同向而行。這類問題比

較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差=開始時兩者相距的

整理E在皿而速度.需時間-黑

路程；踣程度加間.ftiw.建食

（2）相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也

比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和

=總路程。

（3）航行問題：①船在靜水中的速度+水速=船的順水速度；

②船在靜水中的速度一水速=船的逆水速度；

③順水速度一逆水速度=2X水速。

注意：飛機航行問題同樣會出現(xiàn)順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航

行問題類似。

2.工程問題：工作效率X工作時間=工作量.

3.商品銷售利潤問題：

■—?.—xiuim

（1）利潤=售價一成本（進價）；（2）幽1fL；（3）利潤=成本（進價）

X利潤率；

標價=成本（進價）X（1+利潤率）；⑸實際售價=標價X打折率；

打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標價的十分之八即

五分之四或者百分之八十）

4.儲蓄問題：

①利息=本金X利率X期數(shù)

②本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)=本金X（1+利率X期數(shù)）

③利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數(shù)X利息稅率。

④稅后利息=利息X（1—利息稅率）。

5.配套問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。

6.增長率問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量X（1+增長率）=增長后的量；

原量x（1—減少率）=減少后的量.

7.和差倍分問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X倍量.

8.數(shù)字問題：

解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當

n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+l（或2n-l）,偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)

系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字"10+個位數(shù)字

9.優(yōu)化方案問題：

在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡的使用、

到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。

［定義

:概念不等式的解

I一元一次不等式

I1,

:不等式的性質(zhì)2.

k

?不等式的解集

{6.不等式與不等式組！實際問題與不等式

不等式組

;解不等式組

去分母去括號

移項

?解不等式

；合并同類項

系數(shù)化1

I

L不等式：用＞或＜號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。

3.解集：使不等式成立的x的取值范圍叫做不等式解的集合，簡稱解集。

4.一元一次不等式：含有?個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式。

5.不等式的性質(zhì)：

⑴不等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。

⑵不等式兩邊同乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

⑶不等式兩邊同乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改

6.一元一次不等式組：把幾個不等式合起來，組成一個一元一次不等式組。

7.不等式組的解集：不等式組中每一個解集的公共部分叫做不等式組的解集。

記：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解。

同底數(shù)累的乘法

;整式的乘法幕的乘方

積的乘方

單項式相乘

I乘法法則單項式與多項式相乘、

多與多項式相乘

平方差公式

{7.整式的乘法與因式分解乘法公式完全平方公式

添去括號法則

;因式分解

:確定系數(shù)

提公因式法確定字母

；因式分解方法j確定指數(shù)

八一平方差公式

公啊J完全平方公式

1.幕的運算性質(zhì)：

am-an=am+n（m,n為正整數(shù)），同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（an'）n=amn（m、n為正整數(shù)），器的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（ab）n=anbn（n為正整數(shù)），積的乘方等于各因式乘方的積.

mn

a-a=a^-n（a#0,m、n都是正整數(shù)，且m>n）

同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

5.零指數(shù)基的概念：

a°=l（aWO）,任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)募都等于I.

6.負指數(shù)塞的概念：

1

a-P=ar（aWO,p是正整數(shù)）

任何一個不等于零的數(shù)的一P（p是正整數(shù)）指數(shù)幕，等于這個數(shù)的p指數(shù)幕的倒數(shù).

（邛⑴

也可表示為：I"1'I11'（m#0,nWO,p為正整數(shù)）

7.單項式的乘法法則：

單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字

母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

8.單項式與多項式的乘法法則：

單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

9.多項式與多項式的乘法法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的

積相加.

10.單項式的除法法則：

單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，

則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

多項式除以單項式的法則：

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

2.乘法公式：

①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

②完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a—b）2=a2—2ab+b2

文字語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)

的積的2倍.

13.因式分解（難點）

因式分解的定義

把一個多項式化成兒個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.

掌握其定義應注意以下幾點：

（1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素

缺一不可；

（2）因式分解必須是恒等變形；

（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為

和差的形式.

二、熟練掌握因式分解的常用方法.

1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項

系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；

（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需

注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗

是否漏項.

（4）注意點：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項式的

第一項的系數(shù)是負的，一般要提出“一”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的.

2、公式法

運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；

常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2

a2—2ab+b2=(a—b)2

概念

分式有意義

分式無意義

分式值為零

與分式有關(guān)的條件分式值大于零

分式值小于零

分式值為一

分式值為負一

分式的基本性質(zhì)

約分

分式約分與通分

通分

分式的乘除法則

8.分式分式的乘方

網(wǎng)分母分式加減

分式運算分式的加減i異分母分式加減

1整式與分式加減

1分式混合運算

整數(shù)指數(shù)累

定義

分式方程

增根

去分母

解分式方程解整式方程

檢驗

實際問題與分式方程黑黑

1.分式的定義

A

一般地，如果A,B表示兩個整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子?叫做分式，A為分子,

B

B為分母。整式和分式統(tǒng)稱有理式

2.與分式有關(guān)的條件

①分式有意義：分母不為0(BWO)

②分式無意義：分母為0(B=0)

A=0

③分式值為0：分子為0且分母不為0(\)

Bw0

">°或<A<Q

④分式值為正或大于0：分子分母同號(!)

5>0B<0

A>0IA<0

⑤分式值為負或小于0：分子分母異號（八或C）

B<0>0

⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為T：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）

3.分式的基本性質(zhì)

分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。

字母表示：金=分二，2=士￡,其中A、B、C是整式，CH0。

BB?CBB+C

拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的

值不變，即

A-A_-A___A

B~-B~B~-B

注意：在應用分式的基本性質(zhì)時，要注意CW0這個限制條件和隱含條件BW0。

4.分式的約分

定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。

注意：①分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然

后約去分子分母相同因式的最低次事。

②分子分母若為多項式，約分時先對分子分母進行因式分解，再約分。

知識點四：最簡分式的定義

一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。

5.分式的通分

①分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的

同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次帚的積作公分母，這樣的公分母叫做最

簡公分母。

確定最簡公分母的一般步驟：

I取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

II單獨出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）的幕的因式連同它的指數(shù)作為一個因式；

III相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指數(shù)最大的。

IV保證凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的塞的因式都要取。

注意：分式的分母為多項式時，一般應先因式分解。

6.分式的四則運算與分式的乘方

①分式的乘除法法則：

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：

ac_aec

bdb,d

分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為

?

—a：—c=—a?—d—-a---d

bdbcc

②分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子

③分式的加減法則：

同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為

a、ba+b

CCC

異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為

a+c_ad±be

bdhd

整式與分式加減法：可以把整式當作一個整數(shù)，整式前面是負號，要加括號，看作是分

母為1的分式，再通分。

④分式的加、減、乘、除、乘方的混合運算的運算順序

先乘方、再乘除、后加減，同級運算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也

要注意靈活，提高解題質(zhì)量。

注意：在運算過程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便

跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。

加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡分式（或整式）。

7.正整數(shù)指數(shù)基運算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)'幕.（m,n是整數(shù)）

①引入負整數(shù)、零指數(shù)幕后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實數(shù)，并且正正整數(shù)界的法

則對對負整數(shù)指數(shù)塞一樣適用。即

（1）同底數(shù)的幕的乘法：a"'-an=am+n；

（m\n_mn

（2）嘉的乘方：9）二a；

（3）積的乘方：（ab）"=a"b"；

（4）同底數(shù)的事的除法：a"aWO）；

（5）商的乘方：（bWO）

★a=—（a=0）

a11

★a0=1（awO）（任何不等于零的數(shù)的零次基都等于1）

其中m,n均為整數(shù)。

8.科學記數(shù)法

若一個數(shù)x是0<x<l的數(shù)，則可以表示為axl（T（l<|a|<10,即a的整數(shù)部分只有一位,

n為整數(shù)）的形式，n的確定出從左邊第?個0起到第一個不為0的數(shù)為止所有的0的個數(shù)

的相反數(shù)。加0.000000125=1.25x10-7

7個0

若一個數(shù)x是x>10的數(shù)則可以表示為ax10"（l<|a|<10,即a的整數(shù)部分只有一位，n

為整數(shù)）的形式，n的確定n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個數(shù)少1。120000000=1.2X108

9個數(shù)字

9.分式方程的解的步驟

⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。(產(chǎn)生增根的過程)

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：

如果最簡公分母為0,則原方程無解，這個未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡公分母不

為0，則是原方程的解。

10.產(chǎn)生增根的條件是：①是得到的整式方程的解；②代入最簡公分母后值為0。

在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根。

如果一個分式方程的根能使此方程的公分母為零，那么這個根就是原方程的增根。

11.增根的產(chǎn)生的原因：

對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些

使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當把分式方程轉(zhuǎn)化為整

式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式

方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根。

分式方程兩邊都乘以最簡公分母化分式方程為整式方程，這時未知數(shù)的允許值擴大，因此解

分式方程容易發(fā)生增根。

12.例如：設方程A(x)=0是由方程B(x)=0變形得來的，如果這兩個方程的根完全相同(包括

重數(shù))，那么稱這兩個方程等價.如果x=a是方程A(x)=0的根但不是B(x)=0的根，稱x=a是

方程的增根;如果x=b是方程B(x)=0的根但不是A(x)=0的根，稱x=b是方程B(x)=0的失根.

最簡二次根式

定義同類二次根式

I代數(shù)式

二次根式有意義的條件

二次根式的乘法法則

{9.二次根式二次根式的除法法則

二次根式加減法則

二次根式混合運算

1.

二次根式的性質(zhì)2.

3.

I.二次根式：式子(。20)叫做二次根式。

2.最筒二次根式：必須同時滿足下列條件：

⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；

⑵被開方數(shù)中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。

4.二次根式的性質(zhì)：「a(a>0)

(1)(y[a)2=a(a20);(2)7a^"=|a|=-<0(a=0)；

、一a(a<0)

5.二次根式的運算：

(1)因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算

術(shù)平方根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積

的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面.

(2)二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.

(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，將被開方數(shù)相乘(除)，所得的積(商)

仍作積(商)的被開方數(shù)并將運算結(jié)果化為最簡二次根式.

-Jab=4a,yjb(a>0>b>0)?=里(b>0,a>0).

ayja

(4)有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項

式的乘法公式，都適用于二次根式的運算.

I常量

I變量

基本概念

函數(shù)

;函數(shù)值

定義

函數(shù)圖像

描繪

定義

{10.一次函數(shù)正比例函數(shù)

圖像與性質(zhì)

定義

圖像與性質(zhì)

一次函數(shù)圖像化法

待定系數(shù)法

一次函數(shù)的應用

一次函數(shù)與不等式方程

一次函數(shù)與不等式方和

一次函數(shù)與不等式方組

一次函數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典試題

（-）函數(shù)

1.變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。

常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。

2.函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的

值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是

x的函數(shù)。

*判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應

3.定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。

4.確定函數(shù)定義域的方法：

（1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要

和實際情況相符合，使之有意義。

5.函數(shù)的解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做函數(shù)的解析式

6.函數(shù)的圖像

一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標,

那么坐標平面內(nèi)山這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.

7.描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出?些自變量的值及其對應的函數(shù)值）；

第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描

出表格中數(shù)值對應的各點）；

第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。

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