初中數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué):代數(shù)部分

I」基礎(chǔ)定義

正數(shù)與負(fù)數(shù)：

有理數(shù)：

數(shù)軸：（三要素）

相反數(shù)：

幾何定義

絕對(duì)值

代數(shù)定義

倒數(shù)：

帶分?jǐn)?shù)：

假分?jǐn)?shù)：

真分?jǐn)?shù)：

質(zhì)數(shù)；

合數(shù)：

自然數(shù)：

科學(xué)計(jì)數(shù)法:

近似數(shù)：

按整/分：

1.2有■理數(shù)分類(lèi)

按正數(shù)、0、負(fù)數(shù)關(guān)系分類(lèi):

1.3有理數(shù)比較大小

.加法交換律

運(yùn)算規(guī)律?加法結(jié)合律

通常

1.有理數(shù)1.4加

兩數(shù)同號(hào)時(shí):

兩數(shù)異號(hào)時(shí):

與0相加時(shí):

法則：

1.5減「實(shí)質(zhì)：

方法：

‘交換律

運(yùn)算律結(jié)合律

分配律

1.6乘

法則

.步驟

?法則

1.7除?乘除混合運(yùn)算

步驟

|定義

符號(hào)法則

1.8乘方

運(yùn)算性質(zhì)

|有理數(shù)混合運(yùn)算順序

1.有理數(shù):整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、0；負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù).

非負(fù)數(shù)指正數(shù)和0,非正數(shù)指負(fù)數(shù)和0,

有理數(shù)的分類(lèi)

剖析：有理數(shù)的兩種分類(lèi)方法，不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),分類(lèi)的結(jié)果不同.

⑴按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類(lèi)：

⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類(lèi)：

注意:⑴有限小數(shù)可化為分母是10,100,…的分?jǐn)?shù)，如0.9=,5.47=5，所以在有理數(shù)的分類(lèi)中,

這樣的小數(shù)包括在分?jǐn)?shù)中.

⑵無(wú)限循環(huán)小數(shù)也可化成分?jǐn)?shù)，如0.333-=，所以無(wú)限循環(huán)小數(shù)也屬于有理數(shù).

⑶整數(shù)也可看成分母是1的分?jǐn)?shù)，因此一切有理數(shù)都可表示為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（qWO）的形式，這里的

分?jǐn)?shù)是指不包括整數(shù)的分?jǐn)?shù).

2.數(shù)軸：

⑴概念:.畫(huà)一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（叫做原點(diǎn)），選取某一長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度,

規(guī)定直線向右的方向?yàn)檎较颍偷玫?個(gè)數(shù)軸。

⑵規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向的直線叫做數(shù)軸。

⑶所有的有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示.

數(shù)軸的畫(huà)法剖析：

⑴畫(huà)一條直線，一般畫(huà)成水平的直線；

⑵在直線上選取一點(diǎn)為原點(diǎn)，并用這點(diǎn)表示零（在原點(diǎn)下邊標(biāo)上"0"）；

⑶確定正方向（?般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來(lái)；

⑷選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示為1,2,3,-;

從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示為-1,-2,-3,….

畫(huà)數(shù)軸時(shí)要注意：

⑴原點(diǎn)的位置、單位長(zhǎng)度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選取.

⑵確定單位長(zhǎng)度時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況,有時(shí)也可以每隔二個(gè)（或更多的）單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，從原點(diǎn)向

右，依次表示為2,4,6,…，從原點(diǎn)向左，依次表示為-2,-4,-6,….

畫(huà)數(shù)軸常見(jiàn)的幾種錯(cuò)誤:①?zèng)]有方向;②沒(méi)有原點(diǎn);③單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一;④負(fù)數(shù)的排列錯(cuò)誤.

3.相反數(shù)：

⑴幾何定義:在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，離開(kāi)原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù).

⑵代數(shù)定義:如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么我們稱(chēng)其中的一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

⑶因此，要求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，應(yīng)先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0,再由絕對(duì)值的意義確定去

掉絕對(duì)值符號(hào)后的結(jié)果.

4.絕對(duì)值：

⑴一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù);一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0.

⑵一般地,數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|,-3的絕對(duì)值等于3,

記作1-31=3.

⑶有效數(shù)字

一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)它精確到哪一位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起

到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

⑷科學(xué)記數(shù)法

把?個(gè)數(shù)寫(xiě)做±axl°"的形式，其中。＜1。，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

5.有理數(shù)大小比較：

⑴正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,一切正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小.

⑵數(shù)軸上的點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大.

6.有理數(shù)加、減、乘、除、幕及其混合運(yùn)算的運(yùn)算法則

⑴有理數(shù)加法法則：

①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加

②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小

的絕對(duì)值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。

③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

⑵有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

⑶有理數(shù)乘法法則：

①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘，

都得0。

②兒個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積

為負(fù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，積為正。

③兒個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0.

⑷有理數(shù)除法法則：

①除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).0不能作除數(shù)。

②兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相處。0除以任何一個(gè)非0的數(shù)，都得0

⑸幕的運(yùn)算法則：正數(shù)的任何次幕都是整數(shù)；負(fù)數(shù)的奇數(shù)次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次塞

是正數(shù)

0的任何正整數(shù)次幕都是都是0.

⑹有理數(shù)混合運(yùn)算法則：

先算乘方，再算加減，最后算乘除。

如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里的，再算括號(hào)外。

同級(jí)運(yùn)算從左到右進(jìn)行計(jì)算。

7.運(yùn)算律

(1)加法交換律:a+b=b+a。(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

(3)乘法交換律:ab=ba。(4)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)。

(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac(>

8.有理數(shù)的大小比較

(1)差值比較法

(2)商值比較法

(3)絕對(duì)值比較法

(4)兩數(shù)平方法

單項(xiàng)式

多項(xiàng)式

多項(xiàng)式的次數(shù)

2.1基礎(chǔ)定義

整式'

2.整式的加減同類(lèi)項(xiàng)

合并同類(lèi)項(xiàng)法則

|添括號(hào)法則

2.2加減［去括號(hào)法則

|運(yùn)算法則

【考點(diǎn)分析】

從近幾年全國(guó)各地的中考試卷來(lái)看，整式加減主要考查列式表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系、單

項(xiàng)式、多項(xiàng)式、同類(lèi)項(xiàng)的概念、運(yùn)用整式的加減進(jìn)行化簡(jiǎn)求值等，多以選擇題和填空題的形

式出現(xiàn)，對(duì)這部分內(nèi)容的考查在大多數(shù)中考試卷中出現(xiàn)的題目難度不大，只要細(xì)心運(yùn)算，較

容易得分。

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

（1）自主學(xué)習(xí)

1.代數(shù)式：由數(shù)和字母用運(yùn)算符號(hào)連接所成的式子稱(chēng)為代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也

是代數(shù)式。（凡是式子中含有等號(hào)、不等號(hào)式子的都不是代數(shù)式）

2.代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)規(guī)則：

⑴數(shù)和表示數(shù)的字母相乘，或字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以省略不寫(xiě)，或用來(lái)代替。

（2）當(dāng)數(shù)和字母相乘，省略乘號(hào)時(shí)，要把數(shù)字寫(xiě)到前面，字母寫(xiě)后面。如：100a或100?a,

na或n?a。

⑶后面接單位的相加式子要用括號(hào)括起來(lái)。如：（5s+1）元。

（4）除法運(yùn)算寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式

⑸帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，帶分?jǐn)?shù)要寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)的形式。

3.列代數(shù)式時(shí)要注意：

⑴語(yǔ)言敘述中關(guān)鍵詞的意義，如“大”“小”“增加”“減少”“倍”“幾分之幾”等詞

語(yǔ)與代數(shù)式中的運(yùn)算符號(hào)之間的關(guān)系。

⑵要理清運(yùn)算順序和正確使用括號(hào)，以防出現(xiàn)顛倒等錯(cuò)誤，例如“積的和”與“和的積”

“平方差”“差的平方”等等。

⑶在同一問(wèn)題中，不同的數(shù)量必須用不同的字母表示.

4.代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式值（當(dāng)數(shù)值是負(fù)

數(shù)或者分?jǐn)?shù)時(shí)，一般要打上括號(hào)）

5.單項(xiàng)式：表示數(shù)字或字母乘積的式子，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字或字母也叫單項(xiàng)式。（凡是含有+、

分母含字母的均不是單項(xiàng)式）

6.單項(xiàng)式系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項(xiàng)式數(shù)字系數(shù)，筒稱(chēng)單項(xiàng)式的系數(shù)；

7.單項(xiàng)式的次數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和，叫單項(xiàng)式的次數(shù).8、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式

的和叫做多項(xiàng)式。

9.多項(xiàng)式的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)：多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng);不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)

式里所含單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)。（多項(xiàng)式的項(xiàng)要包含前面的+、-號(hào)）

10.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)：常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為0

注意：（若a、b、c、p、q是常數(shù)）ax2+bx+c和x2+px+q是常見(jiàn)的兩個(gè)二次三項(xiàng)式.

11.多項(xiàng)式的升幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按某個(gè)字母的指數(shù)從小到大排列起來(lái)，叫做按

這個(gè)字母的升褰排列。多項(xiàng)式的降幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按某個(gè)字母的指數(shù)從大到

小排列起來(lái)，叫做按這個(gè)字母的降幕排列。（注意：多項(xiàng)式計(jì)算的最后結(jié)果一般應(yīng)該進(jìn)行

升騫（或降騫）排列.）

12.整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式，即凡不含有除法運(yùn)算，或雖含有除法運(yùn)

算但除式中不含字母的代數(shù)式叫整式.

13.整式分類(lèi)：多項(xiàng)式單項(xiàng)式整式.（注意：分母上含有字母的不是整式。）

14.同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式是同類(lèi)項(xiàng).15、合并同類(lèi)項(xiàng)

法：各同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母指數(shù)不變。

16.去括號(hào)的法則：

（1）括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不變；

（2）括號(hào)前面是“一”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“一”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改變。

17.添括號(hào)的法則：

⑴若括號(hào)前邊是“+”號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；

⑵若括號(hào)前邊是號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都要變號(hào).

18.整式的加減：進(jìn)行整式的加減運(yùn)算時(shí),如果有括號(hào)先去括號(hào)，再合并同類(lèi)

項(xiàng)；整式的加減，實(shí)際上是在去括號(hào)的基礎(chǔ)匕把多項(xiàng)式的同類(lèi)項(xiàng)合并.整式加減的步驟：

（1）列出代數(shù)式；（2）去括號(hào)；（3）添括號(hào);（4）合并同類(lèi)項(xiàng)。

整式的加減：-找：（劃線）；二聚（把同類(lèi)項(xiàng)寫(xiě)在一起）；三合：（合并）

配套問(wèn)題

工程問(wèn)題

實(shí)際問(wèn)題與方程

比賽中積分問(wèn)題

打折銷(xiāo)售問(wèn)題

;概念

:解方程與方程的解

?3.一元一次方程，等式

:等式的性質(zhì)

；解方程思想：

去分母

去括號(hào)

:解方程步驟移項(xiàng)

合并同類(lèi)項(xiàng)

系數(shù)化1

1.含有未知數(shù)的等式是方程。

2.只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程叫做一元一次方程。

3.分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的等量關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的一

種方法。

4.列方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系列方程。

5.求出使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

6.求方程的解的過(guò)程，叫做解方程。

7.用等號(hào)“="表示相等關(guān)系的式子叫做等式。

8.等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。

如果a=b,那么a土c=b±c.

9.等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

如果a=b,那么ac=bc;

a_b

如果a=b且c#0,那么cc

10.運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)要注意三點(diǎn)：

①等式兩邊都要參加運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算；

②等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同?個(gè)式子；

③等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。

判斷一元一次方程的條件

（1）首先是一元一次方程。

（2）其次是必須只含有??個(gè)未知數(shù)

（3）未知數(shù)的指數(shù)是1

（4）分母中不含有未知數(shù)

11.解一元一次方程——合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)

（1）＞合并同類(lèi)項(xiàng)的依據(jù)：乘法分配律。合并同類(lèi)項(xiàng)的作用：是一種恒等變形，起到“化

簡(jiǎn)”的作用，它使方程變得簡(jiǎn)單?，更接近x=a（a是常數(shù)）的形式。

（2）、把等式-一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。

（3）.移項(xiàng)依據(jù)：等式的性質(zhì)1.移項(xiàng)的作用：通過(guò)移項(xiàng)，使含未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別位于

方程左右兩邊，使方程更接近于x=a（a是常數(shù)）的形式。

12.解一元一次方程—去括號(hào)與去分母

（1）、方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，使方程不在含有分母，這樣的變形叫做去分

母。

（2）、順流速度=靜水速度+水流速度：逆流速度=靜水速度-水流速度。

（3）、工作總量=工作效率X工作時(shí)間。

（4）、工作量=人均效率X人數(shù)X時(shí)間。

13.實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程

（1）、售價(jià)指商品賣(mài)出去時(shí)的的實(shí)際售價(jià)。

（2）、進(jìn)價(jià)指的是商家從批發(fā)部或廠家批發(fā)來(lái)的價(jià)格。進(jìn)價(jià)指商品的買(mǎi)入價(jià)，也稱(chēng)成本價(jià)。

（3）、標(biāo)價(jià)指的是商家所標(biāo)出的每件物品的原價(jià)。它與售價(jià)不同，它指的是原價(jià)。

（4）、打折指的是原價(jià)乘以十分之幾或百分之幾，則稱(chēng)將標(biāo)價(jià)打了幾折。

（5）、盈虧問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)一成本；售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)；售價(jià)=進(jìn)價(jià)+進(jìn)價(jià)X利潤(rùn)率；

（6）、產(chǎn)油量=油菜籽畝產(chǎn)量X含油率X種植面積。

（7）、應(yīng)用：行程問(wèn)題：路程=時(shí)間X速度；工程問(wèn)題：工作總量=工作效率又時(shí)間；

儲(chǔ)蓄利潤(rùn)問(wèn)題：利息=本金X利率X時(shí)間；本息和=本金+利息。

I算術(shù)平方根

開(kāi)平方

平方根

平方根的性質(zhì)

概念

立方根性質(zhì)

概念偶次方與幾次方根

無(wú)理數(shù)

有理數(shù)

實(shí)數(shù)

整數(shù)部分

小數(shù)部分

4?實(shí)數(shù)；|按定義分類(lèi)

"關(guān)【按正負(fù)分類(lèi)

;實(shí)數(shù)運(yùn)算法則

數(shù)軸比較法

代數(shù)比較法

差值比較法

;實(shí)數(shù)比較大小商值比較法

倒數(shù)比較法

平方比較法

|開(kāi)方比較法

；實(shí)數(shù)運(yùn)算順序

1.平方根

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

正數(shù)a的平方根記做“士。

2.算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“五”。

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

a(a>0)&>0

存=時(shí)=;注意右的雙重非負(fù)性：

-a(iz<0)a>0

3.立方根

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有?個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

注意：亞二=一夜，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

4.實(shí)數(shù)的分類(lèi)

「正有理數(shù)］

廠有理數(shù)［零4有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)，匚負(fù)有理數(shù)」

「正無(wú)理數(shù)［

匚無(wú)理數(shù)卜無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

L負(fù)無(wú)理數(shù)」

數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。

1正整數(shù)又叫自然數(shù)。

.整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。

5.無(wú)理數(shù)

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一點(diǎn)，歸納起來(lái)有四類(lèi)：

(1)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如J7,正等；

JI

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率口，或化筒后含有X的數(shù)，如一+8等；

3

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函數(shù)，如sin60°等(這類(lèi)在初三會(huì)出現(xiàn))

6.相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零)，

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果a與b互為相反數(shù)，則有

a+b=0,a=-b,反之亦成立。

7.絕對(duì)值

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，Ia|20。零的絕對(duì)值是它本身，若|a|=a,

則aNO：若|a|=-a,則aWO。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，

絕對(duì)值大的反而小。

8.倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒(méi)有倒數(shù)。

考點(diǎn)五、實(shí)數(shù)大小的比較

9.數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸(畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一

不可)。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

10.實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

a-b>O=a>b,

a-b-Qa-b,

a-b<0a<b

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，—>1a>b\—=1<^>?=￡>;—<\<^>a<b',

bbb

（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則|《〉網(wǎng)＜0。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。2＞匕2=。＜6。

11.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

⑴加法交換律a+h=h+a

⑴加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

⑴乘法交換律ab=ba

⑴乘法結(jié)合律(ab)c=a(be)

⑴乘法對(duì)加法的分配律a[,b+c）=ab+ac

12.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)、對(duì)于運(yùn)算順序有什么規(guī)定？

實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，將運(yùn)算分為三級(jí)，加減為一級(jí)運(yùn)算，乘除為二級(jí)運(yùn)算，乘方為三級(jí)運(yùn)算。

同級(jí)運(yùn)算時(shí)，從左到右依次進(jìn)行；不是同級(jí)的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，而后才算加

減；運(yùn)算中如有括號(hào)時(shí)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序進(jìn)行。

13.有理數(shù)除法運(yùn)算法則就什么？

有理數(shù)除法運(yùn)算法則可用兩種方式來(lái)表述：第一，除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)

的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任何一個(gè)不為零

的數(shù)，商都是零。

14.什么叫有理數(shù)的乘方？幕？底數(shù)？指數(shù)？

相同因數(shù)相乘的積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫暴，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫指數(shù)，這個(gè)因數(shù)叫底

數(shù)。記作:an

15.有理數(shù)乘方運(yùn)算的法則是什么？

負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次嘉是正數(shù)。正數(shù)的任何次塞都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)幕

都是零。

16.加括號(hào)和去括號(hào)時(shí)各項(xiàng)的符號(hào)的變化規(guī)律是什么？

去（加）括號(hào)時(shí)如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)的式

子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同；括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)式

子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反。

一般形式

方程概念

定義方程的解

方程組概念

方程組的解

代入法

解方程組加減消元法

巧記口訣

審題設(shè)兩個(gè)未知

找出兩個(gè)相等關(guān)系

5.二元一次方程組實(shí)際問(wèn)題與方程組步驟

解方程組

檢驗(yàn)合理性

行程問(wèn)題

工程問(wèn)題

分配問(wèn)題

實(shí)際問(wèn)題舉例

等質(zhì)、體積問(wèn)題

數(shù)字問(wèn)題

經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

代入法

解三元一次方程組

加減消元法

1.二元一次方程的概念

含有兩個(gè)未知數(shù)，且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程

注意：(1)方程中的元指的是未知數(shù)，即二元一次方程有且只有兩個(gè)未知數(shù).

(2)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.

(3)二元一次方程的左右兩邊都必須是等式.(三個(gè)條件完全滿(mǎn)足的就是二元一次方

程)

(4)含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)不等于零，且兩未知數(shù)的次數(shù)為1。即若ax"+by"=c是二元一次

方程，則aWO,bWO且m=l,n=l

2.二元一次方程組的概念

由兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組叫二元一次方程組

注意：①方程組中有且只有兩個(gè)未知數(shù)。②方程組中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1。③方程組

中每個(gè)方程均為整式方程。

3.二元一次方程組的解定義

一般地，使二元一次方程組中兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值叫做二元一次

方程組的解。

4.代入消元法

用代入消元法解二元一次方程組的步驟：

(1)從方程組中選取一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，把其中的某一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)

的式子表示出來(lái).

(2)把(1)中所得的方程代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù).

(3)解所得到的一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值.

(4)把所求得的一個(gè)未知數(shù)的值代入(1)中求得的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而確

定方程組的解.

5.加減消元法

定義：兩個(gè)二元?次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相

加減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)加減

法。

6.一次函數(shù)與二元一次方程(組)

從數(shù)的角度看

求二元一次方程組的解卜為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值相等

從形的角度看：

求二元一次方程組的解|。一是確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)

7.實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組

列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、歹I」、解、答”五步，即：

(1)審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表

示其中的兩個(gè)未知數(shù)；

(2)找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；

(3)歹I」：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；

(4)解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；

(5)答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)匕寫(xiě)出答案.

8.列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系

1.行程問(wèn)題：

(1)追擊問(wèn)題：追擊問(wèn)題是行程問(wèn)題中很重要的…種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類(lèi)問(wèn)題比

較直觀，畫(huà)線段，用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差=開(kāi)始時(shí)兩者相距的

整理E在皿而速度.需時(shí)間-黑

路程；踣程度加間.ftiw.建食

（2）相遇問(wèn)題:相遇問(wèn)題也是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類(lèi)問(wèn)題也

比較直觀，因而也畫(huà)線段圖幫助理解與分析。這類(lèi)問(wèn)題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和

=總路程。

（3）航行問(wèn)題：①船在靜水中的速度+水速=船的順?biāo)俣龋?/p>

②船在靜水中的速度一水速=船的逆水速度；

③順?biāo)俣纫荒嫠俣?2X水速。

注意：飛機(jī)航行問(wèn)題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水?/p>

行問(wèn)題類(lèi)似。

2.工程問(wèn)題：工作效率X工作時(shí)間=工作量.

3.商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題：

■—?.—xiuim

（1）利潤(rùn)=售價(jià)一成本（進(jìn)價(jià)）；（2）幽1fL；（3）利潤(rùn)=成本（進(jìn)價(jià)）

X利潤(rùn)率；

標(biāo)價(jià)=成本（進(jìn)價(jià)）X（1+利潤(rùn)率）；⑸實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)X打折率；

打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷(xiāo)售。（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即

五分之四或者百分之八十）

4.儲(chǔ)蓄問(wèn)題：

①利息=本金X利率X期數(shù)

②本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)=本金X（1+利率X期數(shù)）

③利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數(shù)X利息稅率。

④稅后利息=利息X（1—利息稅率）。

5.配套問(wèn)題：

解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。

6.增長(zhǎng)率問(wèn)題：

解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系式是：原量X（1+增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量；

原量x（1—減少率）=減少后的量.

7.和差倍分問(wèn)題：

解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X倍量.

8.數(shù)字問(wèn)題：

解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)

n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+l（或2n-l）,偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)

系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字"10+個(gè)位數(shù)字

9.優(yōu)化方案問(wèn)題：

在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、

到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。

［定義

:概念不等式的解

I一元一次不等式

I1,

:不等式的性質(zhì)2.

k

?不等式的解集

{6.不等式與不等式組！實(shí)際問(wèn)題與不等式

不等式組

;解不等式組

去分母去括號(hào)

移項(xiàng)

?解不等式

；合并同類(lèi)項(xiàng)

系數(shù)化1

I

L不等式：用＞或＜號(hào)表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。

3.解集：使不等式成立的x的取值范圍叫做不等式解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)解集。

4.一元一次不等式：含有?個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式。

5.不等式的性質(zhì)：

⑴不等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。

⑵不等式兩邊同乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

⑶不等式兩邊同乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改

6.一元一次不等式組：把幾個(gè)不等式合起來(lái)，組成一個(gè)一元一次不等式組。

7.不等式組的解集：不等式組中每一個(gè)解集的公共部分叫做不等式組的解集。

記：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無(wú)解。

同底數(shù)累的乘法

;整式的乘法幕的乘方

積的乘方

單項(xiàng)式相乘

I乘法法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、

多與多項(xiàng)式相乘

平方差公式

{7.整式的乘法與因式分解乘法公式完全平方公式

添去括號(hào)法則

;因式分解

:確定系數(shù)

提公因式法確定字母

；因式分解方法j確定指數(shù)

八一平方差公式

公啊J完全平方公式

1.幕的運(yùn)算性質(zhì)：

am-an=am+n（m,n為正整數(shù)），同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（an'）n=amn（m、n為正整數(shù)），器的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（ab）n=anbn（n為正整數(shù)），積的乘方等于各因式乘方的積.

mn

a-a=a^-n（a#0,m、n都是正整數(shù)，且m>n）

同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

5.零指數(shù)基的概念：

a°=l（aWO）,任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)募都等于I.

6.負(fù)指數(shù)塞的概念：

1

a-P=ar（aWO,p是正整數(shù)）

任何一個(gè)不等于零的數(shù)的一P（p是正整數(shù)）指數(shù)幕，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)幕的倒數(shù).

（邛⑴

也可表示為：I"1'I11'（m#0,nWO,p為正整數(shù)）

7.單項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字

母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

8.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.

9.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的

積相加.

10.單項(xiàng)式的除法法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，

則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

2.乘法公式：

①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

②完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a—b）2=a2—2ab+b2

文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)

的積的2倍.

13.因式分解（難點(diǎn)）

因式分解的定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化成兒個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.

掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素

缺一不可；

（2）因式分解必須是恒等變形；

（3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為

和差的形式.

二、熟練掌握因式分解的常用方法.

1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項(xiàng)

系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；

（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需

注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)

是否漏項(xiàng).

（4）注意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)式的

第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.

2、公式法

運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；

常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2

a2—2ab+b2=(a—b)2

概念

分式有意義

分式無(wú)意義

分式值為零

與分式有關(guān)的條件分式值大于零

分式值小于零

分式值為一

分式值為負(fù)一

分式的基本性質(zhì)

約分

分式約分與通分

通分

分式的乘除法則

8.分式分式的乘方

網(wǎng)分母分式加減

分式運(yùn)算分式的加減i異分母分式加減

1整式與分式加減

1分式混合運(yùn)算

整數(shù)指數(shù)累

定義

分式方程

增根

去分母

解分式方程解整式方程

檢驗(yàn)

實(shí)際問(wèn)題與分式方程黑黑

1.分式的定義

A

一般地，如果A,B表示兩個(gè)整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子?叫做分式，A為分子,

B

B為分母。整式和分式統(tǒng)稱(chēng)有理式

2.與分式有關(guān)的條件

①分式有意義：分母不為0(BWO)

②分式無(wú)意義：分母為0(B=0)

A=0

③分式值為0：分子為0且分母不為0(\)

Bw0

">°或<A<Q

④分式值為正或大于0：分子分母同號(hào)(!)

5>0B<0

A>0IA<0

⑤分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號(hào)（八或C）

B<0>0

⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為T(mén)：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）

3.分式的基本性質(zhì)

分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

字母表示：金=分二，2=士￡,其中A、B、C是整式，CH0。

BB?CBB+C

拓展：分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的

值不變，即

A-A_-A___A

B~-B~B~-B

注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意CW0這個(gè)限制條件和隱含條件BW0。

4.分式的約分

定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。

注意：①分式的分子與分母為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然

后約去分子分母相同因式的最低次事。

②分子分母若為多項(xiàng)式，約分時(shí)先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。

知識(shí)點(diǎn)四：最簡(jiǎn)分式的定義

一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。

5.分式的通分

①分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的

同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步驟是最簡(jiǎn)公分母的確定。

最簡(jiǎn)公分母的定義：取各分母所有因式的最高次帚的積作公分母，這樣的公分母叫做最

簡(jiǎn)公分母。

確定最簡(jiǎn)公分母的一般步驟：

I取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

II單獨(dú)出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）的幕的因式連同它的指數(shù)作為一個(gè)因式；

III相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指數(shù)最大的。

IV保證凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的塞的因式都要取。

注意：分式的分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先因式分解。

6.分式的四則運(yùn)算與分式的乘方

①分式的乘除法法則：

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：

ac_aec

bdb,d

分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為

?

—a：—c=—a?—d—-a---d

bdbcc

②分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子

③分式的加減法則：

同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為

a、ba+b

CCC

異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為

a+c_ad±be

bdhd

整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個(gè)整數(shù)，整式前面是負(fù)號(hào)，要加括號(hào)，看作是分

母為1的分式，再通分。

④分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序

先乘方、再乘除、后加減，同級(jí)運(yùn)算中，誰(shuí)在前先算誰(shuí)，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，也

要注意靈活，提高解題質(zhì)量。

注意：在運(yùn)算過(guò)程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便

跳步，以便查對(duì)有無(wú)錯(cuò)誤或分析出錯(cuò)的原因。

加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)分式（或整式）。

7.正整數(shù)指數(shù)基運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)'幕.（m,n是整數(shù)）

①引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)幕后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實(shí)數(shù)，并且正正整數(shù)界的法

則對(duì)對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)塞一樣適用。即

（1）同底數(shù)的幕的乘法：a"'-an=am+n；

（m\n_mn

（2）嘉的乘方：9）二a；

（3）積的乘方：（ab）"=a"b"；

（4）同底數(shù)的事的除法：a"aWO）；

（5）商的乘方：（bWO）

★a=—（a=0）

a11

★a0=1（awO）（任何不等于零的數(shù)的零次基都等于1）

其中m,n均為整數(shù)。

8.科學(xué)記數(shù)法

若一個(gè)數(shù)x是0<x<l的數(shù)，則可以表示為axl（T（l<|a|<10,即a的整數(shù)部分只有一位,

n為整數(shù)）的形式，n的確定出從左邊第?個(gè)0起到第一個(gè)不為0的數(shù)為止所有的0的個(gè)數(shù)

的相反數(shù)。加0.000000125=1.25x10-7

7個(gè)0

若一個(gè)數(shù)x是x>10的數(shù)則可以表示為ax10"（l<|a|<10,即a的整數(shù)部分只有一位，n

為整數(shù)）的形式，n的確定n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個(gè)數(shù)少1。120000000=1.2X108

9個(gè)數(shù)字

9.分式方程的解的步驟

⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母。(產(chǎn)生增根的過(guò)程)

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶檢驗(yàn)，把所得的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母中：

如果最簡(jiǎn)公分母為0,則原方程無(wú)解，這個(gè)未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡(jiǎn)公分母不

為0，則是原方程的解。

10.產(chǎn)生增根的條件是：①是得到的整式方程的解；②代入最簡(jiǎn)公分母后值為0。

在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根。

如果一個(gè)分式方程的根能使此方程的公分母為零，那么這個(gè)根就是原方程的增根。

11.增根的產(chǎn)生的原因：

對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些

使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整

式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式

方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根。

分式方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母化分式方程為整式方程，這時(shí)未知數(shù)的允許值擴(kuò)大，因此解

分式方程容易發(fā)生增根。

12.例如：設(shè)方程A(x)=0是由方程B(x)=0變形得來(lái)的，如果這兩個(gè)方程的根完全相同(包括

重?cái)?shù))，那么稱(chēng)這兩個(gè)方程等價(jià).如果x=a是方程A(x)=0的根但不是B(x)=0的根，稱(chēng)x=a是

方程的增根;如果x=b是方程B(x)=0的根但不是A(x)=0的根，稱(chēng)x=b是方程B(x)=0的失根.

最簡(jiǎn)二次根式

定義同類(lèi)二次根式

I代數(shù)式

二次根式有意義的條件

二次根式的乘法法則

{9.二次根式二次根式的除法法則

二次根式加減法則

二次根式混合運(yùn)算

1.

二次根式的性質(zhì)2.

3.

I.二次根式：式子(。20)叫做二次根式。

2.最筒二次根式：必須同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：

⑴被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式；

⑵被開(kāi)方數(shù)中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同類(lèi)二次根式：

二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類(lèi)二次根式。

4.二次根式的性質(zhì)：「a(a>0)

(1)(y[a)2=a(a20);(2)7a^"=|a|=-<0(a=0)；

、一a(a<0)

5.二次根式的運(yùn)算：

(1)因式的外移和內(nèi)移：如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么，就可以用它的算

術(shù)平方根代替而移到根號(hào)外面；如果被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積

的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面.

(2)二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類(lèi)二次根式.

(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，將被開(kāi)方數(shù)相乘(除)，所得的積(商)

仍作積(商)的被開(kāi)方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

-Jab=4a,yjb(a>0>b>0)?=里(b>0,a>0).

ayja

(4)有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)

式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.

I常量

I變量

基本概念

函數(shù)

;函數(shù)值

定義

函數(shù)圖像

描繪

定義

{10.一次函數(shù)正比例函數(shù)

圖像與性質(zhì)

定義

圖像與性質(zhì)

一次函數(shù)圖像化法

待定系數(shù)法

一次函數(shù)的應(yīng)用

一次函數(shù)與不等式方程

一次函數(shù)與不等式方和

一次函數(shù)與不等式方組

一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典試題

（-）函數(shù)

1.變量：在一個(gè)變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量。

常量：在一個(gè)變化過(guò)程中只能取同一數(shù)值的量。

2.函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的

值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱(chēng)為自變量，把y稱(chēng)為因變量，y是

x的函數(shù)。

*判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時(shí)候，Y是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)

3.定義域：一般的，一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。

4.確定函數(shù)定義域的方法：

（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開(kāi)放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；（5）實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要

和實(shí)際情況相符合，使之有意義。

5.函數(shù)的解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做函數(shù)的解析式

6.函數(shù)的圖像

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),

那么坐標(biāo)平面內(nèi)山這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

7.描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出?些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；

第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描

出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；

第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。

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