人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題11.6期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十大題型總結(jié)(學(xué)生版+解析)(七年級(jí)下冊(cè))

專題11.6期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題】 1【題型2平行線中的旋轉(zhuǎn)、平移問題】 2【題型3實(shí)數(shù)中的新定義問題】 3【題型4實(shí)數(shù)中的最值問題】 4【題型5平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】 5【題型6平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究】 6【題型7二元一次方程組中的數(shù)字問題】 8【題型8二元一次方程中的方案設(shè)計(jì)】 9【題型9一元一次不等式組中的最值問題】 9【題型10方程與不等式的綜合探究】 9【題型1平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例1】（2024七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）已知直線AB∥CD，E為兩直線間一定點(diǎn)，∠DCE=23°，若點(diǎn)F為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ABF=51°，連接BF，EF，則∠BFE的平分線與∠CEF的平分線所在直線所夾的銳角為．【變式1-1】（2024七年級(jí)·浙江·期末）如圖，AC//BD，BC平分∠ABD，設(shè)∠ACB為α，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠BAE:∠CAE=5:2，則∠CAE的度數(shù)為．（用含【變式1-2】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB上（F在E的左側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EH⊥HG，垂足為H，P為線段EH上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GF，∠FGH與∠BFG的角平分線交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，①∠BEH+∠DGH=90°；

②∠CGH+2∠FQG=270°；③若∠PGH=3∠DGH，則3∠BEH+∠EPG=360°；④若∠PGH=n∠DGH，則∠BEH+1n+1∠PGD=90°上述說法正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

【變式1-3】（2024七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P為直線AB與CD間一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，F(xiàn)P，且∠EPF=120°，∠AEP的平分線與∠PFC的平分線交于點(diǎn)Q，則∠EQF的度數(shù)為

【題型2平行線中的旋轉(zhuǎn)、平移問題】【例2】（2024七年級(jí)·福建龍巖·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是銳角，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△DEF（平移后點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)），連接CD，若在整個(gè)平移過程中，∠ACD和∠CDE的度數(shù)之間存在2倍關(guān)系，則∠ACD=．【變式2-1】（2024七年級(jí)·廣東肇慶·期末）如圖，在△ABC中，BC=6，將△BC以每秒2cm的速度沿BC所在直線向右平移，所得圖形對(duì)應(yīng)為△DEF，設(shè)平移時(shí)間為t秒，若要使BE=2CE成立，則t的值為（）A．6 B．1 C．2 D．3【變式2-2】（2024七年級(jí)·浙江寧波·期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，∠BAC=45°,∠DAC=30°．接著如圖2保持三角板ABC不動(dòng)，將三角板ACD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針以每秒10°的速度旋轉(zhuǎn)90°后停止．在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t=秒時(shí)，三角板A'CD【變式2-3】（2024七年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，直線GH∥MN，一副三角板按如圖1擺放，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠BAC=30°．保持三角板ABC不動(dòng)，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且0≤t≤180，則經(jīng)過秒邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，

【題型3實(shí)數(shù)中的新定義問題】【例3】（2024七年級(jí)·重慶渝中·期末）學(xué)習(xí)完《三角形》章節(jié)，某數(shù)學(xué)小組小花同學(xué)給出如下定義：對(duì)任意的一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，且該數(shù)任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和大于余下數(shù)位上的數(shù)字，那么我們就把該數(shù)稱為“穩(wěn)定數(shù)”．把“穩(wěn)定數(shù)”n的十位數(shù)字作個(gè)位，百位數(shù)字作十位得到的兩位數(shù)，再加上n的個(gè)位數(shù)字的和記作Fn，把“穩(wěn)定數(shù)”n的十位數(shù)字作十位，百位數(shù)字作個(gè)位得到的兩位數(shù)，再加上n的個(gè)位數(shù)字的和記作Q例如：675，是一個(gè)“穩(wěn)定數(shù)”，由定義得F675=67+5=72，Q675=76+5=81．若一個(gè)“穩(wěn)定數(shù)”s=100a+101b+30（1≤a≤5，1≤b≤4，a，b為整數(shù)），當(dāng)5Fs【變式3-1】（2024七年級(jí)·四川南充·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義一種運(yùn)算“×”如下，x×y＝ax－by2，已知2×3＝10，4×(－3)＝6，那么(－2)×(327)2＝【變式3-2】（2024七年級(jí)·浙江杭州·期末）定義新運(yùn)算若a@b=n（n是常數(shù)），則(a+1)@b=n+1，a@(b+1)=n?2.若1@1=2則1@2=，2@2=，2020@2020=.【變式3-3】（2024七年級(jí)·湖南株洲·期末）《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征．在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等．現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”．定義：對(duì)于自然數(shù)n，在計(jì)算n+(n+1)+(n+2)時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”，例如：32是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算32+33+34時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位；23不是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算23+24＋25時(shí)，個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位．那么，小于100的自然數(shù)中，“純數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè)．【題型4平面直角坐標(biāo)系中的新定義問題】【例4】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三個(gè)不重合的點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a指任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”?指任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，“矩面積”S=a?．例如：A1，2，B?3，1，C2，?2則“水平底”a=5，“鉛垂高”?=4，“矩面積”S=a?=20．若D1，【變式4-1】（2024七年級(jí)·湖北荊州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．例如，三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（-3，4），C（1，-2），則“水平底”a=4，“鉛垂高”h=6，“矩面積”S=ah=24．若D（2，2），E（-2，-1），F(xiàn)（3，m）三點(diǎn)的“矩面積”為20，則m的值為．【變式4-2】（2024七年級(jí)·安徽期末）定義：平面內(nèi)的直線l1與l2相交于點(diǎn)O，對(duì)于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線l1，l2的距離分別為a，b，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”為【變式4-3】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值與縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值中較大的值定義為這兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”．例如，點(diǎn)A3，?2，B?1，7，橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為|3??1|=4，縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為?2?7=9，所以A，B的切比雪夫距離為9.若點(diǎn)M（t，【題型5平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】【例5】（2024七年級(jí)·北京海淀·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(?5,4)，B(?1,2)，將線段AB平移，得到線段CD（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D），線段AB上任一點(diǎn)(x,y)在平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x+s,y?t)，其中s≥0，t≥0．

（1）若點(diǎn)C與點(diǎn)B恰好重合，則s=，t=；（2）若s+t=6，且平移后三角形BCD的面積最大，則此時(shí)s=，t=．【變式5-1】（2024七年級(jí)·天津?yàn)I海新·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為?1,0，3,0．現(xiàn)將線段AB向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到線段AB的對(duì)應(yīng)線段CD，連接AC，BD．若在y軸上存在一點(diǎn)P，連接PA，PB，且△PAB的面積是△AOC面積的2倍，則滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式5-2】（2024七年級(jí)·北京通州·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)At,0，Bt+2,0，M3,4．以點(diǎn)M為圓心，1為半徑畫圓．點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的面積的最小值和最大值依次為【變式5-3】（2024七年級(jí)·湖北隨州·期末）如圖，長方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，其中A(4,0)，C(0,3)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿O?A?B?E運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，那么當(dāng)x=2秒時(shí)，△OPE的面積等于cm2；當(dāng)△OPE的面積等于5cm2時(shí)，

【題型6平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究】【例6】（2024七年級(jí)·遼寧撫順·期末）如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸及y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，依次跳動(dòng)至點(diǎn)A10,1、A21,0、A32,0、A40,2、A50,3、【變式6-1】（2024七年級(jí)·福建龍巖·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A從A1?4,0依次跳動(dòng)到A2?4，1，A3?3,1，A4?3，0，A5?2，0，A6?2，3，A【變式6-2】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得第2020個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是．【變式6-3】（2024七年級(jí)·北京朝陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有個(gè)點(diǎn)P(1,0)，點(diǎn)P第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)P1(1,1)，緊接著第2次向右跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)P2(?1,1)，第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位，第4次向右跳動(dòng)3個(gè)單位，第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位，第6次向左跳動(dòng)4個(gè)單位，?依此規(guī)律跳動(dòng)下去，P4的坐標(biāo)是，點(diǎn)P第8次跳動(dòng)至P8的坐標(biāo)為；則點(diǎn)P第【題型7二元一次方程組中的數(shù)字問題】【例7】（2024七年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）如果一個(gè)四位數(shù)M各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，且千位與十位上的數(shù)字之差等于百位與個(gè)位上的數(shù)字之差，則稱M為“等差數(shù)”，將M千位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新的四位數(shù)M'，記DM=M?M'112，若x65y為等差數(shù)，且Dx65y=?27，則數(shù)【變式7-1】（2024七年級(jí)·重慶·期末）一個(gè)四位正整數(shù)N，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為零，若千位與十位上的數(shù)字之和等于百位與個(gè)位上的數(shù)字之和，且和均為9，則稱N為“鳳鳴數(shù)”，此時(shí)，規(guī)定KN=N99例如，2475中，2+7=4+5=9，2475是“鳳鳴數(shù)”，K2475=2475（1）K5841=（2）對(duì)于一個(gè)“鳳鳴數(shù)”N，且N為偶數(shù)，交換其千位與十位的數(shù)字，同時(shí)交換其百位與個(gè)位的數(shù)字，得到一個(gè)新的“鳳鳴數(shù)”N'，若3KN+2KN'是9的倍數(shù)，且N【變式7-2】（2024七年級(jí)·重慶忠縣·期末）對(duì)于千位數(shù)字是a、百位數(shù)字是b、十位數(shù)字是c、個(gè)位數(shù)字是d的四位正整數(shù)M，若a+c=b+d=11，則稱這個(gè)四位正整數(shù)M為“平衡數(shù)”，并記fM=a?cb?d，GM=10a+b?10c+d．例如：對(duì)于四位正整數(shù)2497，∵2+9=4+7=11，∴2497是“平衡數(shù)”，且f2497=2?94?7=73【變式7-3】（2024七年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）一個(gè)四位數(shù)M的千位為a，百位為b，十位為1，個(gè)位為cc≠0，滿足c=a+b，將M的個(gè)位數(shù)字c放到千位數(shù)字a之前產(chǎn)生新四位數(shù)N，例如：M=2315，則N=5231．記FM=M+N11，則F2517=；若F【題型8二元一次方程中的方案設(shè)計(jì)】【例8】（2024七年級(jí)·福建莆田·期末）某社區(qū)出資100元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本6元，B種每本5元，C種每本4元，其中A種圖書只能買5或6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有種．【變式8-1】（2024七年級(jí)·云南昆明·期末）為了讓學(xué)生在課堂中深度學(xué)習(xí)，劉老師計(jì)劃將學(xué)生分成若干小組進(jìn)行小組互助，若七年級(jí)某班級(jí)共有60名學(xué)生，每小組只能是4人或6人，則分組方案有種．【變式8-2】（2024七年級(jí)·黑龍江齊齊哈爾·期末）小紅買了80分、120分的兩種郵票，共花掉16元錢（兩種郵票都買），則購買方案共有種．【變式8-3】（2024七年級(jí)·重慶·期末）某商場在11月中旬對(duì)甲、乙、丙三種型號(hào)的電視機(jī)進(jìn)行促銷.其中，甲型號(hào)電視機(jī)直接按成本價(jià)1280元的基礎(chǔ)上獲利25%定價(jià)；乙型號(hào)電視機(jī)在原銷售價(jià)2199元的基礎(chǔ)上先讓利199元，再按八五折優(yōu)惠；丙型號(hào)電視機(jī)直接在原銷售價(jià)2399元上減499元；活動(dòng)結(jié)束后，三種型號(hào)電視機(jī)總銷售額為20600元，若在此次促銷活動(dòng)中，甲、乙、丙三種型號(hào)的電視機(jī)至少賣出其中兩種型號(hào)，則三種型號(hào)的電視機(jī)共有種銷售方案.【題型9一元一次不等式組中的最值問題】【例9】（2024七年級(jí)·江蘇南通·期末）已知非負(fù)數(shù)a，b，c滿足條件a+b=5，c=a?3，設(shè)S=a+2b+3c的最大值為m，最小值為n，則2m+n的值是【變式9-1】（2024七年級(jí)·江蘇宿遷·期末）若a、b、c、d是正整數(shù)，且a+b=22，a+c=26，a+d=28，則a+b+c+d的最小值為．【變式9-2】（2024七年級(jí)·湖北黃石·期末）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足1≤a+b≤4，0≤a?b≤1且a?2b有最大值，則8a+2021b的值是．【變式9-3】（2024七年級(jí)·湖南長沙·期末）已知非負(fù)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x?12=2?y3=z?34【題型10方程與不等式的綜合探究】【例10】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知關(guān)于x、y的方程組x+3y=4?ax?y=3a，下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解是x=3y=0；②無論a為何值，方程組的解都是關(guān)于x，y的二元一次方程x+y=a+2的解；③方程組的解x與y可以同為負(fù)數(shù)；④若方程組的解x與y都為正數(shù)，且3x+2y+z=0，則z的取值范圍為?9<z<?3．其中正確的是【變式10-1】（2024七年級(jí)·安徽安慶·期末）關(guān)于x的方程k?2x=3(k?2)的解為非負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥x有解，則符合條件的整數(shù)k【變式10-2】（2024七年級(jí)·湖南邵陽·期末）已知關(guān)于x，y的方程組x?y=a+32x+y=5a的解x，y都為正數(shù)，滿足不等式a+4?a<6成立的整數(shù)【變式10-3】（2024七年級(jí)·福建泉州·期末）已知x，y同時(shí)滿足x+3y=4?m，x?5y=3m，若y>1?a，3x?5≥a，且x只能取兩個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是．專題11.6期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題】 1【題型2平行線中的旋轉(zhuǎn)、平移問題】 8【題型3實(shí)數(shù)中的新定義問題】 14【題型4實(shí)數(shù)中的最值問題】 17【題型5平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】 19【題型6平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究】 25【題型7二元一次方程組中的數(shù)字問題】 28【題型8二元一次方程中的方案設(shè)計(jì)】 33【題型9一元一次不等式組中的最值問題】 36【題型10方程與不等式的綜合探究】 39【題型1平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例1】（2024七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）已知直線AB∥CD，E為兩直線間一定點(diǎn)，∠DCE=23°，若點(diǎn)F為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ABF=51°，連接BF，EF，則∠BFE的平分線與∠CEF的平分線所在直線所夾的銳角為．【答案】14°或37°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平線的定義，根據(jù)題意可分兩種情況進(jìn)行討論，一種是點(diǎn)F在AB下方，一種是點(diǎn)F在AB上方，先作平行線，設(shè)出來角度，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及角平分線的定義可得到結(jié)果，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)，理解角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵．【優(yōu)尖升-詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在AB下方時(shí)，過點(diǎn)F作HI∥AB，過點(diǎn)E作JK∥AB，如圖1所示：設(shè)∠GEK=α，∵AB∥CD，∴AB∥HI∥JK∥CD，∵∠DCE=23°，∠ABF=51°，∴∠KEC=∠DCE=23°，∠BFH=∠ABF=51°，∴∠GEC=∠GEK+∠KEC=α+23°，∵EG平分∠CEF，∴∠GEC=∠GEF=α+23°，∴∠FEK=∠FEG+∠GEK=23+2α，∴∠BFE=∠BFH+∠HFE=23°+2α+51°=74°+2α，∵GF平分∠BFE，∴∠BFE=∠EFT=1∴∠GFE=180°?∠EFT=180°?37°+α∴∠EGF=180°?∠GFE+∠FEG②當(dāng)點(diǎn)F在AB上方時(shí)，過點(diǎn)E作MN∥AB，如圖2所示：設(shè)∠PEN=β，∵∠DCE=23°，∠ABF=51°，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∵∠CEN=∠DCE=23°，∴∠PEC=∠PEN+∠CEN=β+23°，∵GE平分∠CEF，∴∠FEP=∠PEC=β+23°，∴∠GEF=180°?∠FEP=180°?β+23°∴∠FKA=∠FEN=∠FEP+∠PEN=β+23°+β=23°+2β，∵∠FKA=∠ABF+∠BFE，∴∠BFE=∠FKA?∠ABF=23°+2β?51°=2β?28°，∵GF平分∠BFE，∴∠GFE=1∴∠FGE=180°?∠GEF+∠GFE綜上所示：∠BFE的平分線與∠CEF的平分線所在直線所夾的銳角為14°或37°，故答案為：14°或37°．【變式1-1】（2024七年級(jí)·浙江·期末）如圖，AC//BD，BC平分∠ABD，設(shè)∠ACB為α，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠BAE:∠CAE=5:2，則∠CAE的度數(shù)為．（用含【答案】120°?43【分析】根據(jù)題意可分兩種情況，①若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到l1上方，根據(jù)平行線的性質(zhì)由α可計(jì)算出∠CBD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，計(jì)算出∠BAC的度數(shù)，再由∠BAE:∠CAE=52，∠BAE=∠BAC+∠CAE，列出等量關(guān)系求解即可得出結(jié)論；②若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到l1下方，根據(jù)平行線的性質(zhì)由α可計(jì)算出∠CBD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，計(jì)算出∠BAC的度數(shù)，再由【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到l1上方，∵AC//BD，∴∠CBD=∠ACB=α，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠CBD=2α，∴∠BAC=180°?∠ABD=180°?2α，又∵∠BAE:∠CAE=5∴(∠BAC+∠CAE):∠CAE=5(180°?2α+∠CAE):∠CAE=5解得∠CAE=180°?2α如圖，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到l1下方，∵AC//BD，∴∠CBD=∠ACB=α，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠CBD=2α，∴∠BAC=180°?∠ABD=180°?2α，又∵∠BAE:∠CAE=5∴(∠BAC?∠CAE):∠CAE=5(180°?2α?∠CAE):∠CAE=5解得∠CAE=180°?2α綜上∠CAE的度數(shù)為120°?43α故答案為：120°?43α【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，合理應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB上（F在E的左側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EH⊥HG，垂足為H，P為線段EH上的一動(dòng)點(diǎn)，連接GP，GF，∠FGH與∠BFG的角平分線交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，①∠BEH+∠DGH=90°；

②∠CGH+2∠FQG=270°；③若∠PGH=3∠DGH，則3∠BEH+∠EPG=360°；④若∠PGH=n∠DGH，則∠BEH+1n+1∠PGD=90°上述說法正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

【答案】①③④【分析】過點(diǎn)H作HL∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠BEH+∠DGH=∠EHL+∠GHL=∠EHG=90°，即可判斷①；根據(jù)角平分的定義可得∠QFG=12∠BFG，∠QGF=12∠FGH，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，過點(diǎn)H作HL∥

∵AB∥∴CD∥∴∠EHL=∠HEB，∠GHL=∠HGD，∵EH⊥HG，∴∠EHG=90°，∴∠BEH+∠DGH=∠EHL+∠GHL=∠EHG=90°，故①正確；∵∠FGH與∠BFG的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QFG=1∴∠FQG=180°?∠QFG?∠QGF，根據(jù)①中的結(jié)論，可得∠FQG=∠BFQ+∠QGD,∴∴∠CGH+2∠FQG=180°?∠HGD+2180°?∠QFG?∠QGF=180°?∠HGD+360°?2QFG?2QGF，=540°?∵AB∥∴∠BFG=∠FGC，∴∠HGD+∠BFG+∠FGD=∠HGD+∠FGC+∠FGD=180°，∴∠CGH+2∠FQG=540°?180°=360°，故②錯(cuò)誤；設(shè)∠DGH=x°，則∠PGH=3∠DGH=3x°，∴∠PGD=4x°，根據(jù)①中結(jié)論可得∠BEH=90°?∠DGH=90°?x°，∴∠EPG=∠BEH+∠PGD=90°?x°+4x°=90°+3x°∴3∠BEH+∠EPG=270°?3x°+90°+3x°=360°，故③正確；設(shè)∠DGH=x°，則∠PGH=n∠DGH=nx°，∴∠PGD=n+1∴x°=1根據(jù)①中結(jié)論可得∠BEH+∠DGH=∠BEH+1故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2024七年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P為直線AB與CD間一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，F(xiàn)P，且∠EPF=120°，∠AEP的平分線與∠PFC的平分線交于點(diǎn)Q，則∠EQF的度數(shù)為

【答案】60°或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P，Q在EF同側(cè)或異側(cè)時(shí)，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，分別求解即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：分兩種情況討論：①如圖1，過點(diǎn)P，Q分別作PH∥AB，∵AB∥∴QG∥∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠HPF．∴∠AEP+∠CFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF=120∵∠AEP的平分線與∠PFC的平分線交于點(diǎn)Q，∴∠AEQ=12∠AEP∴∠AEQ+∠QFC=1∵QG∥同理可得∠EQF=∠AEQ+∠QFC=60②如圖2，過點(diǎn)P，Q分別作PH∥AB，∵AB∥∴QG∥∴∠AEP+∠EPH=180°，∵∠EPH+∠HPF=∠EPF=120∴∠AEP+∠CFP=180∵∠AEP的平分線與∠PFC的平分線交于點(diǎn)Q，∴∠AEQ=12∠AEP∴∠AEQ+∠QFC=1∵QG∥AB∥

綜上所述，∠EQF的度數(shù)為60°或120故答案為：60°或【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，利用分類討論的思想求解問題．【題型2平行線中的旋轉(zhuǎn)、平移問題】【例2】（2024七年級(jí)·福建龍巖·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是銳角，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△DEF（平移后點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)），連接CD，若在整個(gè)平移過程中，∠ACD和∠CDE的度數(shù)之間存在2倍關(guān)系，則∠ACD=．【答案】15°或30°或90°【分析】根據(jù)△ABC的平移過程，分為了點(diǎn)E在BC上和點(diǎn)E在BC外兩種情況，根據(jù)平移的性質(zhì)得到AB∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACD和∠CDE和∠【優(yōu)尖升-詳解】第一種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，過點(diǎn)C作CG∥∵△DEF由△ABC平移得到，∴AB∥∵CG∥AB，∴CG∥①當(dāng)∠ACD=2∠CDE時(shí)，∴設(shè)∠CDE=x，則∠ACD=2x，∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，∴2x+x=45°，解得：x=15°，∴∠ACD=2x=30°，②當(dāng)∠CDE=2∠ACD時(shí)，∴設(shè)∠CDE=x，則∠ACD=12x∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，∵∠ACD=∠ACG-∠DCG，∴2x+12x=45°，解得：x∴∠ACD=12x第二種情況：當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外時(shí)，過點(diǎn)C作CG∵△DEF由△ABC平移得到，∴AB∥∵CG∥AB，∴CG∥①當(dāng)∠ACD=2∠CDE時(shí)，設(shè)∠CDE=x，則∠ACD=2x，∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，∴2x=x+45°，解得：x=45°，∴∠ACD=2x=90°，②當(dāng)∠CDE=2∠ACD時(shí)，由圖可知，∠CDE<∠ACD，故不存在這種情況，綜上：∠ACD=15°或30°或90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟練掌握平移前后對(duì)應(yīng)線段互相平行以及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2024七年級(jí)·廣東肇慶·期末）如圖，在△ABC中，BC=6，將△BC以每秒2cm的速度沿BC所在直線向右平移，所得圖形對(duì)應(yīng)為△DEF，設(shè)平移時(shí)間為t秒，若要使BE=2CE成立，則t的值為（）A．6 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，可得AD=BE，再根據(jù)AD=BE=2CE，可得方程，解方程即可求解．【優(yōu)尖升-詳解】解：根據(jù)圖形可得：線段BE和AD的長度即是平移的距離，則AD=BE，設(shè)AD=2tcm，則CE=tcm，依題意有2t+t=6，解得t=2．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解平移的方向，由圖形判斷平移的方向和距離．注意結(jié)合圖形解題的思想．【變式2-2】（2024七年級(jí)·浙江寧波·期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，∠BAC=45°,∠DAC=30°．接著如圖2保持三角板ABC不動(dòng)，將三角板ACD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針以每秒10°的速度旋轉(zhuǎn)90°后停止．在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t=秒時(shí)，三角板A'CD【答案】4.5或3或7.5【分析】分三種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：分三種情況：①當(dāng)A'∴∠A∴10t=45，∴t=4.5．②當(dāng)A'∴∠A∴10t=30，∴t=3．③當(dāng)A'D'則CD∥∴∠A=∠ACD，∠A∴∠A∴10t=75，∴t=7.5．綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t=4.5或3或7.5秒時(shí)，三角板A'CD故答案為：4.5或3或7.5．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2024七年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，直線GH∥MN，一副三角板按如圖1擺放，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠BAC=30°．保持三角板ABC不動(dòng)，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且0≤t≤180，則經(jīng)過秒邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，

【答案】15或60或105或150【分析】延長BC交MN于P點(diǎn)，可求∠BPN=60°，進(jìn)行分類討論，畫圖可得在各個(gè)不同位置DE∥BC或DF∥【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，延長BC交MN于P點(diǎn)，

∵∠EDF=∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∵GH∥∴∠BPN=60°，①如圖，

當(dāng)∠E1DP=∠BPN=60°∴此時(shí)D旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為∠EDE∴t=302=15②如圖

當(dāng)∠F1DP=∠BPN=60°∴∠EDF∴此時(shí)D旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為∠EDE∴t=1202=60③如圖

當(dāng)∠QDP=∠BPN=60°時(shí)，DE∴∠EDQ=30°，∴此時(shí)D旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為180°+30°=210°，∴t=2102=105④如圖

當(dāng)∠QDP=∠BPN=60°時(shí)，DF∴∠EDQ=30°，∴此時(shí)D旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為270°+30°=300°，∴t=3002=150綜上所述：15或60或105或150．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型3實(shí)數(shù)中的新定義問題】【例3】（2024七年級(jí)·重慶渝中·期末）學(xué)習(xí)完《三角形》章節(jié)，某數(shù)學(xué)小組小花同學(xué)給出如下定義：對(duì)任意的一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，且該數(shù)任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和大于余下數(shù)位上的數(shù)字，那么我們就把該數(shù)稱為“穩(wěn)定數(shù)”．把“穩(wěn)定數(shù)”n的十位數(shù)字作個(gè)位，百位數(shù)字作十位得到的兩位數(shù)，再加上n的個(gè)位數(shù)字的和記作Fn，把“穩(wěn)定數(shù)”n的十位數(shù)字作十位，百位數(shù)字作個(gè)位得到的兩位數(shù)，再加上n的個(gè)位數(shù)字的和記作Q例如：675，是一個(gè)“穩(wěn)定數(shù)”，由定義得F675=67+5=72，Q675=76+5=81．若一個(gè)“穩(wěn)定數(shù)”s=100a+101b+30（1≤a≤5，1≤b≤4，a，b為整數(shù)），當(dāng)5Fs【答案】432或534【分析】由s=100a+101b+30，可找出Fs及Qs，進(jìn)而可得出5Fs+2Qs=52a+59b+75，結(jié)合5Fs+2Qs能被11整除，可得出8a+4b?2能被11整除，分別代入b=1，2【優(yōu)尖升-詳解】解：∵s=100a+101b+30=100（∴Fs=10∴5Fs∵5Fs+2Qs能被∴52a+59b+75能被11整除，即52a+59b+75=44a+55b+77+8a+4b?2能被11整除，44a+55b+77∴8a+4b?2能被11整除．∵1≤a≤5，1≤b≤4，a,b為整數(shù)，∴當(dāng)b=1時(shí)，不存在符合題意的a值；當(dāng)b=2時(shí)，a=2，此時(shí)s=100a+101b+30=100×2+101×2+30=432；當(dāng)b=3時(shí)，不存在符合題意的a值；當(dāng)b=4時(shí)，a=1，此時(shí)s=100a+101b+30=100×1+101×4+30=534．∴滿足條件的“穩(wěn)定數(shù)”s的值為432或534．故答案為：432或534．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)的整除性，根據(jù)各數(shù)之間的關(guān)系，找出符合題意得a,b的值是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2024七年級(jí)·四川南充·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義一種運(yùn)算“×”如下，x×y＝ax－by2，已知2×3＝10，4×(－3)＝6，那么(－2)×(327)2＝【答案】130【優(yōu)尖升-詳解】【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，求出a與b的值，即可確定出原式的值．【優(yōu)尖升-詳解】根據(jù)題中的新定義得：

2a?9b=104a?9b=6解得a=?2b=?所以，?2=?2=130故答案為130【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：實(shí)數(shù)運(yùn)算.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解新定義運(yùn)算規(guī)則，根據(jù)法則列出方程組，解出a,b的值，再次應(yīng)用規(guī)則，求出式子的值.【變式3-2】（2024七年級(jí)·浙江杭州·期末）定義新運(yùn)算若a@b=n（n是常數(shù)），則(a+1)@b=n+1，a@(b+1)=n?2.若1@1=2則1@2=，2@2=，2020@2020=.【答案】01-2017【分析】首先要理解新定義運(yùn)算符號(hào)的含義，然后嚴(yán)格按著新的運(yùn)算規(guī)則操作，將新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)運(yùn)算，求解即可.【優(yōu)尖升-詳解】1@2=1@1-2=2-2020@1=2019@1=2020@2020=2020@2019?2=2020@2018?4=...【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解新定義運(yùn)算符號(hào)的含義，然后嚴(yán)格按著新的運(yùn)算規(guī)則操作即可.【變式3-3】（2024七年級(jí)·湖南株洲·期末）《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征．在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等．現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”．定義：對(duì)于自然數(shù)n，在計(jì)算n+(n+1)+(n+2)時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”，例如：32是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算32+33+34時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位；23不是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算23+24＋25時(shí)，個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位．那么，小于100的自然數(shù)中，“純數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè)．【答案】12【分析】根據(jù)題意，連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字是0，1，2，其他位的數(shù)字為0，1，2，3時(shí)不會(huì)產(chǎn)生進(jìn)位，然后根據(jù)這個(gè)數(shù)是幾位數(shù)進(jìn)行分類討論，找到所有合適的數(shù)．【優(yōu)尖升-詳解】解：當(dāng)這個(gè)數(shù)是一位自然數(shù)時(shí)，只能是0，1，2，一共3個(gè)，當(dāng)這個(gè)數(shù)是兩位自然數(shù)時(shí)，十位數(shù)字是1，2，3，個(gè)位數(shù)是0，1，2，一共9個(gè)，∴小于100的自然數(shù)中，“純數(shù)”共有12個(gè)．故答案是：12．【點(diǎn)睛】本題考查歸納總結(jié)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意理解“純數(shù)”的定義，總結(jié)方法找出所有小于100的“純數(shù)”．【題型4平面直角坐標(biāo)系中的新定義問題】【例4】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三個(gè)不重合的點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a指任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”?指任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，“矩面積”S=a?．例如：A1，2，B?3，1，C2，?2則“水平底”a=5，“鉛垂高”?=4，“矩面積”S=a?=20．若D1，【答案】?4或7【分析】先求出“水平底”為3，再根據(jù)“矩面積”的定義求出“鉛垂直”為6，再討論當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D上方時(shí)，建立方程求解即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：由題意知，D、E、F三點(diǎn)的“矩面積”的“水平底”a=1?(?2)=3，∵D、E、F三點(diǎn)的“矩面積”S=a?=18，∴D、E、F三點(diǎn)的“鉛垂直”?=18÷3=6，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D下方時(shí)，2?t=6，解得t=?4．當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D上方時(shí)，t?1=6解得：t=7，故答案為：?4或7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2024七年級(jí)·湖北荊州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．例如，三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（-3，4），C（1，-2），則“水平底”a=4，“鉛垂高”h=6，“矩面積”S=ah=24．若D（2，2），E（-2，-1），F(xiàn)（3，m）三點(diǎn)的“矩面積”為20，則m的值為．【答案】?2或3【分析】根據(jù)矩面積的定義表示出水平底”a和鉛垂高“h，利用分類討論對(duì)其鉛垂高“h進(jìn)行討論，從而列出關(guān)于m的方程，解出方程即可求解．【優(yōu)尖升-詳解】∵D（2，2），E（-2，-1），F(xiàn)（3，m）∴“水平底”a=3-（-2）=5“鉛垂高“h=3或|1+m|或|2-m|①當(dāng)h=3時(shí)，三點(diǎn)的“矩面積”S=5×3=15≠20，不合題意；②當(dāng)h=|1+m|時(shí)，三點(diǎn)的“矩面積”S=5×|1+m|=20，解得：m=3或m=-5（舍去）；③當(dāng)h=|2-m|時(shí)，三點(diǎn)的“矩面積”S=5×|2-m|=20，解得：m=-2或m=6（舍去）；綜上：m=3或-2故答案為：3或-2【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，利用新定義解答問題．【變式4-2】（2024七年級(jí)·安徽期末）定義：平面內(nèi)的直線l1與l2相交于點(diǎn)O，對(duì)于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線l1，l2的距離分別為a，b，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”為【答案】4【分析】首先根據(jù)題中定義，可得，“距離坐標(biāo)”為(2,1)的點(diǎn)是到l1的距離為2，到l2的距離為1的點(diǎn)；然后根據(jù)到l1的距離為2的點(diǎn)是兩條平行直線，到l2的距離為1的點(diǎn)也是兩條平行直線，發(fā)現(xiàn)所求的點(diǎn)是以上兩組直線的交點(diǎn)，一共有4個(gè)．【優(yōu)尖升-詳解】解：如圖，到l1的距離為2的點(diǎn)在兩條平行直線l3,到l2的距離為1的點(diǎn)在兩條平行直線l5,因?yàn)閮山M直線的交點(diǎn)一共有4個(gè)，即A，B，C，D，所以“距離坐標(biāo)”為(2,1)的點(diǎn)有4個(gè).【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)“距離坐標(biāo)”的含義的理解和掌握．【變式4-3】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值與縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值中較大的值定義為這兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”．例如，點(diǎn)A3，?2，B?1，7，橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為|3??1|=4，縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為?2?7=9，所以A，B的切比雪夫距離為9.若點(diǎn)M（t，【答案】?3或?【分析】由題意知，M、N的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為|t?2t|=t，縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為3t+2?t?2=2t+4，由兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”可得①當(dāng)t>2t+4時(shí)，【優(yōu)尖升-詳解】解：由題意知，M、N的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為|t?2t|=t，縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為3t+2?①當(dāng)t>2t+4時(shí)，t=3，解得t=3當(dāng)t=3時(shí)，2t+4=10，此時(shí)t<2t+4當(dāng)t=?3時(shí)，2t+4=2，此時(shí)t<2t+4②當(dāng)t<2t+4時(shí)，2t+4=3，解得t=?當(dāng)t=?12時(shí)，t=12當(dāng)t=?72時(shí)，t=72綜上所述，t=?3或t=?1故答案為：?3或?1【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)，新定義運(yùn)算，絕對(duì)值．理解新定義的含義是解題的關(guān)鍵．【題型5平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】【例5】（2024七年級(jí)·北京海淀·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(?5,4)，B(?1,2)，將線段AB平移，得到線段CD（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D），線段AB上任一點(diǎn)(x,y)在平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x+s,y?t)，其中s≥0，t≥0．

（1）若點(diǎn)C與點(diǎn)B恰好重合，則s=，t=；（2）若s+t=6，且平移后三角形BCD的面積最大，則此時(shí)s=，t=．【答案】4206【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)B恰好重合，得到線段AB向右平移4個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位到線段CD，從而得出s=4，t=2；（2）根據(jù)線段AB上任一點(diǎn)(x,y)在平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x+s,y?t)，s≥0，t≥0，得出AB只能向右平移或向下平移，根據(jù)無論如何平移，線段CD的長度不變，得出當(dāng)CD上的高最大時(shí)，△BCD面積最大，根據(jù)點(diǎn)B距離CD最遠(yuǎn)時(shí)，△BCD面積最大，根據(jù)s+t=6，結(jié)合圖形，得出當(dāng)AB向下平移6個(gè)單位時(shí)，水平位置不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B距離CD最遠(yuǎn)，△BCD面積最大，即可得出答案．【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）∵點(diǎn)C與點(diǎn)B恰好重合，∴線段AB向右平移4個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到線段CD，∴線段AB上任一點(diǎn)(x,y)在平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x+s,y?t)，∴s=4，t=2；故答案為：4；2；（2）∵線段AB上任一點(diǎn)(x,y)在平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x+s,y?t)，s≥0，t≥0，∴AB只能向右平移或向下平移，∵無論如何平移，線段CD的長度不變，∴當(dāng)CD上的高最大時(shí)，△BCD面積最大，即點(diǎn)B距離CD最遠(yuǎn)時(shí)，△BCD面積最大，∵s+t=6，∴當(dāng)AB向下平移6個(gè)單位時(shí)，水平位置不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B距離CD最遠(yuǎn)，△BCD面積最大，如圖所示：

此時(shí)s=0，t=6，故答案為：0；6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)的平移，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握平移規(guī)律．【變式5-1】（2024七年級(jí)·天津?yàn)I海新·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為?1,0，3,0．現(xiàn)將線段AB向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到線段AB的對(duì)應(yīng)線段CD，連接AC，BD．若在y軸上存在一點(diǎn)P，連接PA，PB，且△PAB的面積是△AOC面積的2倍，則滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(0，1)或(0，?1)【分析】設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為?，則S△PAB=12×AB×?，根據(jù)S【優(yōu)尖升-詳解】∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為?1,0，3,0．現(xiàn)將線段AB向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，∴C0,2則S∵△PAB的面積是△AOC面積的2倍，∴S△PAB設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為?，則S△PAB=12∵S∴2?=2，解得：?=1，∴P(0，1)或(0，?1)．故答案為：(0，1)或(0，?1)．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形平移的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解平移的規(guī)律．【變式5-2】（2024七年級(jí)·北京通州·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)At,0，Bt+2,0，M3,4．以點(diǎn)M為圓心，1為半徑畫圓．點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的面積的最小值和最大值依次為【答案】35【分析】首先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B在x軸上，且AB=t+2?t=2，然后得到當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最小時(shí)，△ABP的面積取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)M的正下方，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最大時(shí)，△ABP的面積取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)M的正上方，然后利用三角形面積公式求解即可．【優(yōu)尖升-詳解】∵At,0，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B在x軸上，且AB=t+2?t=2∵以點(diǎn)M為圓心，1為半徑畫圓．點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最小時(shí)，△ABP的面積取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)M的正下方，∵M(jìn)3,4∴此時(shí)△ABP的面積=1當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最大時(shí)，△ABP的面積取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)M的正上方，∵M(jìn)3,4∴此時(shí)△ABP的面積=1綜上所述，△ABP的面積的最小值和最大值依次為3，5．故答案為：3，5．【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的面積，根據(jù)題意判斷三角形的面積是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2024七年級(jí)·湖北隨州·期末）如圖，長方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，其中A(4,0)，C(0,3)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿O?A?B?E運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，那么當(dāng)x=2秒時(shí)，△OPE的面積等于cm2；當(dāng)△OPE的面積等于5cm2時(shí)，

【答案】3103，【分析】當(dāng)x=2秒時(shí)，利用三角形面積公式即可求解；第2問分三種情況，分別畫出圖形，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算解答即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：由題意得OA=BC=4，OC=AB=3，BE=CE=1當(dāng)x=2秒時(shí)，OP=2，△OPE的面積等于12當(dāng)△OPE的面積等于5cm①如圖，

當(dāng)P在OA上時(shí)，0<x≤4，∵△OPE的面積等于5，∴12解得x=10∴P點(diǎn)坐標(biāo)為103②當(dāng)P在AB上時(shí)，4<x≤7，如圖，

∵△OPE的面積等于5，∴S矩形∴4×3?1解得x=5．∴AP=5?4=1，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為4，③當(dāng)P在BE上時(shí)，7<x≤9，如圖，

∴12解得x=17綜上可知，當(dāng)△OPE的面積等于5cm2，P點(diǎn)坐標(biāo)為10故答案為：3；103，0【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，長方形的性質(zhì)和三角形的面積公式的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型6平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究】【例6】（2024七年級(jí)·遼寧撫順·期末）如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸及y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，依次跳動(dòng)至點(diǎn)A10,1、A21,0、A32,0、A40,2、A50,3、【答案】1012,0【分析】每2個(gè)坐標(biāo)為一組可得，第n組：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A2n?10,n、A2nn,0，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，【優(yōu)尖升-詳解】解：由A10,1、A21,0、A32,0、A40,2、每2個(gè)坐標(biāo)為一組：第1組：A10,1、第2組：A32,0、第3組：A50,3、第4組：A74,0、……第n組：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A2n?10,n、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A2n?1n,0、∵20232∴A2023在第1012組的第∴A故答案：A2023【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)規(guī)律，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2024七年級(jí)·福建龍巖·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A從A1?4,0依次跳動(dòng)到A2?4，1，A3?3,1，A4?3，0，A5?2，0，A6?2，3，A【答案】（804，1）【分析】根據(jù)圖形可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從A1到A11是一個(gè)循環(huán)，一個(gè)循環(huán)周期是10，一個(gè)循環(huán)后又回到x軸上，且一個(gè)循環(huán)后橫坐標(biāo)增加4個(gè)單位，先求出點(diǎn)A2021【優(yōu)尖升-詳解】解：觀察圖形可知，ｎ為正整數(shù)時(shí)，An縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)：A縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)：A縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)：A縱坐標(biāo)為﹣3的點(diǎn)：A可以看出縱坐標(biāo)為1，3，﹣3時(shí)，ｎ取連續(xù)的兩個(gè)數(shù)為一組，則10個(gè)10個(gè)的增加，∵2021＝10×202＋1，縱坐標(biāo)為1的規(guī)律A∴A2022由2+10n?1=2022，解得∵A2022正好是A∴A2022∴點(diǎn)A2022故答案為：（804，1）【點(diǎn)睛】此題主要考查點(diǎn)的規(guī)律變化，解題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖，找出點(diǎn)的變化規(guī)律．【變式6-2】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得第2020個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】64,3【分析】橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)有1個(gè)，橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)有2個(gè)，橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)有3個(gè)，縱坐標(biāo)分別是0，1，2…橫坐標(biāo)為奇數(shù)，縱坐標(biāo)從大數(shù)開始數(shù)；橫坐標(biāo)為偶數(shù)，則從0開始數(shù)．【優(yōu)尖升-詳解】解：把第一個(gè)點(diǎn)（1，0）作為第一列，（2，1）和（2，0）作為第二列，依此類推，則第一列有一個(gè)數(shù)，第二列有2個(gè)數(shù)，第n列有n個(gè)數(shù)．則n列共有n(n+1)2因?yàn)?+2+3+…+63＝2016，則第2020個(gè)數(shù)一定在第64列，由下到上是第4個(gè)數(shù)．因而第2020個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（64，3）．故答案為：（64，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．【變式6-3】（2024七年級(jí)·北京朝陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系上有個(gè)點(diǎn)P(1,0)，點(diǎn)P第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)P1(1,1)，緊接著第2次向右跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)P2(?1,1)，第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位，第4次向右跳動(dòng)3個(gè)單位，第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位，第6次向左跳動(dòng)4個(gè)單位，?依此規(guī)律跳動(dòng)下去，P4的坐標(biāo)是，點(diǎn)P第8次跳動(dòng)至P8的坐標(biāo)為；則點(diǎn)P第【答案】(2,2)(3,4)(65,128)【優(yōu)尖升-詳解】由題中規(guī)律可得出如下結(jié)論：設(shè)點(diǎn)Pm的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值是n，則在y軸右側(cè)的點(diǎn)的下標(biāo)分別是4（n-1）和4n-3，在y軸左側(cè)的點(diǎn)的下標(biāo)是：4n-2和4n-1；結(jié)合圖像可知：P0由此可知每經(jīng)4次變化后點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加1，縱坐標(biāo)增加2，∵256÷4=64，64+1=65，64×2=128，∴P256的坐標(biāo)是(65,128)故答案為(2,2)；(3,4點(diǎn)睛：此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，解決問題的關(guān)鍵是分析出題目的規(guī)律，找出題目中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，總結(jié)規(guī)律時(shí)要注意觀察數(shù)字之間的聯(lián)系，大膽的猜想．【題型7二元一次方程組中的數(shù)字問題】【例7】（2024七年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）如果一個(gè)四位數(shù)M各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，且千位與十位上的數(shù)字之差等于百位與個(gè)位上的數(shù)字之差，則稱M為“等差數(shù)”，將M千位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到一個(gè)新的四位數(shù)M'，記DM=M?M'112，若x65y為等差數(shù)，且Dx65y=?27，則數(shù)【答案】26595612【分析】本題主要考查了新定義，解二元一次方程組，根據(jù)題意得到x?5=6?y，則x+y=11，根據(jù)DM=M?M'112=?27，推出10x?y=11，聯(lián)立x+y=1110x?y=11，解得x=2y=9，則數(shù)x65y為2659；設(shè)M的千位數(shù)字，百位數(shù)字，十位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字分別為a、b、c、d，則M=1000a+100b+10c+d，M'=1000c+100d+10a+b，a?c=b?d，求出DM=M?M'112=9a?c，根據(jù)DM為正數(shù)且能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，則可設(shè)DM=2k+2【優(yōu)尖升-詳解】解：∵x65y為等差數(shù)，∴x?5=6?y，∴x+y=11，∵M(jìn)'∴DM∴990x?99y?4356=?3267，∴10x?y=11，聯(lián)立x+y=1110x?y=11，解得x=2∴數(shù)x65y為2659；設(shè)M的千位數(shù)字，百位數(shù)字，十位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字分別為a、b、c、d，∴M=1000a+100b+10c+d，M'∴D======9a?c∵DM∴可設(shè)DM=2k+2∴DM∴DM∴a?c一定要是4的倍數(shù)，且a?c>0，∴a?c=4或a?c=8，又∵要滿足M最小，且a、c不為0，∴要滿足a最小，且要滿足b最小，∴a=5，∴b?d=a?c=4，又∵a、b、c、d互不相同，∴b=6，∴滿足題意的M的值為5612，故答案為：2659；5612．【變式7-1】（2024七年級(jí)·重慶·期末）一個(gè)四位正整數(shù)N，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為零，若千位與十位上的數(shù)字之和等于百位與個(gè)位上的數(shù)字之和，且和均為9，則稱N為“鳳鳴數(shù)”，此時(shí)，規(guī)定KN=N99例如，2475中，2+7=4+5=9，2475是“鳳鳴數(shù)”，K2475=2475（1）K5841=（2）對(duì)于一個(gè)“鳳鳴數(shù)”N，且N為偶數(shù)，交換其千位與十位的數(shù)字，同時(shí)交換其百位與個(gè)位的數(shù)字，得到一個(gè)新的“鳳鳴數(shù)”N'，若3KN+2KN'是9的倍數(shù)，且N【答案】593168，8514【分析】（1）根據(jù)題干仿寫即可得出答案；（2）設(shè)N千位、百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字依次為a、b、c、d，則N'千位、百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字依次為c、d、a、b，且a+c=b+d=9，a≥b，根據(jù)“鳳鳴數(shù)”的定義可得3KN+2KN'=10a+b+203，結(jié)合10a+b+203為9的倍數(shù)，且a、b【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）5841中，5+4=8+1=9，5841是“鳳鳴數(shù)”，K5841故答案為：59；（2）設(shè)N千位、百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字依次為a、b、c、d，則N'千位、百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字依次為c、d、a、b，且a+c=b+d=9，a≥b∴3K=3×=3×=10a+b+203，∵10a+b+203為9的倍數(shù)，且a、b均不為0，又∵a≥b，a、b在1~9中選擇，則當(dāng)10a+b+203=234時(shí)，a=3,b=1滿足條件，此時(shí)N為3168；當(dāng)10a+b+203=279時(shí)，a=7,b=6滿足條件，此時(shí)N為7623（N為偶數(shù)，故舍去）；當(dāng)10a+b+203=288時(shí)，a=8,b=5滿足條件，此時(shí)N為8514．綜上所述，N為3168，8514．故答案為：3168，8514．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義“鳳鳴數(shù)”、整式運(yùn)算等知識(shí)，理解題目中“鳳鳴數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2024七年級(jí)·重慶忠縣·期末）對(duì)于千位數(shù)字是a、百位數(shù)字是b、十位數(shù)字是c、個(gè)位數(shù)字是d的四位正整數(shù)M，若a+c=b+d=11，則稱這個(gè)四位正整數(shù)M為“平衡數(shù)”，并記fM=a?cb?d，GM=10a+b?10c+d．例如：對(duì)于四位正整數(shù)2497，∵2+9=4+7=11，∴2497是“平衡數(shù)”，且f2497=2?94?7=73【答案】2992【分析】根據(jù)新定義列方程計(jì)算即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：∵千位數(shù)字是a、百位數(shù)字是b、十位數(shù)字是c、個(gè)位數(shù)字是d的四位正整數(shù)M，是一個(gè)“平衡數(shù)”，∴a+c=b+d=11，fM=∵把fM=a?c∴把d=a?c+b代入GM=10a+b?10c+d把d=a?c+b代入a+c=b+d=11得：a+c=b+a?c+b=11，可得c=b，a+c=11，∵a<b，∴a<c，∵GM∴a?c=?7，聯(lián)立a?c=?7a+c=11解得a=2c=9∴c=b=9，d=a?c+b=2，∴M=2992，故答案為：2992．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的問題，解題的關(guān)鍵是理解題目中給出新定義的含義，并靈活運(yùn)用新定義的意義解題．【變式7-3】（2024七年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）一個(gè)四位數(shù)M的千位為a，百位為b，十位為1，個(gè)位為cc≠0，滿足c=a+b，將M的個(gè)位數(shù)字c放到千位數(shù)字a之前產(chǎn)生新四位數(shù)N，例如：M=2315，則N=5231．記FM=M+N11，則F2517=；若F【答案】8881338【分析】根據(jù)新定義可得N=7251，然后代入公式計(jì)算即可得到F2517的值；首先表示出M，N，求出F(M)=100a+91c+10b+1，再結(jié)合已知求得101c+1也是6的倍數(shù)，即101c+1既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，進(jìn)而確定出c的取值，然后得出a，b對(duì)應(yīng)的取值，再求F【優(yōu)尖升-詳解】解：∵M(jìn)=2517，∴N=7251，∴F2517∵四位數(shù)M的千位為a，百位為b，十位為1，個(gè)位為cc≠0∴M=1000a+100b+10+c1≤a≤9,0≤b≤9，∴N=1000c+100a+10b+11≤c≤9，∴F(M)=M+N∵c=a+b，∴FM∵F(M)為6的倍數(shù)，且90a是6的倍數(shù)，∴101c+1也是6的倍數(shù)，∴101c+1既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，∵101c+1的個(gè)位數(shù)是c+1，十位數(shù)是0，百位數(shù)是c，∴當(dāng)101c+1是2的倍數(shù)時(shí)，c+1為偶數(shù)，c可取1、3、5、7、9，當(dāng)101c+1是3的倍數(shù)時(shí)，c+1+0+c=2c+1為3的倍數(shù)，∴c只有取1和7時(shí)符合題意，∴a+b=1或a+b=7，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∴a=1b=0或a=1b=6或a=2b=5或a=3b=4或a=4b=3或∴當(dāng)a=7，b=0，c=7時(shí)，F(xiàn)M取最大值，F(xiàn)M的最大值為故答案為：888；1338．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下整式加減的應(yīng)用，二元一次方程的解，從題目中獲取信息列出正確的代數(shù)式并化簡是解題關(guān)鍵．【題型8二元一次方程中的方案設(shè)計(jì)】【例8】（2024七年級(jí)·福建莆田·期末）某社區(qū)出資100元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本6元，B種每本5元，C種每本4元，其中A種圖書只能買5或6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有種．【答案】6【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．當(dāng)購買5本A種圖書時(shí)，設(shè)購買x本B種圖書，y本C種圖書，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)，可得出當(dāng)購買5本A種圖書時(shí)，有3種采購方案；當(dāng)購買6本A種圖書時(shí)，設(shè)購買m本B種圖書，n本C種圖書，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，可列出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，可得出當(dāng)購買6本A種圖書時(shí)，有3種采購方案，進(jìn)而可得出此次采購的方案有6種．【優(yōu)尖升-詳解】解：當(dāng)購買5本A種圖書時(shí)，設(shè)購買x本B種圖書，y本C種圖書，根據(jù)題意得：6×5+5x+4y=100，∴x=14?4又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=10y=5或x=6y=10或∴當(dāng)購買5本A種圖書時(shí)，有3種采購方案；當(dāng)購買6本A種圖書時(shí)，設(shè)購買m本B種圖書，n本C種圖書，根據(jù)題意得：6×6+5m+4n=100，∴n=16?5又∵m，n均為正整數(shù)，∴m=4n=11或m=8n=6或∴當(dāng)購買6本A種圖書時(shí)，有3種采購方案．∴此次采購的方案有3+3=6（種)．故答案為：6【變式8-1】（2024七年級(jí)·云南昆明·期末）為了讓學(xué)生在課堂中深度學(xué)習(xí)，劉老師計(jì)劃將學(xué)生分成若干小組進(jìn)行小組互助，若七年級(jí)某班級(jí)共有60名學(xué)生，每小組只能是4人或6人，則分組方案有種．【答案】6【分析】設(shè)可分成每小組4人的小組x組，每小組6人的小組y組，利用各組人數(shù)之和為60人，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為自然數(shù)，即可得出共有6種分組方案．【優(yōu)尖升-詳解】解：設(shè)可分成每小組4人的小組x組，每小組6人的小組y組，由題意得4x+6y=60，∴x=60?6y∵x，y均為自然數(shù)，∴y可取0，2，4，6，8，10，∴{x=15y=0或{x=12y=2或{x=9y=4或∴共有6種分組方案．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2024七年級(jí)·黑龍江齊齊哈爾·期末）小紅買了80分、120分的兩種郵票，共花掉16元錢（兩種郵票都買），則購買方案共有種．【答案】6【分析】設(shè)80分的郵票購買x張，120分的郵票購買y張，根據(jù)題意列方程0.8x+1.2y=16，用含y的代數(shù)式表示x得x=20?3【優(yōu)尖升-詳解】解：設(shè)80分的郵票購買x張，120分的郵票購買y張，0.8x+1.2y=16，解得x=20?3∵x、y都是正整數(shù)，∴當(dāng)y=2、4、6、8、10、12時(shí)，x=17、14、11、8、5、2，∴共有6種購買方案，故答案為：6.【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意只得到一個(gè)方程時(shí)，可將方程變形為用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，然后根據(jù)未知數(shù)的要求得到對(duì)應(yīng)值即可解決實(shí)際問題.【變式8-3】（2024七年級(jí)·重慶·期末）某商場在11月中旬對(duì)甲、乙、丙三種型號(hào)的電視機(jī)進(jìn)行促銷.其中，甲型號(hào)電視機(jī)直接按成本價(jià)1280元的基礎(chǔ)上獲利25%定價(jià)；乙型號(hào)電視機(jī)在原銷售價(jià)2199元的基礎(chǔ)上先讓利199元，再按八五折優(yōu)惠；丙型號(hào)電視機(jī)直接在原銷售價(jià)2399元上減499元；活動(dòng)結(jié)束后，三種型號(hào)電視機(jī)總銷售額為20600元，若在此次促銷活動(dòng)中，甲、乙、丙三種型號(hào)的電視機(jī)至少賣出其中兩種型號(hào)，則三種型號(hào)的電視機(jī)共有種銷售方案.【答案】五【分析】設(shè)甲種型號(hào)的電視機(jī)賣出x臺(tái)，乙種型號(hào)的電視機(jī)賣出y臺(tái)，丙種型號(hào)的電視機(jī)賣出z臺(tái)，根據(jù)“三種型號(hào)電視機(jī)總銷售額為20600元”列方程，整理后，分類討論即可得出結(jié)論．【優(yōu)尖升-詳解】設(shè)甲種型號(hào)的電視機(jī)賣出x臺(tái)，乙種型號(hào)的電視機(jī)賣出y臺(tái)，丙種型號(hào)的電視機(jī)賣出z臺(tái)，根據(jù)題意得：1280×(1+25%)x+(2199-199)×0.85y+(2399-499)z=20600整理得：16x+17y+19z=206∴16(x+y+z)+y+3z=16×12+14∵x、y、z為非負(fù)整數(shù)，且x、y、z最多一個(gè)為0，∴0≤x≤12，0≤y≤12，0≤z≤10，∴14≤y+3z≤42．設(shè)x+y+z=12-k，y+3z=14+16k，其中k為非負(fù)整數(shù)．∴14≤14+16k≤42，∴0≤k＜2．∵k為整數(shù)，∴k=0或1．（1）當(dāng)k=0時(shí)，x+y+z=12，y+3z=14，∴0≤z≤4．①當(dāng)z=0時(shí)，y=14＞12，舍去；②當(dāng)z=1時(shí)，y=14-3z=11，x=12-y-z=12-11-1=0，符合題意；③當(dāng)z=2時(shí)，y=14-3z=8，x=12-y-z=12-8-2=2，符合題意；④當(dāng)z=3時(shí)，y=14-3z=5，x=12-y-z=12-5-3=4，符合題意；⑤當(dāng)z=4時(shí)，y=14-3z=2，x=12-y-z=12-2-4=6，符合題意．（2）當(dāng)k=1時(shí)，x+y+z=11，y+3z=30∵y=30-3z，∴0≤30-3z≤12，解得：6≤z≤10，當(dāng)z=6時(shí)，y=30-3z=12，x=11-y-z=11-12-6=-7＜0，舍去；當(dāng)z=7時(shí)，y=30-3z=9，x=11-y-z=11-9-7=-5＜0，舍去；當(dāng)z=8時(shí)，y=30-3z=6，x=11-y-z=11-6-8=-3＜0，舍去；當(dāng)z=9時(shí)，y=30-3z=3，x=11-y-z=11-3-9=-1＜0，舍去；當(dāng)z=10時(shí)，y=30-3z=0，x=11-y-z=11-10-0=1，符合題意．綜上所述：共有x=0y=11z=1，x=2y=8z=2，x=4y=5故答案為：五．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程的應(yīng)用．分類討論是解答本題的關(guān)鍵．【題型9一元一次不等式組中的最值問題】【例9】（2024七年級(jí)·江蘇南通·期末）已知非負(fù)數(shù)a，b，c滿足條件a+b=5，c=a?3，設(shè)S=a+2b+3c的最大值為m，最小值為n，則2m+n的值是【答案】29【分析】利用已知條件得到S與a的關(guān)系式，再利用a，b，c為非負(fù)數(shù)得到不等式組求得a的取值范圍，從而得到S的取值范圍，繼而得到m，n的值，將m，n的值代入運(yùn)算即可得出結(jié)論．【優(yōu)尖升-詳解】解：∵a+b=5，∴b=5?a，∴S=a+2b+3c=a+2(5?a)+3(a?3)=a+10?2a+3a?9=2a+1．∵a，b，c為非負(fù)數(shù)，∴a≥05?a≥0解得：3≤a≤5．∴3×2≤2a≤5×2，即6