2024-2025學(xué)年四川省金堂縣金龍中學(xué)九上數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)提高班課后習(xí)題訓(xùn)練【含答案】

2024-2025學(xué)年四川省金堂縣金龍中學(xué)九上數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)提高班課后習(xí)題訓(xùn)練一．選擇題（共16小題）1．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，BD＝8．若M、N分別是邊AD、BC上的動點，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分別為E、F，則ME+NF的值為（）A．4 B． C．6 D．2．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，延長BC至E，使CE＝2，連接AE，CF平分∠DCE交AE于點F，連接DF，則DF的長為（）A． B． C． D．3．如圖，在菱形ABCD中，EF與AC交于點H，分別交AD于點E，CB的延長線于點F，且AE：FB＝1：3．則GB：CD的值為（）A． B． C． D．第1題圖第2題圖第3題圖4．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，連接EF，△AEF和△ABC的周長之比為（）A．：2 B．1：2 C．3：4 D．1：45．如圖，在矩形紙片ABCD中，點E，F(xiàn)分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝5，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）A． B．2 C． D．3第4題圖第5題圖6．如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個頂點A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于點D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，這樣AD：CD＝1：3，則的值為（）A． B． C． D．7．已知線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點（AP＜BP），則線段AP的長為（）A． B． C． D．第6題圖第8題圖第9題圖8．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE：AD＝1：4，BE的延長線交AC于F，則AF：CF的值為（）A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：79．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，AE、CD交于點F，若，則的值是（）A． B． C． D．10．如圖，在凸四邊形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝∠DCB＝45°，若AB＝4，則△ABC的面積是（）A．8 B．16 C．24 D．3211．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，若AD：BD＝2：1，點G在DE上，DG：GE＝1：2，連接BG并延長交AC于點F，則AF：EF等于（）A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：312．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點E是邊BC延長線上點，且CE＝1，連接AE，與CD交于點F，連接BF并延長與DE交于點G，則BG的長為（）A． B． C． D．13．在正方形ABCD中，AD＝8，DE＝2，F(xiàn)為直線BD上一點，G為BC的中點，|EF﹣GF|的最大值為（）A．6 B． C． D．第11題圖第12題圖第13題圖14．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則S△DEF：S△BAE＝（）A．1：4 B．1：3 C．1：8 D．1：915．如圖，正方形ABCD和正方形CGFE的頂點C，D，E在同一條直線上，頂點B，C，G在同一條直線上．O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于點H，連接FH交EG于點M，連接OH．以下四個結(jié)論：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③＝﹣1；④＝2﹣，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④第14題圖第15題圖16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分線相交于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，則EF的長為（）A． B． C． D．二．填空題（共10小題）17．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝5，AB＝12，點D和E都是邊BC上的動點，且滿足CD＝BE，連接AD、AE．則AD+AE的最小值為．18．如圖，矩形OABC的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，對角線AC∥x軸，交y軸于點D．若矩形OABC的面積是6，，則k＝．第16題圖第17題圖第18題圖19．如圖，在銳角△ABC中，點P，Q分別在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于點M，QN⊥BC于點N，AD⊥BC于點D，交PQ于點E，且AD：BC＝2：3，連接MQ，若△ABC的面積等于12，則MQ的最小值為．20．△ABC中，AB＝6，AC＝2，以BC為斜邊向下構(gòu)造直角三角形BCD，且∠BCD＝60°，連接AD，則線段AD的最大值為．第19題圖第20題圖21．已知△ABC和△DEF中，，且△DEF和△ABC的周長之差是15厘米，則△DEF的周長是．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得DE＝2DF，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造平行四邊形EFGC，連接EG，則EG的最小值為．23．如圖，點P是矩形ABCD內(nèi)一點，連接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，設(shè)△PAB、△PBC，△PCD，△PDA的面積分別為S1，S2，S3、S4．以下判斷：①PA+PB+PC+PD的值最小為10；②若△PAB≌△PCD，則△PAD≌△PBC；③若S1＝S2，則S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，則PA＝2.4，其中正確的是．24．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠A＝60°，點O在AB上，且BO＝2，點P是CD上一動點，將四邊形BCPO沿直線OP折疊，點B的對應(yīng)點是E，連接DE，當DE的長度最小時，CP的長為．第22題圖第23題圖第24題圖25．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，S△BCD＝3，BC＝2，AC的最小值為．26．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，BC＝1，點P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點，若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點不重合）兩點間的最短距離為．第25題圖第26題圖三．解答題（共8小題）27．問題探究：（1）如圖①，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點D在BC上，若AD平分ABC的面積，AD的長度為；（2）如圖②，平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，點M在AD上，點N在BC上，若MN平分平行四邊形ABCD的面積，且線段MN的長度最短，請你畫出符合要求的線段MN，并求出此時MN的長度；（3）如圖③王叔叔家一塊四邊形菜地ABCD，王叔叔打算過D點修一條筆直的小路把四邊形菜地ABCD分成面積相等的兩部分，分別種植不同的農(nóng)作物，已知AB＝AD＝200米，米，∠BAD＝90°，過點D是否存在一條直線將四邊形ABCD的面積平分，若存在，求平分該四邊形ABCD的面積的線段長；若不存在，說明理由．28．【問題提出】（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，BC＝3，點D，E為邊AC，BC的中點，連接DE．如圖2所示，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中，①＝，AD、BE所在直線相交所成的較小夾角為α，則tanα＝；②當D、E、B三點共線時，則線段BE的長．【問題解決】（2）如圖3所示，五邊形ABCDE是某工廠園區(qū)的平面圖，點B、點C分別是生產(chǎn)車間和辦公樓．已知∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝1500米，AE＝2000米，BC＝800米，DE＝1000米．現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)修一個處理站M（不考慮處理站的面積），處理工業(yè)廢水和生活廢水，同時要在園區(qū)內(nèi)修建3條地下管道BM，MN，CN將廢水輸送到處理站．根據(jù)園區(qū)的自然環(huán)境和實際需求，要求CN＝400米，3BM＝5MN，且，因處理站具有一定的污染性，因此需建在離辦公樓盡可能遠的區(qū)域，當處理站M到辦公樓C的距離MC最大時，連接MD，求此時處理站M到園區(qū)大門（點D）的距離以及sin∠MDC．29．小曼和他的同學(xué)組成了“愛琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則＝1．”為了解決這個問題，經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：方案一：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；方案二：過點H作HM⊥BC交BC于點M，過點E作EN⊥CD交CD于點N．（1）對小曼遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個加以證明（如圖（1））．（2）如果把條件中的“正方形”改為“矩形”，（如圖（2），并設(shè)AB＝3，BC＝5，求的值．（3）如圖（3），在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，點E、F分別在線段AB、BC上，且AF⊥DE，求的值．30．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）猜想觀察：如圖1，當α＝60°時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究：如圖2，當α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題：如圖3，當α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在FE的延長線上，P，D，C三點在同一直線上，AC與BD相交于點M，DM＝2﹣，求AP的長．31．（1）如圖1，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，若四邊形AECF的面積為25，DE＝2，則AE的長為；（2）如圖2，在一塊斜邊長為35厘米的直角三角形木板（即Rt△ABC）中截取一個正方形CDEF，點D在邊AC上，點E在邊AB上，點F在邊BC上，若AE＝15，求這塊木板截取正方形CDEF后剩余部分的面積；（3）如圖3，已知四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝90°，若BD＝2BC，判斷線段AC、AD、CD的等量關(guān)系并證明．32．問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點E為AD的中點．點F在AB上，過點E作EG∥AB．交FC于點G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點P是CD邊上一動點．點Q是BC的中點．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點D的對應(yīng)點是D'，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點C的對應(yīng)點是C′．請問是否存在這樣的點P．使得點P、D'、C′在同一條直線上？若存在，求出此時DP的長度．若不存在，請說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價50元．請問這種四邊形金屬部件每個的造價最低是多少元？（≈1.73）33．新定義，垂直于圖形的一邊且等分這個圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．問題探究：（1）如圖1，求作等邊△ABC的等積垂分線；（2）如圖2，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝30°，求垂直于BC邊的等積垂分線段長度；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的其中一條等積垂分線段．34．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M．填空：①的值為；②∠AMB的度數(shù)為．（2）類比探究如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC交BD的延長線于點M．請判斷的值及∠AMB的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點M，若OD＝1，OB＝，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．

參考答案與試題解析一．選擇題（共16小題）1．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，BD＝8．若M、N分別是邊AD、BC上的動點，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分別為E、F，則ME+NF的值為（）A．4 B． C．6 D．【解答】解：如圖，連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD為菱形，BD＝8，∴AD＝BC＝AB＝6，BD⊥AC，OB＝OD＝4，OA＝OC，由勾股定理得：OC＝OA＝＝＝2，∵ME⊥BD，AO⊥BD，∴ME∥AO，∴△DEM∽△DOA，∴＝，即＝，∴ME＝，同理可得：△BFN∽△BOC，∴＝，即＝，∴NF＝，∵AM＝BN，∴ME+NF＝+＝2，故選：B．2．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，延長BC至E，使CE＝2，連接AE，CF平分∠DCE交AE于點F，連接DF，則DF的長為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，過F作FM⊥BE于M，F(xiàn)N⊥CD于N，則四邊形CMFN是矩形，F(xiàn)M∥AB，∵CF平分∠DCE，∴∠FCM＝∠FCN＝45°，∴CM＝FM，∴四邊形CMFN是正方形，設(shè)FM＝CM＝NF＝CN＝a，則ME＝2﹣a，∵FM∥AB，∴△EFM∽△EAB，∴FM：AB＝ME：BE，即＝，解得：a＝，∴DN＝CD﹣CN＝，由勾股定理得：DF＝＝，故選：C．3．如圖，在菱形ABCD中，EF與AC交于點H，分別交AD于點E，CB的延長線于點F，且AE：FB＝1：3．則GB：CD的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∠AEF＝∠F，∴△EAG∽△FBG，∴＝＝，∴＝，∴＝，故選：D．4．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，連接EF，△AEF和△ABC的周長之比為（）A．：2 B．1：2 C．3：4 D．1：4【解答】解：∵BE、CF分別是AC、AB邊上的高，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AEB∽△AFC，∴＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF與△ABC的周長比＝AE：AB，∵cosA＝cos60°＝＝，∴△AEF與△ABC的周長比＝AE：AB＝1：2，故選：B．5．如圖，在矩形紙片ABCD中，點E，F(xiàn)分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝5，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（）A． B．2 C． D．3【解答】解：如圖，延長EH交CF于點P，過點P作MN⊥CD于N，∵將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，在△CPH和△CPN中，，∴△CPH≌△CPN（AAS），∴NP＝PH，CH＝CN＝4，∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，∴四邊形BCNM是矩形，又∵CN＝CB＝4，∴四邊形BCNM是正方形，∴MN＝BM＝4，∴EM＝2，∵EP2＝EM2+PM2，∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，∴NP＝，∵tan∠DCF＝＝，∴＝，∴DF＝，故選：A．6．如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個頂點A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于點D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，這樣AD：CD＝1：3，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵直線l1∥l2∥l3，AD：CD＝1：3，∴AG：EG＝1：3，設(shè)AG＝1，EG＝3，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF，CF＝AE，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝7∴AB＝＝5，∵l2∥l3，∴＝∴DG＝CE＝，∴BD＝BG﹣DG＝7﹣＝，∴＝．故選：A．7．已知線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點（AP＜BP），則線段AP的長為（）A． B． C． D．【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點，AP＜BP，∴BP＝×AB＝×2＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故選：C．8．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE：AD＝1：4，BE的延長線交AC于F，則AF：CF的值為（）A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵DH∥BF，∴FH＝HC，∵AE：AD＝1：4，∴AE：ED＝1：3，∵DH∥BF，∴＝＝，∴AF：FC＝1：6，故選：C．9．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，AE、CD交于點F，若，則的值是（）A． B． C． D．【解答】解：連接DE，如圖所示，∵，△BDE與△CDE等高，底分別為BE、EC，∴BE：EC＝1：2，∴BE：BC＝1：3．∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴．又∵DE∥AC，∴∠DEF＝∠CAF，∵∠DFE＝∠CFA，∴△DEF∽△CAF，∴，∴＝＝．故選：D．10．如圖，在凸四邊形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝∠DCB＝45°，若AB＝4，則△ABC的面積是（）A．8 B．16 C．24 D．32【解答】解：如圖，過D作DE⊥AD，交AB延長線于E，連接CE，則∠ADE＝90°，∵∠BAD＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝DE，∵∠ADE＝∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠CDE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝4，∠DEC＝∠DAB＝45°，∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AB，∴S△ABC＝AB?CE＝8，故選：A．11．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，若AD：BD＝2：1，點G在DE上，DG：GE＝1：2，連接BG并延長交AC于點F，則AF：EF等于（）A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3【解答】解：如圖，作DH∥BF交AC于H．∵DH∥BF，∴AH：HF＝AD：DB＝2：1，∴可以假設(shè)HF＝a，則AH＝2a，∵FG∥DH，∴FH：EF＝DG：EG＝1：2，∴EF＝2a，∴AF＝3a，∴AF：EF＝3a：2a＝3：2，解法二：過點D作DM∥AC交BF于M．∴＝＝，＝＝，∴DM＝EF＝AF，∴AF：EF＝3：2，故選：C．12．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點E是邊BC延長線上點，且CE＝1，連接AE，與CD交于點F，連接BF并延長與DE交于點G，則BG的長為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，延長AD，BG交于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝2，AD∥BC，AB∥CD，∴△ADF∽△ECF，∴，∴DF＝2CF，∴CF＝，DF＝，∵AB∥CD，∴△DHF∽△AHB，∴，∴，∴DH＝4，∴AH＝6，∴BH＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△DHG∽△EBG，∴＝，∴GH＝BG，∵GH+BG＝BH＝2，∴BG＝，故選：D．13．在正方形ABCD中，AD＝8，DE＝2，F(xiàn)為直線BD上一點，G為BC的中點，|EF﹣GF|的最大值為（）A．6 B． C． D．【解答】解：作G點關(guān)于BD直線的對稱點G'，連接G'E交BD于點F，∵GF＝G'F，∴|EF﹣GF|＝G'E，則|EF﹣GF|的最大值為G'E；∵正方形ABCD，G為BC的中點，∴G'為AB的中點，∵AD＝8，DE＝2，∴AG'＝4，AE＝6，∴G'E＝2，故選：C．14．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則S△DEF：S△BAE＝（）A．1：4 B．1：3 C．1：8 D．1：9【解答】解：∵O為平行四邊形ABCD對角線的交點，∴DO＝BO，又∵E為OD的中點，∴DE＝DB，∴DE：EB＝1：3，又∵AB∥DC，∴△DFE∽△BAE，∴．故選：D．15．如圖，正方形ABCD和正方形CGFE的頂點C，D，E在同一條直線上，頂點B，C，G在同一條直線上．O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于點H，連接FH交EG于點M，連接OH．以下四個結(jié)論：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③＝﹣1；④＝2﹣，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE．故①正確；∵△EHG是直角三角形，O為EG的中點，∴OH＝OG＝OE，∴點H在正方形CGFE的外接圓上，∵EF＝FG，∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，∴△EHM∽△FHG，故②正確；∵△BGH≌△EGH，∴BG＝EG，設(shè)CG＝a，則BG＝GE＝a，∴BC＝a﹣a，∴＝＝﹣1；故③正確；∵△BGH≌△EGH，∴EG＝BG，∵HO是△EBG的中位線，∴HO＝BG，∴HO＝EG，設(shè)正方形ECGF的邊長是2b，∴EG＝2b，∴HO＝b，∵OH∥BG，CG∥EF，∴OH∥EF，∴△MHO∽△MFE，∴＝＝＝，∴EM＝OM，∴＝＝＝﹣1，∴＝﹣1，∵EO＝GO，∴S△HOE＝S△HOG，∴＝﹣1，故④錯誤，故選：A．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分線相交于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，則EF的長為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，延長FE交AB于點D，作EG⊥BC于點G，作EH⊥AC于點H，∵EF∥BC、∠ABC＝90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四邊形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，∴四邊形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵，∴△DAE≌△HAE（AAS），∴AD＝AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG＝CH，設(shè)BD＝BG＝x，則AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，∵AC＝＝＝10，∴6﹣x+8﹣x＝10，解得：x＝2，∴BD＝DE＝2，AD＝4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝，即＝，解得：DF＝，則EF＝DF﹣DE＝﹣2＝，故選：C．二．填空題（共10小題）17．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝5，AB＝12，點D和E都是邊BC上的動點，且滿足CD＝BE，連接AD、AE．則AD+AE的最小值為13．【解答】解：，過AB作D點的對稱點D′，過AC作E點的對稱點E′，過AC作B點的對稱點B′，過AB作C點的對稱點C′，連接B′C、B′C′、BC′、AC′、AB′，∴BE＝B′E′，CD＝C′D′，AB＝AB′，AC＝AC′，AE′＝AE，AD′＝AD，∴AD+AE的最小值＝AE′+AD′的最小值，連接E′D′，E′D′即AE′+AD′的最小值，∵CD＝BE，∴B′E′＝C′D′，∵∠CAB＝90°，∴∠B′AC＝∠B′AC′＝∠BAC′＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴四邊形BCB′C′是菱形，∴B′C∥C′B，B′C′＝BC，∵B′E′＝C′D′，∴四邊形B′E′D′C′是平行四邊形，∴E′D′＝B′C′，∵B′C′＝BC，∴E′D′＝BC，∵AC＝5，AB＝12，由勾股定理得，BC＝＝13，∴AD+AE的最小值＝E′D′＝BC＝13，故答案為：13．18．如圖，矩形OABC的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，對角線AC∥x軸，交y軸于點D．若矩形OABC的面積是6，，則k＝﹣．【解答】解：作AE⊥x軸于E，∵矩形OABC的面積是6，∴△AOC的面積是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴＝，，∵對角線AC∥x軸，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴＝∴S△OEA＝，∵S△OEA＝|k|，k＜0，∴k＝﹣．故答案為：﹣．19．如圖，在銳角△ABC中，點P，Q分別在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于點M，QN⊥BC于點N，AD⊥BC于點D，交PQ于點E，且AD：BC＝2：3，連接MQ，若△ABC的面積等于12，則MQ的最小值為．【解答】解：∵PQ∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PQ，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝，∴3AD＝2BC，∵PM⊥BC，QN⊥BC，∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，∴四邊形PMNQ是矩形，∴PQ＝MN，PM＝ED，∵AD＝BC，∴AE+ED＝BM+MN+CN，∴MN+QN＝BM+MN+CN，∴QN＝BM+CN；∵△ABC的面積等于12，∴BC?AD＝12，∵AD：BC＝2：3，∴BC2＝12，∴BC＝6，AD＝4，設(shè)PQ＝3x，AE＝2x．∵PM＝ED＝QN＝4﹣2x，BM+CN＝6﹣3x，∵MQ＝＝，∴當x＝時，MQ有最小值．故答案為：．20．△ABC中，AB＝6，AC＝2，以BC為斜邊向下構(gòu)造直角三角形BCD，且∠BCD＝60°，連接AD，則線段AD的最大值為3+．【解答】解：以AB為斜邊構(gòu)造30°度的直角三角形ABE，使∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，連接DE，∴，∵∠BCD＝60°，∴，∠CBD＝30°，∴∠ABE＝∠CBD，，∴∠ABC＝∠EBD，∴△ABC∽△EBD，∴，∴DE＝AC＝，∵AD≤AE+DE，∴當點A、E、D共線時，AD最大，∵AE＝AB＝3，∴AD最大值為3+．故答案為：3+．21．已知△ABC和△DEF中，，且△DEF和△ABC的周長之差是15厘米，則△DEF的周長是45厘米．【解答】解：∵，∴△ABC∽△DEF．設(shè)△ABC的周長為x厘米，則△DEF的周長為（x+15）厘米．根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可得：，解得：x＝30，故△DEF的周長為30+15＝45（厘米）．故答案為：45厘米．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得DE＝2DF，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造平行四邊形EFGC，連接EG，則EG的最小值為5．【解答】解：作CH⊥AB于點H，∵在?ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，∴CH＝2，∵四邊形ECGF是平行四邊形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴＝，∵DE＝2DF，∴DF＝DE，∴＝，∴＝，∴＝，∴當EO取得最小值時，EG即可取得最小值，當EO⊥CD時，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝2，∴GO＝3，∴EG的最小值是5，故答案為：5．23．如圖，點P是矩形ABCD內(nèi)一點，連接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，設(shè)△PAB、△PBC，△PCD，△PDA的面積分別為S1，S2，S3、S4．以下判斷：①PA+PB+PC+PD的值最小為10；②若△PAB≌△PCD，則△PAD≌△PBC；③若S1＝S2，則S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，則PA＝2.4，其中正確的是①②③④．【解答】解：①當點P是矩形ABCD兩對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，根據(jù)勾股定理得，AC＝BD＝5，所以PA+PB+PC+PD的最小值為10，故①正確；②若△PAB≌△PCD，則PA＝PC，PB＝PD，所以P在線段AC、BD的垂直平分線上，即P是矩形ABCD兩對角線的交點，所以△PAD≌△PBC，故②正確；③若S1＝S2，易證S1+S3＝S2+S4，則S3＝S4，故③正確；④若△PAB∽△PDA，則∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三點共線，P是直角△BAD斜邊上的高，根據(jù)面積公式可得PA＝2.4，故④正確．故答案為①②③④．24．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠A＝60°，點O在AB上，且BO＝2，點P是CD上一動點，將四邊形BCPO沿直線OP折疊，點B的對應(yīng)點是E，連接DE，當DE的長度最小時，CP的長為6﹣2．【解答】解：如圖所示：過點D作DH⊥AB，垂足為H．在Rt△ADH中，∠A＝60°，AD＝6，則AH＝AD＝3，DH＝sin60°?AD＝×6＝3．又∵AO＝AB﹣BO＝4，∴OH＝1．在Rt△DOH中，依據(jù)勾股定理可知DO＝＝＝2．由翻折的性質(zhì)可知：∠BOP＝∠EOP．∵DC∥AB，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠EOP＝∠DPO，∴DP＝DO＝2，∴CP＝DC﹣DP＝6﹣2，故答案為：6﹣2．25．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，S△BCD＝3，BC＝2，AC的最小值為4．【解答】解：在BC下方以BC為斜邊構(gòu)建等腰直角三角形BEC，連接DE，∵∠ABD＝45°，∠EBC＝45°，∴∠ABC＝∠DBE＝45°+∠DBC，∵＝＝，∴△ABC∽△DBE，∴＝，∴AC＝DE，∵S△BCD＝3，BC＝2，∴BC邊上的高為3，∵△BEC是等腰直角三角形，∴△BEC底邊BC上的高＝BC＝1，∴DE的最小值＝3+1＝4，∴AC的最小值＝4，故答案為4．26．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，BC＝1，點P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點，若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點不重合）兩點間的最短距離為﹣1．【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠BAD＝120°，BC＝1，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內(nèi)部）的點滿足題意，此時就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點與直線上所有點連線的線段中垂線段最短“，即當點P與點A重合時，PD值最小，最小值為1；②若以邊PC為底，∠PBC為頂角時，以點B為圓心，BC長為半徑作圓，與BD相交于一點，則弧AC（除點C外）上的所有點都滿足△PBC是等腰三角形，當點P在BD上時，PD最小，最小值為﹣1；③若以邊PB為底，∠PCB為頂角，以點C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點A與點D均滿足△PBC為等腰三角形，當點P與點D重合時，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在；綜上所述，PD的最小值為﹣1．三．解答題（共8小題）27．問題探究：（1）如圖①，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點D在BC上，若AD平分ABC的面積，AD的長度為4；（2）如圖②，平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，點M在AD上，點N在BC上，若MN平分平行四邊形ABCD的面積，且線段MN的長度最短，請你畫出符合要求的線段MN，并求出此時MN的長度；（3）如圖③王叔叔家一塊四邊形菜地ABCD，王叔叔打算過D點修一條筆直的小路把四邊形菜地ABCD分成面積相等的兩部分，分別種植不同的農(nóng)作物，已知AB＝AD＝200米，米，∠BAD＝90°，過點D是否存在一條直線將四邊形ABCD的面積平分，若存在，求平分該四邊形ABCD的面積的線段長；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）如圖①，過點A作AD⊥BC于點D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，∵S△ABD＝BD?AD、S△ACD＝CD?AD，∴S△ABD＝S△ACD，即AD即為所求；AD＝＝＝4，故答案為：4；（2）如圖②，連接AC、BD，交于O，過O作線段MN，交AD于M，交BC于N，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∵∠AOM＝∠CON，∴△AOM≌△CON（ASA），∴S△AOM＝S△CON，同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，∴S△OMD＝S△ONB，S△AOB＝S△COD，∴S△AOM+S△AOB+S△BON＝S△CON+S△COD+S△OMD，即MN將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，當MN⊥BC時，MN是最短；過A作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∴MN＝AH，∵AB＝6，∠B＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝3，AH＝MN＝3，∴當MN⊥BC時，線段MN的長度最短為3；（3）如圖③，連接BD，AC交于點O．在BC上取一點Q，過Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200米、BC＝CD＝200米，∴AC是BD的垂直平分線，∴QM∥CO．在Rt△ABD中，BD＝AB＝200米，∴DO＝BO＝OA＝100米，在Rt△BCO中，OC＝＝300米，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000（米2），∵在一條過點D的直線將箏形ABCD的面積二等分，∴S四邊形ABQD＝S四邊形ABCD＝40000（米2），∵S△ABD＝×BD×OA＝20000（米2），∴S△QBD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四邊形ABQD﹣S△ABD＝20000（米2），∴QM＝100米，∵QM∥CO．∴，∴，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝米，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝米．28．【問題提出】（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，BC＝3，點D，E為邊AC，BC的中點，連接DE．如圖2所示，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中，①＝，AD、BE所在直線相交所成的較小夾角為α，則tanα＝；②當D、E、B三點共線時，則線段BE的長．【問題解決】（2）如圖3所示，五邊形ABCDE是某工廠園區(qū)的平面圖，點B、點C分別是生產(chǎn)車間和辦公樓．已知∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝1500米，AE＝2000米，BC＝800米，DE＝1000米．現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)修一個處理站M（不考慮處理站的面積），處理工業(yè)廢水和生活廢水，同時要在園區(qū)內(nèi)修建3條地下管道BM，MN，CN將廢水輸送到處理站．根據(jù)園區(qū)的自然環(huán)境和實際需求，要求CN＝400米，3BM＝5MN，且，因處理站具有一定的污染性，因此需建在離辦公樓盡可能遠的區(qū)域，當處理站M到辦公樓C的距離MC最大時，連接MD，求此時處理站M到園區(qū)大門（點D）的距離以及sin∠MDC．【解答】解：①如圖1，設(shè)AD，BE交于點F，AF，BC交于點O，∵∠DCE＝∠ACD，∴∠ACD＝∠BCE，∵，∴△ACD∽△BCE，∴，∠CAD＝∠CBF，∵∠AOC＝∠BOF，∴∠F＝∠BAC，∴tanα＝tanF＝tan∠BAC＝，故答案為：，；②如圖2，當點E在BD上時，在Rt△BCD中，BC＝3，CD＝1，∴BD＝＝2，∵DE＝AB＝，∴BE＝BD﹣DE＝，如圖3，當點E在BD的延長線時，BE＝BD+DE＝，故答案為：；（2）如圖4，∵3BM＝5MN，∴，∵cos∠BMN＝，∴△MNB為直角三角形，在BC的上方作Rt△BOC，使∠BCO＝90°，OC＝600米，∴OB＝1000米，∴，tan∠CBO＝tan∠BNM＝，∴∠BCO＝∠MBN，∴∠CBN＝∠MBO，∴△CBN∽△OBM，∴，∴OM＝CN＝500米，∴點M在以O(shè)為圓心，半徑為500米的圓上運動，延長CO，交圓O于點M′，當點M在M′處時，CM最大，如圖5，設(shè)CM交DF于T，作MX⊥CD于X，在Rt△DMT中，DT＝DF﹣FT＝AE﹣BC＝1200米，MT＝CM﹣CT＝OC+OM﹣BF＝OC+OM﹣（AB﹣DE）＝600米，∴DM＝米，在Rt△CDT中，CT＝500米，DT＝1200米，∴CD＝1300米，由S△CDM＝CD?MX＝CM?DT，∴1300?MX＝1100×1200，∴MX＝米，∴sin∠MDC＝＝．29．小曼和他的同學(xué)組成了“愛琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則＝1．”為了解決這個問題，經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：方案一：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；方案二：過點H作HM⊥BC交BC于點M，過點E作EN⊥CD交CD于點N．（1）對小曼遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個加以證明（如圖（1））．（2）如果把條件中的“正方形”改為“矩形”，（如圖（2），并設(shè)AB＝3，BC＝5，求的值．（3）如圖（3），在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，點E、F分別在線段AB、BC上，且AF⊥DE，求的值．【解答】解：（1）選擇方案一：證明如下：過點A作AM∥HF交BC于點N，過點B作BN∥EG交CD于點N，如圖：∴四邊形AMFH、四邊形BNGE是平行四邊形，∴AM＝HF，BN＝EG，又∵EG⊥FH，∴AM⊥EG，∴AM⊥BN，∴∠BAM＝90°﹣∠ABN＝∠CBN，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCD＝90°，∴△ABM≌△BCN（ASA），∴AM＝BN，∴EG＝FH，∴＝1；選擇方案二：證明如下：過點H作HM⊥BC交BC于點M，過點E作EN⊥CD交CD于點N，∴四邊形ABMH、四邊形BCNE是矩形，∴AB＝HM，BC＝EN，BC∥EN，∵AB＝BC，∴HM＝EN，∴∠1＝∠MFH，∵EG⊥FH，∴∠1+∠GEN＝90°，∵EN⊥CD，∴∠GEN+∠EGN＝90°，∴∠1＝∠MFH＝∠EGN，∵∠MFH＝∠EGN，∠HMF＝∠ENG＝90°，HM＝EN，∴△HMF≌△ENG（AAS），∴FH＝EG，∴＝1；（2）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N，∴AM＝HF，AN＝EG，∵矩形ABCD，∴∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，AM∥HF，AN∥EG，∴AM⊥AN，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，∴△ABM∽△ADN，∴＝，∵AB＝3，BC＝AD＝5，∴＝，∴＝＝；（3）如圖3，過點D作MN⊥BC，交BC的延長線于M，過點A作AN⊥MN交EF于點N，連接AC，∵∠ABC＝90°，AN⊥MN，MN⊥BC，∴四邊形ABMN是矩形，∴∠N＝∠M＝90°，AN＝BM，MN＝AB＝8，∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADN+∠CDM＝90°，且∠ADN+∠NAD＝90°，∴∠NAD＝∠CDM，且∠N＝∠M＝90°，∴△ADN∽△DCM，∴＝＝＝＝，∴AN＝2DM，DN＝2CM，∵DC2＝CM2+DM2，∴16＝CM2+（8﹣2CM）2，∴CM＝4（不合題意舍去），CM＝，∴BM＝BC+CM＝＝AN，過點E作EG⊥MN于點G，過點F作FH⊥AN于點H，由（1）知，∠AFH＝∠DEG，又∵∠AHF＝∠EGD＝90°，∴△DEG∽△AFH，∴＝，∵EG＝AN＝，HF＝AB＝8，∴＝＝．30．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）猜想觀察：如圖1，當α＝60°時，的值是1，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°．（2）類比探究：如圖2，當α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題：如圖3，當α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在FE的延長線上，P，D，C三點在同一直線上，AC與BD相交于點M，DM＝2﹣，求AP的長．【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°，故答案為：1，60°．（2）當α＝90°時，＝，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)為45°；理由如下：如圖2，假設(shè)BD與AC相交于點M，與PC交于點N，∵線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DP，∴△PAD是等腰直角三角形，∴∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，∴＝cos∠PAD＝cos45°＝．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠PAD＝45°，∴＝cos∠CAB＝cos45°＝，∠PAD+∠CAD＝∠CAB+∠CAD，∴＝，∠PAC＝∠DAB，∴△PAC∽△DAB，∴＝＝，∠PCA＝∠DBA，∴＝．∵∠BMC＝∠BNC+∠PCA＝∠ABD+∠BAC，∠PCA＝∠DBA，∴∠BNC＝∠BAC＝45°，即直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)為45°．（3）如圖3，∵點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，∴EF∥AB，AE＝EC，∴∠PEA＝∠BAC＝45°．∵P，D，C三點在同一直線上，∠APD＝90°，∴∠APC＝90°，PE＝AE＝EC，∴∠EPC＝∠ECP∵∠EPC+∠ECP＝∠PEA＝45°，∠DAC+∠ECP＝∠PDA＝45°，∴∠EPC＝∠ECP＝∠DAC，∴AD＝DC．設(shè)AP＝x，則PD＝x，在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD＝＝x，∴PC＝PD+CD＝（+1）x．由（2）知＝，∴BD＝PC＝（2+）x．∵∠ECP＝∠DAC，∠PCA＝∠DBA，∴∠DAC＝∠DBA，又∵∠ADM＝∠BDA，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即AD2＝DM?BD，∴（x）2＝（2﹣）（2+）x．解得x1＝1，x2＝0（不合題意，舍去），∴AP＝1．31．（1）如圖1，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，若四邊形AECF的面積為25，DE＝2，則AE的長為；（2）如圖2，在一塊斜邊長為35厘米的直角三角形木板（即Rt△ABC）中截取一個正方形CDEF，點D在邊AC上，點E在邊AB上，點F在邊BC上，若AE＝15，求這塊木板截取正方形CDEF后剩余部分的面積；（3）如圖3，已知四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝90°，若BD＝2BC，判斷線段AC、AD、CD的等量關(guān)系并證明．【解答】解：（1）∵把△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，∴AD＝5，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝，故答案為：．（2）過點E作EG⊥AB，交BC于G點，∴∠AEG＝90°，∵四邊形CDEF是正方形，∴∠DEF＝90°，DE＝EF，∠ADE＝∠EFG＝90°，∴∠AED＝∠FEG，在△AED和△GEF中，，∴△AED≌△GEF（ASA），∴AE＝EG，∴S△AED+S△BEF＝S△BEG＝＝×15×20＝150（cm2）；（3）CD2+AD2＝4AC2.理由如下：如圖3，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使BA與BC重合，得△BCE，連接DE，則BD＝BE，∠DBE＝∠ABC，∠BAD＝∠BCE，CE＝AD，∴△BAC∽△BDE，∵BD＝2BC，∴DE＝2AC，∵∠ABC+∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝270°，∴∠BCE+∠BCD＝270°，∴∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∴CD2+AD2＝4AC2．32．問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點E為AD的中點．點F在AB上，過點E作EG∥AB．交FC于點G．若EG＝7．則S△EFC＝21．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點P是CD邊上一動點．點Q是BC的中點．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點D的對應(yīng)點是D'，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點C的對應(yīng)點是C′．請問是否存在這樣的點P．使得點P、D'、C′在同一條直線上？若存在，求出此時DP的長度．若不存在，請說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價50元．請問這種四邊形金屬部件每個的造價最低是多少元？（≈1.73）【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，BC＝AD＝6，∵EG∥AB，∴CD∥EG∥AB，∵點E為AD的中點，∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，故答案為：21；（2）存在，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，∵Q是BC的中點，∴CQ＝3，由折疊的性質(zhì)得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，當點P、D′、C′三點在同一條直線上時，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，∴∠DPA+∠CPQ＝90°，∵∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠DAP＝∠CPQ，∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，∴△ADP∽△PCQ，∴＝，即＝，解得：DP＝6或DP＝3；（3）過點C作MN∥AB，過點D作MN的垂線，交MN于點E，交BA的延長線于點H，過點B作BF⊥MN于點F，連接BD，如圖③所示：則BF＝EH＝5cm，∵DC⊥BC，∴∠ECD+∠BCF＝90°，∵BF⊥MN，∴∠CBF+∠