專題10幾何壓軸中的證明與猜想題型（原卷版）

專題10幾何壓軸中的證明與猜想題型幾何壓軸中證明與猜想題指有些數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個(gè)、多個(gè)或所有答案)或探索出解決問題的多種方法．該題型對考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年各地中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)．通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方案設(shè)計(jì)、命題組合型、問題開放型等．考生在復(fù)習(xí)時(shí)，首先對于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對解答這類試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：1．利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類討論法．當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．4．類比猜想法．即由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證． （2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），且．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖2，連接AC，G是CB延長線上一點(diǎn)，，垂足為K，交AC于點(diǎn)H且．若，，請用含a，b的代數(shù)式表示EF的長．（1）先利用正方表的性質(zhì)求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）延長CB至M，使，連接AM，先易得，推出，，進(jìn)而得到，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解；（3）過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，易得，進(jìn)而求出，再根據(jù)（2）的結(jié)論求解．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，．在和中，∴，∴；（2）解：BE，EF，DF存在的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：延長CB至M，使，連接AM，則．在和中，∴，∴，．∵，∴．∴∠MAE=∠FAE，在和中，∴，∴EM=EF，∵EM=BE+BM，∴；（3）解：過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，則．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．∵，，∴，∴，由（2）知，．本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線，構(gòu)建三角形全等是解答關(guān)鍵．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到，再由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）①根據(jù)線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到得到是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來求解；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到，，進(jìn)而得到，進(jìn)而求出，結(jié)合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．【答案】(1)，理由見解析(2)①；②，理由見解析【詳解】（1）解：．證明：∵是等邊三角形，∴，．∵線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，即．在和中，∴，∴；（2）解：①理由：∵線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，∴；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，如下圖．∵是等邊三角形，，∴，∴．∵是等邊三角形，點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，，∴，即是等腰直角三角形，∴．本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長交邊于點(diǎn)延長交邊于點(diǎn)且求的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長．（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；（2）延長，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長為；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長交于，過作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長交延長線于，過作交延長線于，同理解得，．【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為或【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長，交于，如圖：設(shè)，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，設(shè)，則，，，，即，解得，的長為；（3）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長交于，過作于，如圖：設(shè)，，則，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：同理，，即，由得：，可解得，，綜上所述，的長為或．本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．1．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）已知分別是四邊形和四邊形的對角線，點(diǎn)E在的內(nèi)部，．(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)四邊形和四邊形均為正方形時(shí)，則的度數(shù)為；(2)引申運(yùn)用：如圖2，當(dāng)四邊形和四邊形均為矩形時(shí)，①若，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；②若，，求線段的長；(3)聯(lián)系拓展：如圖3，當(dāng)四邊形和四邊形均為菱形且時(shí)，設(shè)，試探究a，b，c三者之間的等量關(guān)系，并說明理由．2．（2022·浙江寧波·?？既＃净A(chǔ)鞏固】(1)如圖①，在四邊形中，，，求證∶；(2)【嘗試應(yīng)用】如圖②，在平行四邊形中，點(diǎn)在上，與互補(bǔ)，，求的長；(3)【拓展提高】如圖③，在菱形中，為其內(nèi)部一點(diǎn)，與互補(bǔ)，點(diǎn)在上，，且，，求的長．3．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（1）【問題情境】如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則與的數(shù)量關(guān)系是______；（2）【類比探究】如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接、．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展提升】如圖3，在（2）的條件下，連接，則的最小值為______．4．（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃纠斫飧拍睢慷x：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且．①若，則______；②若，則______；【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點(diǎn)D在邊上，若是“準(zhǔn)直角三角形”，求的長；【解決問題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準(zhǔn)直角三角形”，求的面積．5．（2022·福建福州·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）問題發(fā)現(xiàn)．(1)如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，則的最小值為______．(2)如圖，矩形中，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，求的最小值．(3)如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，把沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，連接、，四邊形的面積是否存在最小值，若存在，求這個(gè)最小值及此時(shí)的長度．若不存在，請說明理由．6．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學(xué)?？既＃┲?，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)