專題517平行線的性質(zhì)（題型分類拓展）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題5.17平行線的性質(zhì)（題型分類拓展）【題型分類目錄】【題型1】旋轉(zhuǎn)問題；【題型2】平行線上的動(dòng)點(diǎn)問題；【題型3】最值問題；【題型4】折疊與重合問題.單選題【題型1】旋轉(zhuǎn)問題1．（2023下·廣東珠?！て吣昙?jí)?？计谥校┤鐖D，一副三角板中兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中，，，保持三角板不動(dòng)，三角板可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，則下列結(jié)論：①；②隨著的交化而變化；③當(dāng)時(shí)，則或；④當(dāng)時(shí)，一定垂直于．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022下·吉林長春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，在△ABC中，，．如圖②，將圖①中的邊CB邊繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置，得到線段．在整個(gè)旋轉(zhuǎn)的過程中，若，則的大小為（

）A．73° B．107° C．73°或107° D．42°或107°3．（2021下·重慶·七年級(jí)西南大學(xué)附中校考期中）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點(diǎn)O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)α＝15°時(shí)，DC∥ABB．當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＝45°C．當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，共有10個(gè)位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【題型2】平行線上的動(dòng)點(diǎn)問題4．（2023下·重慶渝中·七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知，，點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），、分別平分和，分別交射線于點(diǎn)C、D，下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),的數(shù)量關(guān)系不變．其中正確結(jié)論有（）個(gè)

A．1 B．2 C．3 D．45．（2020下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，點(diǎn)P是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的位置發(fā)生變化時(shí)，的面積（

）A．向左移動(dòng)變小B．向右移動(dòng)變小C．始終不變 D．無法確定6．（2022下·四川綿陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B兩點(diǎn)分別是兩邊OM，ON上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)B作OA的平行線與的平分線AC交于點(diǎn)C，若，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C．CO平分 D．【題型3】最值問題7．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考一模）一副三角尺的位置如右圖所示，其中三角尺ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，使它的某一邊與BC平行，則α的最小值是（

）A．15° B．30°C．60° D．150°8．（2021下·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與交于點(diǎn)D，，則BD的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【題型4】折疊與重合問題9．（2023下·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一張長方形紙條沿折疊后，與交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．10．（2021下·福建漳州·七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期中）如圖，把一張對(duì)邊互相平行的紙條，沿折疊，則以下結(jié)論：①；②；③；④，⑤．其中正確的結(jié)論有（

）

A．①⑤ B．②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤11．（2023下·河北滄州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如下圖，一張長方形紙片，分別在邊，上取點(diǎn)M，N，沿折疊紙片，與交于點(diǎn)K，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．填空題【題型1】旋轉(zhuǎn)問題12．（2023上·黑龍江大慶·八年級(jí)大慶一中?？计谥校┤鐖D，直線，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖放置，，，固定的位置不變，將沿方向平移至點(diǎn)F正好落在直線上，再將繞點(diǎn)F順時(shí)針方向以每秒的速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與直線首次重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)當(dāng)經(jīng)過t秒時(shí)，線段與的一條邊平行，則t的值．

13．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知直線，點(diǎn)、分別在、上，如圖所示，射線按順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線按順時(shí)針方向每秒旋轉(zhuǎn)至停止．此時(shí)射線也停止旋轉(zhuǎn)，若射線先轉(zhuǎn)秒，射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒時(shí)，．

14．（2023下·河南信陽·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）《大宋?東京夢(mèng)華》選擇在清明上河園皇家園林區(qū)的景龍湖上實(shí)景演出，充分利用了亭臺(tái)樓榭、水榭橋廊，構(gòu)成了一個(gè)完整的古典實(shí)景劇場(chǎng)．劇場(chǎng)燈光由位于點(diǎn)和點(diǎn)的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，點(diǎn)的激光燈發(fā)出的光線以10度/秒的速度繞點(diǎn)從邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時(shí)間為，在光線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)間的值為s時(shí)，．【題型2】平行線上的動(dòng)點(diǎn)問題15．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，，在上、在上，連接，線段上有一動(dòng)點(diǎn)，作，在左側(cè)，連接、，作的角平分線，滿足，若，則的度數(shù)為．16．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線，上，點(diǎn)P為直線與間一動(dòng)點(diǎn)，連接，，且，的平分線與的平分線交于點(diǎn)Q，則的度數(shù)為．

17．（2023下·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖直線在上，為上動(dòng)點(diǎn)，過作的角平分線交與，若．

（1）時(shí)，．（2），；（3）寫出數(shù)量關(guān)系：．【題型3】最值問題18．（2023下·陜西西安·七年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，，，且，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值的差是．

19．（2022下·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，且a、b之間相距，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值是．20．（2023下·湖南郴州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，且a，b之間相距．點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值是．

【題型4】折疊與重合問題21．（2021下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知長方形紙帶，將紙帶沿折疊后，點(diǎn)、分別落在、的位置，再沿折疊成圖，若，則°．

22．（2023下·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把一張兩邊平行的紙條沿著折疊，若，則的度數(shù)是．

23．（2023下·福建寧德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一條長方形彩帶進(jìn)行兩次折疊，先沿折痕向上折疊，再沿折痕向背面折疊，若要使兩次折疊后彩帶的夾角，則第一次折疊時(shí)應(yīng)等于．解答題【題型1】旋轉(zhuǎn)問題24．（2023下·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩個(gè)形狀、大小完全相同的含有、的三角板如圖放置，與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖①，度；（2）如圖②，三角板不動(dòng)，三角板從圖示位置開始繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為多少度？（3）如圖③，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速/秒，同時(shí)三角板的邊從處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速/秒（轉(zhuǎn)到與重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．問：兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過程中，是否為定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．25．（2023下·貴州遵義·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見，在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，如圖，燈A射線自開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且、滿足，假定主道路是平行的，即，且．

（1）求和的值，并求的度數(shù)．（2）若燈先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈到達(dá)之前，燈A轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束第一次互相平行？（3）如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由．【題型2】平行線上的動(dòng)點(diǎn)問題26．（2023上·吉林長春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是、之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．【感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段左側(cè)時(shí)，若，，求的度數(shù)．分析：從圖形上看，由于沒有一條直線截與，所以無法直接運(yùn)用平行線的性質(zhì)，這時(shí)需要構(gòu)造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過點(diǎn)作，根據(jù)兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，可知，進(jìn)而求出的度數(shù)．【探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段右側(cè)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．27．（2023上·河南南陽·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知．點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），，的角平分線分別交射線于點(diǎn)C，D．（1）①的度數(shù)是______；②∵，∴______；（2）求的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律．（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是______．【題型3】最值問題28．（2023下·湖南長沙·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一塊三角板（，）按如圖①所示放置在銳角內(nèi)，使直角邊落在邊上，記，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針以每秒的速度旋轉(zhuǎn)t秒（直角邊旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，且點(diǎn)A始終在內(nèi)），過點(diǎn)A作交射線于點(diǎn)M，平分交射線于點(diǎn)D，其中m的值滿足使代數(shù)式取得最小值．

（1）m的值為________；（2）當(dāng)秒時(shí)，求的度數(shù)；（3）在某一時(shí)刻，當(dāng)時(shí)，試探求與之間的數(shù)量關(guān)系．29．（2021下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，，，P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．（1）當(dāng)時(shí)，有最小值，求m的值；（2）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，探究、與的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，直接寫出、與的關(guān)系．【題型4】折疊與重合問題30．（2023下·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐問題背景：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以“長方形紙帶的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，已知長方形紙帶的邊，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將紙片折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)重合，產(chǎn)生折痕，點(diǎn)E是折痕與邊的交點(diǎn)，點(diǎn)F是折痕與邊的交點(diǎn)．

動(dòng)手操作：（1）如圖1，若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，則的度數(shù)為______．實(shí)踐探究：（2）如圖2，移動(dòng)點(diǎn)，其余條件不變．①小靜發(fā)現(xiàn)圖中無論點(diǎn)如何移動(dòng)，始終成立，請(qǐng)說明理由；②小東發(fā)現(xiàn)折疊后所形成的角，只要知道其中一個(gè)角的度數(shù)，就能求出其它任意一角的度數(shù)，若，求的大?。?1．（2022下·浙江臺(tái)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，有一張四邊形ABCD紙片，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，把紙片沿EF折疊，點(diǎn)D，C分別與點(diǎn)G，H重合，F(xiàn)H交線段AD于點(diǎn)P．（1）求證：∠GEA＝∠HFB；（2）如圖2，∠D＝70°，猜想當(dāng)∠EFC多少度時(shí)，，并說明理由．參考答案：1．A【分析】①依據(jù)，，可得；②依據(jù)，即可得到；③畫出圖形，根據(jù)平行線的判定，即可得到當(dāng)?shù)扔诨驎r(shí)，；④畫出圖形，根據(jù)，，即可求出的度數(shù)，根據(jù)平行線的判定以及垂直的定義得到此時(shí)與的位置關(guān)系．解：①，，；故①正確．②，，，是定值；故②錯(cuò)誤．③如圖1所示，當(dāng)時(shí)，，，如圖2所示，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，則或；故③錯(cuò)誤．④設(shè)，則．如圖由（1）可知，，，解得：，即，，；如圖由（1）得：，，，，，．此時(shí)或；故④錯(cuò)誤．綜上所述：只有①正確，所以正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理并且能夠準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】分兩種情況畫出圖形求解即可．解：如圖，∵，∴．∵，∴，如圖，∵，∴．∵，∴．綜上所述：或73°．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論思想是解決問題的關(guān)鍵．3．B【分析】設(shè)OC與AB交點(diǎn)為M，OD與AB交點(diǎn)為N，當(dāng)α＝15°時(shí)，可得∠OMN＝α＋∠A＝60°，可證DC∥AB；當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＋∠A＝90°，可得α＝30°；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，應(yīng)分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況；整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，其中DC邊可以與OB，OA，AB分別平行時(shí)，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5個(gè)位置，這5個(gè)位置再旋轉(zhuǎn)180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置．解：設(shè)OC與AB交點(diǎn)為M，OD與AB交點(diǎn)為N，當(dāng)α＝15°時(shí)，∠OMN＝α＋∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A說法正確，不符合題意；當(dāng)OC⊥AB時(shí)，α＋∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B說法錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時(shí)，此時(shí)，，，∴；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線且不重合時(shí)，此時(shí)，，∴故C說法正確，不符合題意；整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程，其中DC邊可以與OB，OA，AB分別平行時(shí)，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5個(gè)位置，這5個(gè)位置再旋轉(zhuǎn)180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以D說法正確不符合題意，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．4．C【分析】根據(jù),可以得知，；由于分別平分,可知，.解：∵，和為內(nèi)錯(cuò)角，∴，①正確；∵，，∴，∴又∵為角平分線，∴，，∴，②正確；∵，又∵，即∴,③錯(cuò)誤；∵,又∵為的角平分線∴，④正確；故選：C

.【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線和角平分線的性質(zhì)，記住基本的結(jié)論，此類題目便可迎刃而解.5．C【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等可得點(diǎn)P到的距離不變，因此三角形的面積不變．解：∵直線，點(diǎn)P是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴無論點(diǎn)P怎么移動(dòng)，點(diǎn)P到的距離不變，∴的底不變，高不變，面積也不變，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查平行線間的距離，掌握平行線間的距離處處相等是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MAC＝∠ACB，再根據(jù)可求出∠ACO＝∠BCO，問題得解．解：∵OA∥BC，∴∠MAC＝∠ACB，∵，∠ACB＝∠ACO＋∠BCO，∴∠ACO＝∠BCO，即CO平分，而，，均無法得出，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE邊最先與BC平行，利用平行線的性質(zhì)即可求解．解：當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE邊最先與BC平行，如圖：∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE=60°，∵∠DAE=45°，∴∠CAD=∠CAE∠DAE=15°，則α的最小值是15°，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角板的角的度數(shù)的知識(shí)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】求BD的最小值可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的距離，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．解：由題意可知當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，此時(shí)，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，需結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出相關(guān)角的關(guān)系從而進(jìn)行求解．9．A【分析】由折疊的性質(zhì)可得，利用平行線的性質(zhì)可得，則可求得，可求得，即可求的度數(shù)．解：由題意得：，，，，，．故選：A【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．10．D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)即可判斷①，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可判斷②，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)對(duì)等角相等可得，即可判斷③，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，即可判斷④，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可判斷⑤解：∵∴∵折疊，∴，∴，故①正確；∵∴又∴∴，故②正確∵∴又∴，故③正確

∵，,又∴∴∵∴，故④正確；根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，故⑤正確，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．A【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出，．再根據(jù)折疊可得，最后依據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．解：如圖所示：

∵紙片是長方形，∴，∴，，由折疊可得，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．12．或或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．分類討論、、三種情況，根據(jù)平行線的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)角的大小即可求解．解：①當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∴秒②當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∵，∴∴秒③當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∴秒綜上所述：t的值為或或13．或或【分析】分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時(shí)間．解：①當(dāng)時(shí)，如圖，則，∵，∴，即，解得，（）；

②當(dāng)時(shí)，如圖，則，∵，∴，即，解得，（）；

③當(dāng)時(shí)，如圖，則，

∵，∴，即，解得，（）；綜上，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒或秒或秒時(shí)，．故答案為：或或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是作平行線，分情況討論，運(yùn)用方程思想解決幾何問題．14．13或31/31或13【分析】分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．解：當(dāng)時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，則：，∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，則：∴繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了，∴；綜上：的值為13或31；故答案為：13或31．

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理清題意，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解．15．/4度【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)，根據(jù)題意得和，由即可求得答案．解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，則，解得．故答案為：．16．或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)，在同側(cè)或異側(cè)時(shí)，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，分別求解即可．解：分兩種情況討論：①如圖1，過點(diǎn)，分別作，，，．，．．的平分線與的平分線交于點(diǎn)，，．，，同理可得；②如圖2，過點(diǎn)，分別作，，，．，．，．的平分線與的平分線交于點(diǎn)，，．．，同①可得．

綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，利用分類討論的思想求解問題．17．（變形式也正確）【分析】（1）證明，，可得，結(jié)合角平分線的定義可得答案；（2）證明，，再利用平行線的性質(zhì)可得答案；（3）由（1）得：，可得，再利用平行線的性質(zhì)可得答案．解：（1）∵，∴，，∵，∴，∵過作的角平分線交與，∴，∴，故答案為：（2）當(dāng)時(shí)，∴，，∴，故答案為：（3）由（1）可得：，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵．18．【分析】當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，根據(jù)，求出最小值，即可求解．解：∵，，∴，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，∵，∴，解得：，∴的最大值與最小值的差是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；垂線段最短．19．4【分析】通過平行線之間垂線段最短的理論可知PQ垂直于兩條直線時(shí)，PQ的值最小，再根據(jù)a、b之間距離求出PQ即可．解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)垂線段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之間的距離為4cm，的最小值是4cm，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線之間的距離的定義，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．20．8【分析】根據(jù)垂線段最短進(jìn)行求解即可解：∵直線，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，∴根據(jù)垂線段最短可知，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，線段有最小值，∵a，b之間相距，∴線段的最小值為，故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．21．【分析】先根據(jù)求出的度數(shù)，進(jìn)可得出和的度數(shù)，根據(jù)和三角形的內(nèi)角和可得的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)可得．解：∵，∴，，即，，∴．∵，∴．由折疊可得：，∴．故大為：72．【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到角相等是解題的關(guān)鍵．22．/50度【分析】根據(jù)題意，得，結(jié)合，代入計(jì)算即可．解：如圖，根據(jù)題意，得，∵，∴，解得．

故答案為：50．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．77【分析】如圖所示，根據(jù)平行的性質(zhì)可以得出答案．解：如圖：

∵折疊，∴，∴，∴，∵彩帶兩邊平行，∴，∵折疊，彩帶兩邊平行，∴，∴，∴．故答案為：77．【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．24．（1）；（2）或；（3）【分析】（1）利用含有、的三角板得出，進(jìn)而求出即可；（2）分情況畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)可求解；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，得出，，，則，可得出答案．（1）解：，，，，故答案為：；（2）解：分兩種情況：①如圖，

，，，，，三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為；②如圖，

，，，，，三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為；（3）解：為定值．理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，，，，．【點(diǎn)撥】此題主要考查了角的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)及平行線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合得出等式是解題的關(guān)鍵．25．（1），，；（2）秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）和關(guān)系不會(huì)變化，理由見分析【分析】（1）根據(jù)的非負(fù)性求a，b；根據(jù)，，即可得到的度數(shù)；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，易證，即可列出，可得；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)，，即可得出，據(jù)此可得和關(guān)系不會(huì)變化．（1）解：∵，，解得，，，∵，；（2）解：設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，

，，，，，，解得，答：當(dāng)秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）解：和關(guān)系不會(huì)變化．理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

，，又，，而，，，∴和關(guān)系不會(huì)變化．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．26．感知：探究：【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．感知：過點(diǎn)作，根據(jù)豬腳模型，即可解答；探究：過點(diǎn)作，根據(jù)鉛筆模型，即可解答．解：感知：解：過點(diǎn)作，，，，，，的度數(shù)為；探究：解：過點(diǎn)作，，，，，，，故答案為：．27．（1）①；②；（2）；（3），理由見分析；（4）【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等：（1）①由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可直接求出；②由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可直接寫出；（2）由角平分線的定義可以證明，即可求出結(jié)果；（3）不變，，證，即可推出結(jié)論；（4）可先證明，由（2），可推出，可得，即可求出的度數(shù)．（1）解：①∵，∴，∵，∴；②∵，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴；（4）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，則有，∴，∴，由（2），∴，∴，故答案為：．28．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可得當(dāng)，的值最小，從而可得當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，即可解答；（2）當(dāng)時(shí)，，先利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，從而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，再利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）先利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用角平分線的定義可得，最后利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）解：∵，∴當(dāng)，即時(shí)，|的值最小，∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，∴m的值為10；故答案為：10．（2）當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為；（3）與α之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴與α之間的數(shù)量關(guān)系是：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，絕對(duì)值的非負(fù)性，以及角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（1）10；（2），見分析；（3）或【分析】（1）根據(jù)P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)PC+PD的值最小，解答即可；（2）當(dāng)t＜m時(shí)，過P在AE上，過點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，然后仿照第（2）問的證明方法，作出輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．解：（1