2024-2025學年黑龍江省哈爾濱某中學高三（上）開學數(shù)學試卷（8月份）（含答案）

2024-2025學年黑龍江省哈爾濱九中高三（上）開學

數(shù)學試卷（8月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x|log2XW1}，B=[y\y=2x,x<2},則（）

A.2UB=BB.AVJB=AC.XnB=BD.AC（CRB）=R

2.下列說法正確的是（）

A."a<b”是“工>的必要不充分條件

ab

B.“％>0”是“x>2”的充分不必要條件

C.若不等式a/+人％+。>0的解集為則必有。<0

D.命題“三16R,使得久2+1=0”的否定為“V%gR,使得%2+1H0”

3.已知函數(shù)/（%）滿足/（%）=fr（^）sinx-cosx,求f（%）在％=q的導數(shù)（）

A.<2+1B.72-1C.-2D.空C

4.函數(shù)/（久）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能為（）

xsinx+x2

A./(%)=

kl+i

xsinx-^-x

C./(x)=

kl+i

5.已知函數(shù)八>）=￡“一1）”廣9-3。，久<2,的值域為凡則實數(shù)0的取值范圍為（）

A.(2,3]B.(1,2]C.(1,3]D.[2,+oo)

6.定義在R上的奇函數(shù)/(%),滿足f(2-％)=/(%),當?shù)凇闧0,1]時，/(%)=log2(x+2)+a,若/(15)=

3/(5)+b,則a+b=()

A.3—310gB.4—3/O^2C.3—4ZO^2D.4—4Zo^2^

7.若函數(shù)/（%）=+4%一2m工有兩個不同的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,2)B.(0,1)C.(-oo,1)D.(2,+oo)

8.已知函數(shù)/(%)=彳g(%)=l%(%-2)1，若方程f(g(%))+-a=o的所有實根之和為4,則

實數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,+oo)B.[1,+co)C.(-oo,1)D.(-oo,1]

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知正數(shù)久，y滿足x+2y=L則下列說法正確的是()

A.孫的最大值為:B./+4y2的最小值為,

C.，三+J下的最大值為2肩口，+；的最小值為7+2，石

10.已知函數(shù)f(x)=等,g(x)=自若存在/e(0,+8),X2ER,使得f(久1)=g?)=緣<0)成立，則

下列結論正確的是()

A.%1+久2<1B.lnxr=%2

Cg)2d的最大值為/Dg)2d的最大值為最

11.對于任意實數(shù)％,y,定義運算“十"%十y=|%-y|+%+y,則滿足條件a十b=b十c的實數(shù)a,

b,c的值可能為()

0,3

A.a=-log050.3,b=O.4,c=log050.4

03

B.a=O.4,b=log050.4,c=—log050.3

C.a=0.09,b=費;,c=In學

oiio

D.a=質f，b=In—,c=0.09

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

口.已知函數(shù)〃%)=￡"+2),則一.

13.已知曲線f(%)=xex~r+1與直線y=k%相切，則k=.

14.已知函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8),為其導函數(shù)，若V%c(0,+8),/(X)>[/(x)-xf(x^lnx,則

不等式/(%)(e*T-1)>0的解集是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/(%)=4%+a?2%.

(1)若a=-5,求不等式/(x)W-4的解集；

(2)若)€[-2,2]時,/(久)的最小值為-1,求a的值.

16.(本小題15分)

某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時

間t之間的關系滿足如圖所示的曲線.

當t6(0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當te[14,45]時，曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0

且aH1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)p大于80時聽課效果最佳.

(1)試求p=/(t)的函數(shù)關系式；

(2)老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳？請說明理由.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(x)=x-|ax2-In(%+1),其中實數(shù)a>0.

(I)求/。)在尤=。處的切線方程；

(II)若/(尤)在[0,+8)上的最大值是0,求a的取值范圍；

(III)當a=0時，證明:/(x)>x-ex-1.

18.(本小題17分)

已知/(久)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且f(l)=l,若m、ne[-1,1],w+nKO時，有"%;⑺>

0.

(1)證明函數(shù)/(%)在[-1,1]上單調(diào)遞增；

(2)解不等式“。出。+j))<f(|)；

(3)若</一2就+1對所有與，x2e[-1,1],ae[-1,1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(%)=alnx,其中Q>0.

(1)令g(%)=/(x)-祟，討論g(%)的單調(diào)性；

(2)若對任意兩個不相等的正實數(shù)小，n,均有百方+竽>外,第;⑺,求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

1.71

2.C

3.D

4.4

5.B

6.C

7.A

8.C

9.ABD

10.ABD

11.BD

1iX2-—16

13.2

14.(1,+oo)

15.解:(1)當a=—5時,不等式/(x)W—4即為4工一5?2方+430,

所以(2》—1)(2上-4)<0,

則有1<2X<4,貝U04久W2,

故不等式f(x)<-4的解集為[0,2]；

1

(2)令t=2X,xG[—2,2]則t6[7,4],

fq

f(x)=g(t)=t2+at開口向上，對稱軸方程為t=-p

①當《<3，即a>T時，gOm譏=g(3)=2+3=T,則a=_q,不符合題意；

②當;《一344,即一84。<一:時,譏=9(一9=寧一:=一1，則a=-2；

③當—￡>4,即a<—8時，,9(0min=9(4)=16+4a=—1,則a=—?，不滿足條件.

Z4

綜上所述，a的值為-2.

16.解：(1)當te(0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，頂點坐標為(12,82),圖象過(14,81),設

1

f(t)=at2+ht+c,帶入求解，可得f(t)=—T(t-12)2+82,

4

當￡€［14,45］時,曲線是函數(shù)y=loga(t—5)+83(a>0且awl)圖象的一部分,圖象過(14,81),代入求

解可得：a=1

則/?)=logi(t-5)+83.

3

則p=f(t)/T-S+82,(te((U4D

人邛八JHog^t-5)+83,(te[14,45])

(2)由題意，指數(shù)p大于80時聽課效果最佳，

當0<tW14時，f(t)=一式-12)2+82>80,

解得12—2/2<t<14.

當te[14,45]時，f(t)=logi(t-5)+83>80,

3

解得14<t<32(3分)

綜上：可得12-<t<32.

???老師在(12-20,32)這一時間段內(nèi)安排核心內(nèi)容，學生聽課效果最佳.

17.解：(I=1—ax—

因為，(0)=0,〃0)=0，所以〃久)在x=o處的切線方程為y=o.

1_—ax2+(l—a)x_[—ax+(l—a)]x

(II)f(x)=l-

x+lx+1x+l

(i)當a=0時,/'(%)=*之0在［0,+8)恒成立，所以/'(%)在［0,+8)單調(diào)遞增,

所以/(%)在［0,+8)的最小值為/(0)=0,不符合題意(舍).

(五)當0<￡1<1時，令f'(x)>0,解得0<x<個；令/'(X)<0,解得x>

所以“X)在(0,與今單調(diào)遞增，在(寧,+8)單調(diào)遞減.

又/(0)=0,所以存在久6(0,平)，使得/(切〉0,不符合題意(舍).

(m)當a>1時，/'(%)<0在［0,+8)恒成立，

所以/(%)在［。，+8)單調(diào)遞減，則/(%)在［0,+8)的最大值為/(0)=0,符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為［1,+8).

(III)證明：當a=0時，要證/(%)=%-ln(%+1)>%-

需證g(%)=ex-1-ln(x+1)>0,

g'(%)=一擊在(_i,+8)單調(diào)遞增，又“(0)=一1<0,“(1)=1一2=：>0,

所以,存在久0e(0,1),使得g'Qo)=O,即靖。-1=4，

故當%e(-1,g)時,g'(%o)<0,g(%)單調(diào)遞減,

當久e(%o，+8)時，“(%o)>0,g(%)單調(diào)遞增，

xr

所以g(%)在(一1,+8)的最小值為g(%o)=e°~-ln(x0+1),

由e/T=得一In。。+1)=x-1,

比十，0

Iy.2

所以9(久)>gQo)=7TT+%。-1=rvr>。，

%0十J-XQ-T1

故當Q=0時，/(x)>x—e*T得證.

18.解：(1)VX「X2e[-1,1],且X[<久2，貝行01)一/(%2)=f01)+f(一久2)="?+〃_")01-久2)，

因為-14V%2<1，%]+(一汽2)。0，

由已知可得""1)十八一”2)>0,X-X<0,

X1-X2”

所以「。1)一/(久2)<0，

所以/1(%)</(久2)，

所以函數(shù)/(久)在上單調(diào)遞增；

(2)因為/(/見0+今)<6)，又/(%)在[—1]上為增函數(shù)

(1

所以一1式的2(久+2)式1

所以111,

log2(x+2)<2

解得。<x<72-i,

所以不等式的解集為［0,調(diào)-5;

⑶由/(久)在［-1,1］上為增函數(shù)，

所以/'(?max=/⑴=1，

/Wmin=f(-1)=-1，

所以―/"(久2)1</-2at+1對所有X],%2[—1,1],a6[-1,1]恒成立,

等價于y-2at+1>1對任意aG恒成立，

設g(a)=產(chǎn)一2at,對Vae[—1,1],g(a)>0恒成立，

所以]g(—1)=產(chǎn)+2亡之°

所以ig(l)=產(chǎn)一2七之0'

解得t**

b22或力40

所以力>2或t<-2或t=0,

所以實數(shù)t的取值范圍(一%一2]U{0}U[2,+8).

19.解：(l)g(%)=/(%)-舒=alnx-年，定義域為{%|%>0],

，,、_ax+l—(x-1)_a2_a(x+l)2-2x_ax2+(2a—2)x+a

g(%)=，

X(%+l)2=X(x+l)2=x(x+l)z2=%(x+l)z2

令h(%)=ax2+(2a—2)x+a,%>0,

又Q>0,

所以0(%)為開口向上的二次函數(shù)，g(0)=a>0,J=4(a-l)2-4a2=4-8a,

若4<0,即a>I，/i(x)>0恒成立，即g'(%)>0恒成立，g(%)單調(diào)遞增，

1

時

即O<a<

右4>0,2-

令h(X)=0得/=」a一廠而,久2=」a+廠%

2

%1%2=1>0，+%2=—2+->0,

所以％i>0,x2>0,

所以在(0,1-。一：1一2。)上以無)>o,g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

1—Q—V1—2(x1—Q+V1-2a、

：)上九(%)<0,g'(x)<0,g(%)單調(diào)遞減,

SC-tta

在(土安三藥,+8)上做久)>0,g'(K)>0,g(x)單調(diào)遞增,

綜上所述，當a2g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

當0<a<2時，g(x)在(0,上佇/馬)，(上哼衛(wèi),+8)上單調(diào)遞增，在(.1-0.-y11—2tz1—u+V1—2(1-1.上單調(diào)