浙江省9+1高中聯盟2024-2025學年高二上學期11月期中考試 數學（含答案）

2024學年第一學期浙江省9+1高中聯盟高二年級期中考試數學考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準考證號并核對條形碼信息；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結束后，只需上交答題卷；4.參加聯批學校的學生可關注“啟望教育”公眾號查詢個人成績分析.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.24.從兩位數中隨機選擇一個數，則它平方的個位數字為1的概率是（）A. B. C. D.5.已知函數，，且，則函數可能是（）A. B.C. D.6.已知雙曲線：，過點的直線與雙曲線交于，兩點.若點為線段的中點，則直線的方程是（）A. B.C. D.7.設空間兩個單位向量，與向量的夾角都等于，則（）A. B.C. D.8.已知函數，，則方程的實根個數是（）A.2 B..3 C.4 D.5二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.若直線：與直線：平行，則實數可能（）A.1 B.2 C.3 D.410.下列從總體中抽得樣本是簡單隨機抽樣的是（）A.總體編號為1～75，在0～99之間產生隨機整數.若或，則舍棄，重新抽取B.總體編號為1～75，在0～99之間產生隨機整數，除以75的余數作為抽中的編號.若余數為0，則抽中75C.總體編號為6001～6879，在1～879之間產生隨機整數，把作為抽中的編號D.總體編號為1～712，用軟件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的編號11.已知橢圓：，直線：，（）A.若直線與橢圓有公共點，則B.若，則橢圓上的點到直線的最小距離為C.若直線與橢圓交于兩點，則線段的長度可能為6D.若直線與橢圓交于兩點，則線段的中點在直線上三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線：，則雙曲線的離心率是______.13.已知圓：，直線，若直線與圓相切，則______.14.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則四面體的外接球的表面積為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角，，的對邊分別為，，，已知，（1）求；（2）過點作交于點，是的中點，連接.若，求的長度.16.已知點與點關于直線：對稱，圓：（），圓的半徑為，且圓與圓交于，兩點.（1）求的取值范圍；（2）當時，求的面積.17如圖，四棱錐中，底面，，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18.已知圓：，點，點是圓A上任意一點.線段的垂直平分線和半徑相交于點，與圓A交于，兩點，則當點在圓A上運動時，（1）求點的軌跡方程；（2）證明：直線是點軌跡切線；（3）求面積的最大值.19.如圖，，，垂足分別為，，異面直線，所成角為，，點，點分別是直線，上的動點，且，設線段的中點為.（1）求異面直線與所成的角；（2）求的取值范圍；（3）求四面體的體積的最大值.2024學年第一學期浙江省9+1高中聯盟高二年級期中考試數學一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】B二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】##13.【答案】9或14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【解析】【分析】（1）根據余弦定理求解即可；（2）解直角三角形得出，再由中線的向量形式平方即可得解.【小問1詳解】由題意可知，，由，故，故，又，所以，.【小問2詳解】如圖，，由（1）可知，，則，，故，因為，所以，所以，即的長度為.16.【解析】【分析】（1）求出點關于直線的對稱點為，得到圓方程，再利用兩圓位置關系得到關于的不等式組，解之即可得解；（2）先求出當時圓的圓心與半徑，從而分析得是以為頂點的等腰三角形，進而利用三角形面積公式即可得解.【小問1詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，故圓為，因為圓與圓交于，兩點，所以，解得.【小問2詳解】當時，圓：，：，故是以為頂點的等腰三角形，由（1）可知，，所以邊上的高為，所以的面積為.17.【解析】【分析】（1）先證明四邊形為矩形.再得到，運用線面平行判定可解.（2）求出兩個面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面ABCD?，所以，，由，，得；在中，，所以為正三角形，過作的垂線，垂足為，，有，，所以四邊形為矩形.故，平面.平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點，，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，，.設平面，的法向量分別為m=x,y,z，n=，，，，得，解得；，得，解得；設平面與平面的夾角大小為，則.故平面與平面的夾角的余弦值為.18.【解析】【分析】（1）根據題設得到，結合橢圓定義寫出軌跡方程即可.（2）設求出直線l的方程，然后與橢圓聯立消元，通過判別式等于零得方程有兩個相等的根即可，（3）根據面積公式列出關于的表達式，然后根據的有界性求出最值即可【小問1詳解】由線段的垂直平分線的性質可知，，故，所以點在以點A，為焦點的橢圓上，其中橢圓的長軸長為8，焦距為AB=4，短軸長，故點的軌跡方程為：.【小問2詳解】設，則有：，將代入橢圓：消去整理得，故，即所以，直線是點軌跡的切線；.【小問3詳解】由（2）可知，點到直線的距離為，點A到直線距離為，故線段，所以的面積為，當且僅當時，等號成立，所以當時，的面積的最大值為.19.【解析】【分析】（1）過點作的平行線，過點作的平行線交于點，可得是異面直線與所成的角，再根據幾何關系求解即可；（2）思路一：建立空間直角坐標系，求出點的軌跡，進而可得的取值范圍；思路二：由空間向量的線性運算可得，進而可得范圍.（3）先求得，思路一：設，，根據基本不等式求得，范圍，進而可得最大值.思路二：直接根據結合基本不等式求解即可.【小問1詳解】如圖，過點作的平行線，過點作的平行線交于點，則有是異面直線與所成的角或其補角.因為，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，因為，，所以，所以，，所以異面直線與所成的角為.【小問2詳解】如圖，過的中點分別作，的平行線，，以為坐標原點，的外角平分線、內角平分線分別為軸，軸，過點并且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系.由題意可知，，設,，則，，從而，且.所以.思路一：因為，，，所