【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)北師大版】第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（9類(lèi)壓軸題專(zhuān)練）

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（9類(lèi)壓軸題專(zhuān)練）題型一圖形的平移在三角形的證明中的應(yīng)用1．某同學(xué)在一次課外活動(dòng)中用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．該同學(xué)將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，D、(1)當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行？(2)當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？(3)在△DEF的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長(zhǎng)；如果不存在，說(shuō)明理由．2．如圖，在中，，線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，以EF為邊構(gòu)造，使，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，延長(zhǎng)BF交DH于點(diǎn)G．(1)如圖①，若點(diǎn)D恰好在AC的延長(zhǎng)線上，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合．①求證：．②若，，求DF的長(zhǎng)．(2)如圖②，將點(diǎn)F沿著B(niǎo)C邊繼續(xù)平移，此時(shí)仍成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若成立，連結(jié)AD，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD與DH的數(shù)量關(guān)系．題型二圖形的平移與平面直角坐標(biāo)系3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，其中a，b滿足a是的整數(shù)部分，在數(shù)軸上，b表示的數(shù)在原點(diǎn)的右側(cè)，離原點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)_，B點(diǎn)的坐標(biāo)_；(2)將平移到，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求三角形的面積；(3)如圖2，若C，D也在坐標(biāo)軸上，過(guò)點(diǎn)D作射線軸，P為射線上一點(diǎn)，連接，平分交于F點(diǎn)，交于E點(diǎn)，的值是否改變？若不變，求出其值；若改變，說(shuō)明理由．4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到點(diǎn)．(1)如圖，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．用含的式子表示兩點(diǎn)的坐標(biāo)．是否存在使的面積為？若存在，求出，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．(2)如圖，點(diǎn)為線段（端點(diǎn)除外）上某一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作直線交軸正半軸于，交直線于，、的平分線相交于點(diǎn)，若，請(qǐng)用含的式子表示的大小，并說(shuō)明理由．題型三圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明5．問(wèn)題提出：如圖1，在銳角等腰中，，，K是動(dòng)點(diǎn)，滿足，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，探究點(diǎn)M的位置．特例探究：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)K在上時(shí)，連接，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)K在上時(shí)，求證：M是的中點(diǎn)．問(wèn)題解決：再探究一般化情形，如圖1，求證：M是的中點(diǎn)．6．閱讀下面材料，并解決問(wèn)題：(1)如圖1等邊內(nèi)有一點(diǎn)，若點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)≌，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出________；(2)基本運(yùn)用請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題已知如圖2，中，，，，為上的點(diǎn)且，求證：；(3)能力提升如圖3，在中，，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，且，求的值．題型四圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-最值問(wèn)題7．【發(fā)現(xiàn)】如圖1，在等腰直角中，，點(diǎn)在直線上，過(guò)作于，過(guò)作于．小明通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論；

【應(yīng)用】①如圖2，在中，為針角，把邊繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，把邊繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，作于點(diǎn)于點(diǎn)，若，則___________；②如圖3，是等邊三角形紙片，將紙片折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕為．若，求的度數(shù)；【拓展】如圖4，在等腰中，兩點(diǎn)分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__________．8．如圖1，為等腰直角三角形，，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，．(1)求證：；(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，連接，使得，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接，若．求證：；(3)如圖3，點(diǎn)K在內(nèi)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫(xiě)出的值．題型五圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題9．如圖，是等腰直角三角形，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖1，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若恰為中點(diǎn)，求證：；(3)如圖2，，是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，是上的動(dòng)點(diǎn)，（為已知數(shù)），求的最小值．10．等腰和等腰如圖1放置，，．【問(wèn)題探究】（1）連接，于點(diǎn)O，請(qǐng)說(shuō)明、的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；【深入探究】（2）如圖2，連接，，若，，①則_______．②如圖3，將等腰繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)F，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)______；【遷移應(yīng)用】（3）如圖4，已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)C作直線軸，點(diǎn)D是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，則的最小值為_(kāi)______．題型六圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用11．【模型建立】如圖1，等腰直角三角形中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E．易證；(1)【初步應(yīng)用】將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)；將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______．(2)【解決問(wèn)題】已知一次函數(shù)的圖象為直線l，將直線l繞它與x軸的交點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_________________．(3)【綜合運(yùn)用】已知直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B．將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至直線，求直線的解析式．如圖2，直線在x軸上方的圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得的面積與的面積相等？若存在，求出Q的坐標(biāo)；不存在，說(shuō)明理由．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線與x軸相交于點(diǎn)C，與直線交于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．(1)求直線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，直線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與直線交于點(diǎn)F，連接，求的面積；(3)將繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為，若點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．題型七圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-對(duì)稱(chēng)問(wèn)題13．已知，點(diǎn)為平面中的一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到，且滿足，連接．

(1)如圖1，點(diǎn)在內(nèi)部，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且滿足，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；(3)如圖3，點(diǎn)Rt，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)，，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．14．如圖①，等邊中，，點(diǎn)在上，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以速度運(yùn)動(dòng)，連接OP，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(1)用含t的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D落在邊上時(shí)，求證：．(3)當(dāng)平行于的一邊時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．(4)作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，當(dāng)______秒時(shí)，點(diǎn)E恰好落在射線AC上．題型八圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-定值問(wèn)題15．如圖，點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如圖1，求a，b的值；(2)如圖2，點(diǎn)C在線段AB上（不與A、B重合）移動(dòng)，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若P為x軸正半軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線AE交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段BE和線段BQ中哪一條線段長(zhǎng)為定值，并求出該定值．題型九圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-新定義題16．某研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)《簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)》時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種特殊的四邊形，如圖1，在四邊形中，,，我們把這種四邊形稱(chēng)為“等補(bǔ)四邊形”．如何求“等補(bǔ)四邊形”的面積呢？探究一：(1)如圖2，已知“等補(bǔ)四邊形”，若，將“等補(bǔ)四邊形”繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可以形成一個(gè)直角梯形（如圖3）．若，,則“等補(bǔ)四邊形”的面積為_(kāi)探究二：(2)如圖4，已知“等補(bǔ)四邊形”，若，將“等補(bǔ)四邊形”繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再將得到的四邊形按上述方式旋轉(zhuǎn)120°，可以形成一個(gè)等邊三角形（如圖5）．若，,則“等補(bǔ)四邊形”的面積為_(kāi)．由以上探究可知，對(duì)一些特殊的“等補(bǔ)四邊形”，只需要知道，的長(zhǎng)度，就可以求它的面積．那么，如何求一般的“等補(bǔ)四邊形”的面積呢？探究三：(3)如圖6，已知“等補(bǔ)四邊形”，連接，將以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使與重合，得到，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．①由旋轉(zhuǎn)得：_，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)，B，C在同一直線上，所以我們拼成的圖形是一個(gè)三角形，即．②如圖7，在中，作于點(diǎn)H，若，，試求出“等補(bǔ)四邊形”的面積（用含m，n的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理由．

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（9類(lèi)壓軸題專(zhuān)練）答案全解全析題型一圖形的平移在三角形的證明中的應(yīng)用1．某同學(xué)在一次課外活動(dòng)中用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．該同學(xué)將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，D、(1)當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行？(2)當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？(3)在△DEF的移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長(zhǎng)；如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)12?4(2)31(3)不存在，理由見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查平移的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，結(jié)合已知條件應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)解題即可．（1）因?yàn)椤螧=90°，∠A=30°BC=6，所以AC=12，又因?yàn)椤螪=90°，∠E=45°，DE=4，所以DF=4，連接FC，設(shè)FC∥AB，則可求證∠FCD=∠A=30°，故AD的長(zhǎng)可求；（2）設(shè)AD=x，則FC2=DC2+FD2=（3）假設(shè)∠FCD=15°，因?yàn)椤螮FC=30°，作∠EFC的平分線，交AC于點(diǎn)P，則∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°所以PD=43，PC=FP=8，則PC+PD【解析】（1）解：∵Rt△ABC，∠B=90°，∠A=30°BC=6∴AC=2BC=12，∵Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，∴DF=4，如圖1，連接FC，當(dāng)FC∥AB時(shí)，∠FCD=∠A=30°，∴FC=2DF=8∴DC=∴AD=AC?DC=12?4∴當(dāng)AD=12?43時(shí)，F(xiàn)C∥AB（2）設(shè)AD=x，在Rt△FDC中，F(xiàn)當(dāng)FC為斜邊時(shí)，由AD2+B解得：x=31當(dāng)AD為斜邊時(shí)，由F得12?x2解得：x=∵DE=4∴AD=AC?DE=12?4=8，∴x=49當(dāng)BC為斜邊時(shí)，由A得，x2整理得出∶x∵Δ∴此方程無(wú)解，綜上所述：當(dāng)x=316時(shí)，以線段AD、FC、（3）不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°理由如下∶假設(shè)∠FCD=15°（如上圖2）∵∠EFC=180°?∠D?∠FCD?∠DFE=180°?90°?15°?45°=30°作∠EFC的平分線，交AC于點(diǎn)P，則∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°，∴∠FPD=30°，∴FP=2FD=8∴PD=F又∵∠CFP=∠FCP=15°∴PC=FP=8，∴PC+PD=8+4∴不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°．【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，以及角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)等等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意勾股定理的應(yīng)用和正確解出一元二次方程．2．如圖，在中，，線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，以EF為邊構(gòu)造，使，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，延長(zhǎng)BF交DH于點(diǎn)G．(1)如圖①，若點(diǎn)D恰好在AC的延長(zhǎng)線上，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合．①求證：．②若，，求DF的長(zhǎng)．(2)如圖②，將點(diǎn)F沿著B(niǎo)C邊繼續(xù)平移，此時(shí)仍成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若成立，連結(jié)AD，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD與DH的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)△HDE≌△GFD仍成立，AD＝DH【分析】（1）①由“AAS”可證△HDE≌△GFD；②由平移的性質(zhì)可得EH＝BF＝1，由勾股定理可求解；（2）由“AAS”可證△HDE≌△GFD，可得DH＝GF，通過(guò)證明，可得GF＝AH，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【解析】（1）①證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF＋∠DFC＝90°，∵∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE＋∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC，在△HDE和△GFD中，，∴△HDE≌△GFD（AAS），②∵△HDE≌△GFD，∴EH＝DG，∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EH＝BF＝1，∴DG＝EH＝1，∴DF＝；（2）△HDE≌△GFD仍成立，理由如下：∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EF＝AB，EFAB，連接AF，∴，∵EF＝AB，，∴，∴，∴AEBF，∵DH⊥AE∴DH⊥BF，∴∠HGB＝90°，∴∠HGB＝∠GDF＋∠DFG＝90°，∵∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠EDH＋∠FDG＝90°，∴∠EDH＝∠DFG，在△HDE和△GFD中，，∴△HDE≌△GFD（AAS），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，∵△HDE≌△GFD，∴DH＝GF，∵EABG，DH⊥AE，∴∠AHD＝∠BGH＝90°，∴∠HGB＝∠AFB＝90°，∴HGAF，∴，∵∠AHD＝90°,，∴∴GF＝AH，∴DH＝AH，∴AD＝DH．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了，全等三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．題型二圖形的平移與平面直角坐標(biāo)系3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，其中a，b滿足a是的整數(shù)部分，在數(shù)軸上，b表示的數(shù)在原點(diǎn)的右側(cè)，離原點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)______，B點(diǎn)的坐標(biāo)_______；(2)將平移到，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求三角形的面積；(3)如圖2，若C，D也在坐標(biāo)軸上，過(guò)點(diǎn)D作射線軸，P為射線上一點(diǎn)，連接，平分交于F點(diǎn)，交于E點(diǎn)，的值是否改變？若不變，求出其值；若改變，說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)13(3)不改變，【分析】（1）根據(jù)題中條件即可求出答案；（2）連接，先根據(jù)平移的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求解；（3）根據(jù)和得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和即可得到答案．【解析】（1）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，a是的整數(shù)部分，b表示的數(shù)在原點(diǎn)的右側(cè)，離原點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）解：連接，如圖所示，由點(diǎn)平移到點(diǎn)，由點(diǎn)平移到點(diǎn)，∴先向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，∴，∴，，∴；（3）解：如圖所示，比值不變，且；理由如下：∵，∴，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵軸，∴，即；【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問(wèn)題，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，將點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到點(diǎn)．(1)如圖，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．用含的式子表示兩點(diǎn)的坐標(biāo)．是否存在使的面積為？若存在，求出，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．(2)如圖，點(diǎn)為線段（端點(diǎn)除外）上某一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作直線交軸正半軸于，交直線于，、的平分線相交于點(diǎn)，若，請(qǐng)用含的式子表示的大小，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，；，，；(2)存在，．【分析】（）由平移的性質(zhì)得出軸，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可求出答案；求出和，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案；（）過(guò)點(diǎn)作軸，由平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得出，，利用三角形外角性質(zhì)，即可得出的度數(shù)．【解析】（1）解：∵將點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到點(diǎn)，軸，∵點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，∴，∵動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，∴；∵，，∴，，∴，∴，解得或（舍去），∴，；（2）解：存在．如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，∵，∴，∵是的角平分線，∴，又∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵軸，∴，∵，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的面積公式，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．題型三圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明5．問(wèn)題提出：如圖1，在銳角等腰中，，，K是動(dòng)點(diǎn)，滿足，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，探究點(diǎn)M的位置．特例探究：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)K在上時(shí)，連接，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)K在上時(shí)，求證：M是的中點(diǎn)．問(wèn)題解決：再探究一般化情形，如圖1，求證：M是的中點(diǎn)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握各性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．特例探究：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，依據(jù)為等腰三角形且，即可解答；（2）根據(jù)，表示出，依據(jù)線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，表示出，由證出，，即可得結(jié)論；問(wèn)題解決：連接，過(guò)點(diǎn)C作于E，過(guò)點(diǎn)B作，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，在證，，即可的結(jié)論【解析】解：特例探究（1）證明：線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，．在和中，，，．又，，，（2）在中，，，線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，，所以，，，，，即M是的中點(diǎn)．問(wèn)題解決如圖，連接，過(guò)點(diǎn)C作于E，過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于F．線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴同（1）可證得，∵，∵，，．在和中，，，在和中，，，，即M是的中點(diǎn)．6．閱讀下面材料，并解決問(wèn)題：(1)如圖1等邊內(nèi)有一點(diǎn)，若點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)≌，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出________；(2)基本運(yùn)用請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題已知如圖2，中，，，，為上的點(diǎn)且，求證：；(3)能力提升如圖3，在中，，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，且，求的值．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，再證是等邊三角形，得，，然后證，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證；（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，求出，然后求出C、O、、四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．【解析】（1）解：連接，如圖：

∵點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3、4、5，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，，，，∴，即，∵是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是直角三角形，，∴，∴；（2）證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得，，∴；（3）解：將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，如圖：在中，，∴，，∵繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，∴，∵繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴C、O、、四點(diǎn)共線，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，題型四圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-最值問(wèn)題7．【發(fā)現(xiàn)】如圖1，在等腰直角中，，點(diǎn)在直線上，過(guò)作于，過(guò)作于．小明通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論；【應(yīng)用】①如圖2，在中，為針角，把邊繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，把邊繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，作于點(diǎn)于點(diǎn)，若，則___________；②如圖3，是等邊三角形紙片，將紙片折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕為．若，求的度數(shù)；【拓展】如圖4，在等腰中，兩點(diǎn)分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__________．【答案】[發(fā)現(xiàn)]見(jiàn)解析；[應(yīng)用]①5；②；[拓展]【分析】[發(fā)現(xiàn)]由，可得，證明，進(jìn)而結(jié)論得證；[應(yīng)用]①解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，如圖2，作于，同理[發(fā)現(xiàn)]可得，則，同理，，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可；②由折疊的性質(zhì)可知，，，則，，證明是等邊三角形，則，由，可求的值；[拓展]由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，如圖4，在上取點(diǎn)，使，連接，證明，則，，，，則，，可知在與夾角為的直線上運(yùn)動(dòng)，，如圖4，作于，則，是線段最小的情況，則，由勾股定理求，然后作答即可．【解析】[發(fā)現(xiàn)]證明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，即；[應(yīng)用]①解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，如圖2，作于，∵，∴，又∵，，∴，∴，同理，，∴，∴，故答案為：5；②解：由折疊的性質(zhì)可知，，，∵，，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形，，∴，解得，，∴的度數(shù)為；[拓展]解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，如圖4，在上取點(diǎn)，使，連接，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴在與夾角為的直線上運(yùn)動(dòng)，∵，∴，∴，如圖4，作于，則，是線段最小的情況，∴，由勾股定理得，，∴線段長(zhǎng)度的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，含的直角三角形等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，含的直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．如圖1，為等腰直角三角形，，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，．(1)求證：；(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，連接，使得，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接，若．求證：；(3)如圖3，點(diǎn)K在內(nèi)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)證明，即可推出；（2）在上截取，連接與交于M，利用SAS可證得，得出，進(jìn)而可得是等腰直角三角形，再證得平分，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，即垂直平分，推出，即可證得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于S，延長(zhǎng)交于T，先證明當(dāng)點(diǎn)K在內(nèi)，的值最小時(shí)，，再運(yùn)用三角形外角性質(zhì)即可求得答案．【解析】（1）∵為等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）如圖2，在上截取，連接與交于M，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴，即，∴是等腰直角三角形，∵為等腰直角三角形，，∴，即，∴，∴平分，∴，即垂直平分，∴，∵，∴；（3）如圖3，延長(zhǎng)交于S，延長(zhǎng)交于T，以點(diǎn)H為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度到，則，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴當(dāng)共線時(shí)，的值最小，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．題型五圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題9．如圖，是等腰直角三角形，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖1，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若恰為中點(diǎn)，求證：；(3)如圖2，，是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，是上的動(dòng)點(diǎn)，（為已知數(shù)），求的最小值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，求得，進(jìn)而即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)恰為中點(diǎn)，證明，是等腰直角三角形，可得，證明進(jìn)而證明，最后證明，得出，則，即可得證；（3）過(guò)點(diǎn)作垂足為，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，則，，得出在平行于的直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，根據(jù)題意可得是等邊三角形，進(jìn)而勾股定理，即可求解．【解析】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段∴，則是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵∴，∵是等腰直角三角形，，，點(diǎn)恰為中點(diǎn)，∴∴∴又∵，∴，∴∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，則，∵是等腰直角三角形，∴，又∵∴，∴∴∴，則∴又∵，∴，∵∴在中，∴∴∴∴又∵∴（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作垂足為，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，則，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，∴，∴∴∴∴在平行于的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，如圖所示，∵，則，又，則是等邊三角形，∵∴，，，∴∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)求線段和的最值問(wèn)題，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．等腰和等腰如圖1放置，，．【問(wèn)題探究】（1）連接，于點(diǎn)O，請(qǐng)說(shuō)明、的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；【深入探究】（2）如圖2，連接，，若，，①則________．②如圖3，將等腰繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)F，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______；【遷移應(yīng)用】（3）如圖4，已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)C作直線軸，點(diǎn)D是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，則的最小值為_(kāi)．【答案】（1），；（2）①66；②或；（3）3【分析】（1）結(jié)論：．只要證明即可解決問(wèn)題；（2）①由勾股定理求得，，由，再根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；②分和時(shí)，兩種情況討論，利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解；（3）連接，在y軸下方取點(diǎn)，使，證明，當(dāng)軸時(shí)，有最小值，則有最小值，據(jù)此即可求解．【解析】解：（1）結(jié)論：，．理由：如圖1中，，，在和中，，，，，，∵∴；（2）①∵，，，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：66；②當(dāng)時(shí)，∵，，且，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∴，由（1）知，∴，∴，∴在同一直線上，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，∴，綜上，的長(zhǎng)為或；故答案為：或；（3）連接，在y軸下方取點(diǎn)，使，∵，∴，，∵線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)軸時(shí)，有最小值，則有最小值，∵過(guò)點(diǎn)作直線軸，∴，∴的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解一元二次方程．解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．題型六圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用11．【模型建立】如圖1，等腰直角三角形中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E．易證；(1)【初步應(yīng)用】將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)；將點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______．(2)【解決問(wèn)題】已知一次函數(shù)的圖象為直線l，將直線l繞它與x軸的交點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_________________．(3)【綜合運(yùn)用】已知直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B．將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至直線，求直線的解析式．如圖2，直線在x軸上方的圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得的面積與的面積相等？若存在，求出Q的坐標(biāo)；不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)的解析式為：，直線在x軸上方的圖象上存在一點(diǎn)Q點(diǎn)為，使得的面積與的面積相等【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作軸于D，過(guò)點(diǎn)A作軸于C，證明得出，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)同求點(diǎn)的方法；（2）利用（1）的結(jié)論判斷求出點(diǎn)P，E的坐標(biāo)，借助（1）的結(jié)論求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；（3）過(guò)B點(diǎn)作交于E，同（2）可求出解析式，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用的面積與的面積相等列方程即可求解．【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作軸于D，過(guò)點(diǎn)A作軸于C，如圖1，∵，∴，∵軸，軸，∴，∴，∵，∴∴，在和中，，∴；∴，∴，同求點(diǎn)的方法得，，故答案為；（2）如圖∵，令，則，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，∴直線l與y軸的交點(diǎn)，∵將直線l繞它與x軸的交點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，過(guò)點(diǎn)作軸于F，同（1）的方法得，，∴，∴，點(diǎn)E繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得，，∴直線的解析式為，故答案為：；（3）過(guò)B點(diǎn)作交于點(diǎn)C，過(guò)C點(diǎn)作軸，對(duì)于直線，令，則令，則∵直線是直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的，∴∠CAB＝45°∵∴∴,同（1）可證，∴，∴C的坐標(biāo)為設(shè)的解析式為，把代入得，，解得，故的解析式為：，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為，∴的面積為，∵的面積為，依題意得：解得，∴Q點(diǎn)為，故直線在x軸上方的圖象上存在一點(diǎn)Q點(diǎn)為，使得的面積與的面積相等【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法，一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，借助給出的結(jié)論明確思維方法是解本題的關(guān)鍵．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線與x軸相交于點(diǎn)C，與直線交于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．(1)求直線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，直線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與直線交于點(diǎn)F，連接，求的面積；(3)將繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為，若點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線AB的解析式為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(2)的面積為．(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，將，兩點(diǎn)代入解析式中，求解即可，再聯(lián)立方程組求解，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）本題考查勾股定理和勾股定理逆定理，利用直線求出點(diǎn)C，點(diǎn)E．用勾股定理求出、、，根據(jù)得出，由直線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到為等腰直角三角形，有，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．（3）本題根據(jù)點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，設(shè)，，由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可知，軸，，列出與的式子，求解即可．【解析】（1）解：設(shè)直線的解析式為，將，兩點(diǎn)代入解析式中，有，解得，直線AB的解析式為，直線與直線AB交于點(diǎn)D，，解得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（2）解：由（1）知，直線與x軸相交于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E．，，，，，即，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，的面積．（3）解：點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，且直線AB的解析式為，直線的解析式為，設(shè)，，繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，且軸，軸，，，，整理得，將其代入中，有，解得，，將代入中，有，將代入中，有，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式的求法、聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理、勾股定理逆定理、點(diǎn)到點(diǎn)的距離、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，本題難度較大，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．題型七圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-對(duì)稱(chēng)問(wèn)題13．已知，點(diǎn)為平面中的一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到，且滿足，連接．(1)如圖1，點(diǎn)在內(nèi)部，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且滿足，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；(3)如圖3，點(diǎn)Rt，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)，，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)．（1）利用證，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出，再利用等腰三角形等邊對(duì)等角求出，可得；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得出，結(jié)合，可求，在上取點(diǎn)T，使，利用證明，得出，，根據(jù)余角性質(zhì)得出，最后根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；（3）利用全等和軸對(duì)稱(chēng)，求出或，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線是一條直線，當(dāng)時(shí)，最小，是的一半．【解析】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，，∵，，，∴，∵，，∴，∵，∴，，即，又，∴，在上取點(diǎn)T，使，又，∴∴，，∴，∴，即點(diǎn)G是的中點(diǎn)；（3）解∵點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，則，∴，∵，∴，∴，①如圖3，

∵，∴．又，∴，②如圖4，

，∴或，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線是一條直線，當(dāng)時(shí)，最小，∵，∴，∴．14．如圖①，等邊中，，點(diǎn)在上，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以速度運(yùn)動(dòng)，連接OP，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(1)用含t的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D落在邊上時(shí)，求證：．(3)當(dāng)平行于的一邊時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．(4)作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，當(dāng)______秒時(shí)，點(diǎn)E恰好落在射線AC上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)的值為或(4)10【分析】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（2）由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，得，，可得，而是等邊三角形，有，故，即得，由可證；（3）當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，可得，；當(dāng)時(shí)，可得，重合，，故；（4）由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，得，，又關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，有，故，再證，，即可得，，可得，，從而．【解析】（1）解：由已知得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；；（2）證明：線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，；（3）當(dāng)時(shí)，如圖：，，，是等邊三角形，，，；當(dāng)時(shí)，如圖：，，，重合，，，綜上所述，的值為或；（4）如圖：線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，列代數(shù)式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．題型八圖形的旋轉(zhuǎn)與三角形的證明-定值問(wèn)題15．如圖，點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如圖1，求a，b的值；(2)如圖2，點(diǎn)C在線段AB上（不與A、B重合）移動(dòng)，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若P為x軸正半軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線AE交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，線段BE和線段BQ中哪一條線段長(zhǎng)為定值，并求出該定值．【答案】(1)a=2,b=2(2)CD=BD+AC．理由見(jiàn)解析(3)BQ是定值，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a-2=0，4b-8=0，求得a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到結(jié)果；（2）證明：將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBF根據(jù)已知條件得到∠DBF=180°，由∠DOC=45°，∠AOB=90°，同時(shí)代的∠BOD+∠AOC=45°，求出∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，推出△ODF≌△ODC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DC=DF=DB+BF=DB+DC；（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，由∠BAO=∠PDF=45°，得到∠PAB=∠PDE=135°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BPA=∠PED，推