2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面向量3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量3.2平面向量基本定理教師用書(shū)教案北師大版必修4

PAGE8-3.2平面對(duì)量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解平面對(duì)量基本定理及其意義．(重點(diǎn))2.能應(yīng)用平面對(duì)量基本定理解決一些實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)平面對(duì)量基本定理，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2.通過(guò)平面對(duì)量基本定理解決實(shí)際問(wèn)題，培育直觀想象素養(yǎng)．平面對(duì)量基本定理假如e1，e2(如圖①所示)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如圖②所示)，其中不共線(xiàn)的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底．思索：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何關(guān)系？[提示]由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.∵e1與e2不共線(xiàn)，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.1．設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，以下各組向量中不能作為基底的是()A.e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2[答案]B2．設(shè)O為平行四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，eq\o(AB,\s\up8(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up8(→))＝6e2，則2e1－3e2等于()A．eq\o(OA,\s\up8(→)) B．eq\o(OB,\s\up8(→))C．eq\o(OC,\s\up8(→)) D．eq\o(OD,\s\up8(→))B[如圖，eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→)))＝2e1－3e2.]3．已知向量a與b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)意(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y3[由原式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3.]4．已知向量a與b不共線(xiàn)，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋4b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－a＋9b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3a－b，則共線(xiàn)的三點(diǎn)為_(kāi)_______．A，B，D[eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up8(→))＝a＋4b，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))，所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．]對(duì)向量基底的理解【例1】設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，給出下列向量組：①eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(AB,\s\up8(→))；②eq\o(DA,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))；③eq\o(CA,\s\up8(→))與eq\o(DC,\s\up8(→))；④eq\o(OD,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))，其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④B[①eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(AB,\s\up8(→))不共線(xiàn)；②eq\o(DA,\s\up8(→))＝－eq\o(BC,\s\up8(→))，則eq\o(DA,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))共線(xiàn)；③eq\o(CA,\s\up8(→))與eq\o(DC,\s\up8(→))不共線(xiàn)；④eq\o(OD,\s\up8(→))＝－eq\o(OB,\s\up8(→))，則eq\o(OD,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→))共線(xiàn)．由平面對(duì)量基底的概念知，只有不共線(xiàn)的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基底，故①③滿(mǎn)意題意．]考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線(xiàn)．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上隨意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線(xiàn)性表示出來(lái)．1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線(xiàn)性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.eq\f(2,3)－eq\f(1,3)[由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb.因?yàn)閍＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2由平面對(duì)量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3)．))]用基底表示向量【例2】設(shè)M、N、P是△ABC三邊上的點(diǎn)，它們使eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，試用a，b將eq\o(MN,\s\up8(→))、eq\o(NP,\s\up8(→))、eq\o(PM,\s\up8(→))表示出來(lái)．[解]如圖，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))－eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a.同理可得eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b.eq\o(PM,\s\up8(→))＝－eq\o(MP,\s\up8(→))＝－(eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)基底進(jìn)行表示，轉(zhuǎn)化時(shí)肯定要看清轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，同時(shí)結(jié)合實(shí)數(shù)與向量積的定義，牢記轉(zhuǎn)化方向，把未知向量逐步往基底方向進(jìn)行組合或分解．2.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，試用a，b表示eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(MN,\s\up8(→)).[解]如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形．則eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a；eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(NC,\s\up8(→))－eq\o(NB,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝b－eq\f(1,2)a；eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))－eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))＝－eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\f(1,4)a－b.平面對(duì)量基本定理應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．假如e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，則與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a，能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？[提示]能．依據(jù)是平面對(duì)量基本定理．2．假如e1，e2是共線(xiàn)向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？[提示]不肯定．當(dāng)a與e1，e2中的一個(gè)非零向量共線(xiàn)時(shí)可以表示，否則不能表示．3．基底給定時(shí)，向量分解形式唯一嗎？[提示]向量分解形式唯一．【例3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN.[思路探究]以eq\o(BM,\s\up8(→))與eq\o(CN,\s\up8(→))為基底利用平面對(duì)量基本定理求解，解題時(shí)留意條件A、P、M和B、P、N分別共線(xiàn)的應(yīng)用．[解]設(shè)eq\o(BM,\s\up8(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up8(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CN,\s\up8(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分別共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AM,\s\up8(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up8(→))＝μeq\o(BN,\s\up8(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＝2e1＋3e2，由平面對(duì)量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)．))∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up8(→))，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.1．(變?cè)O(shè)問(wèn))在本例條件下，若eq\o(CM,\s\up8(→))＝a，eq\o(CN,\s\up8(→))＝b，試用a，b表示eq\o(CP,\s\up8(→)).[解]由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up8(→))，eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up8(→))＝b＋eq\f(2,5)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CN,\s\up8(→)))＝b＋eq\f(4,5)a－eq\f(2,5)b＝eq\f(3,5)b＋eq\f(4,5)a.2．(變條件)若本例中的點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，其它條件不變，求AP∶PM與BP∶PN.[解]如圖，設(shè)eq\o(BM,\s\up8(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up8(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－2e2－e1，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CN,\s\up8(→))＝2e1＋e2，∵A，P，M和B，P，N分別共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AM,\s\up8(→))＝－λe1－2λe2，eq\o(BP,\s\up8(→))＝μeq\o(BN,\s\up8(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＝2e1＋2e2，由平面對(duì)量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,2λ＋μ＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)．))∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BN,\s\up8(→))，∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.用向量解決平面幾何問(wèn)題的一般步驟(1)選取不共線(xiàn)的兩個(gè)平面對(duì)量作為基底．(2)將相關(guān)的向量用基底向量表示，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題．(3)利用向量學(xué)問(wèn)進(jìn)行向量運(yùn)算，得出向量問(wèn)題的解．(4)再將向量問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解．1．對(duì)基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：①一組基底是兩個(gè)不共線(xiàn)向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線(xiàn)是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)表示全部向量的一組基底的條件．(2)零向量與隨意向量共線(xiàn)，故基底中的向量不能是零向量．2．精確理解平面對(duì)量基本定理(1)平面對(duì)量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線(xiàn)的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面對(duì)量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)囊唤M基底，將問(wèn)題中涉及的向量向基底化歸，使問(wèn)題得以解決．1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨意兩個(gè)向量都可以作為基底． ()(2)平面對(duì)量的基底不是唯一的． ()(3)零向量不行作為基底中的向量． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列關(guān)于基底的說(shuō)法正確的是()①平面內(nèi)不共線(xiàn)的隨意兩個(gè)向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線(xiàn)性分解形式也是唯一確定的．A．① B．②C．①③ D．②③C[零向量與隨意向量共線(xiàn)，故零向量不能作為基底中的向量，故②錯(cuò)，①③正確．]3．已知向量e1，e2不共線(xiàn)，實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)意(2x－3y)e1＋(3x－4y)e