2024年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：“垂美”四邊形（解析版）

大招垂美四邊形模型

模型介紹

13結(jié)論：對角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，如圖所示則有：AB2+CD2=AD2+BC2

【證明】'：AC±BD,

：.ZAOD^ZAOB^/BOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得：

AB2+CD1=Ad1+BO2+CO2+DO2,

ADr+BC2^AC^+DC^+BC^+CO1,；.AB1+CD1=AD1+BC2

團(tuán)方法點(diǎn)撥

①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等;

②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形

例題精講

【例1].如圖，在四邊形ABC。中，ACLBD,若42=5愿，AD=5?CD=12,則BC

=13.

解：設(shè)AC,BD交于點(diǎn)0,

；ACLBD,AB=5y/3,AD=5?,CD=12,

；Q2+OB2=75,OA2+OQ2=50,o￡>2+oc2=i44,BC2=OB2+OC2,

OA2+(9B2+OD2+(9C2-(OA2+OD2)=OB2+(9C2=169,即BC2=169,

；.8C=13.

故答案為：13.

A變式訓(xùn)練

【變式1T】.如圖，在△ABC中，AD,8E分別是BC,AC邊上的中線，且垂

足為點(diǎn)尸，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則下列關(guān)系式中成立的是()

A.cr+b2=5c1B.a2+b2=4c1C.a2+b2=3c2D.a1+b2=2c2

解：連接。E,如圖，

設(shè)EF=x,DF=y,

,：AD,BE分別是BC,AC邊上的中線,

DE為AABC的中位線，

J.DE//AB,DE=—AB,

2

.EF=DF=DE=1

"BFAFAB2"

：.AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

\'ADLBE,

：.ZAFB=NAFE=NBFD=90°,

在RtZkAfS中，4x2+4y2=c2,①

22

在中，?+4y=A/?,②

在RtZ\2Fr)中，4/+丫2=工/,③

4

22

②+③得5f+5y2=JL(a+b),

4

：.4x2+4y2=—(a2+b2),④

5

①-④得c2--(/+必)=0,

5

即cr+b2=5c2.

故選：A.

【變式1-2].如圖，四邊形ABC。是圓。的內(nèi)接四邊形，請回答下列問題:

(1)若AB〃CD,求證：弧80=弧AC

(2)若8=4,圓。的半徑為3,求的長;

(3)在(2)的條件下求B42+p82+pc2+PZ)2的值.

(1)證明：?:ABHCD,

：.ZBAC=ZACD,

BC=AD,

BC+AB=AD+AB,

...弧30=弧AC；

(2)解：過點(diǎn)。作OELCO于點(diǎn)E,作直徑CR連接型，F(xiàn)D,如圖:

,?OE_LCD于點(diǎn)E,

為中點(diǎn)，CE=Z)E=~1CO』X4=2,

22

:圓。的半徑為3,

°E=Voc2-CE2=VS2-22=遙，

:。為C尸中點(diǎn)，E為cr＞中點(diǎn)，

:.DF=2OE=2娓,

是O。直徑，

：.ZCAF^9Q°,ACLAF,

'：AC±BD,

：.BD//AF.

：.ZADB=ZFAD,

.\DF=AB,

尸=2遙；

(3)解：?.,AC_LBD于點(diǎn)P,

：.AB2=PA2+PB2,CD1=PC2+Pb2,

PA2+PB2+PC2+PD1=AB2+CD2,

由(2)知48=2泥，CD=4,

：.AB2+CD2=(2V5)2+42=36,

...B42+PB2+PC2+P￡>2=36.

證明：過點(diǎn)尸作E凡LAB交AO于點(diǎn)凡0C于點(diǎn)E；過點(diǎn)P作GHLA。交于點(diǎn)G,

CB于點(diǎn)H.則FA=DE,FP=HB,CH=EP,HP=EC.

：.P^+PC1=F^+FP1+CH1+HP2

=DE2+HB2+EP2+HP2

=PB2+PD2,

:.PA2+PC2=PB2+PD2,

.?.22+42=32+PZ)2,

.*.PD=Vn.

故答案為J五.

A變式訓(xùn)練

【變式27].對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四

邊形ABCD,對角線AC、BD交于點(diǎn)、O.若AD=疵,BC=3&,則482+“)2=23.

解：'JACLBD,

：.ZBOC^ZCOD^ZDOA^ZAOB=90°,

：.OB2+OC2=BC2,OA1+OD1=AD2,OB2+OA2=AB2,OC2+OD1=CD2,

：.AB2+CD2=OB1+O^+OC1+OD2=BC2+AD2,

VAD=V5，BC=3?

：.BC2+AD2=(3&)2+(遙)2=18+5=23,

：.AB2+CD2=23,

故答案為：23.

【變式2-2].如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4,若AC,BC邊上的中線BE,AD垂直

相交于。點(diǎn)，則42=_'而_.

AEC

解：'：AD.BE為AC,8C邊上的中線，

：.BD=^BC=2,AE=』AC=3,點(diǎn)。為△ABC的重心，

222

：.AO=2OD,0B=20E,

"JBELAD,

：.BO2+OD2=BD1=4,OE1+Ab2=AE2=^-,

4

.,.BO2+AAO2=4,1BO1+AO2=^-,

444

；.^!-BO2+—AO2^—,

444

：.BO2+AO2=5,

.,.AB=^BQ2+AQ2=75,

故答案為

1.兩個矩形，小矩形繞著公共點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時，求BE^+DK1

的值.

解：?；NBCD=/KCE=90°,

：.ZBCK=ZDCE,

vBC6_3CK_4.53

乂?=------，-=—，

DC84CE64

.BC=CK

"CDCE'

：.4BCKS叢DCE,

:.NCBK=NCDE,

:ZCBK+ZKBD+ZBDC=90°,

:.NCDE+/KBD+/BDC=90°,

ZDOB=90°,

：.Of^+DO1=DK2,BO^+OE2=BE2,

：.BE^+DK2=Of^+EC^+DC^+BO1=BD^+KE2=AB2+AD2+KF2+KE2=36+64+36+20.25=

156.25.

2.如圖，在四邊形ABCD中，對角線分別為AC,BD,且于點(diǎn)O,若AO=2,BC

=6,則A#+CD2=40.

解：在RtZkAB。與RtZkCDO中，由勾股定理得,

AB2=BO2+AO1,

CD2=CO2+DO2,

：.AB1+CD2=BO1+cd1+Ad2+DO2,

在RtZ\20C與RtZWOD中，由勾股定理得，

BC2=BO2+CO2,

AD2=AO2+DO2,

：.AB2+CD2=BC2+AD2=62+22=40,

故答案為：40.

3.如圖，在RtZXABC中，/BAC=90°,M、N是BC邊上的點(diǎn)，BM=MN=NC,如果AM

—4,AN—3,則MN—_遍_.

B

AC

解：過M,N分別作AC的垂線MD和NE,作NOLMO,D、E、O為垂足，則MD=2NE,

AE=2AQ,如圖，

可得AM2=AD1+MD2,AN1=AE^+N伊,

解得A￡>2=4,"伊=旦，

33

■:EN為叢CDM的中位線，所以MD=2NE,

'：NO±MO,MDLED,

四邊形ODEN為平行四邊形，即OD=NE,

：.MO=NE,ON=DE,

MN=VMO2+NO2=聘隹=VB.

故答案為

B

ADEC

4.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，連接EC,FD,

點(diǎn)G、”分別是EC,ED的中點(diǎn)，連接GH,則GH的長度為亞.

—2―

解：連接C8并延長交AD于尸，連接PE,

E

G7^<J

BFC

:四邊形ABC。是正方形，

/A=90°,AD//BC,AB=AO=2C=2,

'：E,尸分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，

.*.A￡=CF=AX2=1,

2

'JAD//BC,

：.NDPH=NFCH,

,：ZDHP=ZFHC,

,:DH=FH,

.".△PDH^ACFH(AAS),

：.PD=CF=1,

：.AP=AD-PD=1,

???PE=VAP2+AE2=近'

?.?點(diǎn)G,H分別是EC,陽的中點(diǎn)，

.?.G/f=』EP=亞.

22

5.如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形A8C。中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABC。是垂

美四邊形嗎？請說明理由；

(2)性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點(diǎn)0.猜想：AB2+CD2

與AO2+8C2有什么關(guān)系？并證明你的猜想.

(3)解決問題:如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG

和正方形連結(jié)CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長.

解：(1)四邊形ABC。是垂美四邊形.

理由如下：如圖2,連接AC、BD,

圖2

'：AB^AD,

...點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，

"：CB=CD,

...點(diǎn)C在線段8。的垂直平分線上，

直線AC是線段BD的垂直平分線，

J.ACLBD,即四邊形ABCD是垂美四邊形;

(2)AB2+CD1=AD1+BC2,

理由如下：

如圖1中，

AZAOD^ZAOB=ZBOC^ZCOD^90°,

由勾股定理得，AD^BC2^AC^+DC^+BC^+CO1,

AB2+CD1^ACP+BCP+CCP+DO1,

:.AD1+BC2=AB2+CD2；

圖3

正方形ACFG和正方形ABDE,

：.AG=AC,AB=AE,ZCAG^ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

在△GAB和△口!￡■中,

，AG=AC

-ZGAB=ZCAE,

AB=AE

：.^GAB^/\CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

VZAEC+ZAME=90°,

：.ZABG+ZAME=90°,

ZAME=ZBMN,

：.ZABG+ZBMN^9Q°,

即CELBG,

，四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2,

'：AC=4,AB=5,

BC=VAB2-AC2=VB2-42=3,

CG=VAC2+AG2=V42+42=4我'BE=VAB2+AE2=A/52+52=5近’

.?.G￡2=CG2+B￡2-CB2=(4&)2+(5A/2)2-32=73,

--.GE=V73.

6.如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

(1)性質(zhì)探究：如圖1.已知四邊形ABC。中，ACXBD.垂足為。，求證：AB2+CD2

^AD^+BC2.

(2)解決問題：已知A8=5祀.BC=4叵,分別以△ABC的邊8c和AB向外作等腰

RtABCE和等腰RtAABZ)；

①如圖2,當(dāng)/ACB=90°,連接。E,求。E的長；

②如圖3.當(dāng)NACBW90°,點(diǎn)G、”分別是A。、AC中點(diǎn)，連接GH.若GH=2星),

解：(1)如圖1,:四邊形ABC。中，ACLBD,

：.ZAOB^ZCOD=ZBOC^ZA0D^9Q°,

：.AB1=O^+OB1,CD1=OC1+OD1,BC2=OB2+OC2,AD1=OA2+OD1,

：.AB1+CD2^OA1+OB2+OC2+Ob1,B^+AD1=(?B2+OC2+OA2+O￡)2,

：.AB1+CD2=AD1+BC2；

(2)如圖2,延長CB交。E于M,過點(diǎn)。作。NJ_CB于M

又?.?等腰RtzYBCE和等腰RtZ\AB。，AB=5近,BC=4近,NACB=90°,

:.NACB=NBND=/CBE=/ABD=NEBN=90°,AB=BD=5?BC=BE=4?

：.ZABC+ZBAC=90°,/ABC+NDBN=9Q°,AC=^/Ag2_BC2=372，

：.ZBAC=ZDBN,

在△ACB和△8N￡)中，

,ZACB=ZBND

<ZBAC=ZDBN,

AB=BD

:.△ACB9ABND(AAS),

:.BC=DN=BE=4?,AC=BN=3近,

在和LEBM中,

，ZDMN=ZEMB

，ZDNM=ZEBM,

DN=EB

:.△DNMQ2EBM(AAS),

:.MN—MB-1BN-1X3&-,MD=ME=LDE,

2222

在RtaEWM中，/MND=90°,

M￡)=VMN2+DN2=(-^-^-)2+(4V2)2=-yVl46-

:.DE=2MD=3146；

(3)如圖3,ZACB^90°,分別過點(diǎn)A、D作4M_LCB于點(diǎn)Af,DNLCB于點(diǎn)、N,連

接DC,

又：等腰RtZVBCE和等腰RtZkABD,AB=5五,BC=4&,

:.NAMB=/BND=NCBE=NABD=90°,AB=BD=5?,BC=BE=4近,

：.ZABC+ZBAM=90°,ZABC+ZDBN=90°,

：.ZBAM=ZDBN,

在△AMB和△BN￡>中，

'NAMB=/BND=90°

-ZBAH=ZDBN,

AB=BD

:.△AMB/ABND(A4S),

：.BM=DN,AM=BN,

設(shè)AM=BN=尤，則CN=BC+BN=4我+x,

■:點(diǎn)、G、H分別是A。、AC中點(diǎn)，連接GH、DC,GH=2遍,

:.DC=2GH=4瓜,

在Rt/\DNC和Rt^DNB中，由勾股定理得：

DN2=DB2-BN2,DN2=DC2-CN2,

：.DB2-BN2=DN2=DC1-CN1,即(5A/2)2-^=(4加)2(4-72+-r)2

解得：尤=22巨，即AM=BN=X=&0,

88

/.SAABC=—BC?AAf=Ax4V2X^^-=—.

2282

圖1

7.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是

垂美四邊形的是菱形，正方形.

（2）性質(zhì)探究：如圖2,已知四邊形ABC。是垂美四邊形，試探究其兩組對邊AB,CD

與BC,之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

（3）問題解決:如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG

和正方形48OE,連接CE,BG,GE,CE交AB于點(diǎn)M,已知AC=4,AB=5,求GE

的長.

解：（1）:?菱形、正方形的對角線垂直,

菱形、正方形都是垂美四邊形，

故答案為：菱形，正方形；

（2）猜想：AL^+B^A^+CD2.

理由如下：連接AC,8。交于點(diǎn)0,

圖2

V四邊形ABCD是垂美四邊形，

：.AC.LBD,

：.ZA0D=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理，得

AB1+Cb1=Ad1+BO1+Cd1+Dd1,

2222

.*.Ar>+BC=AB+CD;

(3)連接CG,BE,

BD

'：ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

在△GAB和△CAE中，AG=AC,ZGAB=ZCAE,AB=AE,

:.4GAB沿4CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

又；NA￡C+/AME=90°,

AZABG+ZAME=9Q°,

又；NBMC=NAME,

：.ZABG+ZBMC=90°,

J.CELBG.

/.四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)可知CG2+BE1=CB2+GE1,

'：AC=4,AB=5,

由勾股定理，得CB?=9,CG2=32,BE2=50,

G￡2=CG2+BE2-CB2=73,

.?.GE=V7§.

8.定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

(1)下面四邊形是垂等四邊形的是④；(填序號)

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)圖形判定：如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,AC±BD,過點(diǎn)。作2。垂線交

8c的延長線于點(diǎn)E,且NQ8C=45°,證明：四邊形ABC。是垂等四邊形.

(3)由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應(yīng)用：

在圖2中，面積為24的垂等四邊形A8C。內(nèi)接于。。中，/BCD=60°.求。。的半徑.

解：(1)①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四邊形;

②矩形對角線相等但不一定垂直，故不是垂等四邊形；

③菱形的對角線互相垂直但不一定相等，故不是垂等四邊形；

④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；

故選：④；

(2)'：AC±BD,EDLBD,

：.AC//DE,

又?：

四邊形ADEC是平行四邊形，

：.AC=DE,

又8c=45°,

ABDE是等腰直角三角形，

：.BD=DE,

C.BD^AC,

又

四邊形ABCD是垂等四邊形；

(3)如圖，過點(diǎn)。作OE_L8O,連接?！?gt;,

?；四邊形ABCD是垂等四邊形,

：.AC=BD,

又???垂等四邊形的面積是24,

：.^AC'BD=24,

2

解得，AC=BD=4-/3,

又：NBCD=60°,

ZD0E=6Q°,

設(shè)半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得：

在△ODE中，OD=r,DE=2^，

?lDE—第

sin60°M

二。。的半徑為4.

9.定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點(diǎn)稱為和美四邊形的

中心.

（1）寫出一種你學(xué)過的和美四邊形正方形；

（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是A.

A.矩形B.菱形C.正方形D.無法確定

（3）如圖1,點(diǎn)。是和美四邊形ABC。的中心，E、F、G、X分別是邊A3、BC、CD、

D4的中點(diǎn)，連接OE、OF、OG、OH,記四邊形AEOH、BEOF.CGOF、O”O(jiān)G的面積

為Si、52、S3、S4,用等式表示Si、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系（無需說明理由）

（4）如圖2,四邊形A8CZ）是和美四邊形，若48=3,BC=2,CO=4,求的長.

解：（1）正方形是學(xué)過的和美四邊形，

故答案為：正方形；

（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，

故選：A.

（3）由和美四邊形的定義可知，ACL8D,

則/AO8=N8OC=NCOD=NDOA=9（r,又E、F、G、“分別是邊AB、BC、CD、

DA的中點(diǎn)，

.?.△AOE的面積=/\20￡的面積，△BO/的面積=/\。0尸的面積，△COG的面積=△

DOG的面積，△￡>OH的面積的面積，

：.S\+Si=/\AOE的面積+ZXCO尸的面積+ZkCOG的面積+Z\A?！钡拿娣e=62+84；

（4）如圖2,連接AC、8。交于點(diǎn)0,則ACLBD,

?.,在RtZ\AOB中，AO1=AB1-BO1,RtZiDOC中，DO2=DC2-CO2,A8=3,BC=2,

CD=4,

AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB1+DC2-8c2=32+42-22=21,

即可得AO=ai.

10.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）寫出2個所學(xué)的特殊四邊形是垂美四邊形：菱形，正方形.

（2）性質(zhì)探究：

已知：如圖1,四邊形ABC。是垂美四邊形，對角線AC、2。相交于點(diǎn)O.猜想：AB2+Cr>2

與AU+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想.

（3）問題解決：

如圖2,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作等腰RtAACG（NGAC=

90°）和等腰RtZkABE（NA4E=90°）,連接GE,GB,CE,已知AC=2,AB=5.求

GE的長.

解：（1）:菱形和正方形的對角線互相垂直,

菱形和正方形都是垂美四邊形，

故答案為：菱形，正方形；

(2)AB2+CD2=AD2+BC2,理由如下：

?/四邊形ABCD是垂美四邊形，

C.ACLBD,

。屋+0^2=人小，。￡)2+0。2=CD2,

AOA2+OB2+OD1+OC2=Cb2+AB2,

：.AIJ^+BC1=CD2+AB2；

(3)'：ZGAC=ZBAE,

：.ZGAB=ZCAE,

：AC=AG,AB^AE,

」.△GA跆△CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

設(shè)CE與BG交于H點(diǎn)，CE與42交于。點(diǎn),

：.ZBHC=ZOAE=90°,

J.BGLCE,

四邊形BCGE是垂美四邊形，

z.CG2+BE1=BC1+EG2,

\'AC=2,AB=5.

由勾股定理得，CG2=8,BE2=50,8c2=21,

.*.EG2=8+50-21=37,

■:EG>3

：.EG=y/37.

11.如圖1，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用Si、S2、

S3表示，則不難證明S1=S2+S3.

(1)如圖2,分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用Si、

S2、S3表示，那么Si、S2、S3之間有什么關(guān)系？(不必證明)

(2)如圖3,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用Si、

S2、S3表示，請你確定Si、8、S3之間的關(guān)系并加以證明.

(3)四邊形A3。的對角線互相垂直，現(xiàn)以四邊形的邊長為邊長向外作四個正方形，面

積分別為Si、S2、S3、S4.則S1、52、S3和S4之間的關(guān)系是S1+S3=S2+S4.

解：(1)如圖(2),分別以Rt^ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用Si、S2、

S3表示，那么S1=52+53,

理由為：在RtAABC中，利用勾股定理得：AB2=AC2+BC1,

：.—AB2=—AC2+—BC2,即Si=S2+S3;

888

(2)如圖(3),分別以三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用Si、S2、

S3表示，Si、％、S3之間的關(guān)系為S1=S2+S3,

理由為：在RtZWBC中，利用勾股定理得：AB2=AC2+BC2,

.?.返4B2=Y3_AC2+運(yùn)8c2,即Si=S2+S3.

444

(3)由(2)可知：51+53=52+54

故答案為：S1+S3=S2+S4.

12.定義：若一個圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為圓美四邊形.

(1)請你寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是圓美四邊形的圖形的名稱正方形；

(2)如圖1,在等腰RtZXABC中，ZBAC=90°,經(jīng)過點(diǎn)A、8的圓交AC邊于點(diǎn)

交8c邊于點(diǎn)E,連結(jié)QE.若四邊形ABE。為圓美四邊形，求細(xì)■的值；

DE

(3)如圖2,在△A8C中，經(jīng)過A、8的圓交AC邊于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,連結(jié)AE,

BD交于點(diǎn)F.若在四邊形AB即的內(nèi)部存在一點(diǎn)P,使得NPBC=NAOP,連結(jié)PE交

30于點(diǎn)G,連結(jié)E4,若B4_LP。，PB±PE.求證：四邊形A8即為圓美四邊形.

(1)解：根據(jù)圓美四邊形的定義知，正方形是圓美四邊形,

故答案為：正方形；

(2)解：連接BD,AE,

.?.2。為。。的直徑，

；?/BED=NCED=90°,

???四邊形ABED為圓美四邊形，

：.BDA.AE,

：.ZABD+ZBAE=90°,

9：ZCAE+ZBAE=90°,

/.ZABD=ZCAE,

/.AD=DE,

：.AD=DE,

在等腰直角△<?￡>￡中，CD=?DE,

:.CD=?AD,

：.AC=（V2+1）AD,

\'AB^AC,AD=DE,

.?.黑=&+1;

DE

(3)證明："：PA±PD,PB±PE,

；.NAPD=/BPE=90°,

,/ZPBC=ZADP,

：.AAPD^AEPB,

.AP=PD

"EPPB'

.AP=EP

"PD麗，

又ZAPD+/DPE=ZBPE+ZDPE,

即NAPE=NOPB,

△APEs^DPB,

：.ZAEP=ZDBP,

又；/DBP+/PGB=90°,NPGB=NEGF,

：.ZAEP+ZEGF=9Q°,

即/BFE=90°,

J.BDLAE,

又B,E,。在同一個圓上，

四邊形ABED為圓美四邊形.

13.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形ABCQ中，AB=AD,CB=CD,問四邊形A8CD是垂

美四邊形嗎？請說明理由；

(2)性質(zhì)探究：經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，垂美四邊形A8CD兩組對邊AB,CD與BC,之間有

這樣的數(shù)量關(guān)系：AB2+CD2=AD2+BC2,請寫出證明過程；(先畫出圖形，寫出已知，求

證)

(3)問題解決:如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG

和正方形A2DE,連接CE,BGGE.已知AC=4,A2=5,求GE長.

解：(1)解：四邊形ABC。是垂美四邊形.

理由如下：如圖2,連接AC、BD,

圖2

\'AB=AD,

點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，

,:CB=CD,

.:點(diǎn)C在線段的垂直平分線上，

直線AC是線段3。的垂直平分線，

：.AC±BD,即四邊形ABC。是垂美四邊形;

(2)證明：如圖1中，設(shè)AC交8。于點(diǎn)0.

VACXBD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

:.AD2+BC2^AB2+CD2；

圖3

正方形ACFG和正方形ABDE,

：.AG=AC,AB=AE,ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NGAB=NCAE,

在△G42和△CAE中，

AG=AC

-ZGAB=ZCAE,

AB=AE

.'.△GAB當(dāng)ACAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

VZAEC+ZAME=90°,

：.ZABG+ZAME=90°,

??ZAME=NBMN,

:./ABG+/BMN=90°,

即CE±BG,

四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)得，CG2+BE1=CB2+GE1,

：AC=4,A2=5,

BCVAB2-AC2=VB2-42=3'

CG=VAC2+AG2=山2+42=4&'BE=q/=62+52=5加，

.*.G￡2=CG2+B￡2-CB2=(4&)2+(5A/2)2-32=73,

:.GE=4T3.

14.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的有菱形和

正方形；

(2)如圖2,垂美四邊形ABCD兩組對邊A8、CD與BC、AO之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

寫出你的猜想，并給出證明；

(3)如圖3,分別以Rt^ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方

形ABDE,連接CE,BG,GE,CE與8G交于點(diǎn)O,已知AC=3,AB=5,求△OGE的

中線08的長.

解：(1).??菱形、正方形的對角線垂直,

菱形、正方形都是垂美四邊形.

故答案為：菱形和正方形.

(2)猜想：AQ2+8C2=AB2+CO2.

理由：'JACLBD,

：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理，A￡>2+BC2=AO2+Z)O2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2^AB2+CD2.

(3)連接CG、BE,設(shè)AB,CE交于點(diǎn)M,

圖3

'：ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即/GAB=/CAE,

;在△G42和△CAE中，

，AG=AC

<ZGAB=ZCAE,

AB=AE

.,.△G42注△CAE(SAS),

/ABG=ZAEC,

5LZAEC+ZAME=90°,

AZABG+ZAME=90°,即CE_LBG,

/.四邊形CGEB是垂美四邊形，

ACG2+BE1=CB2+GE2,

VAC=3,AB=5,

.,.BC=^AB2_AC2=4,CG=?AC=3?,BE=?AB=5?

：.GE2=CG2+BE2-*=18+50-16=52,

：.GE=2-J13,

：.OH=^GE=-/13.

2

15.數(shù)學(xué)活動：圖形的變化

問題情境：如圖(1),△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,E是AC邊上的一個動

點(diǎn)（點(diǎn)E與A,C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角△￡€!）,NECD=9Q°,

連接BE,AD.猜想線段BE,AD之間的關(guān)系.

（1）獨(dú)立思考：請直接寫出線段BE,AD之間的關(guān)系；

（2）合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖（1）中的等腰直角繞著點(diǎn)

C順時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖（2）的位置，BE交AC于點(diǎn)H,交AO于點(diǎn)。（1）中的結(jié)論

是否仍然成立，請說明理由.

（3）拓展延伸：“科技”小組將（2）中的等腰直角AABC改為RtZXABC,ZACB=90°,

AC=8,BC=6,將等腰直角△ECD改為Rtz\EC￡>,NECD=90：8=4,CE=3.試

猜想瓦冒+入爐是否為定值，結(jié)合圖u）說明理由.

解：(1);△ABC和△CCE都是等腰直角三角形,

：.BC=AC,CE=CD,ZBCE=ZACD=90°,

:.△BCEQAACD,

：.BE=AD,ZCEB=ZCDA,

'：ZCBE+ZCEB=9Q°,

：.ZCBE+ZCDA^9Q°,

C.BELAD,

(2)BE=CD,BE.LAD,

理由：:△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°

：.AC=BC,

「△CDE是等腰直角三角形，ZECD=90°,

：.CD=CE,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

：./\BCE^/\ACD,

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

■:NBHC=NAHO,/CBH+NBHC=90°,

：.ZCAD+ZAHO=90°,

AZAHO=90°,

J.BELAD-,

即：BE^AD,BE±AD；

(3)是定值，

理由：VZ￡CZ)=90o,ZACB=90°,

NACB=NECD,

：.ZACB+ACE=ZECD+ZACE=90°,

NBCE=ACD,

VAC=8,BC=6,CD=4,CE=3,

.BCCE=3

""AC'CDT

：.ABCEsL