極值點偏移（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第21講極值點偏移

知識梳理

1、極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函

數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)/(X)在x=x0處取得極值，且函數(shù)y=/(x)與直線y=b交于

/(石1),5。2,3兩點，則AB的中點為M(三產(chǎn)㈤，而往往與w土產(chǎn)。如下圖所示。

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間僅))內(nèi)只有一個極值點飛,方程/(X)

的解分別為X]、x2，且a<$<*2<6,(1)若“1；%//,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

(七,X2)上極值點X。偏移；(2)若為；〉2〉X。,則函數(shù)了=/(工)在區(qū)間(X],%2)上極值點

/左偏，簡稱極值點與左偏；(3)若/72<%,則函數(shù)y=/(》)在區(qū)間(西,*2)上極

值點X。右偏，簡稱極值點X。右偏。

2、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下：(1)

定函數(shù)(極值點為X。)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點

X0.

(2)構(gòu)造函數(shù),即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)R(x)=/(x)-/(2x0-x)，若證X1/〉x：，

則令/x)=/(x)—/(%).

(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)b(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出/(%)與/(2x0-x)的大

1

小關(guān)系.

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/(x)的單調(diào)性，將/(x)與/(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與

2x0-x之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.

【注意】若要證明/[±的符號問題，還需進(jìn)一步討論土產(chǎn)與X0的大小，得

出土士邃所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù).

2

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，

它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無

關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難

為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧

和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解

題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，

有著非凡的功效

3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式卮＜廣三二＜色至證明極值點偏移：

]nxi-lnx22

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到戶+-;

In芭-Inx2

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)

的單調(diào)性證明題中的不等式即可.

必考題型全歸納

題型一：極值點偏移:加法型

例1.(2024?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)=aeR

⑴若。=2,求的單調(diào)區(qū)間；

Itny+1

(2)若a=l,Ax?是方程〃x)=上^的兩個實數(shù)根，證明：X,+X2＞2.

e

2

例2.(2024?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/lnx-a(aeR).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

/、2

(2)若函數(shù)7'(x)有兩個零點不、X?,證明1＜七+%＜不.

例3.(2024?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(x)=lnx.

⑴討論函數(shù)g(x)=〃x)-ax(aeR)的單調(diào)性;

⑵①證明函數(shù)"x)=/(x)-二(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點；

e-

②設(shè)①中函數(shù)尸(X)的零點為X。，記加(x)=min“f(x),/，(其中min{/b}表示a,b中的較小

值)，若/(x)="(〃eR)在區(qū)間(l,+oo)內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根匹,%(王＜%)，證明:

再+'2>2%.

變式1.(2024?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)

/(x)=x-sin^x]-alnx,x=1為其極小值點.

⑴求實數(shù)”的值；

⑵若存在網(wǎng)片馬，使得/(尤1)=/(々)，求證：再+%＞2.

3

變式2.(2024?湖北武漢?高二武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=/^lnx-|A

a為實數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)在X=e處取得極值，/(x)是函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)，且/'(再)=/'(%),再<々,

證明：2<xx+x2<e

變式3.(2024?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/a)=(x+D(：+lnx)

(1)若函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求。的最大值；

(2)若函數(shù)“X)在定義域上有兩個極值點X］和4，若》2>再，/I=e(e-2),求2不+々的最

小值.

變式4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=%+lnx-x(aeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的極值點的個數(shù)；

(2)若函數(shù)/(x)恰有三個極值點為、芍、x3(xj<x2<x3),且退-再41,求尤1+X2+X3的最

大值.

4

變式5.（2024?廣西玉林?高二廣西壯族自治區(qū)北流市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

f(x)=lux-ax,

⑴討論函數(shù)40的單調(diào)性;

（2）當(dāng)a=l時，若/（網(wǎng)）=/（3）區(qū)<乙），求證：Xj+x2>2

變式6.（2024?安徽?高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

/卜)=33_|/+喀耳a>0,an1).

（1）若/（x）為定義域上的增函數(shù)，求。的取值范圍;

⑵令a=e,設(shè)函數(shù)g(x)=/(尤)-4lnx+9x,且g(xj+g(x2)=0,求證：%+x2>3+>/11.

變式7.（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx-a（x-2）（aeR）.

⑴試討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性;

3

⑵若函數(shù)/（X）有兩個零點七，巧（玉<馬），求證：國+3x,>--“+2.

a

變式8.（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=ax2+（Q—2）x—hix（aER）.

⑴討論“X）的單調(diào)性;

2

⑵若/（尤）有兩個零點，證明：X1+X,>-.

a

5

變式9.(2024?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=ln(x-l)J(x2).

⑴若/(x"0對Vxe[2,+⑹恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

(2)已知方程上"~^=’有兩個不同的根4、*2,求證：X]+馬>6e+2,其中e=2.71828…

x-13e

為自然對數(shù)的底數(shù).

變式10.(2024?江西宜春?高三?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(無)=3“l(fā)nr-(a-3)x,aeR.

⑴當(dāng)。=1時，求曲線g(無)=/0)-3瓶-$加在x=T處的切線方程；

⑵設(shè)A，x?是"(x)=/(x)-(3a-2)htv-3x的兩個不同零點,證明：a(x1+x2)>4.

變式11.(2024?海南?海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=lnx+x(x-3).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

2X

(2)若存在占,馬,工3€(。,+8),M<X2<X3,使得/(%)=/'(工2)=)(工3)，求證：1+X2>X}.

題型二：極值點偏移:減法型

6

例4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=(x-e-l)e，-gex2+e2x.

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若/(占)=/匡)=/(三)(不<馬<三)，求證：>2%<e-1.

例5.(2024,全國,二專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=e'-2x-(a+1),

g(x)=x2+(a-l)x-(a+2)(其中e。2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))

⑴試討論函數(shù)“X)的零點個數(shù)；

(2)當(dāng)a>l時，設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)的兩個極值點為毛、巧且占<%,求證:

eX2-eX1<4a+2.

例6.(2024?四川成都?高二川大附中校考期中)已知函數(shù)〃x)=gx2-ax+lnx(aeR).

(1)若在定義域上不單調(diào)，求。的取值范圍；

(2)設(shè)a<e+L%,〃分別是〃幻的極大值和極小值，S.S=m-n,求S的取值范圍.

題型三：極值點偏移:乘積型

例7.(2024?全國?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)

f(x)=xex+l,xe>0),g(x)=Z7x-^^-.

7

⑴當(dāng)6=1,“X)和g(x)有相同的最小值，求。的值;

XX

(2)若g(X)有兩個零點x1M2，求證:12>e.

例8.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx.

⑴證明：/(x+l)<x.

(2)若函數(shù)〃(x)=2^(x),若存在再使"㈤=〃&),證明：x1-x2<4-.

e

例9.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=%—sinx—tanx+Mnx+b,XG|0,^

(1)求證：2x<sinx+tanx,xeI0,—

⑵若存在玉、x2efo,j\且當(dāng)x尸馬時，使得/(再)=〃％)成立，求證：苧<1.

變式12.(2024?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ex-xlnx+x2-ax.

⑴證明:若aKe+1,則/(%)20；

(2)證明：若/(%)有兩個零點七，x2,則不々〈I.

8

變式13.（2024?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)〃%）=x（lnx-。）,

（、/（x）

g（XJ-----------FQ-CIX.

（1）當(dāng)時，無）》-lnx-2恒成立，求a的取值范圍.

2

⑵若g（x）的兩個相異零點為X],*2，求證：XjX2＞e.

變式14.（2024?湖北武漢?華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知/（x）=2x-sinx-Olnx.

（1）當(dāng)a=l時，討論函數(shù)的極值點個數(shù)；

⑵若存在X1,馬（0"＜》2），使/（無1）=/。2），求證：gva.

變式15.（2024?北京通州?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/（》）="-巴-111武。＞0）

⑴已知/（x）在點（1,/（D）處的切線方程為＞=xT,求實數(shù)a的值；

（2）已知/G）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

⑶已知8（"="%）+?有兩個零點不，X],求實數(shù)。的取值范圍并證明為七%.

題型四：極值點偏移:商型

例10.（2024?浙江杭州?高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)〃x）=（2e-x）lnx,其

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中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)"X)的單調(diào)性；

c11cl

(2)若％i，%2￡(°，1)，且%2111再一％11nx2=2%X2(In3-ln%2)，證明:2e<——I<2e+l

再

例11.(2024?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(%)=x(l-Inx).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，6為兩個不相等的正數(shù)，且blnq-Qlnb=a-b,證明：2<—+y<e.

ab

例12.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x(l-lnx).

⑴討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-Qlnb=a-b,證明：2<—+^-.

ab

變式16.(2024?廣東茂名?茂名市第一中學(xué)?？既?已知函數(shù)/(x)=ax+(a-l)lnx+：,

Q￡R.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)=xe，-lnx+1有兩個不相等的實數(shù)根玉、々，

(i)求實數(shù)a的取值范圍;

10

、…e*儼2a

(ii)求證：——+—>-----.

X2尤］XjX2

題型五：極值點偏移:平方型

例13.（2024?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)/（無）=lnx-a/.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性：

⑵若士,三是方程/（x）=0的兩不等實根，求證：x；+x；＞2e；

例14.（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知函數(shù)/（無）=二丁-6.

⑴若v-1,求實數(shù)。的取值范圍；

12

⑵若/（%）有2個不同的零點不,9（再＜%2），求證：2x,2+3x1＞—.

例15.（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知函數(shù)"x）=t叵，a＞0.

（1）若〃x）Wl,求。的取值范圍;

（2）證明：若存在X],x2,使得/（再）=/（%），則%;+考＞2.

11

1Iriy

變式17.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-----

ax

(1)討論外)的單調(diào)性；

⑵若(叫廣=(%)”，且西>0,x2>0,x^x2,證明：&+￥>亞.

變式18.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x-sinxcosx-alnx,asR.

(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=/(x)在點處的切線方程;

2

(2)若/(加)=/(〃),0〈m〈n,求證：m+H2>\a\.

題型六：極值點偏移:混合型

n-1—V

例16.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=——(x>0)(e為自然對數(shù)的底數(shù),

e

4￡R).

⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若存在尤1片》2，滿足/'(七)=)(工2)，求證：+%.

a+2

例17.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù).

12

(1)若/⑴=2,求a的值；

(2)若存在兩個不相等的正實數(shù)占,三,滿足/(網(wǎng))=/。2),證明:

①2<X]+X?<2。；

@—<a2+1

再

例18.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx-1"x2-x+a(aeR),在其定義域

內(nèi)有兩個不同的極值點.

(1)求。的取值范圍；

⑵記兩個極值點為為，巧，且再<馬,當(dāng)人當(dāng)時，求證：不等式網(wǎng)?E>e”恒成立.

變式19.(2024?陜西寶雞??？寄M預(yù)測)已知/(x)=——g(x)=<x+l).

1-x

(1)求>=/(')的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a>0時,若關(guān)于x的方程/W+g(x)=0存在兩個正實數(shù)根玉(再<%)，證明：a>/

且xxx2<%1+x2.

變式20.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=一一”(不￡三).

(1)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若方程/a)+2〃2_3a+l=0有兩個不同的根，求實數(shù)。的取值范圍;

(3)如果芭。％2，且/(芭)=/(工2)，求證：方(再+工2)>加2.

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變式21.(2024?天津河西?統(tǒng)考二模)設(shè)左eR,函數(shù)/(x)=Inx-Ax.

(1)若1=2,求曲線T=/(x)在曲1,-2)處的切線方程;

(2)若/(x)無零點，求實數(shù)左的取值范圍；

(3)若/(x)有兩個相異零點為,工，求證：In^+lnxj>2.

變式22.(2024?四川成都?高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=x(l-aln尤)，aeR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若x[o,；時，都有/(力<1,求實數(shù)。的取值范圍；

若有不相等的兩個正實數(shù)玉，均滿足=亍,證明：x<exx.

(3)；+2l2

變式23.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(月=1-。/+/-1,其中a,6為常數(shù)，e

為自然對數(shù)底數(shù)，e=2.71828???.

(1)當(dāng)。=0時，若函數(shù)〃切20,求實數(shù)6的取值范圍；

(2)當(dāng)6=2。時，若函數(shù)/(x)有兩個極值點毛，現(xiàn)有如下三個命題：

①7%1+她>28；②2G(再+%)>3%入2；③A/國-1+Jx2-1〉2;

請從①②③中任選一個進(jìn)行證明.

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(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

變式24.(2024?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)

f(x)=aln(x+2)-x(ae7?).

(1)討論/(X)的單調(diào)性和最值；

⑵若關(guān)于x的方程e'W2-上1ln/m=(加>0)有兩個不等的實數(shù)根三,三，求證：爐+產(chǎn)>已2.

mmx+2m

變式25.(2024?湖南長沙?長沙市實驗中學(xué)?？既?己知函數(shù)/7(x)=x-alnx(aeR).

⑴若"(x)有兩個零點，。的取值范圍；

2

e

(2)若方程xe,-a(lnx+x)=0有兩個實根為、々，且玉片吃，證明：eX1+%2>-----.

變式26.(2024?廣東佛山?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=xeX-"lnx-"，其中a>0.

⑴若a=2e,求〃x)的極值：

X1X2

(2)令函數(shù)g(x)=/(x)-ax+a,若存在玉，x2使得g(%)=g(%)，證明:^e+x2e>2a.

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變式27.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x(l-Hnx),a20.

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)若時，都有求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若有不相等的兩個正實數(shù)再"2滿足言吐=逸，求證：/+%2<叫%2.

1I1

題型七：拐點偏移問題

例19.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Zlnx+x?+x.

(1)求曲線>=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程.

(2)若正實數(shù)外,三滿足/(再)+/(>2)=4,求證：X1+X2>2.

例20.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=21nx+x2+,(aeA),當(dāng)

時，/(尤)20恒成立.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若正實數(shù)不、電02)滿足/(再)+/(々)=。,證明：xl+x2>2.

例21.(2024?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)=-3x+21nx.

(1)求曲線了=/(%)在點(1J(D)處的切線方程；

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⑵⑴若對于任意