2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第36講 雙曲線（含答案）

高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第三十六講雙曲線閱卷人一、選擇題得分1．雙曲線y2A．(0,?1),(0,1) B．(0,?3),(0,3)C．(?1,0),(1,0) D．(?3,0),(3,0)2．已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右焦點(diǎn)分別為F1、FA．x28?y24=1 B．3．直線l過雙曲線E：x2a2?yA．2 B．3 C．2 D．54．已知雙曲線x2a2?y2bA．y=±3x B．y=±33x 5．如圖，過雙曲線C:x216?y225=1的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=16的切線，切點(diǎn)為TA．1 B．32 C．54 6．已知F1?c,0，F(xiàn)2c,0為雙曲線x2A．1,2 B．1,2 C．2,+∞7．已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A．?378 B．?34 8．雙曲線C：x2?yA．2 B．1 C．32 D．9．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線x24?y23=1A．2 B．3 C．4 D．2閱卷人二、多項(xiàng)選擇題得分10．下列結(jié)論正確的有（）A．直線y=2x關(guān)于y=x+1對(duì)稱的直線為x?2y+3=0B．若一直線的方向向量為(3C．若直線x+ay+1=0與直線x?2y+a=0垂直，則a=D．雙曲線x225?11．如圖，P是橢圓C1:x2a2+y2A．PB．若θ=60°C．若θ=90°，則D．tan12．已知雙曲線C:x216?y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸的左、右端點(diǎn)分別為A1，A2，虛軸的上、下端點(diǎn)分別為B1，B2，斜率為A．A1A2=8C．k∈?34,313．已知雙曲線C:x2a2?A．若△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為IB．若△PF1F2C．若kPF2=?D．若kPF2=?閱卷人三、填空題得分14．已知直線l與雙曲線x24?y23=1交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>016．已知雙曲線C1,C2都經(jīng)過點(diǎn)1,1，離心率分別記為e1,e2，設(shè)雙曲線C1,閱卷人四、解答題得分17．已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過A?2,0，B（1）求C的方程；（2）設(shè)P，M，N三點(diǎn)在C的右支上，BM∥AP，AN∥BP，證明：（?。┐嬖诔?shù)λ，滿足OM+（ⅱ）△MNP的面積為定值．18．已知雙曲線C:x2a2?（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l:x?y+2=0交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．19．已知兩點(diǎn)A?1,0、B（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)F2,0作直線l交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)均在y軸的右側(cè)，直線AP、BQ的斜率分別為k1、①證明：k1②若點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)成點(diǎn)H，探究：是否存在直線l，使得△PFH的面積為9220．已知點(diǎn)P為圓C:x-22+（1）求曲線H的方程；（2）若過點(diǎn)M的直線l與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且M為線段ST的中點(diǎn).(i)證明：直線l與曲線H有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；(ii)求2|OS|

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意知雙曲線y24-x2所以c=a2+b2故答案為：B.【分析】先由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)的位置，從而求出a和b的值，再結(jié)合雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，則求出c的值，進(jìn)而得出焦點(diǎn)坐標(biāo)．2．【答案】D【解析】【解答】解：易知點(diǎn)F2c,0，不妨設(shè)漸近線方程為y=b設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示：

則PF2=設(shè)∠POF2=θ，則tanθ=因?yàn)镺F2=c，12ab=所以xP=a因?yàn)镕1?c,0，所以所以2a2+2故雙曲線的方程為x2故答案為：D.【分析】由題意，可得PF2=2，即b=2及點(diǎn)P的坐標(biāo)，再結(jié)合PF13．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得直線l為y=12(x+a)

由y=12(x+a)y=?ba由y=12(x+a)y=b因?yàn)?AM=AN所以ab2b?a=3ab所以c=a所以雙曲線的離心率為e=c故答案為：A.【分析】根據(jù)題意求出直線l的方程，分別與兩條漸近線方程聯(lián)立求出M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由3AM=AN???????4．【答案】A【解析】【解答】解：由題知c=2，所以F1F2=4，

因?yàn)镕1F2=2PF2，所以PF2=2，

又因?yàn)槿切巍鱌F1F2的周長為10，

所以PF1+2+4=10，解得P故答案為：A.【分析】依題意結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)得出c的值，從而得出焦距，再結(jié)合三角形的周長和雙曲線的定義，從而得出a的值，再根據(jù)a2+b5．【答案】A【解析】【解答】解：由雙曲線C:x216?y225設(shè)F'是雙曲線C的右焦點(diǎn)，連接P因?yàn)镸,O分別為FP,FF'的中點(diǎn)，在直角△OFT中，可得FT=又由雙曲線的定義，可得PF?所以MO?故選：A.

【分析】根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半），得到MO=16．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)PF1=m，PF2=n，∠F又因?yàn)棣取师?,π，所以mn=?可得PF解得m2+n則m?n2=m化簡可得c2a2=4則?1≤cosθ<0??6≤9cosθ+3<3，可得解得43?49cosθ+3≥2故答案為：C.【分析】由題意，可得夾角的取值范圍，整理相關(guān)等式，進(jìn)而可得離心率的函數(shù)表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)求解即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)殡p曲線E的離心率為2，可知c=2a，則又因?yàn)閨AB|=|AF1|且|BF1|?|B在△BF1F設(shè)|AF2|=m在△AF1F由余弦定理可得：|A即(2a+m)2=(所以cos∠BAF故答案為：D

【分析】由離心率可得c=2a，根據(jù)題意結(jié)合雙曲線定義可得|BF2|=2a，|BF18．【答案】D【解析】【解答】解：雙曲線C：x2?y2=1的漸近線為y=±x，取漸近線為x+y=0，則圓心到漸近線的距離為d=129．【答案】D【解析】【解答】解：已知如圖所示：由題意可得雙曲線的一條漸近線方程為3x?2y=0焦點(diǎn)F2(7所以|OP|=2，|OF所以S△P故答案為：D.【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出|PF2|=10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A：聯(lián)立方程組y=2xy=x+1解得交點(diǎn)坐標(biāo)為1,2，

在直線y=2x取點(diǎn)0,0，過點(diǎn)0,0作y=x+1的垂線y=?x，

聯(lián)立方程組y=?xy=x+1，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為?12,12，

∴對(duì)稱直線為：y?212?2=x?1?12?1，化簡得：x?y+1=0，

∴直線y=2x關(guān)于y=x+1對(duì)稱的直線為x?y+1=0，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)橹本€傾斜角為θ，tanθ=33=3，∴θ=60°，所以B正確；

對(duì)于C：因?yàn)閗1=?1a，k2=111．【答案】A,D【解析】【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A.由題意可知，PF1+得PF對(duì)于選項(xiàng)B.△PF1F2中，若根據(jù)余弦定理，4c整理為4c而1e對(duì)于選項(xiàng)C.若θ=90°，則4c則a2e1當(dāng)a=m時(shí)，等號(hào)成立，這與a>m矛盾，所以e1對(duì)于選項(xiàng)D.在橢圓中，

2P=4a整理為PF在雙曲線中，2P整理為PF所以2n21?而0<θ2<故選：AD

【分析】A.利用橢圓和雙曲線的定義，即可求解；B.應(yīng)用余弦定理，正確表示離心率，即可判斷；C.根據(jù)勾股定理，并表示離心率，最后應(yīng)用基本不等式(兩個(gè)正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù))，即可判斷；D.分別在橢圓和雙曲線中，在焦點(diǎn)三角形中，應(yīng)用余弦定理a212．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，C的實(shí)半軸長a=4，虛半軸長b=3，半焦距c=a2+b2對(duì)于B，四邊形B1F1對(duì)于C，作出C與其漸近線，直接由圖形得，k∈?對(duì)于D，不妨設(shè)A位于C的左支，則AF所以AF1因?yàn)椤螰1A所以AF1所以①?②得，所以三角形AF1F故答案為：ABD.【分析】對(duì)于A，求出實(shí)軸長度即可判斷；對(duì)于B，由勾股定理即可判斷；對(duì)于C，畫出圖形即可判斷；對(duì)于D，結(jié)合雙曲線定義、余弦定理得AF13．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由題意，可知點(diǎn)P應(yīng)在雙曲線C的右支上，設(shè)圓I分別與△PF1F則PM=因?yàn)镻F所以a=xA=4，得F1?5則tan∠IF1A=B、同理，tan∠IF2A=由正弦定理F1F2C、若PF1⊥P且PF1?所以e=cD、因?yàn)閗PF因?yàn)镻F1?解得PF2=c2則P即3a2+故答案為：ACD【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)，確定內(nèi)切圓的圓心在x軸的射影為雙曲線的頂點(diǎn)，再結(jié)合二倍角公式和正切公式，即可判斷A；根據(jù)A的結(jié)果判斷△PF1F2是直角三角形，再結(jié)合正弦定理判斷B；由斜率結(jié)合三角形的正切公式，表示PF1和PF14．【答案】3x?2y?6=0【解析】【解答】解：設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，

因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為M3,32，所以x1+x2=6，y1+y則直線l的方程為y?32=故答案為：3x?2y?6=0.【分析】設(shè)Ax1,y115．【答案】2+1【解析】【解答】解：設(shè)F2c,0，得到由題意知b2a=2c所以e2?2e?1=0，解得e=2故答案為：2+1【分析】設(shè)F216．【答案】1【解析】【解答】解：當(dāng)k1=k2=1當(dāng)k1≠k則C1因?yàn)殡p曲線C1經(jīng)過點(diǎn)1,1，所以m=1?k1因?yàn)?<k1<1，所以k12<1，則雙曲線同理C2因?yàn)閗2>1，所以k22>1，則雙曲線C2的焦點(diǎn)在x軸上，

所以綜上所述，e1故答案為：1.【分析】由題意，分k1=k2=1和k1≠k217．【答案】（1）解：設(shè)C的方程為mx2?n由C過A，B兩點(diǎn)，故4m=1，16m?9n=1，解得m=14，故C的方程為x2（2）解：（ⅰ）設(shè)Px0,y0，Mx1因?yàn)锽M//AP，所以直線BM的斜率為k1=y由x24?所以?4xx=12因此y1同理可得直線AN的斜率為k2=y由x24?所以?2xx=6因此y=2y則OM+ON=4x（ⅱ）由（?。?，直線MN的方程為y?2y所以點(diǎn)P到直線MN的距離d1而MN=4所以△MNP的面積S=1【解析】【分析】（1）設(shè)C的方程為mx2?ny2=1，其中（2）（ⅰ）設(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中xi>0，3xi2?4（1）設(shè)C的方程為mx2?n由C過A，B兩點(diǎn)，故4m=1，16m?9n=1，解得m=14，因此C的方程為x2（2）（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1因?yàn)锽M//AP，所以直線BM的斜率為k1=y由x24?所以?4xx=12因此y1同理可得直線AN的斜率為k2=y由x24?所以?2xx=6因此y=2y則OM+ON=4x（ⅱ）由（ⅰ），直線MN的方程為y?2y所以點(diǎn)P到直線MN的距離d1而MN=4所以△MNP的面積S=118．【答案】（1）解：由題意得：ca=7則b=c又因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為3，所以bca2+所以a=2,c=7所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：設(shè)Ax1,聯(lián)立方程組y=x+2x24?y則Δ=162?4×28=144>0，x所以AB=又原點(diǎn)O到直線AB的距離d=2所以S△AOB【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)a=2x,c=7x，利用焦點(diǎn)到漸近線的距離為3即可求出x，再代入計(jì)算可得（2）先設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線與雙曲線方程（1）由題意得：ca=7則b=c又焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，所以bca所以x=1，所以a=2,c=7所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)Ax1,聯(lián)立方程組y=x+2x24?y則Δ=162?4×28=144>0，x所以AB=又原點(diǎn)到直線AB的距離d=2所以S△AOB19．【答案】（1）解：令Mx,y，根據(jù)題意可知：y化簡可得：x2所以曲線C的方程為：x2（2）解：設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，可設(shè)直線l:x=my+2，

聯(lián)立方程x=my+2x2?y23=1，消元整理可得：3m2?1y2+12my+9=0，

由韋達(dá)定理可得：Δ>0y1+y2=-12m3m2-1y1?y2=93m2-1<0，

故m2<13且my1?y2=?34y1+y【解析】【分析】(1)設(shè)Mx,y(2)設(shè)直線l:x=my+2，Px1,y1，Qx2,y2，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得出y1,y2的和、積.①利用P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接表述出k1k（1）令Mx,y，根據(jù)題意可知：y化簡，可得：x2所以曲線C的方程為：x2（2）設(shè)Px1,y1x=my+2x2?則Δ>0y故m2<①k=?②∵QH⊥x軸，∴Hx2,?y+y∴x1?x2y+my將mymy所以直線PH過定點(diǎn)12∴S∴m2=1所以存在直線l，使得△PFH的面積為92直線l的方程為：3x+y?6=0或3x?y?6=0．20．【答案】（1）解：（1）M為PA的垂直平分線上一點(diǎn)，則MP=MA，

則MA?MC=MP?MC=2<（2）解：（2）(i)證明：設(shè)M(x0,y0),S(x1,y1),T(x2,y2)，雙曲線的漸近線方程為：y=±3x，

如圖所示：

則y1=3x1①，y2=?3x2②，

①+②得，y1+y2=3x1?x2，

①-②得，y1?y2=3x1+x2，

則y1+y23x1+x2=3x1?x2y1?y2，得