專題突破三角恒等變換重點(diǎn)題型突破（10大題型）

專題突破：三角恒等變換重點(diǎn)題型突破1.給角求值：一般不會(huì)給出特殊角！所以，應(yīng)用各種公式，設(shè)法化成特殊角的函數(shù)值，或?qū)⒋笾等呛瘮?shù)式，用已知表示出來.2.給值求值：由給出的某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”使“目標(biāo)角”變成“已知角”，另外角的范圍應(yīng)根據(jù)所給條件進(jìn)一步縮小，避免出現(xiàn)增解．應(yīng)用半角公式求值時(shí)，要特別注意根據(jù)單角的范圍去確定半角三角函數(shù)值的符號(hào)．3.給值求角：(1)先確定角α的范圍，且使這個(gè)范圍盡量小（極易由于角的范圍過大致誤）；(2)根據(jù)(1)所得范圍來確定求tanα、sinα、cosα中哪一個(gè)的值，盡量使所選函數(shù)在所得范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(3)求α的一個(gè)三角函數(shù)值；(4)寫出α的大小．4.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，主要有以下幾類：(1)對(duì)三角的和式，基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式；(2)對(duì)三角的分式，基本思路是分子與分母的約分和逆用公式，最終變成整式或較簡(jiǎn)式子；(3)對(duì)二次根式，則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式．在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想，是一個(gè)“化異為同”的過程，涉及切弦互化，即“函數(shù)名”的“化同”；角的變換，即“單角化倍角”“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段，以實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)．5.三角公式化簡(jiǎn)求值的策略(1)使用公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．(3)使用公式求值，應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．（4）注意三角函數(shù)公式逆用、變形用及“變角、變名、變號(hào)”的“三變”問題①公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系．②注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)eq\f(1,2)，1，，等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式．6.三角函數(shù)等式的證明：（1）包括無條件三角函數(shù)等式的證明和有條件三角函數(shù)等式的證明．對(duì)于無條件三角函數(shù)等式的證明，要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)，找出差異，化異角為同角，化異次為同次，化異名為同名，尋找證明的突破口．對(duì)于有條件三角函數(shù)等式的證明，要認(rèn)真觀察條件式與被證式的區(qū)別與聯(lián)系，靈活使用條件等式，通過代入法、消元法等方法進(jìn)行證明．（2）三角恒等變換常見變形策略有：變角、變名、變次，其中變角是核心；常見變角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等.（3）三角恒等式的證明方法①?gòu)牡仁降谋容^復(fù)雜的一邊化簡(jiǎn)變形到另一邊，相當(dāng)于解決化簡(jiǎn)題目．②等式兩邊同時(shí)變形，變形后的結(jié)果為同一個(gè)式子．③先將要證明的式子進(jìn)行等價(jià)變形，再證明變形后的式子成立．提醒：開平方時(shí)正負(fù)號(hào)的選取易出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以要根據(jù)已知和未知的角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)匕呀遣鸱?，根?jù)角的范圍確定三角函數(shù)的符號(hào)．7.當(dāng)給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復(fù)雜，我們要先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡(jiǎn)，將函數(shù)表達(dá)式變形為y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根據(jù)化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì)．題型一給角求值問題【例1】（2425高一上·廣東茂名·期末）．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、輔助角公式【分析】利用差角的余弦公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由題意知.故答案為：.【變式11】（多選）（2425高一上·廣東汕頭·期末）下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式【分析】利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得A錯(cuò)誤，根據(jù)二倍角的正弦公式計(jì)算可得B正確，將式子分解結(jié)合二倍角的余弦公式可計(jì)算C錯(cuò)誤，根據(jù)二倍角的正切公式的逆運(yùn)用可計(jì)算D正確.【詳解】對(duì)于A，易知，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知，即B正確；對(duì)于C，易知，即可得C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，可得D正確.故選：BD【變式12】（2223高一下·甘肅定西·期中）化簡(jiǎn)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】輔助角公式、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系【分析】利用切化弦結(jié)合輔助角公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】原式.故答案為：.【變式13】（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀?/p>

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和與差的余弦公式將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)行展開，對(duì)于分子則是結(jié)合二倍角正弦公式及完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后再約分即可.【詳解】故選：D.題型二給值求值問題【例2】（2425高一上·廣東汕頭·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)．(1)求；(2)的值．(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、半角公式、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值【分析】（1）由三角函數(shù)定義可得，后由兩角和的正切公式可得答案；（2）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，后由可得答案；（3）根據(jù)半角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立方程組解題即可.【詳解】（1）由三角函數(shù)定義，結(jié)合題意，可得，即，所以；（2）由誘導(dǎo)公式，結(jié)合題意可得：，又，則（3）根據(jù)半角公式，則，由，即，可得.又因?yàn)?，把代入可?即，，，則.，且終邊與單位圓交點(diǎn)，終邊在第一象限，則，則，則終邊落在第一象限，則，則，；則的值為.【變式21】（2425高一上·安徽合肥·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式、輔助角公式【分析】先利用輔助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得答案【詳解】由，得，即，則，故．故選：A.【變式22】（2425高一上·廣東廣州·期末）已知角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)．(1)求；(2)求的值；(3)若角是三角形內(nèi)角，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或1【知識(shí)點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】（1）根據(jù)角終邊過點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義求解；（2）由（1）得到，根據(jù)，利用商數(shù)關(guān)系求解；（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用兩角差的正弦公式求解.【詳解】（1）解：因?yàn)榻墙K邊過點(diǎn)，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，所以；（2）由（1）知：，所以，；（3）因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，且，所以，由（1）知：，所以，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.【變式23】（2425高一上·廣東廣州·期末）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】sinα±cosα和sinα·cosα的關(guān)系、利用平方關(guān)系求參數(shù)、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式【分析】（1）利用平方關(guān)系計(jì)算結(jié)合二倍角正弦公式即可求值；（2）求解，再求解方程組，可得，最后應(yīng)用兩角和的正切公式即可求值.【詳解】（1）因?yàn)?，得，所?（2）因?yàn)榍遥?，，因?yàn)椋?，得，解得：，，所以，所以．題型三給值求角問題【例3】（2425高一上·福建龍巖·期末）已知函數(shù).(1)若，且，求的值；(2)若，且，，求的值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——誘導(dǎo)公式、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】（1）先利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，即可得解；（2）結(jié)合已知角的范圍及同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，，然后利用兩角差的正弦公式求得，然后根據(jù)角的范圍求解角即可.【詳解】（1），由，得，又，所以，所以.（2）由得，所以，又，所以.由于，故，，，所以，，故，，所以，又因?yàn)?，?【變式31】（2425高一上·廣東深圳·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值、給值求角型問題【分析】利用三角恒等變換的應(yīng)用可得，結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，所以，又，所以，即，整理得，即.所以，又，所以，所以.故選：A【變式32】（2425高一下·全國(guó)·課堂例題）設(shè)α，β為鈍角，且，，求的值．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】利用平方關(guān)系求出，再由兩角和的余弦展開式化簡(jiǎn)計(jì)算可得答案.【詳解】∵，且，∴，且，∴．∵，∴．【變式33】（2324高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)．(1)化簡(jiǎn)的解析式；(2)若，且，，求．【答案】(1)；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——誘導(dǎo)公式、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出結(jié)果；（2）利用三角函數(shù)的值和角的恒等變換求出結(jié)果．【詳解】（1）（2）由于，故，所以，由于，故，，，所以，，故，，故，所以．題型四化簡(jiǎn)求值問題【例4】（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）化簡(jiǎn)求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、逆用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值【分析】（1）由兩角差的正切公式即可求解；（2）切化弦，通分，由兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】（1）原式.（2）原式【變式41】（2425高一上·廣東汕頭·期末）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為，這一數(shù)值也可表示為，若，則；【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、輔助角公式【分析】根據(jù)，，求得，代入應(yīng)用輔助角公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以，故答案為?【變式42】化簡(jiǎn)求值：；【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所?【變式43】（2023高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）證明：．【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、輔助角公式【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的商式關(guān)系，結(jié)合輔助角公式以及二倍角公式，可得答案.【詳解】.題型五化簡(jiǎn)問題【例5】（2324高三上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)(2).【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）利用兩角和（差）的正弦公式計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】（1）.（2）.【變式51】化簡(jiǎn)sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2αcos2β．【答案】見解析【解析】解法一：(從“角”入手，倍角化單角)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2α·sin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－＝sin2α·sin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝．解法二：(從“冪”入手，利用降冪公式先降次)原式＝·＋·－cos2α·cos2β＝(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2α·cos2β＝＋＝．【變式52】（2324高一下·四川·期中）化簡(jiǎn)：，并指出的取值范圍.【答案】，【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及二倍角公式可得，進(jìn)而根據(jù)弦切互化以及正弦二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則的取值滿足，且，故的取值范圍是.【變式53】（2223高一下·甘肅蘭州·期末）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值【分析】（1）直接由兩角和的正弦公式逆用即可化簡(jiǎn).（2）直接由兩角和的正弦公式、切弦互化商數(shù)關(guān)系即可化簡(jiǎn).【詳解】（1）由題意，由兩角和的正弦公式逆用可得.（2）由題意，由兩角和的正弦公式、切弦互化商數(shù)關(guān)系可得.題型六三角恒等式的證明【例6】（2425高一上·湖南張家界·期末）公元前世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為，這一數(shù)值也可以表示為.三倍角公式是把形如，等三角函數(shù)用單倍角三角函數(shù)表示的恒等式，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、天文等學(xué)科.(1)記，試寫出此三倍角公式的具體內(nèi)容，并證明；(2)若角滿足，求的值；(3)試用三倍角公式并結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，求出黃金分割值.【答案】(1)答案見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】（1）根據(jù)關(guān)系結(jié)合兩角和余弦公式展開，再利用二倍角公式及平方關(guān)系化簡(jiǎn)可得結(jié)論；（2）由條件結(jié)合（1）可求，再通過三角恒等變換化簡(jiǎn)，并結(jié)合同角關(guān)系求結(jié)論；（3）根據(jù)，結(jié)合（1）及二倍角正弦公式和同角關(guān)系化簡(jiǎn)等式，解方程求，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）.（2）由（1）及已知得：解得：，又.由得：，.（3）即兩邊除去得：即化簡(jiǎn)得：，解得：（負(fù)舍）由題意知黃金分割值為.【變式61】（2122高一上·廣東湛江·期末）證明下列等式：(1)(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的余弦公式、無條件的恒等式證明【分析】（1）（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)等式左邊等于右邊即可得證.【詳解】（1）左邊右邊，得證；（2）左邊右邊，得證.【變式62】（2223高一下·四川眉山·期中）化簡(jiǎn)證明：【答案】證明見解析【詳解】證明：因?yàn)?，所以【變?3】（2324高一下·云南大理·階段練習(xí)）證明：(1)(2)(3)已知，，求證．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的余弦公式、有條件的恒等式證明、無條件的恒等式證明【分析】根據(jù)題意，利用三角恒等變換的公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）證明：由所以.（2）證明：由所以.（3）證明：因?yàn)?，可得，把代入得，即，整理得，所以，所以兩邊平方可得．題型七三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例7】（2425高一上·黑龍江綏化·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將的圖象向左平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，求的解析式及圖象的對(duì)稱中心；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)，；(3).【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（2）利用圖象變換求出，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱中心.（3）利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出范圍.【詳解】（1）依題意，，函數(shù)的最小正周期，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，得，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得，由，得，所以的解析式為，圖象的對(duì)稱中心為.（3）由，得，由函數(shù)在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，得，解得，所以的取值范圍是.【變式71】（多選）（2425高一上·浙江嘉興·期末）已知函數(shù)，則（

）A．若函數(shù)的周期為，則B．若，則函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到C．若且直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則在上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求圖象變化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用倍角公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，逐項(xiàng)判斷即可確定正確答案.【詳解】，對(duì)于A，若函數(shù)的周期為，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，故B正確；對(duì)于C，若且直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則且，解得，則，由，得，故在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則，又，則，故D正確.故選：BCD.【變式72】（2425高一上·青?！て谀┮阎瘮?shù)的最小正周期為．(1)求ω的值．(2)先將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．（?。┣蟮膯握{(diào)遞增區(qū)間；（ⅱ）若，求的值．【答案】(1)；(2)（?。?；（ⅱ）.【知識(shí)點(diǎn)】求圖象變化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）應(yīng)用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式有，再由最小正周期求參數(shù)即可；（2）（?。└鶕?jù)圖象平移得，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)性求遞增區(qū)間；（ⅱ）根據(jù)已知得，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式求函數(shù)值.【詳解】（1）由．因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，解得，又，所以．?）（?。┯桑?）可知，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的，縱坐標(biāo)不變，得圖象，則．令，得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為．（ⅱ），則．故．【變式73】（2425高一上·云南昆明·期末）已知．(1)求函數(shù)的解析式和最小正周期；(2)（?。⒌暮瘮?shù)圖象向右平移個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，最后向上平移1個(gè)單位得到的函數(shù)圖象，若是一個(gè)偶函數(shù)，試求的值；（ⅱ）寫出的零點(diǎn)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求cosx（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）應(yīng)用三角恒等變換計(jì)算化簡(jiǎn)得出三角函數(shù)解析式進(jìn)而求出周期；（2）（?。┫雀鶕?jù)平移伸縮得出的解析式再應(yīng)用偶函數(shù)求參即可；（ⅱ）根據(jù)零點(diǎn)定義結(jié)合余弦函數(shù)特殊值計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）（?。⒌暮瘮?shù)圖象向右平移個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，最后向上平移1個(gè)單位得到，又因?yàn)槭且粋€(gè)偶函數(shù)，且，所以，所以；（ⅱ）令，得，所以,即得，的零點(diǎn)為題型八最值、范圍問題【例8】（2425高一上·福建莆田·期末）若，且．（1）當(dāng)時(shí)，；（2）的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】（1）代入，得到，并求出，利用誘導(dǎo)公式得到，求出；（2）由三角恒等變換得到，從而，換元得到，求出最小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，，即，所以，又，故，所以，故，由于，所以，所以一種情況是，解得，滿足要求，還可能，解得，不合要求，故；（2），故，，由得，，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：，【變式81】（2425高一上·重慶沙坪壩·期末）已知，則取得最小值時(shí)的的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、給值求角型問題、基本不等式求和的最小值【分析】由題意，根據(jù)可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D【變式82】（2425高一上·福建南平·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，且.(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、sinα±cosα和sinα·cosα的關(guān)系、誘導(dǎo)公式五、六、輔助角公式【分析】（1）根據(jù)題意，求得，利用三角函數(shù)定義可得，，由，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；（2）根據(jù)（1）得，則，令，，換元上式可得，，利用二次函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】（1）因?yàn)閱挝粓A上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且點(diǎn)在第一象限，所以點(diǎn)，即有，，因?yàn)榍覟殇J角，為鈍角，所以，所以.（2）由（1）知，，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)樗?，所以，，所以的取值范圍?【變式83】（2425高一上·重慶沙坪壩·期末）學(xué)校準(zhǔn)備用一段長(zhǎng)為30米的籬笆在墻角（墻的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)）圍出一個(gè)如圖的直角三角形區(qū)域進(jìn)行栽種（其中為籬笆，為墻），設(shè)．劃定正方形區(qū)域栽種鮮花，其中頂點(diǎn)在斜邊上，頂點(diǎn)分別在直角邊上．(1)設(shè)鮮花栽種區(qū)域面積為，求最大值并求此時(shí)的；(2)將鮮花栽種面積占圍出的整塊三角形區(qū)域面積的比例稱為土地有效利用率，求土地有效利用率的最大值．【答案】(1)100，(2)．【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式、基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根據(jù)解直角三角形可求，利用基本不等式可求最大值及對(duì)應(yīng)的角；（2）利用三角變換公式結(jié)合基本不等式可求最大值.【詳解】（1）設(shè)，則，，即．，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等．所以的最大值為，此時(shí).（2），設(shè)土地有效利用率為，則令，則（根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知其單調(diào)遞減）.故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)土地有效利用率取得最大值．題型九三角恒等變換與平面向量【例9】（2324高一上·浙江寧波·期末）已知向量，，.(1)求的最大值，并求此時(shí)的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)最大值為，(2)【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式、坐標(biāo)計(jì)算向量的?！痉治觥浚?）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出模，表示為函數(shù)，求最值即可.（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算得到乘積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)合理求值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，（2），設(shè)，易知是第一象限角，故原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，易知是第一象限角，故，，當(dāng)時(shí)，，，故，即【變式91】（2425高三上·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式、向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】由可得，根據(jù)向量減法及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，原式即可求值.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：C.【變式92】（多選）（2025·廣東佛山·一模）在中，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量為 D．若，則【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、正弦定理解三角形、求投影向量【分析】A選項(xiàng)對(duì)題干條件直接根據(jù)數(shù)量積的定義，化簡(jiǎn)成，然后根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化求解；B選項(xiàng)利用兩角和的正切公式求解；C選項(xiàng)結(jié)合正弦定理，投影向量公式求解；D選項(xiàng)根據(jù)正弦定理算出三邊長(zhǎng)度之后根據(jù)數(shù)量積定義求解.【詳解】A選項(xiàng)，對(duì)于，根據(jù)數(shù)量積的定義展開可得，，即，即，由正弦定理，，即，則為銳角，由，解得，，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)：由A選項(xiàng)和題干可知，，，故，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：在方向上的投影向量為，由B知，，，且，解得，由正弦定理，，則，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：由正弦定理，，即，解得，于是，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【變式93】（2324高一下·江蘇徐州·期末）已知向量，．(1)若，求；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】給值求值型問題、已知向量垂直求參數(shù)、用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出，再由二倍角公式計(jì)算可得；（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示、兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出，即可求出，最后根據(jù)兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，則，所以.（2）因?yàn)?，且，所以，則，所以，則，所以，又，所以，所以，所以.題型十三角恒等變