專(zhuān)題08數(shù)列（5大易錯(cuò)點(diǎn)分析解題模板舉一反三易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專(zhuān)用）（原卷版）

專(zhuān)題08數(shù)列易錯(cuò)點(diǎn)一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問(wèn)題）1、等差數(shù)列的定義（1）文字語(yǔ)言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；（2）符號(hào)語(yǔ)言：(，為常數(shù))．2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．3、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：．（2）前項(xiàng)和公式：．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項(xiàng)和：當(dāng)公差時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)（1）若項(xiàng)數(shù)為，則，；（2）若項(xiàng)數(shù)為，則，，，.最值問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題有兩種思路：一是利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可用配方法求最值，也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值；二是依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定為遞減數(shù)列．所以當(dāng)，且時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，其最大值是所有非負(fù)項(xiàng)的和；當(dāng)，且時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最小值，其最小值是所有非正項(xiàng)的和，求解非負(fù)項(xiàng)是哪一項(xiàng)時(shí)，只要令即可易錯(cuò)提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)有時(shí)可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問(wèn)題，要注意的取值不是連續(xù)實(shí)數(shù)，忽略這一點(diǎn)很容易出錯(cuò).例．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，求取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的n值.變式1．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，．(1)從第幾項(xiàng)開(kāi)始有？(2)求此數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．變式2．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值．變式3．等差數(shù)列，，公差．(1)求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式；(2)當(dāng)取何值時(shí)，前項(xiàng)和最大，最大值是多少．1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和，有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．20 B．17 C．19 D．212．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則取得最小值時(shí)n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知數(shù)列中，若其前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．4．若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．40435．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．與均為的最大值6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．設(shè)的前項(xiàng)和為，則時(shí)，的最大值為277．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是為等差數(shù)列的充要條件B．可能為等比數(shù)列C．若，，則為遞增數(shù)列D．若，則中，，最大8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．有最大值9．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值10．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為．11．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n＝．易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視兩個(gè)“中項(xiàng)”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項(xiàng)求其它）1、等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：(，為非零常數(shù))．2、等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，其中.注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。3、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式（1）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；通項(xiàng)公式的推廣：.（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和．（等比中項(xiàng)）1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）若，則有口訣：角標(biāo)和相等，項(xiàng)的積也相等推廣：（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。易錯(cuò)提醒：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項(xiàng)。只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，“”僅是“為和的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。例．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20變式1．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則(

)A． B． C． D．變式2．已知，如果，，，，成等比數(shù)列，那么（

）A．， B．，C．， D．，變式3．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．或 D．1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差不為0，若滿(mǎn)足、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在2．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項(xiàng)的和為（

）A．1 B．2 C．81 D．803．已知，，則使得成等比數(shù)列的充要條件的值為（

）A．1 B． C．5 D．4．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．5．正項(xiàng)等比數(shù)列中，是與的等差中項(xiàng)，若，則（

）A．4 B．8 C．32 D．646．已知實(shí)數(shù)4，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線(xiàn)＋y2＝1的離心率為（

）A． B． C．或 D．或77．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項(xiàng)，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要8．在數(shù)列中，，，則（

）．A． B．C． D．9．已知是等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則A．， B．， C．， D．，10．?dāng)?shù)1與4的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．398 B．388C．189 D．199易錯(cuò)點(diǎn)三：忽略等比數(shù)列求和時(shí)對(duì)的討論（等比數(shù)列求和）等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）在公比或且為奇數(shù)時(shí)，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；（2）對(duì)，有；（3）若等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和；（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，令，則（為常數(shù)，且）易錯(cuò)提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論..例．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，，則.變式1．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則．變式2．在等比數(shù)列中，，，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．變式3．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列前項(xiàng)和．1．已知為等比數(shù)列，其公比，前7項(xiàng)的和為1016，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．162．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．3．已知，，（，），為其前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．4．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為4 B．的前20項(xiàng)和為170C．的前10項(xiàng)積為 D．的前n項(xiàng)和為5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿(mǎn)足的n的最大值為.6．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且－3，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)．7．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則8．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則．9．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則．10．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則滿(mǎn)足的最小的自然數(shù)n的值為．11．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，，則公比．易錯(cuò)點(diǎn)四：由求時(shí)忽略對(duì)“”的檢驗(yàn)（求通項(xiàng)公式）類(lèi)型1觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．類(lèi)型2公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．類(lèi)型3累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．類(lèi)型4累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類(lèi)型5構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線(xiàn)性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類(lèi)型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出，再用類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類(lèi)型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法），求出之后得．類(lèi)型6對(duì)數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．類(lèi)型7倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．類(lèi)型8形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式易錯(cuò)提醒：在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和之間關(guān)系如下，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時(shí)，先令求出首項(xiàng)，然后令求出通項(xiàng)，最后代入驗(yàn)證。解答此類(lèi)題常見(jiàn)錯(cuò)誤為直接令求出通項(xiàng)，也不對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn).例．已知數(shù)列和，其中的前項(xiàng)和為，且，.(1)分別求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求證：.變式1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，k為常數(shù).(1)求常數(shù)k和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：變式2．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：對(duì)一切正整數(shù)，.變式3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若為等比數(shù)列，求的值.2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且與的等差中項(xiàng)為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，是4的常數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.5．在數(shù)列中，，是的前n項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．已知首項(xiàng)為4的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．9．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求時(shí)，n的最小值．10．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（且）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．易錯(cuò)點(diǎn)五：裂項(xiàng)求和留項(xiàng)出錯(cuò)（數(shù)列求和）常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見(jiàn)放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易錯(cuò)提醒：用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng)，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，一般來(lái)說(shuō)前面剩余幾項(xiàng)后面也剩余幾項(xiàng)，若前面剩余的正數(shù)項(xiàng)，則后面剩余的是負(fù)數(shù)項(xiàng)。例．已知數(shù)列的前項(xiàng)