四川省眉山市仁壽縣2023-2024學年高二下學期第一次教學質量監(jiān)測(期中)數學試題（含答案）

四川省眉山市仁壽縣2023-2024學年高二下學期第一次教學質量監(jiān)測(期中)數學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的）1．某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是（）A．24種 B．4種 C．43種 D．32．已知函數f(x)=aex+bx在x=0A．e2?2 B．2?e2 C．3．設函數f(x)在R上可導，其導函數為f'(x)，且函數A．f(x)有2個極值點 B．f(0)為函數的極大值C．f(x)有1個極小值 D．f(?1)為f(x)的極小值4．已知函數f(x)=xlnA．f(x)在(0,B．f(x)在(0,1C．當x∈(0,1)時，f(x)D．f(x)在定義域內無極值5．已知f(x)=ax2+lnx，且limA．43 B．23 C．16．若函數f(x)=kx?6lnx?x2在區(qū)間[1,A．(?∞,43) B．(?∞,8]7．已知函數f(x)=4x2?3x,x≤0x?aA．(?∞,0)∪[1,C．(0,1] 8．已知實數x，y滿足ex+x=1A．1e2 B．1e C．e二、多選題（本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題意要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有錯選或不選得0分）9．下列表述中正確的是（）A．若f'(x0)B．(ln2+loC．已知函數f(x)=e?2xD．若f(x)=2f'10．已知函數f(x)的導函數為f'(x)，對任意的正數x，都滿足A．f(1)<2f(12)C．f(1)<4f(12)?211．已知函數f(x)=alnx?ax+1(a∈R)，g(x)=f(x)+3A．當a=1時，f(x)≤0在定義域上恒成立B．若經過原點的直線與函數f(x)的圖像相切于點(3,f(3))C．若函數g(x)在區(qū)間[32,4]D．若函數g(x)有兩個極值點為x1,x2三、填空題（本題共3個小題，每小題5分，共15分.）12．函數f(x)=ex?x+1在區(qū)間[?113．如圖，現有4種不同顏色給圖中5個區(qū)域涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域不同色，共有種不同涂色方法；（用數字作答）14．已知函數f(x)=alnx，(a∈R)，若直線y=2x是曲線y=f(x)的切線，則a=；若直線y=2x與曲線y=f(x)交于A(x1,y1)，四、解答題（本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數f(x)=x2+aex?1（1）求a的值；（2）求f(x)的單調區(qū)間和極值.16．已知函數f(x)=x（1）求f(x)在[?2,（2）若函數f(x)恰有1個零點，求a的取值范圍.17．已知0，1，2，3，4，5這六個數字．（1）可以組成多少個無重復數字的三位數？（2）可以組成多少個無重復數字的三位奇數？（3）可以組成多少個無重復數字的小于1000的自然數？（4）可以組成多少個無重復數字的大于3000且小于5421的四位數？18．已知函數f(x)=ln（1）討論函數f(x)的單調性；（2）探究：是否存在實數a，使得函數g(x)=f(x)?ax?2在(0,e219．已知函數f(（1）若此函數的圖象與直線x=1e交于點P，求該曲線在點（2）判斷不等式f(x)>0的整數解的個數；（3）當exx<e2

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，每位同學都有3種選擇，故共有3×3×3×3=3故答案為：D.【分析】根據分步乘法計數原理求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：函數f(x)=aex+bx的定義域為R因為函數fx在x=0處取得極小值1，所以f'(0)=ae0+b=0f(0)=ae0+b?0=1，解得a=1b=?1，

所以x=0是函數的極小值點，故a=1，b=?1，f'故答案為：C.【分析】由題意，根據函數的極值定義求解即可，注意檢驗.3．【答案】B【解析】【解答】解：由圖象可知：

當x<?2時，g(x)>0，則f'(x)<0，即函數f(x)在當?2<x<0時，g(x)<0，所以f'(x)>0，即函數f(x)在當0<x<1時，g(x)<0，所以f'(x)<0，即函數f(x)在當x>1時，g(x)>0，所以f'(x)>0，即函數f(x)在則f(x)有3個極值點，故A錯誤；

f(x)在x=0處取得極大值，故B正確；

f(x)在x=?2和x=1處取得極小值，故C，D錯誤.故答案為：B.【分析】根據x的正負以及g(x)的正負，判斷f'(x)的正負，求得4．【答案】C【解析】【解答】解：函數f(x)=xlnx的定義域為0，+∞，f'(x)=lnx+1(x>0)，

令f'(x)=0，解得x=1所以f(x)在(0,1e)上單調遞減，在(1當x∈(0,1)時，根據f(x)的單調性可知，故答案為：C.【分析】先求函數的定義域以及導函數，利用導數判斷函數的單調性以及極值，從而判斷即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：limΔx→0f(則?ba×3=?1，即a=3b，故f(x)=ax2+lnx故答案為：A.【分析】根據導數的定義求得切線的斜率，根據直線垂直列方程，求得a,b再求6．【答案】D【解析】【解答】解：函數f(x)=kx?6lnx?x2的定義域為0，+∞，求導可得f'(x)=k?6x?2x，

因為f(x)在[1令g(x)=6x+2x令g'(x)=0，得x=3，當x∈[1當x∈(3,+∞)所以g(x)的最小值為g(3)=43，所以k≤4故答案為：D.【分析】問題轉化為f'(x)≤07．【答案】B【解析】【解答】解：由?x1≤0,?x2當x≤0時，函數f(x)=4x2?3x所以f(x)在(?∞,0]上單調遞減，且f(0)=0，所以當x>0時，f(x)=x?alnx，則①若a>0，當x∈(0,a)時f'(x)<0，當所以f(x)在(0,a)上單調遞減，在所以f(x)min=f(a)=a?a所以a?alna≤0，即1?ln②若a<0，則f'(x)=x?ax>0此時f(x)=x?alnx(x>0)值域為③當a=0時，f(x)=x(x>0)的值域為(0,綜上所述，實數a的取值范圍為(?∞,故答案為：B.【分析】由?x1≤0,?x2>0，使得f(x1)=f(x2)成立，可得函數8．【答案】A【解析】【解答】解：因為ex+x=1令f(x)=ex+x又f(x)=f(ln1y令g(x)=x?1ex，所以g'(所以g(x)在(?∞所以g(x)max=g故答案為：A.【分析】利用ex+x=ln1y+e9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、取f(x)=x13，則f但f(x)=x13在x=0B、(ln2+logC、函數f(x)=e?2x?則f'D、因為f(x)=2f'（1）x?令x=1，則f'(1)=2f故答案為：BD.【分析】舉出反例即可判斷A；根據基本初等函數的求導公式求導即可判斷BC；求導可得f'(x)，再令10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、設g(x)=f(x)x(x>0)所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增，由g(1)>g(1B、由g(1)<g(2)得f(1)<1C、設h(x)=f(x)?2xx2所以h(x)在(0,+∞)上單調遞減，由h(1)<h(1D、由h(1)>h(2)得f(1)>1故答案為：BCD.【分析】設g(x)=f(x)x(x>0)，利用導數求出g(x)的單調性即可判斷AB；設h(x)=11．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、當a=1，f(x)=lnx?x+1，f'當0<x<1時，f'(x)>0，故f(x)在當x>1時，f'(x)<0，故f(x)在[1,B、因為f(x)=alnx?ax+1，其中x>0，則f'所以f(3)=aln3?3a+1，f'(3)=?23a，故f(x)的圖象在點(3,f(3))處的切線方程為y?(aln3?3a+1)=?23C、g(x)=f(x)+32x因為g(x)在區(qū)間[32,4]上單調遞減，故可得a≥3x2x?1，令p(x)=3當32<x<2時，p'(x)<0，故當2<x<4時，p'(x)>0，故函數p(x)在因為p(32)=3×(32故a≥16，故實數a的取值范圍是[16,D/因為g'由題意可知，方程g'(x)=0在即方程3x2?ax+a=0則Δ=a2?12a>0故答案為：AC．【分析】求出導數后判斷其符號可得函數的單調性，即可判斷A；求出函數的導數后求出切線方程，代入所過的點后可求參數的值即可判斷B；求函數的導函數利用參變分離可求參數的取值范圍，即可判斷C；結合C中的導數，根據極值點的個數結合二次函數的圖象和性質可求參數的取值范圍，即可判斷D.12．【答案】e【解析】【解答】解：函數f(x)=ex?x+1的定義域為R令f'(x)<0，得?1≤x<0；令f'故函數f(x)在[?1,0)上單調遞減，在所以f(x)故答案為：e.【分析】求導，利用導數判斷f(x)的單調性求其最值即可.13．【答案】144【解析】【解答】解：先涂區(qū)域1有4種選法，區(qū)域2有3種選法，區(qū)域3有2種選法，區(qū)域4可選剩下的一種和區(qū)域1，2所選的顏色有3種選法，區(qū)域5從區(qū)域4剩下的2種顏色中選有2種選法，共有4×3×2×3×2=144種.故答案為：144種.【分析】根據任意兩個相鄰區(qū)域不同色，利用分步計數原理求解即可.14．【答案】2e；[【解析】【解答】解：函數f(x)=alnx的定義域為0，+∞，求導可得f'(x)=ax，

設切點為由alnx=2x得a=2xlnx，設g(x)=2xln當0<x<1或1<x<e時，g'(x)<0，此時，當x>e時，g'(x)>0，此時，當0<x<1時，g(x)<0；當x>1時，g(x)>0，且當x→1時，g(x)→+∞，g(e)=2e，當x→+∞時，g(x)→+∞.所以當a∈(2e,+∞)時，直線y=2x與曲線y=f(x)有兩個交點A(x1,y1)，B(x2,令t=x1x又alnx1=2x1aa=2x2lnxφ'(t)=φ(t)在[3設a=h(m)=2emh(m)在(0,ln32故答案為：2e；[43ln3,+∞).

【分析】求函數f(x)的導函數，設出切點(x0,alnx015．【答案】（1）解：因為f(x)=x2+a則f'(1)=1?a，因為函數f(x)=x2+a故(1?a)×(?14)=?1（2）解：因為f(x)=x2?3令f'(x)=0，解得x=3或x=?1，令f'(x)<0得x>3或x<?1，令列表如下：x(?∞?1(?13(3f?0+0?f(x)↘極小值↗極大值↘故f(x)的單調遞減區(qū)間為(?∞,?1)和(3,f(x)的極大值為f(3)=6e2【解析】【分析】（1）先求函數fx（2）求出導數方程的根，根據導數與極值的關系列表求解即可.16．【答案】（1）解：f'可知x∈[?2,1]時，f'(x)>0，f(x)單調遞增，x∈[1,2]時，f'(x)<0，f(x)單調遞減；

x∈[2，3]時，由f(1)=52+af(x)（2）解：f當x<1或x>2時，f'(x)>0，當1<x<2時，所以f(x)在(?∞,1)和(2,所以f(x)極大值=f(1)=當x→?∞時，f(x)→?∞，當x→+∞時，f(x)→+∞，因為f(x)有1個零點，故52+a<0或2+a>0，所以a<?5故a的取值范圍.(?∞,?5【解析】【分析】（1）求導得f'(x)=3(x?1)(x?2)，根據導數的正負確定函數的單調性，求解（2）根據函數的單調性求解函數的極值f(x)極大值=f(1)=17．【答案】（1）解：分3步：①先選百位數字有5種選法；②十位數字有5種選法；③個位數字有4種選法；由分步計數原理知所求三位數共有5×5×4=100個（2）解：分3步：①先選個位數字，由于組成的三位數是奇數，因此有3種選法；②再選百位數字有4種選法；③十位數字也有4種選法；由分步計數原理知所求三位數共有3×4×4=48個.（3）解：分3類：①一位數，共有6個；②兩位數，先選十位數字，有5種選法；再選個位數字也有5種選法，共有5×5=25個；③三位數，先選百位數字，有5種選法；再選十位數字也有5種選法；再選個位數字，有4種選法，共有5×5×4=100個；因此，比1000小的自然數共有6+25+100=131個．（4）解：分4類：①千位數字為3或4時，后面三個數位上可隨便選擇，此時共有2×5×4×3=120個；②千位數字為5，百位數字為0，1，2，3之一時，共有4×4×3=48個；③千位數字為5，百位數字是4，十位數字為0，1之一時，共有2×3=6個；④5420也滿足條件；故所求四位數共有120+48+6+1=175個.【解析】【分析】（1）根據分步乘法計數原理，即可分別求解百位，十位以及個數的選擇相乘求解；

（2）根據分步乘法計數原理，即可分別求解百位，十位以及個數的選擇相乘求解；（3）根據分類加法計數原理，結合分步乘法原理求解即可；

（4）根據分類加法計數原理，結合分步乘法原理求解即可.18．【答案】（1）解：函數f(x)=lnx+ax+ax的定義域為當a=0時，f'(x)=1x>0當a≠0時，f'(x)=0，即ax所以方程有兩個實數根?1+1+4a2①當a>0時，?1+1+4a2所以f(x)在區(qū)間(0，?1+1+4a②當a<0時，?1+1+4a2所以f(x)在區(qū)間(0，?1?1+4a綜上所述：當a=0時，f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調遞增；當a<0時，f(x)在區(qū)間(0，?1?1+4a當a>0時，f(x)在區(qū)間(0，?1+1+4a（2）解：因為g(x)=f(x)?ax?2，則g(x)=lnx+ax?2g′(x)=1x?ax若a