2025年新高考數(shù)學重難點專項復習：圓的切線相關十二大題型（原卷版）

重難點08圓的切線相關十二大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.過圓上一點的圓的切線

2

①過圓，―上一點M(x0,?方的切線方程是XQX+y°y=r.

②過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點M(xg,。的切線方程是的-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2.

2

③過圓x+，=/外一點M(x0,y/乍圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x必+W=/

技巧二.過圓外一點的圓的切線

過圓外一點M的，州)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率左,

從而得切線方程；若求出的上值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x=

技巧.解決有關弦長問題的常用方法及結論

幾何法-Q)

如圖所示，設直線1被圓c截得的弦為AB,圓的半徑為r,圓心到直線

的距離為d,則有關系式：|叫=2^-d2

代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(XA,yA),B(XB,/)兩點，貝!J|45|二

11+k27XA+XB2-4XAXB=1中胖0)■特別地，

當左=0時，=\xA-xB\；當斜率不存在時,\AB\=\yA-ys\,當直線

與圓相交時，半徑、半弦、弦心距構成直角三角形，在解題時，要注意

把它和點到直線的距離公式結合起來使用

技巧三.切線長

①從圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一點M(xo,y徒引圓的兩條切線，切線長為

\jxo+yo+Dxo+Eyo+F.

②兩切點弦長：利用等面積法,切線長a與半徑r的積的2倍等于點/與圓心的距離d與兩切點弦長b的

積，即6=苧

注意：過一點求圓的切線方程時，要先判斷點與圓的位置關系，以便確定切線的條數(shù).

技巧四圓與圓相交時

/.公共弦直線的方程：兩個交點所在的直線即公共弦，其方程等于兩個圓方程相減

2.圓與圓相交時，求交點坐標：

⑺聯(lián)立兩個圓的方程，相減得到公共弦的直線

⑵公共弦直線與其中一個圓的方程再進行聯(lián)立，解出交點的坐標

3.求公共弦的弦長

方法一：求出交點，利用兩點間的距離

方法二：求出公共弦直線方程，利用其中一個圓的圓心，求其圓心到公共弦直線的距離d,再利用弦長公式

題型提分練

題型1圓上一點求圓的切線問題

【例題1](2023?江蘇?高二專題練習)已知點M(1，圾在圓C：/+必=小上，過M作圓C的切線/,則/的

傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【變式1-1]1.（2023秋?全國?高二期中）圓光2+/一4%=。在點P（l,8）處的切線方程為（）

A.x+V3y-2=0B.%+V3y-4=0

C.x—V3y+4=0D.x—V3y+2=0

【變式1-1]2.（2023秋?全國?高二期中）圓/+*一?=0在點P（l,遍）處的切線方程為（）

A.x+V3y—2=0B.x+V3y-4=0

C.x—V3y+4=0D.x—V3y+2=0

【變式1-1J3.（2023秋?河北滄州?高二泊頭市第一中學?？茧A段練習）已知實數(shù)滿足曲線C的方程/+

y2-2%-2=0,則下列選項錯誤的是（）

A./+、2的最大值是4+2次

B.的最大值是2+V6

C.\x-y+31的最小值是—V3

D.過點（0,迎）作曲線C的切線，則切線方程為久-V2y+2=0

【變式1-1]4.（2023?全國?高二專題練習）過點P（l,l）作圓氏/+*—4*+2y=0的切線,則切線方程

為（）

A.x+y—2=0B.2x—y—1—0

C.x—2y+l=0D.%—2y+1=0或2x-y-1=0

【變式1-1]5.（多選）（2023秋?高二課時練習）下列說法正確的是（）

A.過點（1,3）,在x軸上的截距與在y軸上的截距相等的直線有兩條

B.過點P（2,l）作圓/+*=5的切線,切線方程為2x+y-5=0

C.經(jīng)過點P（l,l），傾斜角為。的直線方程為y-1=tan。。-1）

D.直線2x—y—1=0的一個方向向量為（1,2）

題型2圓外一點求圓的切線問題

【例題2](2023?江蘇?高二專題練習)過點(―4,3)的圓(x+3)2+(y—I/=1的切線方程

為.

【變式2-1]1.(2023秋?廣西貴港?高二統(tǒng)考期末)已知圓C：(x-2)2+(y+1)2=9.

Q)若過點P(T1)向圓C作切線1,求切線1的方程；

⑵若Q為直線a:2x-y+5=。上的動點，M是圓C上的動點，定點N(-2,6)，求|QM|-|QN|的最大值.

【變式2-1]2.(2023秋?高二課前預習)過點P(2,l)作圓。:x2+y2=1的切線I,求切線I的方程.

【變式2-1]3.(2023秋?云南大理?高二云南省下關第一中學?？茧A段練習)已知點2(4,4),B(0,3),圓。的

半徑為1.

Q)若圓C的圓心坐標為。(3,2),過點4作圓C的切線，求此切線的方程；

(2)若圓C的圓心C在直線Ly=久-1上，且圓C上存在點“，使|MB|=2\MO\,。為坐標原點，求圓心C的橫

坐標a的取值范圍.

【變式2-1]4.(2023?全國高二專題練習)已知圓E經(jīng)過點4(0,1),B(l,4),S_______.從下列3個條件

中選取一個，補充在上面的橫線處，并解答.①過直線％-5y-5=0與直線x-2y-8=0的交點C；②圓E

恒被直線1：(m+l)x+(m—3)y-6m-2=0(meR)平分；③與y軸相切.

(1)求圓E的方程；

(2)求過點的圓E的切線方程.

題型3平行垂直與切線問題

【例題312022秋?廣東潮州高二統(tǒng)考期末在圓(x-1產+y2=5上一點P(2,2)的切線與直線a久-y+l=

。垂直，則a=()

A.2B.|C.-|D.-2

【變式3-1]1.(2020秋?甘肅武威?高二民勤縣第一中學校考期中)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程

為/+y2一4尤=o,若直線y=/+1)上存在一點P,使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的取

值范圍是

A.(-2V2,2V2)B.(-OO.-2V2)u(2V2,+00)

C.[-2V2,2V2|D.(-oo,-2V2]U[2V2,+00)

【變式3-1]2.(2022?全國?高三專題練習)點M(0,2)為圓C:(-4)2+(y+I)2=25上一點,過M作圓的

切線L且直線1與直線上4x-ay+2=0平行，則/與之間的距離是()

A.2B.-C.-D.-

555

【變式3-1】3.(多選)(2023秋?山東荷澤?高二山東省鄴城縣第一中學?？茧A段練習)在平面直角坐標

系xOy中，圓C的方程為/+f—4x=0.若直線y=k(x+1)上存在一點P,使過P所作的圓的兩條切

線相互垂直，則實數(shù)k的取值可以是()

A.3B.1C.2D.-2

【變式3-1]4.(2022高二課時練習)過點P(-2,4)作圓0:。-2)2+(y-I)2=25的切線/,直線機:ax-

3y=0與直線I平行，則直線1與血的距離為

【變式3-1]5.(2022秋?山東荷澤?高二山東省郭城第一中學?？茧A段練習)過點”(-2,4)作圓C:(%-2)2+

(y-I)2=25的切線/,且直線ax+3y+2a=。與I平行，則%與/間的距離是

【變式3-1】6(2020秋?湖南邵陽?高二湖南省邵東市第三中學?？紝W業(yè)考試)已知直線匕與直線％：3x+4y+

1=。平行且與圓C：/+V+2y-3=0相切,則直線。的方程是.

題型4切點弦相關問題

【例題4](2023秋?江蘇揚州?高二揚州中學?？茧A段練習)已知圓C:Q-2)2+(y-3)2=4,若點P

在直線x-y-4=0上運動，過點P作圓C的兩條切線24,PB,切點分別為A,B,則直線48過定點坐標

為()

A6）B.管，）C.（抬）D.（3勺

【變式4-1]1.（2023?全國?高二隨堂練習）過點（3,1）作圓O-+y2=1的兩條切線,切點分別為A,

B,求直線AB的方程.

【變式4-1]2.（2023?全國?高二隨堂練習）過原點O作圓/+外—6%-8y+20=。的兩條切線，設切

點分別為P,Q,求線段PQ的長.

【變式4-1】3.（2023?全國?高二隨堂練習）直線。和％是圓/+*=2的兩條切線，若4與"的交點為（1,-3）,

求。與％的夾角的正切值

【變式4-1】4.（2023秋?貴州?高二貴州省興義市第八中學校聯(lián)考階段練習）已知圓C：/+y2=1,直線

+3y-10=0,P為直線Z上一點,過點P作圓C的兩條切線P4P8,其中48為切點，目|P川最小.

（1）求直韌B的方程；

（2）Q為圓C與x軸正半軸的交點，過點P作直線1與圓C交于兩點M,N，設QM,QN的斜率分別為七也，求證：

自+優(yōu)為定值.

【變式全國高二隨堂練習）由動點向圓廣+引兩條切線，切點分別為

4-1]5.（2023??Py2=1pa,PBA,

B/APB==,求動點P的軌跡方程.

【變式4-1】6.（2022?全國?高三專題練習）過圓/=16外一點P（4,2）向圓引切線.

（1）求過點P的圓的切線方程；

（2）若過點P的直線截圓所得的弦長為4b，求該直線的方程；

（3）若過P點引圓的兩條切線，切點分別為七、P2,求過切點Pi、P2的直線方程.

題型5圓的弦長問題

【例題5]（2023春訶南周口?高二校聯(lián)考期中）在x,y軸上的截距分別為4,-3的直線1被圓。：/+必—

10%-4y+19=0截得的弦長為（）

A.3B.6C.2V3D.4或

【變式5-1J1.（2023?江蘇?高二專題練習）與圓/+f_4丫=0相交所得的弦長為2,且在y軸上截距為

-1的直線方程是

【變式5-1】2.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學?？寄M預測）已知直線％-y-l=0與圓C相交于A,

B兩點，其中點4（2,1）,若[4B|=2V2,且圓C與y軸相切，則圓C的方程為

【變式5-1J3.（2023秋?高二課時練習）已知直線x-y+m=0與圓C:x2+y2+4y=0相交于4B兩點，

若方-CB=0,則根的值為（）

A.—4或0B.-4或4C.。或4D.-4或2

【變式5-1]4.（2023秋?全國?高二專題練習）已知A,B是圓C:（久-3/+（y-1）2=9上的兩個動點,

且=2V5,若P（0,-3），則點P到直線AB距離的最大值為（）

A.2B.3C.4D.7

【變式5-1]5.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學校考模擬預測）已知直線x-y-l=。與圓C相交于A,

B兩點，其中點4（2,1）,若|AB|=2V2,且圓C與y軸相切，則圓C的方程為

題型6弦長最短問題

【例題6]（2022秋?山西?高二長治市上黨區(qū)第一中學校校聯(lián)考期中）已知直線&-y-A+l=。和圓

C-.x2+y2-4y=0交于48兩點，則|4B|的最小值為（）

A.2B.V2C.4D.2V2

【變式6-1J1.（2022秋?山東淄博?高二校聯(lián)考階段練習）已知直線y=kx+m（爪為常數(shù)）與圓/+^=5

交于點M、N,當k變化時，若|MN|的最小值為2,則爪=（）

A.+1B.+V2C.+V3D.+2

【變式6-1]2.（2023?江蘇?高二專題練習）已知圓C:（%-2）2+（y—4）2=35,直線/:（2m+l）x+（m+

l）y-7m-4=0則直線許皮圓C截得的弦長的最小值為（）

A.5B.4V5C.10D.2V5

【變式6-1]3.（2023秋廣東高三校聯(lián)考階段練習）直線x+y-2cos0=。被圓/+必++2=0截

??2A/3X

得的弦長最大值為（）

A亞B.?C.2D.延

5105

【變式6-1J4.（多選I2023?河北保定?統(tǒng)考二模圮知直線Z:——y—k=0，圓M:x2+y2+Dx+Ey+1=

0的圓心坐標為（2,1）,則下列說法正確的是（）

A.直線膽過點（1,0）

B.0=-4,E=-2

C.直線，被圓M截得的最短弦長為2舊

D.當k=1時，圓”上存在無數(shù)對點關于直線/對稱

【變式6-1]5.（多選X2023秋?河北滄州?高二泊頭市第一中學?？茧A段練習）已知圓C：/+（y一i）2=5,

直線以-2y-8=0,點P在直線I上運動，直線PA,PB分別切圓C于點A,B則下列說法正確的是（）

A.四邊形PACB的面積最小值為5次

B.M為圓C上一動點，則|MP|最小值為2代

C.|P川最短時，弦4B直線方程為2x-4y-1-0

D.|P川最短時，弦4B長為后

【變式6-1]6.（2022秋?吉林長春?高二長春外國語學校?？计谥校┲本€/過M（-1,1）目與圓C：/+y2=4交

于48兩點，當弦最長時，直線珀勺方程為

題型7取值范圍相關問題

【例題7]（2023?江蘇高二專題練習）已知圓C:（%-2￥+*=1,點p是直線[：x+y=。上一動點，過

點P作圓C的兩條切線，切點分別為A,B.

⑴若P的坐標為P（-1,1）,求過點P的切線方程；

（2）直線x-y+m=。與圓C交于E,F兩點，求而.赤的取值范圍（O為坐標原點）.

【變式7-1]1.(2022?高二課時練習)我們知道:當P(x0,yo)是圓O：x2+y2=產上一點,則圓O的過

點P的切線方程為尤°”+yoy=產；當P(x0,y。)是圓O：/+*=產外一點，過p作圓。的兩條切線，切點

分別為4B,則方程而久+yoy=N表示直線AB的方程，即切點弦所在直線方程.請利用上述結論解決以下

問題：已知圓C的圓心在x軸非負半軸上泮徑為3，且與直線y=X+3&相切，點P在直線2比+y=9上，

過點P作圓C的兩條切線，切點分別為4B.

(1)求圓C的方程；

⑵當P(3,3)時，求線段AB的長；

⑶當點P在直線2x+y=9上運動時，求線段AB長度的最小值.

【變式7-1]2.(2023秋?江蘇揚州?高二揚州中學?？茧A段練習)已知圓”:%2+(y-3)2=10，點B(l,0)

與C(3,2)為圓H上兩點.

(1)若直線/過點C,且被圓“截得的弦長為2,求直線珀勺方程；

(2)對于線段上的任意一點P,若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M,N，使得點M是線段PN的中點，

求圓C的半徑r的取值范圍.

【變式7-1]3.(2023秋?河北邢臺?高二河北南宮中學校考階段練習)已知圓c：X2+(A-2)x+y2+2Ay+

1—A=0.

(1)證明：圓C過定點.

(2)當4=2時，求直線y=%被圓C截得的弦長.

(3)當2=2時，若直線/:y=kx-1與圓C交于M,N兩點，且麗-ON<-2,其中。為坐標原點，求k的取值

范圍.

【變式7-1]4.(2022秋?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中)已知圓C:x2+y2-2x-6=0和定點4(-4,0),直

線I：y=m(x+6)-8(mG/?).

Q)當租=1時，求直線I被圓C所截得的弦長;

（2）若直線I上存在點M,過點M作圓C的切線，切點為B,滿足|AM|=V2|MB|,求m的取值范圍.

【變式7-1]5.（2023?全國?高三專題練習）在直角坐標系xOy中，已知圓C的方程為：/+必—?=0.若

4（勺,%）,BQ2,%）是圓C上不同的兩點，且=2V2,求久1久2+為為的最大值.

題型8切線長問題

【例題8]（2023?江蘇,高二專題練習）已知直線1:久+ay-1=0（aeR）是圓C:一+必一6久-2y+1=0

的對稱軸，過點P（-4,a）作圓C的一條切線，切點為2，則|P*=（）

A.2B.±4V3C.2V10D.7

【變式8-1]1.（2022秋?福建寧德?高二統(tǒng)考期中）設P是直線1:x+y+1=。上的動點,過P作圓C:

（%-3尸+（y-4）2=4的切線，則切線長的最小值為（）

A.4B.4V2C.2V5D.2V7

【變式8-1]2.（2022秋福建漳州?高二?？计谥校┤魣AC：/+必+2%-4y+3=0上任意一點關于直

線2ax+力+6=。的對稱點都在圓C上,由點（a,b）向圓C作切線，則切線段長的最小值為（）

A.2B.4C.5D.6

【變式8-1]3.（2023秋?江蘇泰州?高二泰州中學校考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:

（%-+V=4,若直線|：刀+y+6=0上有且只有一個點P滿足:過點P作圓C的兩條切線PM,PN,

切點分別為M,N,且使得四邊形PMCN為正方形，則負實數(shù)m的值為（）

A.-1B.-2V2C.-3D.-5

【變式8-1]4.（2023秋?廣東珠海?高三珠海市第二中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，過直線2%-

y-3=0上一點P作圓C：X2+2x+y2=1的兩條切線，切點分別為4B,貝（Isin/APB的最大值為（）

【變式8-1]5.（2023?江蘇?高二專題練習）已知圓C與直線x-2y-2=。相切于點M（2,0）,且圓心C在

直線y=-x上.過原點引圓C的切線，則切線長為

【變式8-1]6.（2023?江蘇?高二專題練習）已知。M：（久一1乃+（y—1尸=4,直線I:2x+y+2=0,

點P為直線I上的動點，過點P作。M的切線24,切點為A,則切線段|P川長的最小值為.

題型9兩圓公共弦長（方程）問題

【例題9]（2023春?全國?高二校聯(lián)考階段練習）若圓/+丫2=4與圓/+y2+2%+町_8=0的公共弦

長為2虎，貝!]a=（）

A.±2B.+4C.2D.4

【變式9-1]1.（2022秋?福建漳州?高二校考期中）已知圓G：/+外一4%一句/+4=。與圓C2:/+/_

4=0交于2,3兩點，貝（][4引=（）

A.V2B.V3C.2D.2V2

【變式9-1]2.（多選）（2022秋?吉林長春?高二長春外國語學校?？计谥校┮阎獔AG:（x-I）2+（y-3）2=

11與圓C2：x2+y2+2%-2my+m2-3=0,則下列說法正確的是（）

A.右圓C2與久軸相切，則爪—2

B.若爪=-3,則圓6與圓。2相離

C.若圓C1與圓C2有公共弦，則公共弦所在的直線方程為4x+（6-2m）y+m2+2=0

D.直線for+y-2k-1=。與圓前始終有兩個交點

【變式9-1]3.（多選）（2023秋?貴州?高二貴州省興義市第八中學校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系xOy

中，圓M:（x-a）2+（y-a）2=1（a為實數(shù)），點4（2,0）,B（—l,0），點P為圓N:（x+2）2+y2=4上的動點,

則（）

A.若Q（-1,2）,過點Q可以作圓N的兩條切線

B.當a=0時，圓”與圓N的公共弦長為學

4

C.圓M上始終存在兩點與點B的距離為1,貝必的取值范圍為（三,笞）

D.PA-而的取值范圍為[-2,18]

【變式9-1J4.(2023秋?山東泰安?高三統(tǒng)考階段練習)已知圓Ax2+y2-4y=0與圓B:x2+y2-2x=0

相交于O,C兩點，其中點。是坐標原點，點48分別是圓4與圓B的圓心，貝!JCOSNCMC=()

A.--B.-C.--D.-

5555

【變式9-l]5.(2023春?浙江?高二校聯(lián)考開學考試)若圓Q：/+*=4與圓金:(x-a)2+y2=16(a6R)

相交于4B兩點，且兩圓在力點處的切線互相垂直，則線段4B的長是

題型10公切線相關問題

【例題10](2023秋?高二課時練習)圓。1：/+>2+2久+2y—2=0和圓C2：/+y2-4%-2y+1=0的

公切線的條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

22

【變式10-1J1.(2023秋?全國?高二階段練習W：(x-2/+(y—=1，圓N：(x+2)+(y+l)=1,

則兩圓的一條公切線方程為()

A.x+2y—0B.4x+3y—0

C—2y+V5=0D.x+2y—V5=0

22

【變式10-1]2.(多選)(2023秋遼寧朝陽?高二建平縣實驗中學?？计谀?已知OC1：x+y=1與。

22

C2：(x-3cos0)+(y-3sine)=4,則下列說法正確的是()

A.OG與。Q有2條公切線

B.當8=即寸，直線x+y-V2=0是。C]與。C2的公切線

C.若MN分別是。G與。上的動點，則|MN|的最大值是3

D.過點6作。。2的兩條切線，切點分別是P,Q,則四邊形QPC2Q的面積是2遍

【變式10-1J3.(多選J2023?全國?高三專題練習)已知圓/+外=4和圓M:x2+y2-4%+2y+4=0

相交于4B兩點，下列說法正確的是()

A所有過點4,B的圓系的方程可以記為+y2-4)+A(x2+y2-4x+2y+4)=0(其中46R力一1)

B.直線48的方程為y=2%+4

C.線段2B的長為華

D.兩圓有兩條公切線y=-2與4x+3y-10=0

【變式10-1]4.(2023秋?全國,高二階段練習)過P(x,y)作圓G：x2+y2-2x=。與圓Q：比之+y2-6x-

6y+14=0的切線，切點分別為4,B,若伊川=|PB|,則久2+必的最小值為.

【變式10-1]5.(2023秋河南焦作?高二?？茧A段練習)已知圓C]必+*=1與圓C2必+/一2%—2y+

1=0

(1)求經(jīng)過圓G與圓C2交點的直線方程；

(2)求圓q與圓。2的公共弦長.

【變式10-1】6.(2023?全國?高二課堂例題)證明圓的:x2+y2-4x-16=。與圓Q：產+y2+2y-4=0

內切，并求它們的公切線方程.

題型11中點弦問題

【例題11](2023?湖南郴州?統(tǒng)考模擬預測)已知A,B是。C：(X-2￥+。-4尸=25上的兩個動點,

P是線段4B的中點，若|AB|=6,則點P的軌跡方程為()

A.(x—4)2+(y—2尸=16B.(x—2)2+(y—4)2=11

C.(x—2/+(y—4)2—16D.(x—4)2+(y—2)2=11

【變式11-1】1.(2023秋?高二課時練習)設半徑為3的圓C被直線1:x+y-4=。截得的弦的中點為

P(3,l),且弦長=2V7，則圓C的標準方程.

【變式11-1]2.(2023?江蘇?高二專題練習)點力(3,5)是圓一+于一4久一8y-80=0的一條弦的中點,

則這條弦所在直線的方程為.

【變式11-1]3.(2023?全國高二專題練習)已知圓M：(%-4)2+/=16,過點N(2,0)的直線與圓M交

于4B兩點，。是AB的中點，則。點的軌跡方程為

【變式11-1]4.（2022?全國?高三專題練習）已知圓。:產+4=1,直線/：久+y-2=0,過/上的點P作

圓。的兩條切線，切點分別為48,則弦48中點M的軌跡方程為.

【變式11-1]