2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：2.1 一次方程（組）（教師版）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）

第二章方程與不等式

2.1一次方程（組）

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1一元一次方程的解數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)一次方程（組）的部分，每年考查

☆☆

法及解的應(yīng)用1道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答

題的形式考察。若以解答題出現(xiàn)，考法基本上是兩種

考點(diǎn)2二元一次方程(組)

☆☆

類(lèi)型：一是根據(jù)題意列出一次方程（組），解方程求

及其解法

解，給出結(jié)論；二是根據(jù)題意列出一次方程，結(jié)合不

考點(diǎn)3二元一次方程(組)

☆☆☆等式，函數(shù)來(lái)確定作答思路?？疾榱蟹匠探鈶?yīng)用題是

的實(shí)際應(yīng)用

每年全國(guó)各省市必考內(nèi)容，需要學(xué)生深入系統(tǒng)掌握列

考點(diǎn)4列一次方程(組)解各種應(yīng)用題類(lèi)型的等量關(guān)系，考查知識(shí)比較綜合。

☆☆☆

應(yīng)用題的常用分析

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.一元一次方程的解法及解的應(yīng)用

1.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式。

性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。

要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。

（2）理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況:

①a≠0時(shí)，方程有唯一解x＝b/a；

②a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解；

③a=0，b≠0時(shí)，方程無(wú)解。

2.解一元一次方程的一般步驟

（1）去分母。在方程的兩邊都乘以各自分母的最小公倍數(shù)。去分母時(shí)不要漏乘不含分母的項(xiàng)。當(dāng)分

母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)。

（2）去括號(hào)。括號(hào)前負(fù)號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)時(shí)里面各項(xiàng)應(yīng)變號(hào)。

（3）移項(xiàng)。把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。

（4）合并同類(lèi)項(xiàng)。把若干能合并的式子的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，起到化簡(jiǎn)的作用。

（5）系數(shù)化為1，得出一元一次方程的解。

3.一元一次方程解的應(yīng)用

（1）使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

（2）根據(jù)一元一次方程的解可以求代數(shù)式的值；根據(jù)一元一次方程的解可以求字母的值；根據(jù)一元

一次方程的解可以解決其他問(wèn)題。

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】

在解類(lèi)似于“ax+bx＝c”的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類(lèi)項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+b）x＝c．使

方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡(jiǎn)形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求x

時(shí)，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，a、b同號(hào)x為正，a、b異

號(hào)x為負(fù)．

考點(diǎn)2.二元一次方程(組)及其解法

1.二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次。方程一般

形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。

2．二元一次方程組：把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成一個(gè)二元一次方程組。

3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的

解。

4．二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解。

a1xb1yc1

一般形式為

a2xb2yc2

【溫馨提醒】二元一次方程組滿足三個(gè)條件：

①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．

②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．

③每個(gè)方程都是一次方程．

5．二元一次方程組的解法：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。消元，即

將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

（1）代入消元：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，

進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。

（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，

就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。

考點(diǎn)3.二元一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用

1.方程(組)的實(shí)際問(wèn)題

利潤(rùn)

（1）銷(xiāo)售打折問(wèn)題：利潤(rùn)售價(jià)-成本價(jià)；利潤(rùn)率=×100％；售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；銷(xiāo)售額=售價(jià)×

成本

數(shù)量．

（2）儲(chǔ)蓄利息問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利

息=貸款額×利率×期數(shù)．

（3）工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間．

（4）行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間．

（5）相遇問(wèn)題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．

（6）追及問(wèn)題一（同地不同時(shí)出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．

（7）追及問(wèn)題二（同時(shí)不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．

（8）水中航行問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．

（9）飛機(jī)航行問(wèn)題：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速度；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速度．

（10）和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率

（11）數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：abcda103b102c10d.

（12）其他問(wèn)題：探索尋找等量關(guān)系，構(gòu)造方程。

2.解有關(guān)方程(組)的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟

第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系。

第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。

第3步：列方程(組)。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程(組)。

第4步：解方程(組)。根據(jù)方程(組)的類(lèi)型采用相應(yīng)的解法。

第5步：檢驗(yàn)作答。檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答。

考點(diǎn)4.列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析

1.由實(shí)際問(wèn)題列方程組：是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量

聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系．

2.所列方程必須滿足條件：

①方程兩邊表示的是同類(lèi)量；

②同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；

③方程的等號(hào)兩邊的數(shù)值要相符．

3.找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有如下規(guī)律和方法：

①確定應(yīng)用題的類(lèi)型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．

②將問(wèn)題中給出的條件按意思分割成兩個(gè)方面，有“；”時(shí)一般“；”前后各一層，分別找出兩個(gè)等

量關(guān)系．

③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．

④圖形問(wèn)題，分析圖形的長(zhǎng)、寬，從中找等量關(guān)系．

【易錯(cuò)點(diǎn)提示】

在列方程（組）實(shí)際問(wèn)題時(shí)，設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要

求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方

程．

考點(diǎn)1.一元一次方程的解法及解的應(yīng)用

【例題1】（2023貴州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：

解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①

去括號(hào)，得3x+3﹣1＝2x﹣2②

移項(xiàng)，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③

合并同類(lèi)項(xiàng)，得x＝﹣4④

以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

【答案】A

【解析】對(duì)題目的解題過(guò)程逐步分析，即可找出出錯(cuò)的步驟．

方程兩邊同乘6應(yīng)為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），

∴出錯(cuò)的步驟為：①，故選：A．

本題考查解一元一次方程，解題關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確觀察出出錯(cuò)的步驟．

【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024廣州一模）運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（）

A．如果a=b，則a+c=b﹣cB．如果a2=3a，那么a=3

C．如果a=b，則=D．如果=，則a=b

【答案】D

【解析】A．根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊都加c，得到a+c=b+c，故A不正確；

B．因?yàn)楦鶕?jù)等式性質(zhì)2，a≠0，所以不正確；

C．因?yàn)閏必需不為0，所以不正確；

D．根據(jù)等式性質(zhì)2，兩邊都乘以c，得到a=b，所以D成立。

【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024百色一模）方程3x＝2x+7的解是（）

A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7

【答案】C

【解析】方程移項(xiàng)合并，即可求出解．

移項(xiàng)得：3x﹣2x＝7，

合并同類(lèi)項(xiàng)得：x＝7．故選：C．

此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024聊城一模）若﹣3＜a≤3，則關(guān)于x的方程x+a＝2解的取值范圍為（）

A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5

【答案】A

【解析】x+a＝2，

x＝﹣a+2，

∵﹣3＜a≤3，

∴﹣3≤﹣a＜3，

∴﹣1≤﹣a+2＜5，

∴﹣1≤x＜5，故選：A．

【例題2】（2024福建?。┙衲晡覈?guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)開(kāi)局良好，市場(chǎng)銷(xiāo)售穩(wěn)定增長(zhǎng)，社會(huì)消費(fèi)增長(zhǎng)較快，第

一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長(zhǎng)4.7%，求去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品

零售總額．若將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元，則符合題意的方程是（）

A.14.7%x120327B.14.7%x120327

xx

C.120327D.120327

14.7%14.7%

【答案】A

【解析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，根據(jù)今年第一季

度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長(zhǎng)4.7%，列出方程即可．

將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元，根據(jù)題意得：

14.7%x120327，故選：A．

【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024棗莊一模）《算學(xué)啟蒙》是我國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中記載一道問(wèn)題：

“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？”題意是：

快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問(wèn)快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x

天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）

A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12

C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12

【答案】D

【解析】利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合x(chóng)天快馬比慢馬多走的路程為慢馬12天走的路程，即可得出

關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．

依題意得：240x﹣150x＝150×12．故選：D．

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2023?陜西）小紅在一家文具店買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共

用了62元．已知她買(mǎi)的這種大筆記本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆

記本的單價(jià)．

【答案】8元

【解析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，根據(jù)買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，

共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．

設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是（x﹣3）元，

∵買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，

∴4x+6（x﹣3）＝62，

解得：x＝8；

答：該文具店中這種大筆記本的單價(jià)為8元．

本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程解決問(wèn)題．

考點(diǎn)2.二元一次方程(組)解法及解的應(yīng)用

x2y3

【例題3】（2024廣西）解方程組：

x2y1

x2

【答案】1

y

2

【解析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可．

x2y3①

【詳解】，

x2y1②

①②得：2x4，

解得：x2，

把x2代入①得：

1

y，

2

x2

∴方程組的解為：1.

y

2

【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024四川樂(lè)山一模）解二元一次方程組：．

【答案】．

【解答】解：，

①×2得：2x﹣2y＝2③，

②+③得：5x＝10，

解得：x＝2，

把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，

解得：y＝1，

∴原方程組的解為：．

【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024河南一模）方程組的解為．

【答案】．

【解析】利用加減消元法求解或代入消元法求解都比較簡(jiǎn)便．

，

①+②，得4x+4y＝12，

∴x+y＝3③．

①﹣③，得2x＝2，

∴x＝1．

②﹣①，得2y＝4，

∴y＝2．

∴原方程組的解為．

故答案為：．

本題主要考查了解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)3.二元一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用

【例題4】（2024深圳）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩(shī)：我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到

店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩(shī)的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間

客房住7人，那么有7人無(wú)房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設(shè)該店有客房x間，

房客y人，則可列方程組為（）

7x7y7x7y

A.B.

9x1y9x1y

7x7y7x7y

C.D.

9x1y9x1y

【答案】A

【解析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組．設(shè)該店有客房x間，房客y人；每一間客房

住7人，那么有7人無(wú)房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可．

【詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：

7x7y

，故選：A．

9x1y

【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024甘孜州一模）有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3

斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛.1個(gè)大桶、1個(gè)小桶

分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】根據(jù)“5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛，1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛”即可得

出關(guān)于x、y的二元一次方程組．

由題意得：，故選：A．

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解

題的關(guān)鍵．

【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024張家界一模）為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級(jí)師生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，原計(jì)

劃租用45座客車(chē)若干輛，但有15人沒(méi)有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車(chē)，則多出三輛車(chē)，且其

余客車(chē)恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車(chē)，它們的載客量和租金如下表所示：

甲型客車(chē)乙型客車(chē)

載客量（人/輛）4560

租金（元/輛）200300

（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用多少輛45座客車(chē)？

（2）若租用同一種客車(chē)，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？

【答案】（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是600人，原計(jì)劃租用13輛45座客車(chē)；

（2）租用14輛45座客車(chē)更合算．

【解答】（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是x人，原計(jì)劃租用y輛45座客車(chē)．

根據(jù)題意，得，

解得．

答：參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是600人，原計(jì)劃租用13輛45座客車(chē)；

（2）租45座客車(chē)：600÷45≈14（輛），所以需租14輛，租金為200×14＝2800（元），

租60座客車(chē)：600÷60＝10（輛），所以需租10輛，租金為300×10＝3000（元），

∵2800＜3000，

∴租用14輛45座客車(chē)更合算．

【對(duì)點(diǎn)變式練3】（2024齊齊哈爾一模）列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：

學(xué)校為了支持體育社團(tuán)開(kāi)展活動(dòng)，鼓勵(lì)同學(xué)們加強(qiáng)鍛煉，準(zhǔn)備增購(gòu)一些羽毛球拍和乒乓球拍．

（1）根據(jù)圖中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的價(jià)格；

（2）學(xué)校準(zhǔn)備用5300元購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的數(shù)量為羽毛球拍數(shù)量的3倍，請(qǐng)問(wèn)

最多能購(gòu)買(mǎi)多少支羽毛球拍？

【答案】（1）每支羽毛球拍的價(jià)格為80元，每支乒乓球拍的價(jià)格為60元；

（2）最多能購(gòu)買(mǎi)20支羽毛球拍．

【解答】（1）設(shè)每支羽毛球拍的價(jià)格為x元，每支乒乓球拍的價(jià)格為y元，

依題意得：，

解得：．

答：每支羽毛球拍的價(jià)格為80元，每支乒乓球拍的價(jià)格為60元．

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m支羽毛球拍，則購(gòu)買(mǎi)3m支乒乓球拍，

依題意得：80m+60×3m≤5300，

解得：m≤．

又∵m為整數(shù)，

∴m的最大值為20．

答：最多能購(gòu)買(mǎi)20支羽毛球拍．

考點(diǎn)4.列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析

【例題5】（2024江蘇連云港）我市將5月21日設(shè)立為連云港市“人才日”，以最大誠(chéng)意禮遇人才，

讓人才與城市“雙向奔赴”．活動(dòng)主辦方分兩次共郵購(gòu)了200把繪有西游文化的折扇作為當(dāng)天一項(xiàng)活

動(dòng)的紀(jì)念品．折扇單價(jià)為8元，其中郵費(fèi)和優(yōu)惠方式如下表所示：

郵購(gòu)數(shù)

1~99100以上（含100）

量

郵寄費(fèi)總價(jià)的

免費(fèi)郵寄

用10%

折扇價(jià)

不優(yōu)惠打九折

格

若兩次郵購(gòu)折扇共花費(fèi)1504元，求兩次郵購(gòu)的折扇各多少把？

【答案】?jī)纱梧]購(gòu)的折扇分別是40把和160把

【解析】【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，首先判斷出兩次購(gòu)買(mǎi)數(shù)量的范圍，再設(shè)設(shè)一次

郵購(gòu)折扇x(x100)把，則另一次郵?折扇(200x)把，根據(jù)“兩次郵購(gòu)折扇共花費(fèi)1504元”列出

一元一次方程，求解即可

【詳解】解：若每次購(gòu)買(mǎi)都是100把，則20080.914401504．

一次購(gòu)買(mǎi)少于100把，另一次購(gòu)買(mǎi)多于100把．

設(shè)一次郵購(gòu)折扇x(x100)把，則另一次郵購(gòu)折扇(200x)把．

由題意得：8x(110%)0.98(200x)1504，

解得x40．

200x20040160．

答：兩次郵購(gòu)的折扇分別是40把和160把．

【對(duì)點(diǎn)變式練1】（2024安徽一模）（數(shù)字問(wèn)題）一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大

9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．

【答案】14

【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個(gè)位上的數(shù)為y，則

10xyxy9x1

解方程組，得，

10yx10xy27y4

因此，所求的兩位數(shù)是14．

【對(duì)點(diǎn)變式練2】（2024青海一模）（速度問(wèn)題）在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個(gè)加油站，

A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個(gè)加油站實(shí)施搶劫的兩個(gè)犯罪

團(tuán)伙作案后同時(shí)以相同的速度駕車(chē)沿高速公路逃離現(xiàn)場(chǎng)，正在B站待命的兩輛巡邏車(chē)接到指揮中心的

命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個(gè)加油站駛?cè)?，結(jié)果往B站駛來(lái)的團(tuán)伙在1小時(shí)后就被其中

一輛迎面而上的巡邏車(chē)堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過(guò)3小時(shí)后才被另一輛巡邏車(chē)追趕上．問(wèn)巡邏車(chē)和犯罪

團(tuán)伙的車(chē)的速度各是多少？

【答案】巡邏車(chē)的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度是40千米/時(shí)．

【解析】設(shè)巡邏車(chē)、犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度分別為x、y千米/時(shí)，則

3xy120xy40x80

，整理，得，解得，

xy120xy120y40

因此，巡邏車(chē)的速度是80千米/時(shí)，犯罪團(tuán)伙的車(chē)的速度是40千米/時(shí)．

考點(diǎn)1.一元一次方程的解法及解的應(yīng)用

1.（2024貴州省）小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺(tái)天平的左右兩邊分別放入“■”“●”

“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)

系式正確的是（）

A.xyB.x2yC.x4yD.x5y

【答案】C

【解析】本題考查等式的性質(zhì)，設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，根據(jù)題意列出等式xyy2a，xax2y，

然后化簡(jiǎn)代入即可解題．

【詳解】設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，

由甲圖可得xyy2a，即x2a，

由乙圖可得xax2y，即a2y，

∴x4y，故選C．

2.（2024貴州?。┰谠焓澜芩摹端阈g(shù)啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240

里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則快馬追上慢馬需要的天數(shù)是______．

【答案】20

【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)快馬追上慢馬需要x天，根據(jù)快馬走的路程等于慢馬走

的總路程，列方程求解即可．

【詳解】設(shè)快馬追上慢馬需要x天，

根據(jù)題意，得240x150x12，

解得x=20．

3.（2024廣州）某新能源車(chē)企今年5月交付新車(chē)35060輛，且今年5月交付新車(chē)的數(shù)量比去年5月

交付的新車(chē)數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車(chē)企去年5月交付新車(chē)x輛，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.1.2x110035060B.1.2x110035060

C.1.2(x1100)35060D.x1100350601.2

【答案】A

【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)該車(chē)企去年5月交

付新車(chē)x輛，根據(jù)“今年5月交付新車(chē)的數(shù)量比去年5月交付的新車(chē)數(shù)量的1.2倍還多1100輛”列

出方程即可．

【詳解】解：設(shè)該車(chē)企去年5月交付新車(chē)x輛，

根據(jù)題意得：1.2x110035060，故選：A．

4.（2024廣西）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)問(wèn)題，大致意思為：現(xiàn)

有田出租，第一年3畝1錢(qián)，第二年4畝1錢(qián)，第三年5畝1錢(qián)．三年共得100錢(qián)．問(wèn)：出租的田有

多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（）

xxxxxx

A.1B.100

345345

C.3x4x5x1D.3x4x5x100

【答案】B

【解析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“第一年3畝1錢(qián)，第二年4畝1錢(qián)，第三年5畝1

錢(qián)．三年共得100錢(qián)”列方程即可．

xxx

根據(jù)題意，得100，故選：B．

345

考點(diǎn)2.二元一次方程(組)及其解法

2xy7

1.（2024江蘇蘇州）解方程組：．

2x3y3

x3

【答案】

y1

【解析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法求解．根據(jù)加減消元法解二

元一次方程組即可．

2xy7①

2x3y3②

①②得，4y4，解得，y1．

將y1代入①得x3．

x3

方程組的解是

y1

2.（2024眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【解析】把方程組的兩個(gè)方程相減得到2x﹣2y＝2m+6，結(jié)合x(chóng)﹣y＝4，得到m的值．

∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為，

①﹣②，得：

2x﹣2y＝2m+6，

∴x﹣y＝m+3，

∵x﹣y＝4，

∴m+3＝4，

∴m＝1．故選：B．

本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是把方程組的兩個(gè)方程相減得到m的方程，此題難

度不大．

考點(diǎn)3.二元一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用

1.（2024黑龍江齊齊哈爾）校團(tuán)委開(kāi)展以“我愛(ài)讀書(shū)”為主題的演講比賽活動(dòng)，為獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的

學(xué)生，計(jì)劃拿出200元錢(qián)全部用于購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購(gòu)買(mǎi))作為獎(jiǎng)

品，則購(gòu)買(mǎi)方案有（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

【答案】B

【解析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，設(shè)單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本分別為x,y個(gè)，

根據(jù)題意列出方程，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即可求解．

【詳解】設(shè)單價(jià)分別為8元和10元的兩種筆記本分別為x,y個(gè)，

依題意，8x10y200

5y

∴x25

4

∵x，y為正整數(shù)，

∴當(dāng)y4時(shí)，x20，

當(dāng)y8時(shí)，x15

當(dāng)y12時(shí)，x10

當(dāng)y16時(shí)，x5

∴購(gòu)買(mǎi)方案有4種，故選：B．

2.（2024湖北?。毒耪滤阈g(shù)》中記載這樣一個(gè)題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只

共值8金，問(wèn)牛和羊各值多少金？設(shè)每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程為（）

5x2y102x5y10

A.B.

2x5y85x2y8

5x5y105x2y10

C.D.

2x5y82x2y8

【答案】A

【解析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)未知數(shù)，將今有牛5頭，羊2頭，共值10金；牛

2頭，羊5頭，共值8金，兩個(gè)等量關(guān)系具體化，聯(lián)立即可．

【詳解】解：設(shè)每頭牛值x金，每頭羊值y金，

∵牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，

5x2y10

∴，故選：A．

2x5y8

3.（2024內(nèi)蒙古赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制

成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現(xiàn)在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問(wèn)恰好用A型鋼板、B

型鋼板各多少塊？如果設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（）

3x2y403x5y403x5y583x4y58

A.B.C.D.

4x5y584x2y584x2y405x2y40

【答案】C

【解析】

【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)題意設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，再

利用現(xiàn)需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板分別得出方程組即可．

【詳解】設(shè)用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，

3x5y58

由題意得：，故選：C．

4x2y40

4.（2024四川成都市）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)題目：今有共買(mǎi)琎，人出

半，盈四；人出少半，不足三．問(wèn)人數(shù)，琎價(jià)各幾何？其大意是：今有人合伙買(mǎi)琎石，每人出1錢(qián)，

2

1

會(huì)多出4錢(qián)；每人出錢(qián)，又差了3錢(qián)．問(wèn)人數(shù)，琎價(jià)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，琎價(jià)為y，則可列方

3

程組為（）

1111

yx4yx4yx4yx4

2222

A.B.C.D.

1111

yx3yx3yx3yx3

3333

【答案】B

【解析】本題主要考查了列二元一次方程組，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可．

設(shè)人數(shù)為x，琎價(jià)為y，

11

根據(jù)每人出錢(qián)，會(huì)多出4錢(qián)可得出yx4，

22

11

每人出錢(qián)，又差了3錢(qián)．可得出yx3，

33

1

yx4

2

則方程組為：，故選：B．

1

yx3

3

5.（2024江蘇鹽城）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載的“繩索量竿”問(wèn)題，大意是：現(xiàn)

有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長(zhǎng)5尺；若將繩索對(duì)折去量竿子，繩索就比竿

子短5尺，問(wèn)繩索、竿子各有多長(zhǎng)？該問(wèn)題中的竿子長(zhǎng)為_(kāi)_______尺．

【答案】15

【解析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是

解題關(guān)鍵．

設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，根據(jù)“用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，

就比竿短5尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．

【詳解】設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，

xy5

根據(jù)題意得：x．

y5

2

x20

解得：

y15

考點(diǎn)4.列一次方程(組)解應(yīng)用題的常用分析

1.（2024安徽?。┼l(xiāng)村振興戰(zhàn)略實(shí)施以來(lái)，很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一

些田地．采用新技術(shù)種植A，B兩種農(nóng)作物．種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如表：

農(nóng)作物品每公頃所需人

每公頃所需投入資金（萬(wàn)元）

種數(shù)

A48

B39

已知農(nóng)作物種植人員共24位，且每人只參與一種農(nóng)作物種植，投入資金共60萬(wàn)元．問(wèn)A，B這兩種

農(nóng)作物的種植面積各多少公頃？

【答案】A農(nóng)作物的種植面積為3公頃，B農(nóng)作物的種植面積為4公頃．

【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)A農(nóng)作物的種植面積為x公頃，B農(nóng)作物的

種植面積為y公頃，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，正確列出二

元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：設(shè)A農(nóng)作物的種植面積為x公頃，B農(nóng)作物的種植面積為y公頃，

4x3y24

由題意可得，，

8x9y60

x3

解得，

y4

答：設(shè)A農(nóng)作物的種植面積為3公頃，B農(nóng)作物的種植面積為4公頃．

2.（2024湖南?。┠炒鍥Q定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購(gòu)買(mǎi)1棵臍橙樹(shù)苗和2

棵黃金貢柚樹(shù)苗共需110元；購(gòu)買(mǎi)2棵臍橙樹(shù)苗和3棵黃金貢柚樹(shù)苗共需190元．

（1）求臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)；

（2）該村計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗共1000棵，總費(fèi)用不超過(guò)38000元，問(wèn)最多可以購(gòu)買(mǎi)臍

橙樹(shù)苗多少棵？

【答案】（1）50元、30元（2）400棵

【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

（1）設(shè)臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)分別為x元/棵，y元/棵，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)1棵臍橙樹(shù)苗和2棵

黃金貢柚樹(shù)苗共需110元；購(gòu)買(mǎi)2棵臍橙樹(shù)苗和3棵黃金貢柚樹(shù)苗共需190元”列方程組求解即可；

（2）購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗a棵，根據(jù)“總費(fèi)用不超過(guò)38000元”列不等式求解即可．

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)分別為x元/棵，y元/棵，

x2y110

根據(jù)題意，得，

2x3y190

x50

解得，

y30

答：臍橙樹(shù)苗和黃金貢柚樹(shù)苗的單價(jià)分別為50元/棵，30元/棵；

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗a棵，則購(gòu)買(mǎi)黃金貢柚樹(shù)苗1000a棵，

根據(jù)題意，得50a301000a38000，

解得a400，

答：最多可以購(gòu)買(mǎi)臍橙樹(shù)苗400棵．

考點(diǎn)1.一元一次方程的解法及解的應(yīng)用

3x

1.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；

x3

⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解析】含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程是一元一次方程，滿足要求的有②③

⑤。

2.已知方程(m+1)x|m|+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是（）

A.±1B.1C.－1D.0或1

【答案】B

【解析】方程(m+1)x|m|+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m+1≠0，|m|=1，所以m=1.

3.關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，則其解為．

【解答】∵關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，

∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，

方程為x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，

故答案為：x＝2或x＝﹣2．

11

4.解一元一次方程(x1)1x時(shí)，去分母正確的是（）

23

A．3(x+1)=1-2xB．2(x+1)=1-3xC．2(x+1)=6-3xD．3(x+1)=6-2x

【答案】D

【解析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程兩邊都乘以6可得答案．

方程兩邊都乘以6，得：3(x+1)=6-2x．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟和等式的基本性質(zhì)．

5.解方程：+＝4．

【答案】x＝7．

【解答】解：+＝4，

3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，

3x﹣9+2x﹣2＝24，

3x+2x＝24+9+2，

5x＝35，

x＝7．

6．甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車(chē)從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車(chē)從B

地到A地需6分鐘．現(xiàn)乙從B地先發(fā)出1分鐘后，甲才從A地出發(fā)，問(wèn)多久后甲、乙相遇？設(shè)乙出發(fā)

x分鐘時(shí)，甲、乙相遇，則可列方程為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】∵甲騎自行車(chē)從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車(chē)從B地到A地需6分鐘，

∴甲的速度是，乙的速度是，

由題意得．故選：A．

7．《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，還缺45錢(qián)；每人

出7錢(qián)，還缺3錢(qián)，問(wèn)合伙人數(shù)是多少？為解決此問(wèn)題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為．

【答案】5x+45＝7x+3．

【解析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價(jià)錢(qián)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程即可．

設(shè)合伙人數(shù)為x人，

依題意，得：5x+45＝7x+3．

故答案為：5x+45＝7x+3．

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

8．對(duì)聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對(duì)聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、

右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長(zhǎng)與

地頭長(zhǎng)的和的．某人要裝裱一副對(duì)聯(lián)，對(duì)聯(lián)的長(zhǎng)為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長(zhǎng)是裝裱

后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長(zhǎng)．

【答案】邊的寬為4cm，天頭長(zhǎng)為24cm．

【解析】設(shè)天頭長(zhǎng)為6xcm，地頭長(zhǎng)為4xcm，則左、右邊的寬為xcm，根據(jù)題意得列方程即可得到

結(jié)論．

設(shè)天頭長(zhǎng)為6xcm，地頭長(zhǎng)為4xcm，則左、右邊的寬為xcm，

根據(jù)題意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，

解得x＝4，

答：邊的寬為4cm，天頭長(zhǎng)為24cm．

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確地理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)2.二元一次方程(組)及其解法

1.已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，則a的值為．

【答案】2

【解析】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，結(jié)合x(chóng)﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a

的值．

，

①﹣②得：x﹣y＝a+2，

又∵關(guān)于x，y的方程組的解滿足x﹣y＝4，

∴a+2＝4，

∴a＝2．

本題考查了解二元一次方程組以及解一元一次方程，根據(jù)二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，找出關(guān)

于a的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

2．解方程組．

【答案】．

【解析】利用加減消元法解方程組即可．

，

①+②得：5x＝15，

解得：x＝3，

將x＝3代入①得：3×3+y＝8，

解得：y＝﹣1，

故原方程組的解為：．

考查解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本方法為代入消元法和加減消元法，必須熟練掌握．

3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，給出下列結(jié)論中正確的是（）

①當(dāng)這個(gè)方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時(shí)，a＝﹣2；

②當(dāng)a＝1時(shí)，方程組的解也是方程x+y＝4+2a的解；

③無(wú)論a取什么實(shí)數(shù)，x+2y的值始終不變；

④若用x表示y，則y＝﹣；

A．①②B．②③C．②③④D．①③④

【答案】D

【解答】關(guān)于x，y的二元一次方程組，

①+②得，2x+2y＝4+2a，

即：x+y＝2+a，

（1）①當(dāng)方程組的解x，y的值互為相反數(shù)時(shí)，即x+y＝0時(shí)，即2+a＝0，

∴a＝﹣2，故①正確，

（2）②原方程組的解滿足x+y＝2