2025人教版七年級數(shù)學下冊教案：第八章 實數(shù) 小結(jié)與復(fù)習

人教版初中數(shù)學七年級下冊

第八章實數(shù)小結(jié)與復(fù)習教案

一、教學目標：

1.梳理本章的相關(guān)概念，通過回顧平方根、立方根、實數(shù)及有關(guān)的概念，強化概念之間的聯(lián)系;

2.會進行開平方和開立方運算及鞏固實數(shù)的運算.

二、教學過程:

知識網(wǎng)絡(luò)

T定義:若犬=°,則x叫做”的①平方根|

H若J=a(x>0),則正數(shù)x叫做a的算術(shù)平為桶

|平方根|—|算術(shù)平方根:，被開方數(shù)為②非負數(shù)I

算術(shù)平方根為③非負數(shù)I

一個正數(shù)有④兩個平方根，它們互為⑤相反數(shù)I

T性質(zhì)卜母F耳方根是⑥o-

U⑦負數(shù)沒有平方根|

H開平方:求一個數(shù)的平方根的運算I

T定義:若則x叫做a的立方短|

實

d立方根I--隹質(zhì):正數(shù)的立方根是⑧正數(shù).魚數(shù)的立方根是

數(shù)

⑨負數(shù).0的立方根是⑩0

H開立方:求一個數(shù)的立方根的if綱

一實數(shù)的概念:無理數(shù)與有理數(shù)的統(tǒng)稱|

按定義:有理數(shù)和無理數(shù)|

-I實數(shù)I---1分類

按正負:正實數(shù)、?一0、負實數(shù)|

H實數(shù)的運算:與有理數(shù)的運算法則、運算律等相同I

實數(shù)與數(shù)軸上5每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示I

的點—對應(yīng)一L孩軸上的每一個點都表示一個實數(shù)|

知識梳理

一、算術(shù)平方根

像52=25,那么5叫做25的算術(shù)平方根;

102=100,那么10叫做100的算術(shù)平方根；

???32=9,9的算術(shù)平方根是3.

一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.

a的算術(shù)平方根記作：八,讀作:“根號a”.

即x2=a(x>0)根號_莉；_被開方數(shù)

a的算術(shù)平方根

X叫做a的算術(shù)平方根，記作：x=8.

規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.記作：Vo=o.

2.算術(shù)平方根的性質(zhì)：

⑴一個正數(shù)的算術(shù)平方根有1個;0的算術(shù)平方根有一個，是0;負數(shù)沒有算術(shù)平方根.

⑵被開方數(shù)a是非負數(shù)，即哈0;正是非負數(shù)，即孤K).(雙重非負性)

(3)被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.若a>b>0,則?>超>0.

⑷被開方數(shù)擴大(或縮小)100倍，它的算術(shù)平方根擴大(縮小)10倍.

二、平方根

1.平方根的定義：

一般地，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.這就是說，如果

x2=a,那么x叫做a的平方根.

求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.

2.平方根的特征：

⑴正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；

(2)0的平方根是0;

⑶負數(shù)沒有平方根.

3.平方根的表示：

正數(shù)a的算術(shù)平方根可以表示為F,正數(shù)a的負的平方根，可以表示為.正數(shù)a的平方

根可以用土?表示，讀作“正、負根號a”.

4.平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別：

'1.包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根的一種.

聯(lián)系Y2.只有非負數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根.

、3.0的平方根是0,算術(shù)平方根也是0.________

(1.個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，但只有一個算術(shù)平方根.

〔2.表示法不同:平方根表示為士y[a,而算術(shù)平方根表示為弱.

三、立方根

一般地，如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根或三次方根.這就是說，如

果x3=a,那么x叫做a的立方根.

求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.正如開平方與平方互為逆運算一樣，開立方與立方也

互為逆運算.

類似于平方根，一個數(shù)a的立方根，用符號“媯”表示，讀作“三次根號a"，其中a是被開方數(shù)，

3是根指數(shù).

正數(shù)的立方根是；負數(shù)的立方根是；0的立方根是.

立方根的性質(zhì):一般地，/工=-姐

平方根與立方根的區(qū)別和聯(lián)系

平方根立方根

正數(shù)兩個，互為相反數(shù)一個，為正數(shù)

性

000

質(zhì)

負數(shù)沒有平方根一個，為負數(shù)

表示方法4a

被開方數(shù)

非負數(shù)可以為任何數(shù)

的范圍

四、實數(shù)及其運算

L有理數(shù)

我們知道有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，利它們都可以寫成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)的形式.

5327119

一，--，--，-9-------.

254911

532711?Q

-=2.5,--=-0.6,—=6.75,—=1.2,—=0.81.

254911

任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.反過來，任何有限小數(shù)或無

限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).

2.無理數(shù)

通過前兩節(jié)的學習，我們知道，很多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù).

無限不循環(huán)小數(shù)又叫做無理數(shù).

例如尼，-石，正，g等都是無理數(shù).

兀=3.14159265…，1.01001000100001…它們都是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù).

常見的無理數(shù)的三種形式：（1）含兀的一些數(shù)；（2）開方開不盡的數(shù)；（3）有規(guī)律但不循環(huán)的

數(shù),如1.01001000100001…

3.實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

「正有理數(shù)］

［正有理數(shù)

（有理數(shù)o有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)（正實數(shù)［正無理數(shù)

實數(shù)［負有理數(shù)J

實數(shù)0

〔無理數(shù)｛黨鬻｝無限不循環(huán)小數(shù)〔負實數(shù)J負有理數(shù)

I負無理數(shù)

〔負無理數(shù)J

分類原則：不重不漏

,,,一支,,、短，，無，.

-4-3-2-101234

事實上，每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來.

當數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都

可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).與規(guī)定有理數(shù)的

大小一樣，對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大.

數(shù)a的相反數(shù)是-a,這里a表示任意一個實數(shù).

一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即設(shè)

a表示任意一個實數(shù)，則

也，當。>0時；

|a|=<0,當a=0時；

「a,當時.

4.實數(shù)的運算性質(zhì)

⑴當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方

運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.

⑵在進行實數(shù)運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)同樣適用.

1.交換律：加法a+b=b+a,乘法axb=bxa

2.結(jié)合律：加法(a+b)+c=a+(b+c),乘法(axb)xc=ax(bxc)

3.分配律：ax(b+c)=axb+axc

考點梳理

考點解析

考點1:算術(shù)平方根的概念及計算

例1.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)100(2)-(3)0.0001

解：(1)因為io2=ioo,所以loo的算術(shù)平方根是io,即”UU=io；

所以荷的算術(shù)平方根是履即舊7

(2)因為6r

8

⑶因為0.012=0.0001,所以0.0001的算術(shù)平方根是0.01,即").0001=0.01.

例2.化簡:

⑶7(-2)X(-8)

(2)^(-1.3)2==1.3

(3)7(-2)x(-8)=716=4

【遷移應(yīng)用】

【1-1】用的算術(shù)平方根是()

A.4B+4C.2D+2

【1-2】一個正方形的面積變?yōu)樵瓉淼?倍，則它的邊長變?yōu)樵瓉淼囊槐?面積變?yōu)樵瓉淼?倍,

則它的邊長變?yōu)樵瓉淼囊槐?面積變?yōu)樵瓉淼?00倍，則它的邊長變?yōu)樵瓉淼囊槐?面積變

為原來的n倍時，則它的邊長變?yōu)樵瓉淼谋?

[1-3]求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

(1)64；(2)0.25；(3)|；(4爐；⑸(一總；(6)104.

解：(1)因為82=64,所以64的算術(shù)平方根為8；

(2)因為0.52=0.25,所以0.25的算術(shù)平方根為0.5；

⑶因為(?2=￡所以押算術(shù)平方根為點

(4)因為52=52,所以52的算術(shù)平方根為5；

2222

(5)因為(一白=*)=(2)，所以(一白的算術(shù)平方根為》；

(6)因為IO4=1002,所以io,的算術(shù)平方根為100.

考點2:算術(shù)平方根的非負性應(yīng)用

例3.若(x-4)2+VyT3=0,求(x+y)20i9的算術(shù)平方根.

解：Kx-4)2+7yT3=0,且(x-4)2>0,>0,

???x-4>0,y+3>0

???x-4=0,y+3=0,

?'?X—4,y—3,

把x=4,y=—3代入，(x+y)2°i9=[4+(—3)]2。19=12。19=1,

.??。+丫)2。19的算術(shù)平方根是1.

【遷移應(yīng)用】

若實數(shù)x、y、z滿足Vx+2+(y—3)2+|z+6|=0,求xyz的算術(shù)平方根.

解：vVx+2+(y-3)2+|z+6|=0,

.'.X+2=0,y—3=0,x+6=0,

**?x=2,y—3,z=6,

??,xyz=(—2)x3x(—6)=36,

??.xyz的算術(shù)平方根是=6.

考點3:平方根的概念及計算

例4.求下列各式的值:

(1)而；(2)-Toll；⑶喏?

解：⑴因為62=36,所以質(zhì)=6；(2)因為0.以=0.81,所以-、甌=-0.9；

⑶因為(±];彳，所以±科=±(

例5.已知一個正數(shù)m的平方根為2n+1和4-3n.

⑴求Hl的值；

(2)|a-1|+Vb+(c-n)2=0,a+b+c的平方根是多少？

(1)解：???正數(shù)m的平方根互為相反數(shù)，

*'?2n+1+4—3n=0,

解得：n=5,

???2n+1=11,

???m=112=121；

(2)由(1)得：n=5,

v|a—11+Vb+(c—n)2=0,

-a—1=0,b=0,c—n=0,

.,.a=1,b=0,c=n=5,

-a+b+c=1+0+5=6,

.■-a+b+c的平方根是土點.

例6.已知2a-1的算術(shù)平方根是3,b-1的平方根是±4,c是履的整數(shù)部分，求a+2b-c的

平方根.

解：???2a-1的算術(shù)平方根是3；b-l的平方根是±4,

.,.2a—1=9,b—1=16,

Aa=5,b=17.

???C是舊的整數(shù)部分，3<履<4,

AC=3.

-a+2b—c=5+17x2—3=36.

???36的平方根是±6.

.??a+2b—c的平方根為±6.

【遷移應(yīng)用】

［3-1］下列式子中，正確的是()

A.±V4=2B.必7=-2C.V4=+2D.在=2

【3-2］計算:(l)gl=；(2)-VL69=；

(3)-V(-0.3)2=；(4)±V324=.

[3-3]已知一個正數(shù)的平方根是2x+3和x-9,則這個數(shù)是.

[3-4]求下列各數(shù)的平方根.

(1)49；(2)||；(3)2/(4)0.36；(5)(-

解：⑴(±7)2=49,.-49的平方根是±7；

⑵.?.(±丁=祟碟的平方根是士點

(3):25=系，(±|)2=京的平方根是±|；

(4)?.?(±0.6)2=0.36,???0.36的平方根是±0.6；

⑸=^=(丁，'(一」的平方根是土看

【3-5】求下列各式中的x.

(1)9x2—25=0,(2)4(x—2)2—9=0.

⑴解：9x2-25=0

移項得：9x2=25,

25

9

,5

?'X=±

(2)4(x-2)2-9=0

4(x-2)2=9,

???(x-2)2=：

CI3

AX—2=+-

-2

71

?■-X1=PX2=2-

考點4立方根的概念及計算

例7.列各式的值：

⑴標⑵⑶&

解：⑴痂=4；⑵(3)=

例8.已知a?=16,|b|=9,Vc=—2,且ab<0,be>0,求a—b+c的值.

解：va2=16,|b|=9,黃=-2,

???a=+4,b=±9,c=-8.

vab<0,be>0,

???b與c同號，a與b、c異號.

.'.a=4,b=—9,c=—8

.,.a—b+c=4—(—9)+(—8)=5.

例9.對于結(jié)論：當a+b=0時.a3+b3=0也成立.若將a看成a?的立方根，b看成b?的立方

根.由此得出結(jié)論：“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)也互為相反數(shù)”

⑴舉一個具體的例子進行驗證；

(2)若歹方和港口互為相反數(shù)，且x-3的平方根是它本身，求x+y的立方根.

(1)解：舉例：a3=8,b3=—8,

則+V—8=2+(—2)=0,此口寸8+(—8)=0,即8與—8互為相反數(shù)，

所以“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)也互為相反數(shù)”成立.

（2）解：???7—和通M互為相反數(shù)，

???7-y與2y-5互為相反數(shù)，

**?7—y+2y—5=0,

解得y=-2,

???X-3的平方根是它本身，

???x-3=0,

解得x=3,

???x+y=3—2=1,

???x+y的立方根是1.

【遷移應(yīng)用】

[4-1]下列說法正確的是（）

A.9的算術(shù)平方根是±3B.-8沒有立方根

C.-8的立方根一2D.8的立方根是±2

[4-2]下列各式中，正確的是（）

A.-V3^6=-0.6B.V^=-V5C.J（—13）2=-13D.V36=±6

【4-3】如果好市~L333,V237~2.872,那么“23700約等于（）

A.28.72B.287.2C.13.33D.133.3

[4-4]已知a—5的平方根是±4,2b-1的立方是—27,求a-4b的算術(shù)平方根.

解：???a-5的平方根是±4,

a-5=（±4）2=16,

解得a=21,

2b—1的立方是一27,

2b—1—V—27——3,

解得b=-1,

??.a-4b=21—4x（—1）=25,

??.a-4b的算術(shù)平方根是5.

[4-5]已知A—m-^n—m+3是n—m+3的算術(shù)平方根,B-m-2n+Vm+2n

是m+2n的立方根，求B-A的平方根.

解：由題思得：m—2=2,m—2n+3=3,

解得：m=4,n=2,

則A=V2-4+3=LB=V4+2x2=2,

B-A=2—1=1,

則B—A的平方根為：±1.

考點5:實數(shù)的概念、性質(zhì)及分類

例10.如圖，請將數(shù)軸上標有字母的各點與下列實數(shù)對應(yīng)起來:

280CD

11

-±

---

024

解:A點表示-舊萬點表示-亍0點表示0,C點表示應(yīng),D點表示2,E點表示71.

例11.把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：

0,-2,V3,-V27,o.l2,-3^,V4,y,y^,1.21212121...,0.1010010001.^p

有理數(shù)：｛…｝

無理數(shù)：(…)

非負數(shù)：(

分數(shù)：｛■■■)

負實數(shù)：｛…｝

:|0?—2,0.1',—《。7,^/4?—?1.21212121**%...}

無理數(shù)：{^/T,-VTT",—,o.ioiooioooi-..—...(

1241

非負數(shù)：[0,^3.0.12.74.—.—,1.2121212b?.0.101001000b*--...)

I724J

(八,,1

分數(shù)：{0-1-?—/~8~-22?l-21212121???,…}

負實數(shù):{-2,-A/27",-J券,…}

例12.如圖所示，數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為一1和g,點B關(guān)于點A的對稱點為C,

求點C所表示的實數(shù).

AB

-----------1------------------------1----------------------------------------1——?

-10R

解：???數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為一1和g,

???點B到點A的距離為1+舊，

則點C到點A的距離為1+8，

設(shè)點C表示的實數(shù)為x,則點A到點C的距離為一1—x,

—1—x=1+A/3,

■■?x=12—V3

【遷移應(yīng)用】

【5-1】如圖，數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為魚和5.1,則A,B兩點之間表示整數(shù)點共有(：

A.6個B.5個C.4個D.3個

I■..

0J25.1

[521若將三個數(shù)-b，夕,VTT表示在數(shù)軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是.

[531把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi):

號0.3737737773…

次,;訪町-[，楞"-店-瘋X

C.3C_3

有理數(shù)集合無理數(shù)集合

>兀、J*'6,

(《0.3737737773…)

有理數(shù)集合無理數(shù)集合

考點6:實數(shù)的大小比較

例13.通過估算比較下列各組數(shù)的大小

⑴V5與1.9；(2)漁產(chǎn)

與1.5.

解：⑴因為5＞4,所以花＞2；

所以芯＞1.9.

(2)因為6＞4,所以遙＞2；

所以，|里＞出，即如里＞15.

222

例14.比較下列各組數(shù)的大小.

(1)秒與2.5;(2)我與

2

解：因為2.53=15.625

所以強＜415.625

所以我<2.5

(2)因為(%

2o

所以我〈杼

所以指<3

2

【遷移應(yīng)用】

[6-1]將下列各實數(shù)按從小到大的順序排列，并用號連接起來.

一2,1],一百，1一%,J2,1.141.

0

解：-病<1-兀<-2<1.141<1|〈企.

[6-2]比較3,4,胸的大小.

解：???33=27,43=64,

炳<病<^64,

即3〈胸<4.

[6-3]已知"<病<〃+1(n為正整數(shù))，則2n的立方根為.

[6-4]比較下列各組數(shù)的大小：

⑴%與V10；(2)765與8；(3)當二與0.5；(4)官二與1.

解：(1)：8<10,.?.①<VTU.

(2)；65>64,.'.V65>V64,即候〉8.

(3)vV5>2,.-.V5-1>2-1,?,?”>]即”>05

(4)vV5<3,.-.V5-K3-1,,即包<1.

考點7:實數(shù)的運算

例15.計算：

(1)|V3-2|-(-2)2+2X^；(2)|2-V10|+|V10-V14|+|4-V14|；

（3+（2/+四）一封（保留小數(shù)點后