2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《排列組合與二項(xiàng)式定理》專項(xiàng)測試卷及答案

第第頁2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《排列組合與二項(xiàng)式定理》專項(xiàng)測試卷及答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個(gè)區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對(duì)這個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯(cuò)位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個(gè)不同元素排成一排，其中某個(gè)元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．7、解決排列、組合綜合問題時(shí)需注意“四先四后”：（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決．常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步．（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時(shí)，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮其他情形．（3）先分組，后分配：對(duì)不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問題，常?！跋确纸M，再分配”．（4）先組合，后排列：對(duì)于既要選又要排的排列組合綜合問題，常?？紤]先選再排．8、求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的方法求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn)，一般需要建立方程求，再將的值代回通項(xiàng)求解，注意的取值范圍．（1）第項(xiàng)：此時(shí)，直接代入通項(xiàng)；（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)保钔?xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為建立方程；（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程．特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解．9、賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如，的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對(duì)形如的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可．10、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法（1）若是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；（2）若是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)（第項(xiàng)與第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等數(shù)最大．1．（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是A． B．40 C． D．802．（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種 B．60種 C．120種 D．240種3．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種4．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A．12種 B．24種 C．36種 D．48種5．（2021?乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有A．60種 B．120種 C．240種 D．480種6．（2023?天津）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．7．（2022?新高考Ⅰ）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．8．（2021?浙江）已知多項(xiàng)式，則；．9．（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．考點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題【例1】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）展開式中的第四項(xiàng)為（

）A． B． C．240 D．【變式1-1】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則下列選項(xiàng)中的取值不可能是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·河南·高三河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┑恼归_式中，的系數(shù)為（

）A．200 B．40 C．120 D．80【變式1-3】（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．721 B．-61 C．181 D．-59考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題【例2】（多選題）（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知，則（

）A．展開式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為 B．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)C． D．【變式2-1】（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A．B．C．D．【變式2-2】（多選題）（2024·河北石家莊·高三河北新樂市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【變式2-3】（多選題）（2024·重慶·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則（

）A．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C．D．考點(diǎn)三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題【例3】（2024·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)?？迹┑恼归_式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.【變式3-1】（2024·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┰诘恼归_式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為.【變式3-2】（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）若展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．（用數(shù)字作答）考點(diǎn)四：特殊優(yōu)先與正難則反策略【例4】（2024·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考）從2位男生，4位女生中安排3人到三個(gè)場館做志愿者，每個(gè)場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（

）種.A．16 B．20 C．96 D．120【變式4-1】（2024·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考）4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1，2；1，3；4，5；6，7．將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．288 B．336 C．368 D．412【變式4-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種【變式4-3】某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108考點(diǎn)五：相鄰問題與不相鄰問題【例5】（2024·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）2023年11月12日，連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高品質(zhì)特色發(fā)展暨百年校慶大會(huì)隆重舉行，贛馬高中建校100周年文藝演出中有四個(gè)節(jié)目：《腰鼓：千年回響》、《歌伴舞：領(lǐng)航》、《器樂：蘭亭序》、《情景?。何覀兣隳阆蚯白摺匪膫€(gè)節(jié)目，若要對(duì)這四個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，要求《腰鼓：千年回響》與《歌伴舞：領(lǐng)航》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（用數(shù)字作答）．【變式5-1】（2024·江西九江·高三?？茧A段練習(xí)）由1，2，3，4，5，6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)1，3，5兩兩不相鄰，但1和2必須相鄰，這樣的六位數(shù)共有個(gè)．【變式5-2】（2024·全國·高三統(tǒng)考競賽）某班一天上午有語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、歷史5節(jié)課，現(xiàn)要安排該班上午的課程表，要求歷史課不排在第一節(jié)，語文課和數(shù)學(xué)課相鄰，不同的排法總數(shù)是．考點(diǎn)六：列舉法【例6】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走了幾個(gè)單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時(shí)針方向行走個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)處的所有不同走法共有（

）A．21種 B．22種 C．25種 D．27種【變式6-1】（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)不同的數(shù),這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,隨機(jī)抽取四個(gè)不同的數(shù),這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,則的后兩位數(shù)字為（

）A．89 B．51 C．49 D．13【變式6-2】（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谀┒x：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A．20 B．56 C．84 D．120考點(diǎn)七：定序問題（先選后排）【例7】（2024·全國·高三專題練習(xí)）滿足，且的有序數(shù)組共有（

）個(gè).A． B． C． D．【變式7-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則滿足的有序數(shù)組共有（

）個(gè)A． B． C． D．【變式7-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A，2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．60 D．120【變式7-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080考點(diǎn)八：多面手問題【例8】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種【變式8-1】（2023·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）某龍舟隊(duì)有8名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種【變式8-2】（2024·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）我校去年11月份，高二年級(jí)有9人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法考點(diǎn)九：錯(cuò)位排列問題【例9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種【變式9-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）將編號(hào)為、、、、、的小球放入編號(hào)為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（2023·吉林延邊·高二?？计谥校┩?人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則4張賀卡不同分配方式有A．8種 B．9種 C．10種 D．12種考點(diǎn)十：涂色問題【例10】（2024·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種【變式10-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．600【變式10-2】（2024·全國·高三期末）如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成），給、、、這個(gè)三角形和“趙爽弦圖”涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域）不同色，已知有種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式10-3】（2024·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A． B． C． D．考點(diǎn)十一：分組與分配問題【例11】（2024·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．96【變式11-1】（2024·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)已圓滿落幕，志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時(shí)代中國青年的風(fēng)采.早在2021年5月，杭州A公司便響應(yīng)號(hào)召，在全公司范圍內(nèi)組織亞運(yùn)會(huì)志愿者的報(bào)名與培訓(xùn)，經(jīng)過選拔，最終有3名黨員和3名團(tuán)員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié)，需從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個(gè)場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有（

）A．54種 B．45種 C．36種 D．18種【變式11-2】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個(gè)吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊(yùn)的機(jī)器人為了宣傳杭州亞運(yùn)會(huì)，某校決定派5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．50 B．36 C．26 D．14考點(diǎn)十二：隔板法【例12】（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）將9個(gè)志愿者名額全部分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（

）A．16 B．18 C．27 D．28【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）7個(gè)相同的小球放入，，三個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種【變式12-2】（2024·河北衡水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將10本完全相同的科普知識(shí)書，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（

）A．720種 B．420種 C．120種 D．15種考點(diǎn)十三：查字典問題【例13】（2024·全國·高二專題練習(xí)）用、、、、、六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，比大的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式13-1】（2024·北京·高二匯文中學(xué)?？迹┯盟膫€(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比大的偶數(shù)共有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式13-2】（2024·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）由數(shù)字0、1、2、3組成的無重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)字中，比2020大的數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．11 B．12 C．13 D．14考點(diǎn)十四：分解法模型與最短路徑問題【例14】（2024·全國·高三專題練習(xí)）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動(dòng)一個(gè)方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個(gè)方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實(shí)線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？A．6 B．8 C．10 D．12【變式14-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【變式14-2】（2024·廣東惠州·高三?？计谀┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．23條 B．24條 C．25條 D．26條【變式14-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．種 B．種C．種 D．種考點(diǎn)十五：構(gòu)造法模型和遞推模型【例15】（2024·北京海淀·高二北大附中?？计谀讉€(gè)孩子在一棵枯樹上玩耍，他們均不慎失足下落．已知（）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，．倒霉的李華在下落的過程中撞到了從到的所有樹枝，根據(jù)以上信息，在李華下落的過程中，和這根樹枝不同的撞擊次序有（

）種．A． B． C． D．【變式15-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【變式15-2】（2024·天津河?xùn)|·高二統(tǒng)考期末）九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具.它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下關(guān)于九連環(huán)的名句“縱妙手、能解連環(huán).”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)1次，解下2個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)2次，記為解下個(gè)圓環(huán)需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)，且，則解下8個(gè)圓環(huán)所需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)為（

）A．30 B．90 C．170 D．341考點(diǎn)十六：環(huán)排與多排問題【例16】（2024·全國·高三專題練習(xí)）21個(gè)人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報(bào)數(shù)．那么在僅剩兩個(gè)人沒有表演過節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)的次數(shù)為（

）A．19 B．38 C．51 D．57【變式16-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種【變式16-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種考點(diǎn)十七：配對(duì)型模型【例17】（2024·浙江·模擬預(yù)測）新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是（

）A． B． C． D．【變式17-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，則取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但它們不成對(duì)的概率為（）A． B． C． D．【變式17-2】（2024·重慶·高三重慶一中階段練習(xí)）鞋柜里有4雙不同的鞋，從中隨機(jī)取出一只左腳的，一只右腳的，恰好成雙的概率為（）A． B． C． D．考點(diǎn)十八：電路圖模型【例18】（2024·福建·高二統(tǒng)考期末）如圖，電路中共有個(gè)電阻與一個(gè)電燈A，若燈A不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式18-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，電路中共有3個(gè)電阻與1個(gè)燈泡，若燈泡不亮，則因電阻斷路的情況共有種.【變式18-2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有種．考點(diǎn)十九：機(jī)器人跳動(dòng)模型【例19】（2024·福建龍巖·高二校聯(lián)考）一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共有（）種.A．105 B．95 C．85 D．75【變式19-1】（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？A．5 B．25 C．55 D．75考點(diǎn)二十：波浪數(shù)模型【例20】（2024·江西撫州·高二臨川一中?？迹字缓镒釉谝豢每輼渖贤嫠?，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【變式20-1】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，由1，2，3，4，5構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．13 B．16 C．20 D．25參考答案1．（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是A． B．40 C． D．80【答案】【解析】由二項(xiàng)式定理可知展開式的第項(xiàng)，，1，，令，可得．即含的項(xiàng)為第3項(xiàng)，，故的系數(shù)為80．故選：．2．（2023?乙卷）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】【解析】根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：．故選：．3．（2023?新高考Ⅱ）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】【解析】初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，人數(shù)比例為，則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，則有種．故選：．4．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】【解析】把丙和丁捆綁在一起，4個(gè)人任意排列，有種情況，甲站在兩端的情況有種情況，甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有種，故選：．5．（2021?乙卷）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】【解析】5名志愿者選2個(gè)1組，有種方法，然后4組進(jìn)行全排列，有種，共有種，故選：．6．（2023?天津）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】60．【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令得，，項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：60．7．（2022?新高考Ⅰ）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】．【解析】的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的展開式中的系數(shù)為．故答案為：．8．（2021?浙江）已知多項(xiàng)式，則；．【答案】5；10．【解析】即為展開式中的系數(shù)，所以；令，則有，所以．故答案為：5；10．9．（2023?新高考Ⅰ）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64．【解析】若選2門，則只能各選1門，有種，如選3門，則分體育類選修課選2，藝術(shù)類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術(shù)類選修課選2，則有，綜上共有種不同的方案．故答案為：64．考點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題【例1】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）展開式中的第四項(xiàng)為（

）A． B． C．240 D．【答案】B【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，所以,故選：B【變式1-1】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）若的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則下列選項(xiàng)中的取值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得的展開式為，的展開式為，要使的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則或，所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5.故選：C.【變式1-2】（2024·河南·高三河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┑恼归_式中，的系數(shù)為（

）A．200 B．40 C．120 D．80【答案】B【解析】，而展開式的通項(xiàng)為，所以當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為，所以的系數(shù)為，故選：B【變式1-3】（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．721 B．-61 C．181 D．-59【答案】D【解析】=的展開式的通項(xiàng)公式為=，其中的展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；故常數(shù)項(xiàng)為++.故選：D考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題【例2】（多選題）（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知，則（

）A．展開式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為 B．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A：展開式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為，正確；對(duì)于B：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，且是二項(xiàng)式系數(shù)中最大的兩項(xiàng)，于是展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)和第1013項(xiàng)，錯(cuò)誤；對(duì)于C：取，得，取，得，故，正確；對(duì)于D：等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得到，取，得，正確．故選：ACD【變式2-1】（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，令，則，所以A正確，對(duì)于B，令，則，因?yàn)?，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令，則，因?yàn)?，所以，所以，所以C正確，對(duì)于D，令，則，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：ACD.【變式2-2】（多選題）（2024·河北石家莊·高三河北新樂市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由，對(duì)于A中，令，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由展開式的通項(xiàng)知：當(dāng)時(shí)，可得展開式的系數(shù)為正值，當(dāng)時(shí)，可得展開式的系數(shù)為負(fù)值；所以，令，可得，即，所以C正確；對(duì)于D中，由，兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得，令，可得，又由，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.【變式2-3】（多選題）（2024·重慶·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，則（

）A．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C．D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大為，易知應(yīng)為第1013項(xiàng)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，可得，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，可得B正確；對(duì)于C，令，可得，令，可得，所以，即C正確；對(duì)于D，將等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，，再令，可得，即D正確.故選：BCD考點(diǎn)三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題【例3】（2024·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)校考）的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】1792【解析】由得，所以的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)展開式的項(xiàng)的系數(shù)最大時(shí)，為偶數(shù)，比較，，，，，所以當(dāng)時(shí)，展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大，該項(xiàng)系數(shù)為1792.故答案為：1792.【變式3-1】（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為.【答案】【解析】因?yàn)榈耐?xiàng)為，的通項(xiàng)為，∵展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為，展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為，∴在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：.【變式3-2】若展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】28【解析】因?yàn)檎归_式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，解得，則展開式為，可得第項(xiàng)的系數(shù)為，令，即，解得，所以展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，其二項(xiàng)式系數(shù)為.故答案為：28.考點(diǎn)四：特殊優(yōu)先與正難則反策略【例4】（2024·浙江·高三慈溪中學(xué)校聯(lián)考）從2位男生，4位女生中安排3人到三個(gè)場館做志愿者，每個(gè)場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（

）種.A．16 B．20 C．96 D．120【答案】C【解析】若選一男兩女共有：；若選兩男一女共有：；因此共有96種，故選：C【變式4-1】（2024·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？迹?張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1，2；1，3；4，5；6，7．將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．288 B．336 C．368 D．412【答案】B【解析】當(dāng)四位數(shù)不出現(xiàn)1時(shí)，排法有：種；當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)一個(gè)1時(shí)，排法有：種；當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)1時(shí)，排法有：種；所以不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)共有：．故選：B．【變式4-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種【答案】D【解析】7個(gè)人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都相鄰有種不同的站法，甲站在最右端有種不同的站法，甲、乙、丙3個(gè)相鄰且甲站最右端有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有種不同的站法.故選：D【變式4-3】某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【解析】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C考點(diǎn)五：相鄰問題與不相鄰問題【例5】（2024·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）2023年11月12日，連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高品質(zhì)特色發(fā)展暨百年校慶大會(huì)隆重舉行，贛馬高中建校100周年文藝演出中有四個(gè)節(jié)目：《腰鼓：千年回響》、《歌伴舞：領(lǐng)航》、《器樂：蘭亭序》、《情景?。何覀兣隳阆蚯白摺匪膫€(gè)節(jié)目，若要對(duì)這四個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，要求《腰鼓：千年回響》與《歌伴舞：領(lǐng)航》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】由于《腰鼓：千年回響》與《歌伴舞：領(lǐng)航》相鄰，所以兩者“捆綁”，則不同的排列種數(shù)為種.故答案為：【變式5-1】（2024·江西九江·高三?？茧A段練習(xí)）由1，2，3，4，5，6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)1，3，5兩兩不相鄰，但1和2必須相鄰，這樣的六位數(shù)共有個(gè)．【答案】72【解析】根據(jù)題意1和2必須相鄰，將“12”或“21”看成一個(gè)整體與4、6全排列，排好后，要求奇數(shù)1，3，5兩兩不相鄰，則有3個(gè)空位可選，再將“3”和“5”插入到3個(gè)空位中，所以有種，即滿足條件的六位數(shù)共有72種，故答案為：72【變式5-2】（2024·全國·高三統(tǒng)考競賽）某班一天上午有語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、歷史5節(jié)課，現(xiàn)要安排該班上午的課程表，要求歷史課不排在第一節(jié)，語文課和數(shù)學(xué)課相鄰，不同的排法總數(shù)是．【答案】【解析】將語文課和數(shù)學(xué)課作排列有種，再把語文課和數(shù)學(xué)課作為整體，與除歷史課外的其它2節(jié)課作全排列有種，由上得到4個(gè)空，最后把歷史課插入后3個(gè)空有種，綜上，共有種.故答案為：考點(diǎn)六：列舉法【例6】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走了幾個(gè)單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時(shí)針方向行走個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)處的所有不同走法共有（

）A．21種 B．22種 C．25種 D．27種【答案】D【解析】由題意，正方形的周長為8，拋擲三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為8或16，①點(diǎn)數(shù)之和為8的情況有：；；；；，排列方法共有種；②點(diǎn)數(shù)之和為16的情況有：；，排列方法共有種.所以，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)處的所有不同走法共有種.故選：D.【變式6-1】（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)不同的數(shù),這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,隨機(jī)抽取四個(gè)不同的數(shù),這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為,則的后兩位數(shù)字為（

）A．89 B．51 C．49 D．13【答案】C【解析】解:由題知,當(dāng)抽取三個(gè)不同的數(shù),成等差數(shù)列時(shí),記公差為,當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)98個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)96個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)94個(gè),,當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)4個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)2個(gè),故,當(dāng)抽取四個(gè)不同的數(shù),成等差數(shù)列時(shí),記公差為,當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)97個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)94個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)91個(gè),,當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)4個(gè),當(dāng)時(shí),數(shù)列可為:共計(jì)1個(gè),故,所以,所以的后兩位與的后兩位一致,,因?yàn)?因?yàn)榈暮髢晌灰欢ㄊ?0,故的后兩位數(shù)與的后兩位一致,因?yàn)?故的后兩位數(shù)為49,即的后兩位數(shù)為49.故選:C【變式6-2】（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谀┒x：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A．20 B．56 C．84 D．120【答案】C【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù),所以按首位數(shù)字分別計(jì)算當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);則共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);故選:.考點(diǎn)七：定序問題（先選后排）【例7】（2024·全國·高三專題練習(xí)）滿足，且的有序數(shù)組共有（

）個(gè).A． B． C． D．【答案】A【解析】∵數(shù)組中數(shù)字的大小確定，從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得一個(gè)有序數(shù)組，所有個(gè)數(shù)為．故選：A．【變式7-1】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則滿足的有序數(shù)組共有（

）個(gè)A． B． C． D．【答案】A【解析】所有有序數(shù)組中,滿足的有序數(shù)組中包含個(gè)0，另外兩個(gè)數(shù)在或中選擇，每個(gè)位置有2種選擇，由乘法計(jì)數(shù)原理得不同的種數(shù)為故選：A.【變式7-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A，2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．60 D．120【答案】C【解析】依題意可知，不同的插入方式的種數(shù)為.故選：C【變式7-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080【答案】A【解析】由題意，對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行取下，先對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有種方法，因?yàn)槿』裘看沃荒苋∫槐K，而且只能從下往上取，所以須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，故一共有種，故選：A考點(diǎn)八：多面手問題【例8】（2024·全國·高三專題練習(xí)）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種【答案】D【解析】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有種，有一個(gè)“多面手”的選派方法有種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有種，即共有(種)不同的選派方法．故選：D【變式8-1】（2023·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）某龍舟隊(duì)有8名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)只會(huì)劃左槳的3人，只會(huì)劃右槳的3人，既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳的2人，據(jù)此分3種情況討論：①從中選3人劃左槳，劃右槳的在中剩下的人中選取，有種選法，②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在中剩下的人中選取，有種選法，③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法；故選：C．【變式8-2】（2024·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）我校去年11月份，高二年級(jí)有9人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法【答案】216【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理.第一類：2個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，有種;第二類：2個(gè)只會(huì)跳舞的有1人入選，有種;第三類：2個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有種,所以共有216種不同的選法,故答案為：216.考點(diǎn)九：錯(cuò)位排列問題【例9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種【答案】B【解析】先選擇兩個(gè)編號(hào)與座位號(hào)一致的人，方法數(shù)有，另外三個(gè)人編號(hào)與座位號(hào)不一致，方法數(shù)有，所以不同的坐法有種.故選：B【變式9-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）將編號(hào)為、、、、、的小球放入編號(hào)為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，分以下兩步進(jìn)行：（1）在個(gè)小球中任選個(gè)放入相同編號(hào)的盒子里，有種選法，假設(shè)選出的個(gè)小球的編號(hào)為、；（2）剩下的個(gè)小球要放入與其編號(hào)不一致的盒子里，對(duì)于編號(hào)為的小球，有個(gè)盒子可以放入，假設(shè)放入的是號(hào)盒子.則對(duì)于編號(hào)為的小球，有個(gè)盒子可以放入，對(duì)于編號(hào)為、的小球，只有種放法.綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.故選：B.【變式9-2】（2023·吉林延邊·高二?？计谥校┩?人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則4張賀卡不同分配方式有A．8種 B．9種 C．10種 D．12種【答案】B【解析】設(shè)四人分別為a，b，c，d，寫的卡片分別為A，B，C，D，由于每個(gè)人都要拿別人寫的，即不能拿自己寫的，故a有三種分配，不妨設(shè)a拿了B，則b可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，c和d只能有一種分配，所以共有3×3×1×1=9種分配方式考點(diǎn)十：涂色問題【例10】（2024·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】B【解析】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域有種選擇，故不同的涂色方案有種．故選：B．【變式10-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【解析】將區(qū)域標(biāo)號(hào)，如下圖所示：因?yàn)棰冖邰軆蓛上噜?，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.【變式10-2】（2024·全國·高三期末）如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成），給、、、這個(gè)三角形和“趙爽弦圖”涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域）不同色，已知有種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】先對(duì)正方形涂色，共有種顏色可供選擇，然后涂區(qū)域，有種顏色可供選擇，接下來涂區(qū)域，有種顏色可供選擇，若區(qū)域與區(qū)域同色，則區(qū)域有種顏色可供選擇；若區(qū)域與區(qū)域不同色，則區(qū)域有種顏色可供選擇，區(qū)域有種顏色可供選擇.由計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方法種數(shù)為.故選：C.【變式10-3】（2024·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），不妨設(shè)四種顏色分別為、、、，先填涂區(qū)域“火”，有種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為，接下來填涂區(qū)域“土”，有種選擇，分別為、、，若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、；若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、；若區(qū)域“土”填涂的顏色為，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為、、.綜上所述，區(qū)域“金”填涂、、、的方案種數(shù)分別為、、、種，接下來考慮區(qū)域“水”的填涂方案：若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“金”填涂的顏色為，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為、、.則區(qū)域“水”填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種，填涂的方案種數(shù)為種.從區(qū)域“火”、“土”、“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān)，當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、；若區(qū)域“水”填涂的顏色為時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為、.所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色時(shí)，填涂方案種數(shù)為種.因此，不同的涂色方法種數(shù)有種.故選：D.考點(diǎn)十一：分組與分配問題【例11】（2024·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（

）A．24 B．36 C．60 D．96【答案】C【解析】分兩種情形：①社區(qū)只有甲，則另4人在3個(gè)社區(qū)，此時(shí)有；②社區(qū)還有另一個(gè)志愿者，此時(shí)有，，甲恰好被安排在A社區(qū)有60種不同安排方法.故選：C.【變式11-1】（2024·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)已圓滿落幕，志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時(shí)代中國青年的風(fēng)采.早在2021年5月，杭州A公司便響應(yīng)號(hào)召，在全公司范圍內(nèi)組織亞運(yùn)會(huì)志愿者的報(bào)名與培訓(xùn)，經(jīng)過選拔，最終有3名黨員和3名團(tuán)員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié)，需從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個(gè)場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有（

）A．54種 B．45種 C．36種 D．18種【答案】A【解析】從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館一共有種選派方法，若游泳館沒有黨員，籃球館有黨員，則有種，同理游泳館有黨員，籃球館沒有黨員，則有種，故從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個(gè)場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有，故選：A【變式11-2】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個(gè)吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊(yùn)的機(jī)器人為了宣傳杭州亞運(yùn)會(huì)，某校決定派5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．50 B．36 C．26 D．14【答案】A【解析】（1）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另一個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，（2）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另兩個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，故共有種，故選：A.考點(diǎn)十二：隔板法【例12】（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）將9個(gè)志愿者名額全部分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（

）A．16 B．18 C．27 D．28【答案】B【解析】“每校至少一個(gè)名額的分法”的方法數(shù)是至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法數(shù)可以從反面入手去求，即先求出“出現(xiàn)相同名額”的分配方法數(shù)，第一種情形是兩個(gè)學(xué)校名額數(shù)相同：有三種情形，共有9種分法；第二種情形是三個(gè)學(xué)校名額數(shù)均相同，有1種分法，所以至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配為種.所以，滿足條件的分配方法共有種.故選：B【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）7個(gè)相同的小球放入，，三個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種【答案】D【解析】將7個(gè)小球分成三組即可，可采用插空法，7個(gè)小球有6個(gè)空，則有種不同的方法.故選：D.【變式12-2】（2024·河北衡水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將10本完全相同的科普知識(shí)書，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（

）A．720種 B．420種 C．120種 D．15種【答案】D【解析】先從10本書中拿出3本，分給每人一本書，再將余下7本書采用“隔板法”分給3個(gè)人，分法種數(shù)為15，故選:D考點(diǎn)十三：查字典問題【例13】（2024·全國·高二專題練習(xí)）用、、、、、六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，比大的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭悄芘懦龅乃奈粩?shù)中千位為的最大的數(shù)，所以比大的四位數(shù)的千位只能是或，所以共有個(gè)比大的四位數(shù)．故選：C.【變式13-1】（2024·北京·高二匯文中學(xué)?？迹┯盟膫€(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比大的偶數(shù)共有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【解析】比大，故千位為，千位為2，則個(gè)位為4，有種千位為3，則個(gè)位為2或4，有種千位為4，則個(gè)位為2，有種故一共有8種，故選：D【變式13-2】（2024·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）由數(shù)字0、1、2、3組成的無重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)字中，比2020大的數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【解析】1.當(dāng)首位即千位上數(shù)字為3時(shí)，其余3個(gè)數(shù)字全排列，排在后面3位上，此時(shí)有種排法，即有6個(gè)2020大的數(shù)；當(dāng)首位即千位上數(shù)字為2時(shí)，則有：（1）若百位上是1或3，將余下的2個(gè)數(shù)字全排列，排在后面2位，此時(shí)有種排法，即有4個(gè)2020大的數(shù)；（2）若百位上是0，此時(shí)只有2031比2020大，即有1個(gè)2020大的數(shù)；綜上所述：符合題意的數(shù)共有（個(gè)）.故選：A考點(diǎn)十四：分解法模型與最短路徑問題【例14】（2024·全國·高三專題練習(xí)）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動(dòng)一個(gè)方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個(gè)方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實(shí)線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】如圖，①從入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②從入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③從入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④從入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤從入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥從入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦從入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧從入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8種，故選：B．【變式14-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【解析】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經(jīng)過的最短路徑有.故選：D.【變式14-2】（2024·廣東惠州·高三?？计谀┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．23條 B．24條 C．25條 D．26條【答案】D【解析】先假設(shè)是實(shí)線，則從到，向上次，向右次，最短路徑有條，其中經(jīng)過的，即先從到，然后到，最后到的最短路徑有條，所以，當(dāng)不通時(shí)，最短路徑有條.故選：D【變式14-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【解析】由題意可知，從到最少需要步完成，其中有步是橫向的，步是縱向的，步是豎向的，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有種.故選：D.考點(diǎn)十五：構(gòu)造法模型和遞推模型【例15】（2024·北京海淀·高二北大附中?？计谀讉€(gè)孩子在一棵枯樹上玩耍，他們均不慎失足下落．已知（）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，．倒霉的李華在下落的過程中撞到了從到的所有樹枝，根據(jù)以上信息，在李華下落的過程中，和這根樹枝不同的撞擊次序有（

）種．A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可判斷出樹枝部分順序，還剩下，，，先看樹枝在之前，有種可能，而樹枝在之間，在之后，若在之間，有種可能：①若在之間，有種可能，②若在之間，有種可能，③若在之間，有種可能．若不在之間，則有種可能，此時(shí)有種可能，可能在之間，有種可能，可能在之間，有種可能，綜上共有．故選：．【變式15-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【答案】D【解析】不妨設(shè)代表樹枝的高度，五根樹枝從上至下共九個(gè)位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹枝；乙依次撞擊到樹枝；丙依次撞擊到樹枝；丁依次撞擊到樹枝；戊依次撞擊到樹枝可得，在前四個(gè)位置，，，且一定排在后四個(gè)位置，（1）若排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C,則第六個(gè)位置一定排D，后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排D，則后四個(gè)位置共有4種排法，所以I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有種排法；（2）若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則按順序排在前四個(gè)位置，由于，所以后五個(gè)位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置共有5種排法，由分類計(jì)數(shù)原理可得，這9根樹枝從高到低不同的次序有種.故選：D.【變式15-2】（2024·天津河?xùn)|·高二統(tǒng)考期末）九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具.它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下關(guān)于九連環(huán)的名句“縱妙手、能解連環(huán).”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)1次，解下2個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)2次，記為解下個(gè)圓環(huán)需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)，且，則解下8個(gè)圓環(huán)所需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)為（

）A．30 B．90 C．170 D．341【答案】C【解析】由題，，所以.故選.：C考點(diǎn)十六：環(huán)排與多排問題【例16】（2024·全國·高三專題練習(xí)）21個(gè)人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報(bào)數(shù)．那么在僅剩兩個(gè)人沒有表演過節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)的次數(shù)為（

）A．19 B．38 C．51 D．57【答案】D【解析】當(dāng)?shù)箶?shù)第個(gè)人出來表演節(jié)目時(shí)，一共報(bào)數(shù)了次.故選：D【變式16-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種【答案】B【解析】首先，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個(gè)座位，位置可以互換，根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式，得到，，接下來，考慮其余三人的情況，其余位置可以互換，可得種，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到種，故選B.【變式16-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種【答案】B【解析】先安排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對(duì)面，而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個(gè)位置的坐法有種，所以共有坐法種數(shù)為種．故選：B．考點(diǎn)十七：配對(duì)型模型【例17】（2024·浙江·模擬預(yù)測）新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，全送錯(cuò)的方法數(shù)：先分步：第一步快遞送錯(cuò)有4種方法，第二步考慮所送位置對(duì)應(yīng)的快遞，假設(shè)送到丙地，第二步考慮快遞，對(duì)分類，第一類送到甲地，則剩下要均送錯(cuò)有2種可能（丁戊乙，戊乙?。?，第二類送到乙丁戊中的一個(gè)地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯(cuò)有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．故選：C．【變式17-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，則取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳