2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第3講、等式與不等式的性質(zhì)（教師版）

第3講等式與不等式的性質(zhì)

知識梳理

1、比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與0比較與1比較

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

a

abab01(b0)

b

aa

abab01(a，b0)或1(a，b0)

bb

2、不等式的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對稱性abba；abba

傳遞性ab，bcac；ab，bcac

可加性abacbc

可乘性ab，c0acbc；ab，c0acbc

同向ac，cdacbd

可加性

同向同正ab0，cd0acbd

可乘性

可乘方性ab0，nN*anbn

【解題方法總結(jié)】

1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時要做到言必有據(jù)，特

別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率．

2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、

利用函數(shù)的單調(diào)性．

比較法又分為作差比較法和作商比較法．

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大??；（4）下結(jié)論．

作商比較大小（一般用來比較兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論．

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于

0或1比較大?。?/p>

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且

是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法．

必考題型全歸納

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【解題方法總結(jié)】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．

2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷．

3、小題可以用特殊值法做快速判斷．

例1．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知abc，ac0，則下列關(guān)系式一定成

立的是（）

A．c2bcB．bcac0

cb

C．a(chǎn)bcD．2

bc

【答案】BD

【解析】因為ac0，所以abc0或0abc，

當(dāng)abc0時，bcc2，A不成立，bcac0，abc，

cbcbcbcb

由0,0，故22，當(dāng)且僅當(dāng)，即bc時，等號成立，

bcbcbcbc

cb

因為bc，故等號不成立，故2；

bc

當(dāng)0abc時，bcc2，bcac0，

不妨設(shè)0123，則abc，故此時C不成立，

cbcbcbcb

由0,0，故22，當(dāng)且僅當(dāng)，即bc時，等號成立，

bcbcbcbc

cb

因為bc，故等號不成立，故2；

bc

綜上：BD一定成立.

故選：BD

例2．（多選題）（2024·山東·校聯(lián)考二模）已知實數(shù)a,b,c滿足abc，且abc0，

則下列說法正確的是（）

11

A．B．a(chǎn)c2bC．a(chǎn)2b2D．a(chǎn)bbc0

acbc

【答案】BC

11

【解析】對于A，abc，acbc0，，A錯誤；

acbc

對于B，abc，abc0，a0，c0，bca0，ab0，

abbc，即ac2b，B正確；

22

對于C，ab0，abc0，ababab0，即a2b2，C正確；

對于D，abbcbacb20，D錯誤.

故選：BC.

例3．（多選題）（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若a0bc，則下列結(jié)論正確的是（）

aa

A．B．b2ac2a

cb

abb

C．D．a(chǎn)c2abbc

acc

【答案】ACD

aaa(bc)aa

【解析】∵a0bc，則bc0，bc0，∴0，即，A正確；

cbbccb

例如a1，b2，c3，b2a(2)24，c2a(3)29，顯然49，B錯誤；

abba(cb)abb

由a0bc得cb0，ac0，∴0，即，C正確；

accc(ac)acc

易知ac0，ab0，bc0，

ac2(ab)(bc)(ab)(bc)2(ab)(bc)(abbc)20，

∴ac2abbc，D正確；

故選：ACD．

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

【解題方法總結(jié)】

比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用

函數(shù)的單調(diào)性．

比較法又分為作差比較法和作商比較法．

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論．

作商比較大小（一般用來比較兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論．

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于

0或1比較大?。?/p>

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且

是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

若a0,b0，則1ba；1ba；1ba；

aaa

bbb

若a0,b0，則1ba；1ba；1ba．

aaa

1

例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若0ab,ab1,則將a,b,,2ab,a2b2從小到大排

2

列為______.

1

【答案】a2aba2b2b

2

12

【解析】0ab,ab1，不妨令a,b，

33

45

則有2ab,a2b2，

99

1

有ba2b22aba，

2

1

即a2aba2b2b.

2

1

故答案為：a2aba2b2b.

2

例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如果a>b，給出下列不等式：

11a

①；②a3>b3；③a2b2；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.

abb

其中一定成立的不等式的序號是________．

【答案】②⑥

11a

【解析】令a1,b1，，排除①，a2b2，排除③選項，11，排除⑤.

abb

當(dāng)c=0時，排除④.由于冪函數(shù)yx3為R上的遞增函數(shù)，故a3b3，②是一定成立的.由于

1222

a2b21abababa1b10，故a2b21abab.故⑥正

2

確.所以一定成立的是②⑥.

ba

例6．（2024·高三課時練習(xí)）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；

acbd

2

（2）設(shè)x，yR，比較x2y2與xy(xy)2的大小.

11

【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得0.

acbd

ba

又a＞b＞0，所以.

acbd

（2）因為

2

x2y2xy(xy)2x4y4x3yxy3x3(xy)y3(yx)

2

332222y32

(xy)xy(xy)xxyy(xy)xy0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等

24

號成立，

2

所以當(dāng)x＝y(tǒng)時，x2y2xy(xy)2；

2

當(dāng)xy時，x2y2xy(xy)2.

2

例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）（1）試比較x1x5與x3的大??；

11

（2）已知ab，，求證：ab0．

ab

2

【解析】（1）由題意，x1x5x3

x26x5x26x940，

2

所以x1x5x3．

11ba

（2）證明：因為11，所以0，即0，

ababab

而ab，所以ba0，則ab0．得證．

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【解題方法總結(jié)】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨立分析每個

變量的范圍，否則會導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系．

例8．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足3x2y2,12xy4,

則（）

A．x的取值范圍為(1,2)B．y的取值范圍為(2,1)

C．xy的取值范圍為(3,3)D．xy的取值范圍為(1,3)

【答案】ABD

【解析】因為12xy4，所以24x2y8.因為3x2y2，所以55x10，

則1x2，故A正確；

因為3x2y2，所以62x4y4.因為12xy4，所以42xy1，所以

105y5，所以2y1，故B正確；

936114

因為3x2y2，12xy4，所以（x2y）,（2xy），則

555555

2xy2，故C錯誤；

2133312

因為3x2y2，12xy4，所以（x2y），（2xy），則

555555

1xy3，故D正確.

故選：ABD.

例9．（2024·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知1ab3，3ab7，則5ab的取值范

圍為（）

A．15,31B．14,35C．12,30D．11,27

【答案】D

mn5m2

【解析】設(shè)5abmabnabmnanmb，所以，

nm1n3

則5ab2ab3ab，又1ab3，3ab7

所以22ab6，93ab21，由不等式的性質(zhì)得：112ab3ab27，

則5ab的取值范圍為11,27.

故選：D.

例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知1a2，1b4，則a2b的取值范圍是（）

A．7a2b4B．6a2b9

C．6a2b9D．2a2b8

【答案】A

【解析】因為1b4，所以82b2，

由1a2，得7a2b4.

故選：A.

例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三個實數(shù)a、b、c，當(dāng)c0時，b2a3c且bca2，

a2c

則的取值范圍是____________．

b

1

【答案】,

9

【解析】當(dāng)c0時滿足：b2a3c且bca2，

a2aaa

2a3c，即a22ac3c20，進(jìn)而()2230，解得13．

cccc

c1c

所以或1，

a3a

2

a2cac2c2ccc

2f()，

ba2aaa

c1

令t,t,1，

a3

2

211

ft2tt2t，

48

1

由于t,1

3

轢1

所以ft在t?(-￥，-1]單調(diào)遞增，在t?ê,+￥÷單調(diào)遞減，

滕ê3

1驏11

當(dāng)t時，f琪=，當(dāng)t1時，f13，

3桫39

1

所以f(t)￡

9

纟1

故答案為：?-￥，ú．

棼9ú

題型四：不等式的綜合問題

【解題方法總結(jié)】

綜合利用等式與不等式的性質(zhì)

例12．（多選題）（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a0，b0，

4151

且滿足a，b．則a2b2的取值可以為（）

abba

A．10B．11C．12D．20

【答案】CD

4151

【解析】因為a，b，

abba

ab

所以a24，b25，

ba

abab

故a2b2459211，

baba

abab

當(dāng)a24，b25且，而ab時a2b2，即等號不能同時成立，

baba

所以a2b211，故AB錯誤，CD正確.

故選：CD.

例13．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知x2y211，則（）

1

A．xy1B．x2y

2

5

C．xxy1D．x2xy

4

【答案】ABD

1

22222222

【解析】由xy11得x2，x1xy，由于y0，所以0x1，

y1

所以x2y2=1-x2?[0,1)，因此1xy1且xy0，故A正確，

2y1

2yxy=1

xy=，當(dāng)y0時，y211，由于y2，當(dāng)且僅當(dāng)y1時，等號

y21yy

y

11

01

成立，故12，當(dāng)y0時，x2y0，所以x2y，故B正確，

y2

y

2

x21yx212yy2x2y212x2y12x2y1x21y22，當(dāng)且僅當(dāng)

1

2y=1+y2Ty=1,x2=時取等號，故2x1yxxy2，所以C錯誤，

2

2

222155122

xxy=1xyxyxy，當(dāng)且僅當(dāng)xy取等號，又xy11，所以

2442

3333

x=,y=或者x=-,y=-等號成立，

2323

故選：ABD

11

例14．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，則（）

ab

33

A．log0.2023alog0.2023bB．a(chǎn)b

bb11

C．D．a(chǎn)b的最小值為1

aa1ab1

【答案】BC

1111

【解析】由可知a0，b0，由不等式的性質(zhì)可知，則0ab．

abab

選項A：因為對數(shù)函數(shù)ylog0.2023x為減函數(shù)，0ab，所以log0.2023alog0.2023b，故A

錯誤；

選項B：由函數(shù)yx3的單調(diào)性可知a3b3，故B正確；

bb1ba1ab1babb1

選項C：因為0，所以，故C正確；

aa1aa1aa1aa1

111

選項D：abab112ab111，

ab1ab1ab1

1

當(dāng)且僅當(dāng)ab1，即ab0時取得等號，顯然等號不成立，故D錯誤．

ab1

故選：BC.

例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則a

的最大值是__．

【答案】6

3

【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，

∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，

111

∴bc(2bc)[(bc)2(b2c2)]a2

222

1

∴b、c是方程：x2+ax+a20的兩個實數(shù)根，

2

∴0

1

∴a24(a2)0

2

2

即a2

3

66

∴≤a≤

33

6

即a的最大值為

3

故答案為：6．

3

題型五：糖水不等式

【解題方法總結(jié)】

bmbama

糖水不等式：若ab0，m0，則一定有，或者．

amabmb

例16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知bg糖水中含有ag糖(ba0)，若再

添加mg糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據(jù)這個事實，

下列不等式中一定成立的有（）

aamama2m

A．B．

bbmbmb2m

21

C．a(chǎn)2mbmamb2mD．

3b13a1

【答案】ABD

aam

【解析】對于A，由題意可知，正確；

bbm

amam2mma2m

對于B，因為m2m，所以，正確；

bmbm2mmb2m

amamma2m

對于C，即amb2ma2mbm