高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱

高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱?一、課程基本信息1.課程名稱：高等數(shù)學(xué)2.課程類型：公共基礎(chǔ)課3.適用專業(yè)：本大綱適用于理工科各專業(yè)本科學(xué)生4.學(xué)分與學(xué)時(shí)：[X]學(xué)分，[X]學(xué)時(shí)，其中理論教學(xué)[X]學(xué)時(shí)，實(shí)踐教學(xué)[X]學(xué)時(shí)5.課程目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、級(jí)數(shù)等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進(jìn)一步獲取數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。使學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，逐步形成辯證唯物主義世界觀。

二、課程內(nèi)容與要求函數(shù)、極限與連續(xù)1.教學(xué)內(nèi)容函數(shù)函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)極限數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限與右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較極限的四則運(yùn)算兩個(gè)重要極限：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)連續(xù)函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理、零點(diǎn)定理）2.教學(xué)要求理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系。了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。掌握極限存在的兩個(gè)重要極限，并能運(yùn)用它們求極限。理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限。理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

導(dǎo)數(shù)與微分1.教學(xué)內(nèi)容導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的求導(dǎo)法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的概念常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法微分微分的定義微分的幾何意義基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則一階微分形式的不變性2.教學(xué)要求理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.教學(xué)內(nèi)容中值定理羅爾（Rolle）定理拉格朗日（Lagrange）中值定理柯西（Cauchy）中值定理洛必達(dá)（L'Hospital）法則泰勒（Taylor）公式函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性的判別法曲線凹凸性的判別法拐點(diǎn)的概念及求法函數(shù)的極值與最大值最小值函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的判別法函數(shù)的最大值和最小值的求法2.教學(xué)要求理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。了解泰勒公式，并會(huì)用泰勒公式近似計(jì)算函數(shù)值。理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性證明一些簡(jiǎn)單的不等式。理解函數(shù)的凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。理解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。

不定積分1.教學(xué)內(nèi)容不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的性質(zhì)基本積分公式換元積分法第一類換元法（湊微分法）第二類換元法分部積分法2.教學(xué)要求理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)。掌握基本積分公式。熟練掌握第一類換元積分法，掌握第二類換元積分法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。掌握分部積分法。會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的不定積分。

定積分1.教學(xué)內(nèi)容定積分的概念與性質(zhì)定積分的定義定積分的幾何意義定積分的性質(zhì)微積分基本公式定積分的換元法和分部積分法反常積分無窮限的反常積分無界函數(shù)的反常積分2.教學(xué)要求理解定積分的概念和幾何意義，了解定積分的性質(zhì)。理解變上限積分函數(shù)，掌握牛頓萊布尼茨公式。掌握定積分的換元法和分部積分法。了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算無窮限的反常積分和無界函數(shù)的反常積分。

定積分的應(yīng)用1.教學(xué)內(nèi)容定積分在幾何中的應(yīng)用平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在物理中的應(yīng)用變力沿直線所作的功水壓力引力2.教學(xué)要求掌握用定積分計(jì)算平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。會(huì)用定積分求解一些簡(jiǎn)單的物理問題（如變力做功、水壓力、引力等）。

空間解析幾何與向量代數(shù)1.教學(xué)內(nèi)容向量及其線性運(yùn)算向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)表示向量的模、方向角與方向余弦數(shù)量積、向量積與混合積數(shù)量積向量積混合積曲面及其方程曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面柱面二次曲面空間曲線及其方程空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影2.教學(xué)要求理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。掌握平面方程和直線方程及其求法。會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，并會(huì)求其方程。

多元函數(shù)微分學(xué)1.教學(xué)內(nèi)容多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的定義二元函數(shù)的極限與連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義高階偏導(dǎo)數(shù)全微分全微分的定義全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)公式多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線方向?qū)?shù)與梯度多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值和條件極值最大值和最小值問題2.教學(xué)要求理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。了解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法。理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。

多元函數(shù)積分學(xué)1.教學(xué)內(nèi)容二重積分二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的計(jì)算法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）三重積分三重積分的概念與性質(zhì)三重積分的計(jì)算法（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）2.教學(xué)要求理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（如面積、體積、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）。

無窮級(jí)數(shù)1.教學(xué)內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法絕對(duì)收斂與條件收斂冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的概念狄利克雷（Dirichlet）收斂定理函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)2.教學(xué)要求理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別法，會(huì)用積分判別法。掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。了解冪級(jí)數(shù)的概念、收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。了解函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。掌握\(e^x\)、\(\sinx\)、\(\cosx\)、\(\ln(1+x)\)和\((1+x)^\alpha\)的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在\([\pi,\pi]\)上的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在\([0,\pi]\)上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式。

三、教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法課堂講授：系統(tǒng)講解課程的基本概念、基本理論和基本方法，注重知識(shí)的邏輯性和連貫性。問題驅(qū)動(dòng)：通過提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力。案例教學(xué)：結(jié)合實(shí)際案例講解數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力。小組討論：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和創(chuàng)新思維。2.教學(xué)手段多媒體教學(xué)：利用多媒體課件展示教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)更加直觀形象，提高教學(xué)效率。網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)：利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)發(fā)布教學(xué)資源、布置作業(yè)、進(jìn)行在線答疑等，方便學(xué)生自主學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)軟件：介紹和使用數(shù)學(xué)軟件（如Mathematica、Matlab等），幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、圖形繪制和數(shù)據(jù)分析，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

四、考核方式與成績?cè)u(píng)定1.考核方式課程考核采用平時(shí)考核與期末考試相結(jié)合的方式。2.成績?cè)u(píng)定平時(shí)成績占總成績的[X]%，包括出勤情況