人教版八年級數(shù)學(xué)下冊教案

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時二次根式的概念和性質(zhì)

敦亨目標(biāo)

1.二次根式的概念府應(yīng)用.

2.二次根式的非負(fù)性.

重占難（5

教學(xué)重點(diǎn)

二次根式的概念.

教學(xué)難點(diǎn)

二次根’的非負(fù)性.

敦亨設(shè)計(jì)

一、情景導(dǎo)入

師：（多媒體展示）請同學(xué)們看屏幕，這是東方明珠電視塔.

電視節(jié)目信號的傳播半徑r/km與電視塔高h(yuǎn)/km之間有近似關(guān)系r=y[2Rh（R為坨球半

徑）.如果兩個電視塔的高分別為//,km,h2km,那么它們的傳播半徑之比為多少？同學(xué)們能

化簡這個式子嗎？

由學(xué)生計(jì)算、討論后得出結(jié)果，并提問.

生：半徑之比為暫時我們還不會對它進(jìn)行化簡.

師:那么怎么去化簡它辿？這要用到二次根式的運(yùn)算和化簡.如何進(jìn)行二次根式的運(yùn)算？

如何進(jìn)行二次根式的化簡？這將是本章所學(xué)的主要內(nèi)容.

二、新課教授

活動1:知識遷移，歸納概念

（多媒體演示）用含根號的式子填空.

（1）17的算術(shù)平方根是；

（2）如圖，要做一個兩條直角邊長分別為7和4的三角形，斜邊長應(yīng)為cm；

（3）一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130/,則它的寬為w；

（4）面積為3的正方形的邊長為,面積為a的正方形的邊長為；

（5）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間/（單位：s）與開始落下時的高度6（單

位：⑼滿足關(guān)系〃=5上如果用含有h的式子表示Z,則/=.

【答案】（1版（2>/65（3府（4/Va

活動2：二次根式的非負(fù)性

（多媒體展示）

（1）式子，表示的實(shí)際意義是什么？被開方數(shù)。滿足什么條件時，式子，才有意義？

⑵當(dāng)a>0時，班0；當(dāng)a=Q時，m0；二次根式是一個

【答案】（1）〃的算術(shù)平方根，被開方數(shù)〃必須是非負(fù)數(shù)（2）>=非負(fù)數(shù)

老師結(jié)合學(xué)生的回答，強(qiáng)調(diào)二次根式的非負(fù)性.

當(dāng)a>0時，，表示Q的算術(shù)平方根，因此3>0；

當(dāng)a=0時，，表示0的算術(shù)平方根，因此6=0.

也就是說，當(dāng)心0時，Qo.

三、例題講解

【例】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時，，心在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：由x—220,得x22.

所以當(dāng)x,2時，正工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

四、鞏固練習(xí)

1.已知[a—2+[6+[=0,求一Jb的值.

【答案】后衛(wèi)20,4+拉0,又???它們的和為0,-2=0且。+3=0,解得〃=

2，b=~2,

：.-a2b=-22X（-^）=2.

2.若x,y^\Jx~14-yj\~x—y=3有意義，求2x-￥y的值.

【答案】-1

五、課堂小結(jié)

1.木節(jié)課主要學(xué)習(xí)了二次根式的概念.形如gm2。）的式子叫做二次根式，“廠”稱

為二次根號.

2.二次根式的被開方數(shù)必須是什么數(shù)才有意義？又是什么數(shù)？

敦亨反思:?<

I.本節(jié)課的教學(xué)過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例，學(xué)生積極主動探索，教師引導(dǎo)與啟

發(fā)，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者地位.

2.注重知識之間的銜接，在溫故知新的過程中引出新知，講練結(jié)合旨在鞏固學(xué)生對新知

的理解.

第2課時二次根式的化簡

敦與目標(biāo)：?<

1.理解（^）2=〃（。2。），并能利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

2.通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究聲=°（。20）,并利用這個結(jié)論解決具體問題.

重占難（5：?<

教學(xué)重點(diǎn)

理解并掌握（6）2=。（。20）,而=。僅20）以及它們的運(yùn)用.

教學(xué)難點(diǎn)

探究結(jié)論.

敦亨設(shè)計(jì)：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

教師復(fù)習(xí)口述上節(jié)課的重要內(nèi)容，并板書:

1.形如的式子叫做二次根式.

2.,320）是一個非發(fā)數(shù).

那么，當(dāng)。2（）時，（3）2等于什么呢？下面我們一起來探究這個問題.

二、新課教授

活動1：

（多媒體演示）根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

而2=________；（啦"________：

71斤---------；（情）2=---------:

（病亓尸=;（7（））2=.

由學(xué)生計(jì)算、討論得出結(jié)果，并提問部分過程，教師進(jìn)行點(diǎn)評.

老師點(diǎn)評：

，是4的算術(shù)平方根根據(jù)算術(shù)平方根的意義退是一個平方等于4的非負(fù)數(shù)因此（5日

=4.

同理：（建）2=2；~；）2=；；（\^）2=|；（四所）2=00]；（的）2=0

所以歸納出：（版）2=〃（。20）.

【例1】教材第3頁例2

活動2：

（多媒體展示）填空：

V?=；Vo7P=：

y[W2=—；v^=—：

（g）2=；對=.

教師點(diǎn)評：

根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

#=2；VoT=o.i；yj（|）2=|；

yj（1）2=1；q嗎）2=當(dāng)對=0.

所以歸納出：，￡=Q（Q20）.

【例2】教材第4頁例3

教師點(diǎn)評：

當(dāng)a20時，病=〃：

當(dāng)awo時?，q?=-a.

三、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)理解并掌握（3）2=q（a2O）和1=〃（aNO）及其運(yùn)用，同時應(yīng)理解迎=一

WO）.

敦亨反思

1.注意前后知識之間的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)舊知的過程中導(dǎo)入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.按照由特殊

到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度.

2.在總結(jié)二次根式性質(zhì)的過程中，由學(xué)生經(jīng)過觀察、分析的過程，讓學(xué)生在交流活動中

體會成功.

16.2二次根式的乘除

第1課時二次根式的乘法

教與目標(biāo)：?<

由等式的對稱性，反過來：

*7^=/述（。20,620）

活動3講練結(jié)合

教材第6?7頁例題

三、鞏固練習(xí)

完成課本第7頁的練習(xí).

【答案】

課本練習(xí)第1題：（1標(biāo)；（2）6；（3）2??；（4）2.

第2題：（1）77；（2）15；（3）25；（4）4余訴.

第3題：4y[5.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：爪怖2（）"20）,黃6=6??。╝2（）,〃20）及其應(yīng)用.

教與反思

1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例.學(xué)生積極主動探索，教師弓導(dǎo)啟發(fā)，按照由特殊到一般的規(guī)律,

降低學(xué)生理解的難度.

2.在二次根式乘法法則的形成過程中，由學(xué)生大膽猜測，經(jīng)過思考、分析、討論的過程，

讓學(xué)生在交流中體會成功.第2課時二次根式的

除法

教與目標(biāo)K?<

，（qo">。）和狀=*心0，心。），會利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

重占難（5

教學(xué)重點(diǎn)

理解并掌握米=[|（。20,b>0）,

,b>0）,利川它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

教學(xué)難點(diǎn)

歸納二次根式的除法法則.

教導(dǎo)設(shè)計(jì)：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

活動1：

1.由學(xué)生回答二次根式的乘法法則及逆向等式.

2.填空（多媒體展示）.

二、新課教授

活動2：

先由學(xué)生對上面的結(jié)果進(jìn)行比較，觀察每組兩個算式結(jié)果的大小關(guān)系，并總結(jié)規(guī)律.

教師點(diǎn)評：

一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根除以一個正數(shù)的算術(shù)平方根，等于它們商的算術(shù)平方根.

般地，二次根式的除法法則是：

a

對20,b>0)

由等式的對稱性，反過來:

【例】教材第8?9頁例題

三、鞏固練習(xí)

課本第10頁練習(xí)第1題.

【答案】(1)3(2)2#(滯(4)2〃

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握狀=宗(。20,b>0)和

(。20,b>0)及其應(yīng)川.

敦亨反思：?<

1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)二次根式的乘法，旨在類比學(xué)習(xí)二次根式的除法，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究

的興趣.

2.二次根式除法的學(xué)習(xí)過程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學(xué)生經(jīng)歷思考、討論、分析

的過程，讓學(xué)生大膽猜測，使學(xué)生在交流中體會成功.

第3課時最簡二次根式

敦與目標(biāo)

最簡二次根式的概念、利用最簡二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡和運(yùn)算.

重占難占

教學(xué)重點(diǎn)

最簡二京根式的運(yùn)用.

教學(xué)難點(diǎn)

會判斷整個二次根式是否是最簡二次根式.

敦亨設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(學(xué)習(xí)活動)請同學(xué)們完成下列各題.(請四位同學(xué)上臺板書)

計(jì)算：⑴*(2禹(3需(4離

教師點(diǎn)評：

噂￥Q嘉學(xué)嗨邛(礁專

二、新課教授

教師點(diǎn)評：.L面這些式子的結(jié)果具有如下兩個特點(diǎn)：

1.被開方數(shù)不含分母.

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

師：我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.(教師板書)

教師強(qiáng)調(diào)：在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)吳化為最簡二次根式.

【例I】判斷下列式子是不是最簡二次根式，為什么？

(1)3XVA/|X;(2)250737；(3)A/1；(4)70^.

解：(1)被開方數(shù)中有因數(shù)3,因此它不是最簡二次根式；Q)被開方數(shù)中有開得盡方的因

式，因此它不是最簡二次根式；(3)被開方數(shù)中有分母，因此它不是最簡二次根式；(4)被開

方數(shù)中有因數(shù)0.2，它不是整數(shù)，所以它不是最簡二次根式.

【例2】化簡:

(2H12x'y'(x20)；(3)\/a2b4+a4b2(flZ)>0).

解:(i媚

232

(2)A/12xy=,\/4xy,3y=2xy\]3y；

(3h/a2b4+a4b2=A/a2b2(b2+a2)=^a2+b2.

【例3】教材第9頁例7

三、課堂小結(jié)

1.本節(jié)課應(yīng)掌握最簡二次根式的特點(diǎn)及其運(yùn)用.

2.二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

敦亨反思

1.注重知識的前后聯(lián)系，溫故而知新.讓學(xué)生積極主動地探索，教師引導(dǎo)和啟發(fā)，使學(xué)

生在經(jīng)過思考、討論和分析的過程后，獲得新知，體會學(xué)習(xí)的樂趣.

2.前兩個例題旨在加強(qiáng)對最簡二次根式的理解，第三個例題讓學(xué)生靈活運(yùn)用二次根式解

決實(shí)際問題.

16.3二次根式的加減

第1課時二次根式的加減

敦與目標(biāo)＜:?<

理解并掌握二次根式加減的方法并能用二次根式加減法法則進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算.

重Q難Q:?<

教學(xué)重點(diǎn)

理解并后握二次根式加減計(jì)算的方法.

教學(xué)難點(diǎn)

二次根式的化簡、合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式.

敦亨設(shè)計(jì):?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(學(xué)生活動)

1.計(jì)算：

(l)x+2r；(2)3a—2a+4a；(3)2x2—3x2+5x2；(4)2/一47+3a.

2.教師點(diǎn)評：上面的運(yùn)算實(shí)際上就是以前所學(xué)習(xí)的合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)就是字母連

同指數(shù)不變，系數(shù)相加減.

二、新課教授

(學(xué)生活動)

1.類比計(jì)算，說明理由.

(lh/2+2V2；(2)32#+4#；

(3)3小+孤(4)273-373+V12.

2.教師點(diǎn)評：

("+26=(1+22=36；

(2)3乖一2m+4m=(3-2+4胞=5m=1舶

(3)雖然表面上也與乖的被開方數(shù)不同，不能當(dāng)作被開方數(shù)相同，但乖可化為2啦，3夜

+,=36+2也=(3+2班=56；

(4)同樣小可化為2小,

2吸一3V5+6=2小一3小+2小=(2-3+2)75=小.

所以在用二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并，因此可將二次

根式先化為最簡二次根式，比較被開方數(shù)是否相同.

因此可.得：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同

的二次根式進(jìn)行合并.

【例1】教材第13頁例1

【例2】教材第13頁例2

三、鞏固練習(xí)

教材笫13頁練習(xí)第1,2題.

【答案】第1題：(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確.

第2題：(1)一4巾；(2)34；(3)1麗一3??；(4)39

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算時，先把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，

再把相同被開方數(shù)的最簡二次根式進(jìn)行合并.

教與反思:?<

1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例.由學(xué)生上動參與，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，老師加以啟

發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運(yùn)算法則.

2.兩個例題，旨在幫助學(xué)生理解并掌握二次根式的加減運(yùn)算法則.尤其是例2,要按照

兩個步驟進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)了學(xué)生利用概念、法則進(jìn)行計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和科學(xué)精神.

第2課時二次根式的加減乘除混合運(yùn)算

敦與目標(biāo)

含有二次根式的式子進(jìn)行加減乘除混合運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用.

重占難(5

教學(xué)重點(diǎn)

二次根’的加減乘除混合運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)

由整式:算知識遷移到含二次根式的運(yùn)算.

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(學(xué)生活動)：請同學(xué)們完成下列各題.

計(jì)算：

⑴(37+2t+2>4x；

(2)(4?-戶(一2孫)；

(3)(3Q+2協(xié)(3。-2力)；

(4)(2X+1)2+(ZV-1)2.

二、新課教授

由于整式運(yùn)算中的xty,a,b是字母，它的意義卜分廣泛，可以代表一切，當(dāng)然也可以

代表二次根式，因此整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式，下面我們就使用這些規(guī)律來進(jìn)行

【例1】計(jì)算：

(1)部+小)X*；

(2)(4正一3&)+26.

分析：二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以可直接用整式的運(yùn)算規(guī)律.

解：⑴邰+小)義#=小義水+小X#

=屈+標(biāo)=4小+3也：

(2)(4娘一3班)+2/

【例2】計(jì)算:

(l)(V2+3)(V2-5)：

(2)(^5+木)部一小);

(3)(73-V2)2.

分析：第(1)題可類比多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則來計(jì)算，第(2)題把小當(dāng)作。，仍當(dāng)作6,就

可以類比(〃+力)(。一力)=/一川，第(3)題可類比3—〃)2=/一2"+力2來計(jì)算.

解：⑴(皿+3)(也一5)

=(的2+3娘一5小一15

=2+3^2-5^2-15

=-13-272；

(2)(小+小)(小一小)

=(^5)2-(<3)2=5-3=2；

⑶(小一6)2

=（?。?-2X小X班+（例2

=5-276.

三、鞏固練習(xí)

教材第14頁練習(xí)第1,2題.

【答案】第1題：（1>#+遮：（2）4+2皿：（3）11+5?。唬?）4.第2題：（1）9；（2）°—6；

（3）7+4-73：（4）22-4^/10.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握利用整式運(yùn)算的規(guī)律進(jìn)行二次根式的其除、乘方等運(yùn)算.

敦亨反思

1.情境引入，復(fù)習(xí)整式運(yùn)算的知識，旨在遷移到利用乘法公式進(jìn)行含二次根式算式的運(yùn)

算，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣.

2.例題的設(shè)計(jì)，旨在幫助學(xué)生理解乘法公式在二次根式運(yùn)算中的應(yīng)用.

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1課時勾股定理(1)

敦亨目標(biāo)：?<

了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，理解并掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面枳法證明勾股定理，能

應(yīng)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算.

重占難(5：?<

教學(xué)重點(diǎn)

勾股定理的內(nèi)容和證明及簡單應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理的證明.

敦亨設(shè)計(jì)：?<

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

讓學(xué)生畫?個直角邊分別為3cm和4所的直角△XBC，用刻度尺量出斜邊的長.

再畫一個兩直角邊分別為5和12的直角△/18C,用刻度尺量出斜邊的長.

你是否發(fā)現(xiàn)了32+42與5?的關(guān)系,52+12?與132的關(guān)系，即32+42=52,52+122=132,

那么就有勾2+股2=弦乙

對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？

由一學(xué)生朗讀“畢達(dá)哥拉斯觀察地面圖案發(fā)現(xiàn)勾股定理”的傳說，引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的

地面圖形，猜想畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么？

拼圖實(shí)驗(yàn)，探求新知

1.多媒體課件演示教材第22?23頁圖17.1—2和圖17.1-3,引導(dǎo)學(xué)生觀察思考.

2.組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí).

問題：每組的三個正方形之間有什么關(guān)系？試說一說你的想法.

引導(dǎo)學(xué)生用拼圖法初步體驗(yàn)結(jié)論.

生：這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個小正方形的面積和.

師：這只是猜想，?個數(shù)學(xué)命題的成立，還要經(jīng)過我們的證明.

歸納驗(yàn)證，得出定理

(1)猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為。，/),斜邊長為C,那么。2+》2

=c2.

(2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點(diǎn)呢？這就需要對一個一般的直角三角形進(jìn)

行證明.到目前為止，對這個命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國數(shù)學(xué)家趙

爽是怎樣證明這個定理的.

①用多媒體課件演示.

②小組合作探究：

a.以宜角三角形的兩條宜角邊。"為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成

弦圖的樣子嗎？

力.它們的面枳分別怎樣表示？它們有什么關(guān)系?

口■m.茵去~~

c.利用學(xué)生自己準(zhǔn)備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗(yàn)占人趙爽的證法.想一想還有什么方

法？

師：通過拼擺，我們證實(shí)了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關(guān)，我國把它

稱為勾股定理.

即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做

弦.

二、例題講解

【例1】填空題.

⑴在R/A4BC中，ZC=90°,a=8,b=15,貝ijc=:

(2)在Rt/^ABC中，NB=90°,a=3"=4,則c=；

(3)在Rt/\ABC中，ZC=90°,c=1(),"：h=3：4,則a=,h=；

(4)一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為；

(5)已知等邊三角形的邊長為25?,則它的高為cm，面積為曲上

【答案】(1)17(2)77(3)68(4)6,8,10(5胞小

［例2］已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,求第三邊.

分析：已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)

行計(jì)算.讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想.

【答案】3■歷或13

三、鞏固練習(xí)

填空題.

在中?,ZC=900.

(1)如果。=7,c=25,則b=；

⑵如果N4=30°,a=4,貝ijb=：

⑶如果乙4=45°,Q=3,貝ijc=；

(4)如果c=10,a-b=2,則b=；

(5)如果a,htc是連續(xù)整數(shù)，則a+Z)+c=

(6)如果b=&,ae=3：5,則c=.

【答案】(1)24(2)4小(3)36(4)6(5)12

(6)10

四、課堂小結(jié)

1.本節(jié)課學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識？

2.你了解了勾股定理的發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證方法了嗎？

3.你還有什么困惑？

敦亨反思：?<

本節(jié)課的設(shè)計(jì)關(guān)注學(xué)生是否積極參與探索勾股定理的活動，關(guān)注學(xué)生能否在活動中積極

思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進(jìn)行枳極的聯(lián)想(數(shù)形結(jié)合)以及學(xué)生能否有條理地

表達(dá)活動過程和所獲得的結(jié)論等.關(guān)注學(xué)生的拼圖過程，鼓勵學(xué)生結(jié)合自己所拼得的正方形

驗(yàn)證勾股定理.第2課時勾股定理⑵

教與目標(biāo)：?<

能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能月勾股定理解決簡單的實(shí)際問題.

重占難占：?<

教學(xué)重點(diǎn)

將實(shí)際高題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型.

教學(xué)難點(diǎn)

如何用解直角三角形的知識和勾股定理來解決實(shí)際問題.

教與設(shè)計(jì)：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題1：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多

長的梯子？

師生行為：

學(xué)生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型.

教師深入到小組活動中，傾聽學(xué)生的想法.

A

12m\

cl5m\—

生：根據(jù)題意，（如圖）4。是建筑物，則4c=12m,BC=5m,AB是梯子的長度，所以

^RtAABC^,J52=/1C:+BC2=122+52=132,則4〃=13〃九

所以至少需13加長的梯子.

師：很好！

由勾股定理可知，已知兩直角邊的長分別為。，〃，就可.以求出斜邊c的長.由勾股定理

可得/=°2一戶或川=。2一/,由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條

直角邊的長，也就是說，在直角三角形中，己知兩邊就可求出第三邊的長.

問題2：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m、寬2.2機(jī)的長方形薄木板能否從門框內(nèi)

通過？為什么？

D~

2m

4_^1.

H>1

1m

學(xué)生分組討論、交流，教師深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問

題的途徑.

生1：從題意可以看出，木板橫著進(jìn)，豎著進(jìn)，都人能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能

否通過.

生2：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC,再與木板的

寬比較，就能知道木板是否能通過.

師生共析：

解：在放△力4C中，根據(jù)勾股定理彳C2=4M+8C2=12+22=5.

因。匕4。=小心2.236.

因?yàn)榱ΑＤ景宓膶?，所以木板可以從門框內(nèi)通過.

二、例題講解

［例1］如圖，山坡二兩棵樹之間的坡面距離是4#米，則這兩棵樹之間的垂直距離是

米，水平距離是米.

分析：由/。6=30°易知垂直距離為2小米，水平距離是6米.

【答案】2小6

【例2］教材第25頁例2

三、鞏固練習(xí)

1.如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B,C兩點(diǎn)，在江對岸取一點(diǎn)力,使4C垂直

江岸，測得8c=50米，/8=60°,則江面的寬度為.

【答案】5(4米

200m

,520m

2.某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)地點(diǎn)8200米，

結(jié)果他在水中實(shí)際游了52。米，求該河流的寬度.

【答案】約480小

四、課堂小結(jié)

1.談?wù)勛约涸谶@節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單的應(yīng)用題；會構(gòu)造直角三角

形.

2.本節(jié)是從實(shí)驗(yàn)問題出發(fā)，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答.

敦亨反思：?<

這是一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)性，鼓勵學(xué)生動手、動腦，經(jīng)歷將

實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型的過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉了學(xué)生獨(dú)立思

考的能力.第3課時勾股定理(3)

敦與目標(biāo)：?<

1.利用勾股定理證明：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

2.利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點(diǎn).

3.進(jìn)?步學(xué)習(xí)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實(shí)

際問題.

重占難(5：?<

教學(xué)重點(diǎn)

在數(shù)軸上尋找表示出，小，小，…這樣的表示無理數(shù)的點(diǎn).

教學(xué)難點(diǎn)

利用勾就定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段.

敦亨設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容.

本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用.

師：在八年級上冊，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直

角三角形全等.你們能用勾股定理證明這i結(jié)論嗎？

學(xué)生思考并獨(dú)M完成，教師巡視指導(dǎo)，并總結(jié).

先畫出圖形，再寫出已知、求證如下:

已知：如圖，在心和B'C中，NC=NC'=90°,AB=A'B',AC=AC.

求證：△/lACg/X/B'C.

證明：在&△4BC和B'C'中，NC=NC'=90°，根據(jù)勾股定理，得8C=

-AC?,B'C'=，A'B''-A'C々乂AB=AB,AC=A'C,：.BC=B,C,,

A'B'C'（SSS）.

師：我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出行所

對應(yīng)的點(diǎn)嗎？

教師可指導(dǎo)學(xué)生尋找像長度為6，5,第，…這樣的包含在直角三角形中的線段.

師：由于要在數(shù)軸上表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為血，蟲"，所以只需畫出長為g，小,

木，…的線段即可,我們不妨先來畫出長為小，小，小，…的線段.

生：長為血的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長為小的線段是直角邊為1

和2的直角三角形的斜邊.

師：長為，百的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？

生：設(shè)。=回，兩直角邊長分別為a,b,根據(jù)勾股定理/+/=/,即J+戶=13.若a,

，，為正整數(shù)，則13必須分解為兩個平方數(shù)的和，即13=4+9,“2=4,必=9,則“=2,b=3,

所以長為行的線段是直角邊長分別為2,3的直角三角形的斜邊.

師：卜而就請同學(xué)們在數(shù)軸上畫出表示回的點(diǎn).

B

A\C

O\2343

生：步驟如下：

1.在數(shù)軸上找到點(diǎn)力，使04=3.

2.作直線/垂直于,在/上取一點(diǎn)B,使A8=2.

3.以原點(diǎn)O為圓心、以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為表示回的點(diǎn).

二、例題講解

【例1】飛機(jī)在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到,個男孩頭頂正上方4800米處，過了

10秒后，飛機(jī)距離這個男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時飛行多少千米?

A

分析：根據(jù)題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢?，C,8點(diǎn)是兩個

時刻飛機(jī)的位置，NC是直角，可以用勾股定理來解決這個問題.

解：根據(jù)題意，得在Rt^ABC中，ZC=90°,/15=5000米，力C=4800米.由勾股定

理，得/IB'dd+AC2,即50002=5C2+48002,所以4c=1400米.

飛機(jī)飛行1400米用了10秒,那么它1小時飛行的距離為1400X6X60=504000（米）=

504（千米），即飛機(jī)飛行的速度為504千米/時.

［例2］在平靜的湖面上，有一-棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來，水草被吹到

一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？

解：根據(jù)題意，得到上圖，其中D是無風(fēng)時水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一隴風(fēng)吹

過水草的位置，8=3分米，CB=6分米，AD=AB,BC1AD,所以在Rt^ACB中，彳爐=

AC1-}Bd,ep（JC+3）2=^C2+62,3+6/0+9=3+36,：.6AC=27,AC=4.5,所以這

里的水深為4.5分米.

【例3】在數(shù)軸上作出表示4萬的點(diǎn).

解：以我為長的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸

上畫出表示我的點(diǎn)，如下圖：

師生行為：

由學(xué)生獨(dú)立思考完成，教師巡視指導(dǎo).

此活動中，教師應(yīng)教學(xué)重點(diǎn)關(guān)注以卜兩個方面：

①學(xué)生能否積極主動地思考問題；

②能否找到斜邊為行，另外兩條直角邊為整數(shù)的直角三角形.

三、課堂小結(jié)

1.進(jìn)一步鞏固、掌握并熟練運(yùn)用勾股定理解決直角三角形問題.

2-.你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？會利用勾股定理得到?些無理數(shù)，并理解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)

數(shù)對應(yīng).

敦亨反思

本節(jié)課的教學(xué)中，在培養(yǎng)邏輯推理的能力方面，做了認(rèn)真的考慮和精心的設(shè)計(jì)，把推理

證明作為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從學(xué)生的認(rèn)

知規(guī)律和接受水平出發(fā)，這些理念貫徹到課堂教學(xué)當(dāng)中，很好地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，

培養(yǎng)了學(xué)生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力.

17.2勾股定理的逆定理

第1課時勾股定理的逆定理（1）

敦與目標(biāo)：?<

1.掌握直角三角形的判別條件.

2.熟記一些勾股數(shù).

3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法.

重占難（5

教學(xué)重點(diǎn)

探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)

歸納猜想出命題2的結(jié)論.

敦與設(shè)i+

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

活動探究

（1）總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)；

（2）一個三角形滿足什么條件時才能是直角三角形？

生：直角三角形有如式性質(zhì)：（1）有一個角是直角；（2）兩個銳角互余；（3）兩直角邊的平方

和等于斜邊的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半.

師：那么一個三角形滿足什么條件時，才能是直角三角形呢？

生1：如果三角形有一個內(nèi)角是90。，那么這個三角形就為直角三角形.

±2；如果一個三角形，有兩個角的和是90°，那么這個三角形也是宜角三角形.

師：前面我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個直角三隹形的兩直角邊。"與斜邊c具有一

定的數(shù)量關(guān)系即/+//=/,我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為

直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？

問題：據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3

個結(jié)、4個結(jié)、5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.

這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3,4,5,有下面的關(guān)系：32+42

=52,那么圍成的三角形是直角三角形.

畫畫看,如果三角形的三邊長分別為2.5cm,6cm,6.5cm,有下面的關(guān)系:2.52+62=

6.52,畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為,7.5，8.5cm，再試一試.

生1：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第1個結(jié)到笫4個結(jié)是3個單位長度即4。=3；同理8C=

4,46—5.囚為32+42-52,所以我們圍成的三角形是直帝三角形.

生2：如果三角形的三邊長分別是2.5cm,6，6.5cm.我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角

形,經(jīng)過測量后,發(fā)現(xiàn)6.5cm的邊所對的角是直角,并且2.52+62=6.52.

再換成三邊長分別為4cm,7.5cm,8.5cm的三角形,可以發(fā)現(xiàn)8.5cm的邊所對的角是

直角,且有42+7.52=8.52.

師：很好！我們通過實(shí)際操作，猜想結(jié)論.

命題2如果三角形的三邊長。，b，。滿足。2+戶=02，那么這個三角形是直角三半形.

再看下面的命題：

命題1如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系？

師：我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫

做互逆命題.如果把其中的一個叫做原命題，那么另一人叫做它的逆命題.例如把命題1當(dāng)

成原命題，那么命題2是命題1的逆命題.

二、例題講解

【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行；

(2)如果兩個實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個實(shí)數(shù)相等；

(3)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；

(4)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

分析：(1)每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)

和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用；

(2)理順?biāo)鼈冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真

一假，還可能都假.

解略.

三、鞏固練習(xí)

教材第33頁練習(xí)第2題.

四、課堂小結(jié)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？

學(xué)生發(fā)言，教師點(diǎn)評.

敦亨反思:?<

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，將教學(xué)內(nèi)容精簡化，實(shí)行分層教學(xué).根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，

讓學(xué)生更好地體會分割的思想.設(shè)計(jì)的題型前后呼應(yīng)，使知識有序推進(jìn)，有助于學(xué)生理解和

掌握；讓學(xué)生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，感受探索、

合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗(yàn)，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人.將目標(biāo)分層后，滿足不

同層次學(xué)生的做題要求，達(dá)到鞏固課堂知識的目的.

第2課時勾股定理的逆定理(2)

敦與目標(biāo):?<

1.理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法.

2.理解逆定理、互逆定理的概念.

事占難占:?<

教學(xué)重點(diǎn)

勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念.

教學(xué)難點(diǎn)

理解互逆定理的概念.

敦亨設(shè)計(jì):?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

師：我們學(xué)過的勾股定理的內(nèi)容是什么？

生：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c，那么/+星=°2.

師：根據(jù)上節(jié)課學(xué)過的內(nèi)容，我們得到了勾股定理逆命題的內(nèi)容：如果三角形的三邊長

a,b,c滿足。2+/=。2,那么這個三角形是直角三角形.

師：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何

證明呢？

師生行為：

讓學(xué)生試著尋找解題思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路.

師：△48C的三邊長。,b，。滿足『+62=02如果△/BC是直角三角形，它應(yīng)與直角邊

是。，6的直角三角形全等，實(shí)際情況是這樣嗎？

我們畫一個直角三角形4方（7,使*。=。,A'C=b,ZCZ=90°（如圖），把畫好的

△49。剪下，放在。上,它們重合嗎？

生：我們所畫的用△/'夕C,（49）2=/+//,又因?yàn)閏2=a2+b2所以（4，8）2=。2,

即』'B'=c.

△48c和夕C三邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等，ZC=ZC,=90°，所以△力8c

為直角三角形.

即命題2是正確的.

師：很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個定理.由于命題1證明

正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的

逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理.

師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？

生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是

對頂角”不成立.

師；你還能舉出類似的例子嗎？

生：例如原命題：如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對值也相等.

逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實(shí)數(shù)相等.

顯然原命題成立，而逆命題不一定成立.

二、新課教授

【例1】教材第32頁例1

【例2】教材第33頁例2

【例31一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個零件中NA和/O8C都應(yīng)為直角.工人

師傅量出了這個零件各邊的尺寸，那么這個零件符合要求嗎？

分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題的例子.

解：在4ABD中，AB2-\-AD2=9+\6=25=BD2,所以△48。是直角三角形，N4是直

角.

在△BCQ中用oN+AC^ZS+lMnlGguduCO?,所以△ACO是直角三角形，/DBC

是直角.

因此這個零件符合要求.

三、鞏固練習(xí)

1.小強(qiáng)在操場上向東走80m后,又走了60m,再走100m回到原地.小強(qiáng)在操場上向

東走了80m后，又走60m的方向是.

【答案】向正南或正二匕

2.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩觸巡邏艇立

即從相距13海里的A,B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達(dá)C地將其攔截.已知甲巡邏

艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°,求甲巡邏艇的

航向.

【答案】解：由題意可知:^C=120X6X^=12,5C=50X6X^=5,122+52=132.

又48=13,：,AC1-^BC2=AB2,???△48C是直角三角形，且N/C8=90°,ZCAB=40°,

航向?yàn)楸逼珫|50°.

四、課堂小結(jié)

1.同學(xué)們對本節(jié)的內(nèi)容有哪些認(rèn)識？

2.勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，熟記幾組勾股數(shù).

本節(jié)課我采用以學(xué)生為主體，叫導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學(xué)設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和

認(rèn)知水平，最大限度地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生動手、觀察、分析、猜想、

驗(yàn)證、推理的能力，切實(shí)使學(xué)生在獲取知識的過程中得到能力的培

第十八章平行四邊形

18.1平行四邊形

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)

第1課時平行四邊形的性質(zhì)(1)

敦與目標(biāo)

理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對邊、對角相等的性質(zhì).

重占難占

教學(xué)重點(diǎn)

平行四邊形的定義，平行四邊形對角、對邊相等的性質(zhì)以及性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

1.師：我們一起來觀察下圖中的竹籬笆格子和汽車的防護(hù)鏈，想一想它們是什么幾何圖

形的形象.

生：平行四邊形.

師：平行四邊形是我們常見的圖形，你還能舉出平行四邊形在生活中應(yīng)用的例子嗎？

生：自動伸縮門、掛衣服的簡易衣鉤等.

師：你能總結(jié)出平行四邊形的定義嗎？(小組討論，教師總結(jié))

(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)表示：平行四邊形用符號“口”來表示.

如圖，在四邊形48Q)中，力8〃。。，/。〃8。，那么四邊形48。。是平行四邊形.平行

四邊形48C。記作“。居8”，讀作“平行四邊形NBCZT.

①???,4"〃￡>C,/力〃2C,??.四邊形ABCD是平行四邊形(判定)；

②???四邊形/18C。是平行四邊形、："B//DC,力。"4。(性質(zhì)).

2.探究.

師：平行四邊形是?種特殊的四邊形，它除了具有四邊形的性質(zhì)和兩組對邊分別平行的

性質(zhì)外，還有什么特殊的性質(zhì)呢？我們一起來探究一下.

(1)由定義知道，平行四邊形的對邊平行.根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，在平行四邊形中，相

鄰的角互為補(bǔ)角.

(2)猜想平行四邊形的對邊相等、對角相等.

卜面證明這個結(jié)論的正確性.

如圖，已知:°ABCD.

求證：AB=CD,CB=AD,N8=N。，ZBAD=ZBCD.

分析：作四邊形ABCD的對角線AC,它將平行四邊形分成和△CD4,證明這兩

個三角形全等即可得到結(jié)論.

證明：連接4C,

?：AB//CD,AD//BC,.\Z1=Z3,Z2=Z4.

又AC=CA,：."BC"4CDA(ASA).

：.AB=CD,CB=AD,NB=ND.

由上面的證明可知：

Z1=Z3,N2=N4,

AZ1+Z4=Z2+Z3,