2024-2025學年下學期高二數(shù)學第五章A卷

第五章A卷

.選擇題(共8小題)

1.已知函數(shù)/(x)與/(無)的圖象如圖所示，則函數(shù)丫=等(

/2

A.在區(qū)間(-1,2)上是減函數(shù)

B.在區(qū)間(―|,當上是減函數(shù)

C.在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)

D.在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù)

2.已知函數(shù)/(X)=/+如2+苫+1有兩個極值點，則機的取值范圍為()

A.(-V3,V3)B.(-V2,V2)

C.(―8,—V2]U[V2+8)D.(―00，—V3)U+8)

3.已知曲線C；y=#—2上一點P(L-|),則曲線C在點尸處的切線的傾斜角為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

4.己知函數(shù)/(x)=2》，則.，(2+y)=()

5.已知可導函數(shù)/(%)的部分圖象如圖所示，/(2)=0,f(x)為函數(shù)f3的導函數(shù)，下列結(jié)論不

一定成立的是()

2345T

A.f'(1)</(1)B.f'(5)<f(5)

C.f(2)=/(2)D.f(3)<f(4)<f(5)

6.函數(shù)/(x)=竺誓U的大致圖象是(

A.(x+19=l+或1

1

B.[Zn(2x+1)]A=2^+1

C(絲y=e%(x+l)

D.(xsinx)'=sinx+%cosx

8.函數(shù)/(%)=多"(2%)在久=*處的切線與直線y=3%+5垂直，則a=()

二.多選題(共4小題)

(多選)9.如圖是函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)y=/(x)的圖象，則以下說法正確的為(

A.-2是函數(shù)y=/(x)的極值點

B.函數(shù)y=/(x)在x=l處取最小值

C.函數(shù)y=/(x)在x=0處切線的斜率小于零

D.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增

1

(多選)10.已知函數(shù)/(%)=/—3%+4,%E[2/2],則下列選項中正確的是(

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間g,2］上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(x)的值域為［2,6］

C.函數(shù)/(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=-3尤+4

D.關(guān)于x的方程/(%)=。有2個不同的根當且僅當a6［2,

(多選)11.已知二項式(a/+3"(其中flGR)的展開式中存在常數(shù)項，且展開式的項數(shù)不超過9,則

下列說法正確的是()

A.n的所有取值組成的集合中有且僅有3個元素

B.若當〃取最大值時常數(shù)項為30,貝卜=土近

C.若當〃取最小值時函數(shù)/(%)=(a/+》71的圖象在點a,/(D)處的切線與x軸平行，貝!］a=：

D.若二項展開式中的所有項的系數(shù)和為0,則。=-1

(多選)12.已知函數(shù)/(x)=sin2x,貝lj()

A.f'(x)=cos2x

B.%=提/(工)的一個極值點

C./(x)在［0,勺上的平均變化率為1

D./(%)在x=0處的瞬時變化率為2

三.填空題(共5小題)

13.曲線y=(2x-1)/-2x+2在點(0,I)處的切線方程為.

14.函數(shù)/(x)=x3-ajr+lx-1有極值，則實數(shù)a的取值范圍是.

1一

15.已知曲線y=嬴一必支與直線y=ax+4(aCR)相切，則〃=.

Qsina+cosa

16.若曲線y=/(%)=)%+5%在冗=2處的切線的傾斜角為a,則一-------=________.

zsina-cosa

17.函數(shù)/(x)=/+/總的圖象在點(1,1)處的切線的斜率為.

四.解答題(共5小題)

18.已知二次函數(shù)/(x)=X2+3X-a,aER.

(I)若〃=4時，求不等式/(%)<0的解集；

(II)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［。，。+1］上具有單調(diào)性，求實數(shù)〃的取值范圍；

(III)解關(guān)于x的不等式/(x)>ax+2a.

19.設函數(shù)/(%)=&%+ax.

(1)證明：曲線＞=/(%)關(guān)于點(0,1)對稱.

(2)已知/(%)為增函數(shù).

①求〃的取值范圍.

②證明：函數(shù)g(%)=1ax2+2x-a-2ln(ex+1)存在唯一的極值點.

③若不等式/(-%/)4/(m-2^x)V2對x€[-4,2]恒成立，求機的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(x)=J?-4lnx.

(I)求曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線方程；

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

21.已知函數(shù)/(x)=J?-2x+alnx,(〃CR).

(1)若〃=1,求函數(shù)/(x)在點(1,/(1))處的切線；

(2)若對任意的羽，X2E(0,+8),X1WX2,有(%1_%2)._‘("2))〉0恒成立,求實數(shù)4的取值

X1x2

范圍.

22.已知函數(shù)/(x)=J?-(A+3)x+Xlnx.

(1)若入=-3,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)既有極大值，又有極小值，求實數(shù)人的取值范圍.

第五章A卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案BDBABDDB

選擇題（共8小題）

1.已知函數(shù)/（x）與/（無）的圖象如圖所示，則函數(shù)丫=晉（）

A.在區(qū)間（-1,2）上是減函數(shù)

B.在區(qū)間（-|,今上是減函數(shù)

C.在區(qū)間（0,2）上是減函數(shù)

D.在區(qū)間（-1,1）上是減函數(shù)

【考點】利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

【專題】整體思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；運算求解.

【答案】B

【分析】求出函數(shù)y的導數(shù)，結(jié)合圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求解.

【解答】解：因為y，=/（#（%）,

Q1

由圖象知，一2<%<2時，于'（X）<0,y'<0,

即丫=轡在（一］》上單調(diào)遞減,

1

當54<3時，f（x）-f（x）>0,y'>0,

即丫=管在&，3）上單調(diào)遞增，所以選項A、C和D錯誤，選項3正確.

【點評】本題主要考查了導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應用，屬于基礎題.

2.已知函數(shù)/(X)ni+ffld+X+l有兩個極值點，則機的取值范圍為()

A.(-V3,V3)B.(-V2,V2)

C.(―8,--\/2]U[V2^+8)D.(―8,—u(y[3,+8)

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為導數(shù)有兩個不等零點即可得解.

【解答】解：因為(x)—Sx2+2mx+1,

且函數(shù)/(尤)=/+〃11r2+x+l有兩個極值點，

所以/(無)=0有兩個不等實根，

所以A=4:后-12>0,解得小>百或百，

即機的取值范圍是(-8,-V3)U(V3，+8).

故選：D.

【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運算求解能力，屬于基礎題.

3.已知曲線C：y=#-2上一點P(l,-1),則曲線C在點尸處的切線的傾斜角為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【考點】導數(shù)與切線的斜率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的概念及應用；運算求解.

【答案】B

【分析】結(jié)合導數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.

【解答】解：y=f(x)=|x2-2,

則/(x)=x,

故/(1)=1,

傾斜角的范圍為［0，n),

曲線C在點P處的切線的傾斜角為45°.

故選：B.

【點評】本題主要考查導數(shù)與切線的斜率，屬于基礎題.

4已知函數(shù)i則如嚴+筆-叱=()

4ln21

A.41n2C.—

ln222ln2

【考點】變化率的極限與導數(shù)的概念.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的概念及應用；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導數(shù)的求導法則，以及導數(shù)的定義，即可求解.

【解答】解：函數(shù)/(x)=2\

則了(無)=2x/n2,

故lim/(2+合)—f(2)=f(?)=4ln2.

zx-oJ

故選：A.

【點評】本題主要考查導數(shù)的求導法則，以及導數(shù)的定義，屬于基礎題.

5.己知可導函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，/(2)=0,f(無)為函數(shù)/(%)的導函數(shù)，下列結(jié)論不

一定成立的是()

A./(1)</(1)B.f'(5)</(5)

C.f(2)=/(2)D.f(3)<f(4)<f(5)

【考點】導數(shù)及其幾何意義.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學抽象.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)的圖象依次分析選項，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,由導數(shù)的幾何意義，f(1)<0,由圖可知，/(1)>0,所以了(1)</(1),故A成立;

對于8,由圖可知，f(5)>0,f(5)>0,但不確定/(5)與/(5)的大小關(guān)系，故8不一定成

立；

對于C,由圖可知，f(2)=f(2)=0,故C成立；

對于。，由圖可知，函數(shù)在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增，且增長速度越來越快，所以，(3)<f(4)

<f'(5),故D成立.

故選：B.

【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，注意切線斜率的分析，屬于基礎題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用；運算求解.

【答案】D

【分析】利用導數(shù)判定單調(diào)性即可得出選項.

【解答】解：，(久)=絲箸4,定義域為國尤W1},

3

令Af(x)>0=>xG(-8,0)U+8),

3

所以/(%)在(-8,0)和+8)上單調(diào)遞增，排除A、C,

當x<0時，2%-lVO,X-1<0,所以/(%)>0,排除艮

故選：D.

【點評】本題主要考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)的導數(shù)的應用，屬于基礎題.

7.下列求導正確的(

11

A.(%+*=l+7

1

B.[Zn(2x+l)]z=2^1

C(竺),=e?x+l)

D.(xsinx)'=siiu'+尤cosx

【考點】簡單復合函數(shù)的導數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的概念及應用；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導數(shù)的求導法則，即可求解.

【解答】解：對于A,。+夕=1—5，故A錯誤；

7

對于3,[①(2久+1)]/=2%+]，故8錯誤；

對于C,(?)'=竺裳D,故C錯誤；

對于。，(xsiiix)'=sinx+xcosx,故。正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查導數(shù)的運算，屬于基礎題.

8.函數(shù)f(%)=三"(2%)在久=*處的切線與直線y=3x+5垂直，則〃=()

1111

A.-NB.-TTTTC.1D.

612612

【考點】導數(shù)與切線的斜率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的概念及應用；運算求解.

【答案】B

【分析】求出/(X)導數(shù)，//8)=4a,利用函數(shù)/(%)在％=4處的切線與直線y=3x+5垂直，列出

方程，即可求出實數(shù)〃的值.

【解答】解：函數(shù)/(%)=求導得f/(%)=-也幾(2%)

//8)=_~~2仇(2xI)+~~2=4a，

⑥G)

又/(x)在久=2處的切線與直線y=3x+5垂直，

一1

所以3X4〃=-1,解得a=一誦.

故選：B.

【點評】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.

多選題(共4小題)

(多選)9.如圖是函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)y=/(x)的圖象，則以下說法正確的為()

A.-2是函數(shù)y=/(x)的極值點

B.函數(shù)y=/(x)在x=l處取最小值

C.函數(shù)y=/(x)在x=0處切線的斜率小于零

D.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增

【考點】導數(shù)及其幾何意義；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；導數(shù)的概念及應用；運算求解.

【答案】AD

【分析】根據(jù)導函數(shù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)選項逐一判斷即可.

【解答】解：根據(jù)導函數(shù)y=/(x)的圖象，

可知當在(-8,-2)時，/(x)<0,xe(-2,+8)時，f(尤)20且僅當x=l時，f(無)=0,

故函數(shù)在(-8,-2)上函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；在(-2,+8)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

所以-2是函數(shù)y=/(x)的極小值點，所以A正確；

其中尤=1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性不變，則在x=l處不是函數(shù)y=/(%)的最小值，所以B不正確；

由圖像可知/(0)>0,所以函數(shù)y=/(x)在x=0處的切線的斜率大于零，所以C不正確；

由y=/(x)圖象可得，當xC(-2,2)時，/(尤)》0,

所以函數(shù)y=/(x)在xe(-2,2)上單調(diào)遞增，所以。正確，

故選：AD.

【點評】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎題.

(多選)10.已知函數(shù)/(久)=*一3X+4,%￡2],則下列選項中正確的是()

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間g,2］上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(x)的值域為［2,6］

C.函數(shù)/(%)在點(0,f(0))處的切線方程為>=-3尤+4

D.關(guān)于x的方程/(x)=。有2個不同的根當且僅當a6［2,券］

【考點】利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的綜合應用；運算求解.

【答案】BC

【分析】根據(jù)已知條件，對函數(shù)/(x)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可求解.

1

【解答】解：函數(shù)/(%)=一3%+4,xe(2/2］,

求導可得，f(x)=3/-3,

令f(%)=3/-3=0,解得x=l(負值舍去)，

1

當5<%VI時，f(x)<0,當1〈尤W2時，f(x)>0,

1

故/(x)在5，1)上單調(diào)遞減，在(1，2］上單調(diào)遞增，故A錯誤；

/(%)在x=l處取得極小值，也為最小值，

又「/⑵、=6,/(-1)=令21,

故函數(shù)/G)的值域為［2,6］,故5正確；

f(0)=-3,/(0)=4,

故函數(shù)/(x)在點(0,4)處的切線方程為y-4=-3(x-0),即y=-3x+4,故C正確；

由AB選項可知，關(guān)于尤的方程/(無)=。有2個不同的根當且僅當a6(2,獸］,故。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，屬于基礎題.

(多選)11.已知二項式(aJ+mn(其中aER)的展開式中存在常數(shù)項，且展開式的項數(shù)不超過9,則

下列說法正確的是()

A.n的所有取值組成的集合中有且僅有3個元素

B.若當力取最大值時常數(shù)項為30,貝必=±近

C.若當“取最小值時函數(shù)/(%)=32+》的圖象在點(1,/(1))處的切線與x軸平行，貝必另

D.若二項展開式中的所有項的系數(shù)和為0,則。=-1

【考點】利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程；二項式定理的應用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】BCD

【分析】先根據(jù)展開式的項數(shù)不超過9,得到1W〃W8,并利用二項式定理寫出二項展開式的通項，再

根據(jù)展開式中存在常數(shù)項求出”的所有取值，即可判斷A；當"取最大值時求出“，上的值，根據(jù)二項

展開式的通項即可求出常數(shù)項，進而可判斷&當〃取最小值時可得了(x)的解析式，然后利用導數(shù)的

幾何意義求出。的值，最后進行檢驗，即可判斷C；令x=l可得二項展開式中的所有項的系數(shù)和，進

而得到。的值，即可判斷D

【解答】解：因為底+1=C^ax2)n-k-(i)k=所"53k且依N),

因為展開式的項數(shù)不超過9,所以“+1W9,所以1W/W8,

因為展開式中存在常數(shù)項，所以2”-3%=0有解，即卜=等有解，所以“能被3整除，因此〃=3或"

=6.

選項A：顯然”的所有取值組成的集合中有且僅有2個元素，故A錯誤.

選項8：當w取最大值時，〃=6,此時左=4,故a2盤=15a2=30,解得a=±&，故3正確.

選項C當〃取最小值時，〃=3,此時/(%)=(a%2+》3,

則/(1)=(a+1)3,/7(x)=3(ax2+^)2(2ax—由，(1)=3(。+1)2(2〃-1)=0,解得

a=-1或a=2-

當a=-1時，/(1)=0,

函數(shù)圖象在點(1,/(D)處的切線與x軸重合，不符合題意，

當a=4時,f(x)=(#+33,則/(1)=.所以函數(shù)在點(1,/⑴)處的切線為y=符合題

意，故C正確.

1

選項。：對于(。％2+.)"，令冗=1,貝U(a+1)”=0,解得〃=-1,故。正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查二項式定理的應用，屬中檔題.

(多選)12.已知函數(shù)/(x)=sin2x,則()

A.f(%)=cos2x

B.x-百是f(x)的一個極值點

C./(x)在［0,勺上的平均變化率為1

D./(%)在x=0處的瞬時變化率為2

【考點】基本初等函數(shù)的導數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導數(shù)的綜合應用；運算求解.

【答案】BD

【分析】利用復合函數(shù)的導數(shù)、極值點的概念及平均變化率、瞬時變化率的算法逐項求解即可.

【解答】解:函數(shù)/(x)=sm2x,

則/(無)=(sin2x)'=cos2x,(2r)'=2cos2無，所以A錯誤；

因為(x)=2cos2x,當乂=與時，/z(J)=2cos(2XJ)=2cosJ=0,

-TTT［TCTC

且。時，f>(x)>0,I4〈尹f'(x)<0,故I為極大值點，所以2正確;

sin(2x^)-sin0

汗/(-)-/(0)14

由?、旁冢?,勺上的平均變化率為—=亓=一，所以C錯誤;

4—471

因為(x)=2cos2x,當x=0時，f(0)=2cos(2X0)=2cos0=2,

故了(%)在尤=0處的瞬時變化率為2,

所以D正確.

故選：BD.

【點評】本題主要考查導數(shù)的應用，屬于基礎題.

三.填空題(共5小題)

13.曲線y=(2尤-1)產(chǎn)-2尤+2在點(0,1)處的切線方程為x+y-1=0

【考點】利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；運算求解.

【答案】x+y-1=0.

【分析】由導數(shù)的幾何意義即可求解.

【解答】解：,.>=(2x-1)/-2x+2,

'.y'—(2x+l)，-2,當尤=0時，y，|x=o=T,

...曲線在點(0,1)處的切線方程為y=-x+1,即尤+y-l=0.

故答案為：x+y-1=0.

【點評】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的切線，屬基礎題.

14.函數(shù)/（無）=苫3-辦2+2x-1有極值，則實數(shù)°的取值范圍是（—8,—V^）u（癖，+8）

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；運算求解.

【答案】（一8,—76）U（V6,+oo）.

【分析】由題意知/（無）有變號零點，根據(jù)A>0求出答案.

【解答】解：f（尤）=3x2-2ax+2,由題意知/（%）有變號零點，

A=（-2a）2-4X3X2>0,

解得a>乃或aV—灰.

故答案為：（一8,—V6）U（V6/+8）.

【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運算求解能力，屬于基礎題.

1

15.已知曲線丫=嬴一）比與直線y=ax+4（a￡R）相切，貝！Ja=-2e.

【考點】利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的概念及應用；運算求解.

【答案】-2e.

【分析】根據(jù)題意建立方程，即可求解.

【解答】解：：丫'=一當—之設切點為（xo,yo）,

ex乙x，

貝底。+4=擊-）3。二一熹一4,

.2

ITLXQ+3----=0,

exo

91

易知/（%）=濟％+3-贏在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，且9=0,

,_1

?,xo—才

故答案為：-2e.

【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線問題，方程思想，屬基礎題.

Qsina+cosa

16.若曲線y=/（%）=）%+5%在％=2處的切線的傾斜角為a,則一--------=3.

乙sina-cosa

【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系；導數(shù)與切線的斜

率.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；導數(shù)的概念及應用；三角函數(shù)的求值；運算求解.

【答案】3.

【分析】根據(jù)題意，求出，(x),由導數(shù)的幾何意義可得tana=f(2)=2,進而由三角函數(shù)恒等變

形公式分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(x)=lnx+lx,其導數(shù)/(x)=i+1,

又由該函數(shù)在％=2處的切線的傾斜角為a,則tana=/(2)=2,

r,sina+cosatana+1

則---------=--------=3.

sina-cosatana-1

故答案為：3.

【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，涉及三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎題.

17.函數(shù)/(X)=/+/我的圖象在點(1,1)處的切線的斜率為3.

【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；導數(shù)與切線的斜率.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的概念及應用；運算求解.

【答案】3.

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義可求出所求切線的斜率.

【解答】解：根據(jù)題意，/(x)=x2+Znx,其導數(shù)f'(久)=2x+],

則，(1)=3.

故函數(shù)/(x)的圖象在點(1,1)處的切線的斜率上=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，涉及導數(shù)的計算，屬于基礎題.

四.解答題(共5小題)

18.已知二次函數(shù)/(x)=/+3尤-a,A￡R.

(I)若。=4時，求不等式/(無)<0的解集；

(II)若函數(shù)/(%)在區(qū)間a+1]上具有單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍；

(III)解關(guān)于x的不等式/(%)>ax+2a.

【考點】利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

【專題】分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；不等式的解法及應用；運算求解.

【答案】(I){x|-4<x<l}；

qa

(II)—,或―2*

(Ill)a=-3時，解集為{x,W-3},

當a>-3時，解集為｛x|x>a或尤<-3｝,

當a<-3時，解集為｛x|x>-3或x<a｝.

【分析】(/)把a=4代入函數(shù)解析式，然后結(jié)合二次不等式的求法即可求解；

(II)結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(III)結(jié)合二次不等式的求法對。的范圍進行分類討論即可求解.

【解答】解：(I)當。=4時，f(x)=/+3x-4<0,

解得-4<x<l,

故不等式的解集為｛x|-4<x<l｝；

(II)若函數(shù)/(%)在區(qū)間［〃，〃+1］上具有單調(diào)性，則〃+14—|或心一|,

解得—.或cC>—.

故a的范圍為—2或a~—2卜

(III)由/(x)=7+3%-可得(％-。)(x+3)>0,

當〃=-3時，解得xW-3,

當a>-3時，解得x>a或x<-3,

當a<-3時，解得x>-3或x<a,

故〃=-3時，解集為-3｝,

當〃>-3時，解集為｛小>〃或xV-3｝,

當a<-3時，解集為｛x|x>-3或xV〃｝.

【點評】本題主要考查了二次不等式的求解，還考查了二次函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于基礎題.

19.設函數(shù)/(%)=入廷+

(1)證明：曲線>=/(%)關(guān)于點(0,1)對稱.

(2)已知/(x)為增函數(shù).

①求。的取值范圍.

②證明：函數(shù)g(%)=-^ax2+2x-a-2ln(ex+1)存在唯一的極值點.

③若不等式/(-％/)4/(加-2/)V2對花［-4,2］恒成立，求機的取值范圍.

【考點】利用導數(shù)求解函數(shù)的極值；利用導數(shù)求解函數(shù)的最值；不等式恒成立的問題.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導數(shù)的綜合應用；邏輯思維.

【答案】(1)證明見詳解.

(2)①g,+8)；

②證明見詳解；

③(-8，-6

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)對稱性定義判斷；

(2)①由題可得/(x)20恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題解決；

②求g'(x),判斷屋(尤)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷g'(x)的正負，進而得證；

③根據(jù)題意可得h(x)=/(無)-1為奇函數(shù)，增函數(shù)，可將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為hCm-2^)<-h

(-x/)=h(xF),即得MW+2",XE[-4,2],構(gòu)造函數(shù)p(x)=xex+2ex=(x+2)利用導數(shù)

求出最值得解.

【解答】解：(1)證明：由于/■(x)+/(—%)=&^+。％+言萬—61乂=^^+含3=筆笄=2，

因此函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(0,1)對稱.

2e%

(2)①由于函數(shù)/(x)為增函數(shù)，因此導函數(shù)f/。)=a—2>。恒成立，

(e%+l)

所以aZ2"恒成立,

(ex+l)z

2ex221

由于，,、？=——i—WI——=一，當且僅當"=1,即X=0時，等號成立，

0+1)2期專+22月+22

2ex1

那么,支，、2的最大值為:？

(ex+l)22

因此a斗，所以實數(shù)a的取值范圍是g,+8).

ox7

②證明：由于導函數(shù)g/(%)=。％+2-甌pa=a%+百萬=/(%),因此導函數(shù)屋(X)為增函數(shù)，

又因為g/(-4)—4a,因為羨不V2，而4〃三2,所以屋(-4)<0,

g'(0)=1>0,因此導函數(shù)(x)在(-4,0)上存在唯一的零點xo,

當x>xo時，導函數(shù)屋(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當xVxo時，導函數(shù)/(九)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

因此g(x)存在唯一的極值點.

③根據(jù)第一問知，y=/(x)關(guān)于點(0，1)對稱，因此函數(shù)/z(x)=f(x)-1為奇函數(shù)，

根據(jù)/(-+于(m-2/)<2,xE[-4,2],得/(-x/)-l+f(m-2/)-l<0,

所以。(-x/)+h(m-2d)<0,所以h(m-2F)<-h(-x/)—h(xeD,

由于函數(shù)/(%)為增函數(shù)，因此用(x)=f(x)-1為增函數(shù)，所以m-2/Vx/,

所以mVx/+2",xE[-4,2],

設p(x)=xex+2ex=(x+2)那么導函數(shù)p'(x)=(x+3)xE[-4,2]

當x>-3時，導函數(shù)p'(x)>0,p(x)單調(diào)遞增，當x<-3時，導函數(shù)p'(x)<0,p(x)單

調(diào)遞減，

所以〃(x)在[-4,-3]上單調(diào)遞減，在(-3,2]上單調(diào)遞增，

]

故mVpQOmm=Pt-3)=一次，

所以根的取值范圍為(一8,-妥).

【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題.

20.已知函數(shù)/(x)=x2-4lnx.

(I)求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【考點】利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；運算求解.

【答案】(I)2尤+y-3=0；(II)單調(diào)遞增區(qū)間為(VI,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,V2).

【分析】(I)利用導數(shù)的幾何意義求解即可；

(II)利用導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可.

【解答】解：(I)/z(x)=2x-p

則/(1)=-2,

又/⑴=1,

則所求切線方程為y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0；

(II)函數(shù)的定義域為(0,+8),f'(x)=2x—9=在尹=義士空紅?,

令，(無)>0,解得%>企,令，(x)<0,解得

則函數(shù)了(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(/，+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,V2).

【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于基礎題.

21.已知函數(shù)/(x)=J?-2x+alnx,(Q€R).

(1)若〃=1,求函數(shù)/(x)在點(1,/(1))處的切線；

(2)若對任意的XI,(0,+8),X1WX2,有(久1一冷)?(△'?-曲))〉。恒成立，求實數(shù)a的取值

X1x2

范圍.

【考點】利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導數(shù)求解曲線在某點上的切線方程.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導數(shù)的綜合應用；邏輯思維.

【答案】⑴y=x-2.

(2)響0,2e3].

【分析】(1)求導，可得切點處的斜率，即可由點斜式求解直線方程，

(2)將不等式變形為9,構(gòu)造函數(shù)G(x)=卒=x_2+且?，利用單調(diào)性與導數(shù)之間的

關(guān)系，分離參數(shù)即可求解，或者利用分類討論，求解導函數(shù)的正負求解.

【解答】解：(1)/z(x)=2x-2+p

當〃=1時，/(1)=-1,f(X)=1,

故切線方程為：y+l=x-1,即y=x-2；

(2)不妨設0V%i〈x2,則根f(xi)-x\f(x2)<0,

同除以X1X2得-----<------，

XrX2

所以G(x)=寫=%—2+萼在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以G，(x)=1+吧-嚴一0,

X乙

①若。=0,G'(%)>0恒成立，符合題意；

1ITLX—1

②若。>0,則一2-5一恒成立，

ax乙

令90)=以滬，則尸，(%)=一3”,

令F'(久)=3-2產(chǎn)>0,貝ijo<x<J,

33

所以尸(x)在(0,e2)單調(diào)遞增，在(e2,+8)單調(diào)遞減，

1—1

所以一>F(e2)=—,所以ae(0,2e3]；

a

1ITIX—A.

③若。<0,同理，一w—丁恒成立，

ax乙

由②可知，當xf0+時，F(xiàn)(%)--8,

所以不存在滿足條件的。.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是。日0,2e3].

【點評】本題考查導數(shù)綜合應用，屬于難題.

22.已知函數(shù)/（無）=/-（入+3）x+Xbvc.

（1）若）=-3,求/（無）的單調(diào)區(qū)間;

（2）若于（x）既有極大值，又有極小值，求實數(shù)人的取值范圍.

【考點】利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；利用導數(shù)求解函數(shù)的極值.

【專題】綜合題；對應思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；邏輯思維；運算求解.

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（0,苧），單調(diào)遞增區(qū)間為（苧，+00）；

（2）（0,+8）.

【分析】（1）由題意，將入=-3代入函數(shù)解析式中，對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)即可得到函數(shù)的單調(diào)

性；

（2）對函數(shù)/（x）進行求導，將問題轉(zhuǎn)化成方程2x2-（入+3）/入=。有兩個不同的正根，再進行求解

即可.

【解答】解：（1）當入=-3時，/（無）—X1-3lnx,函數(shù)定義域為（0,+8）,

可得//（久）=2%-3=27-3_（痘》+店）（7^%一病）,

當0<xV苧時，f（無）<0；當尤>孚時，f（尤）>0,

所以/G）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,乎），單調(diào)遞增區(qū)間為（乎，+8）;

（2）易知f'（x）=2%—（4+3）+[=2/-空）%+',

令f（x）=0,

若/（X）既有極大值，又有極小值，

此時方程2*-（入+3）x+X=O有兩個不同的正根，

（4=（2+3）2-82>0

所以卜+3>0,

U>o

解得人>0.

故實數(shù)人的取值范圍為（0,+8）.

【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎題.

考點卡片

1.由函數(shù)解析式求解函數(shù)圖象

【知識點的認識】

函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線.

利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性

等）.

其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線.

【解題方法點撥】

1、畫函數(shù)圖象的一般方法

（1）直接法：當函數(shù)表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根

據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作

出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ?/p>

換單位及解析式的影響.

（3）描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法.為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖

象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論.

2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應關(guān)系的方法

知式選圖：

①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；

②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.

利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項.

注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口.

【命題方向】

識圖的方法

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的

信息，解決這類問題的常用方法有：

①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特

征來分析解決問題；

②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；

③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

函數(shù)f（久）=蕓筍的圖象大致是（）

D.I

解：..?函數(shù)〃久）=密算的定義域為R,且對于任意X6R,有f（—x）=黃胃=一/（久）,

3

...函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C,D,又/（兀）=4中＞0,.?.排除艮

故選：A.

2.導數(shù)及其幾何意義

【知識點的認識】

1、導數(shù)的定義

如果函數(shù)尤）在（a,b）中每一點處都可導，則稱/（x）在（a,b）上可導，則可建立了（X）的導函數(shù)，

簡稱導數(shù),記為了（X）；

如果/（x）在（a,b）內(nèi)亙導，且在區(qū)間端點。處的右導數(shù)和端點b處的左導數(shù)都存在，則稱/（x）在閉

區(qū)間團，61上可導,f（x）為區(qū)間［a,切上的導函數(shù)，簡稱導數(shù).

2、導數(shù)的幾何意義

函數(shù)/（%）在x=xo處的導數(shù)就是切線的斜率左.例如：函數(shù)/（無）在猶處的導數(shù)的幾何意義：左切線=/'

/(比+△》)一/'Oo)

(xo)=%->0=%T0△y

Um△%Um△x

【解題方法點撥】

（1）利用導數(shù)求曲線的切線方程.求出>=/（無）在無o處的導數(shù)/（X）；利用直線方程的點斜式寫出切

線方程為丁-州可'（xo）（尤-尤o）.

（2）若函數(shù)在尤=尤0處可導，則圖象在（xo,f（xo））處一定有切線，但若函數(shù)在x=xo處不可導，則圖象

在（X0,尤o））處也可能有切線，即若曲線y=/（無）在點（xo,/（xo））處的導數(shù)不存在，但有切線，則

切線與x軸垂直.

（3）注意區(qū)分曲線在尸點處的切線和曲線過尸點的切線，前者尸點為切點；后者尸點不一定為切點，P

點可以是切點也可以不是，一般曲線的切線與曲線可以有兩個以上的公共點，

（4）顯然/（xo）>0,切線與無軸正向的夾角為銳角；/（xo）<0,切線與x軸正向的夾角為鈍角；f

（尤0）=0,切線與無軸平行；f'（尤o）不存在，切線與y軸平行.

【命題方向】

題型一：根據(jù)切線方程求斜率

典例1：已知曲線丫=卷-3"久的一條切線的斜率為5，則切點的橫坐標為（）

1

A.3B.2C.1D.-

2

解：設切點的橫坐標為（xo,yo）

2i

曲線y=4r■-3"久的一條切線的斜率為

.?4=解得猶=3或加=-2（舍去，不符合題意），即切點的橫坐標為3

zx0z

故選A.

題型二：求切線方程

GY?+bx-I-r.Y>一1

{"2；〈一］其圖象在點（1，/（D）處的切線方程為y=2x+l,則它

在點（-3,/（-3））處的切線方程為（）

A.y=-2x-3B.y=-2x+3C.y=2x-3D.y=2x+3

解：??,圖象在點（1,/（l））處的切線方程為y=2x+l

：.f（1）=2+1=3

（-3）=/（3-2）=/（l）=3

（-3,f（_3））即為（-3,3）

在點（-3,/（-3））處的切線過（-3,3）

將（-3,3）代入選項通過排除法得到點（-3,3）只滿足A

故選A.

3.變化率的極限與導數(shù)的概念

【知識點的認識】

導數(shù)的概念：

函數(shù)/（X）在x=xo處時的瞬時變化率是函數(shù)y=/（X）在彳=無0處的導數(shù)，記作/（xo）或y'|X=AO,即

/(配+'(a)

(xo)=%-?0=%-?0△y

Um△XUmAX

【解題方法點撥】

導函數(shù)的特點：

①導數(shù)的定義可變形為：f'（無）=△X70/（^-AX）-/（%）.