77-二重積分省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

特點(diǎn)：平頂.曲頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.1、曲頂柱體體積一、二重積分概念柱體體積=底面積

╳高第七節(jié)二重積分1第1頁播放求曲頂柱體體積采取“分割、取近似、求和、取極限”方法，以下動畫演示．2第2頁1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“取近似”在每個則以平帶曲中任取一點(diǎn)小曲頂柱體3第3頁4)“取極限”令3)“近似和”4第4頁2、二重積分定義5第5頁積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表示式面積元素即什么樣函數(shù)可積呢？在二重積分定義中，對閉區(qū)域劃分是任意，取點(diǎn)是任意.6第6頁假如在D上可積,這時分區(qū)域D,可用平行坐標(biāo)軸直線來劃則面積元素為故二重積分可寫為引例1中曲頂柱體體積:7第7頁二重積分幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體體積負(fù)值．8第8頁(1)若(2)若偶倍奇零回想:在一元函數(shù)定積分學(xué)中,假如積分區(qū)間對稱性與被積函數(shù)奇偶性相結(jié)合則有更詳細(xì),問題:多元函數(shù)重積分有沒有類似規(guī)律?9第9頁設(shè)函數(shù)D位于x軸上方部分為D1,在D上在閉區(qū)域D上連續(xù),(1)設(shè)域D關(guān)于x軸對稱(關(guān)于變量y對稱性),則則DD位于y軸右側(cè)部分為D2,在D上(2)設(shè)域D關(guān)于y

軸對稱(關(guān)于變量x對稱性),則則10第10頁(3)域D關(guān)于原點(diǎn)對稱,則則在第一象限部分,則有想幾何圖形11第11頁3、二重積分性質(zhì)下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),A為D面積.

性質(zhì)2線性性質(zhì)

這里A為D面積.

性質(zhì)112第12頁性質(zhì)4性質(zhì)3區(qū)域可加性

推論1推論2保號性保序性13第13頁性質(zhì)5估值性質(zhì)證所以于是14第14頁性質(zhì)6(二重積分中值定理)幾何意義：曲頂柱體體積=某一點(diǎn)平頂柱體體積是離散平均值在連續(xù)上代替物15第15頁abxyo假如積分區(qū)域?yàn)镈：1、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二、二重積分計(jì)算

X型區(qū)域特點(diǎn)：

穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于y軸直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).abxyo16第16頁dxyoc假如積分區(qū)域?yàn)椋?/p>

Y型區(qū)域特點(diǎn)：穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于x軸直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).17第17頁已知平行截面面積立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間體積元素為所以所求立體體積為上連續(xù),回想---微元法主要應(yīng)用18第18頁設(shè)曲頂柱底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體曲邊梯形19第19頁積分區(qū)域?yàn)椋浩胀ǖ?，——先對y積分，后對x積分二次積分記為abxyo20第20頁dxyoc假如積分區(qū)域?yàn)椋骸葘

積分，后對y積分二次積分21第21頁說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時還能夠交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則22第22頁

2.計(jì)算方法步驟

畫D計(jì)算分步寫D選型說明選型二要素:不或少分區(qū)

f(x,y)可或易積若D域?yàn)閺?fù)雜型,或分區(qū)或另選坐標(biāo)系23第23頁將化為二次積分,其中

D

由直線圍成。解法1先畫出積分區(qū)域D，將D

向y

軸投影，先x后y,例1xyo24第24頁xyo解法2先y后x,

將D

向x

軸投影,25第25頁例2.計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則看成X型域或Y型域都行，而且計(jì)算量一樣大26第26頁解例3先求兩曲線交點(diǎn)先對

y

積分，27第27頁解例4只能先積分x，先積分y是無法計(jì)算28第28頁例2’.計(jì)算其中D是直線所圍成閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,所以取D為X–型域:先對x

積分不行,只能先積分y，先積分x是無法計(jì)算29第29頁計(jì)算積分需要注意問題初等函數(shù)原函數(shù)不一定是初等函數(shù),所以不一定都能積出.比如

,30第30頁解例5先x后y,兩曲線交點(diǎn)31第31頁解例5兩曲線交點(diǎn)選擇積分次序標(biāo)準(zhǔn)：

若選擇先y后x,(1)積分輕易；

(2)盡可能少分塊或不分塊.

麻煩。32第32頁例4.求兩個底圓半徑為R直交圓柱面所圍體積.解:

設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體頂為則所求體積為33第33頁34第34頁解例635第35頁解積分區(qū)域?yàn)閷

向y

軸投影,

改變積分次序.例7說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分次序.36第36頁解設(shè)則例8交換下面積分次序:37第37頁設(shè)將D

向y

軸投影,38第38頁例9交換下面積分次序:39第39頁例4’.交換以下積分次序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則40第40頁利用對稱性簡化二重積分計(jì)算設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于y

軸對稱，yxox-x(1)若f(x,y)關(guān)于

x是奇函數(shù)，則有(2)若f(x,y)關(guān)于x是偶函數(shù)，則有其中是D右半?yún)^(qū)域。41第41頁利用對稱性簡化二重積分計(jì)算設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，(1)若f(x,y)關(guān)于

y

是奇函數(shù)，則有(2)若f(x,y)關(guān)于x是偶函數(shù)，則有其中是D上半?yún)^(qū)域。yxo42第42頁例10設(shè)有平面區(qū)域解oxy利用對稱性簡化二重積分計(jì)算43第43頁解oxy選(A).44第44頁例11求二重積分解oxy區(qū)域D分別對稱于x軸和y軸，45第45頁2、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分：

1)當(dāng)積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等時,D邊界用極坐標(biāo)表示較為簡單；

2)被積函數(shù)含有等形式時,用極坐標(biāo)積分較為輕易.

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

46第46頁所以面積元素為47第47頁二重積分化為極坐標(biāo)下二次積分公式區(qū)域特征如圖48第48頁答:問

改變范圍是什么?(1)(2)注意:原點(diǎn)位置與區(qū)域關(guān)系尤其,對49第49頁解例12在極坐標(biāo)系下,xyo50第50頁解51第51頁例13解區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，用極坐標(biāo)，xyo52第52頁xyo53第53頁例.

n

為偶數(shù)n

為奇數(shù)回想上冊書中,一個慣用定積分公式偶數(shù)次用倍角公式降低次數(shù)54第54頁例14解直接做麻煩,化為極坐標(biāo),55第55頁例15解所以在極坐標(biāo)系下,圓方程為直線方程為56第56頁解計(jì)算二重積分例16由區(qū)域?qū)ΨQ性和函數(shù)奇偶性，可只考慮第一象限部分，xyo57第57頁解法1例17xyo58第58頁所以59第59頁xyo解法2例17用直角坐標(biāo)系，先對

x積分，60第60頁所以61第61頁例18解62第62頁求曲頂柱體體積采取“分割、取近似、求和、取極限”方法，以下動畫演示．63第63頁求曲頂柱體體積采取“分割、取近似、求和、取極限”方法，以下動畫演示．64第6