云南省大理市白族自治州2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考試題含解析

大理州2023-2024學(xué)年下學(xué)期4月月考高二數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆填涂答題卡；非選擇題用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.第I卷（選擇題，共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為.故選：C.2.已知為等比數(shù)列，若，則（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】，，，，.故選：B3.已知向量，向量，滿足，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，有，求出、的值，計(jì)算可得答案．【詳解】解：向量，，，向量，1，，若，設(shè)則有，則，則有，，則，故選：．4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】根據(jù)左加右減的平移原則一一判斷，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，D正確.故選：D5.若直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理得，，解得.故選：B.6.若直線與曲線相切，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)切點(diǎn)，再對(duì)曲線求導(dǎo)，然后令導(dǎo)數(shù)等于1，然后結(jié)合，即可求出a的值.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為（x，y），由題意.∴，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用切點(diǎn)滿足的兩個(gè)條件列方程組是本題的總體思路.屬于基礎(chǔ)題.7.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出前項(xiàng)和的形式求解即可.【詳解】易知.故選：A8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng)．【詳解】時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B，時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D，又時(shí)，，排除C，只有A可滿足．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除，可通過(guò)特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng)．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)0分.9.已知一組數(shù)據(jù)：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均數(shù)為，則（）A.B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4C.若將這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都加上0.3，則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?D.這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為5.5【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)求出值，再根據(jù)百分位的性質(zhì)求出結(jié)果．【詳解】由題意得，解得，故A正確；將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，則中位數(shù)，故B錯(cuò)誤；若將這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都加上0.3，則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?，故C正確；因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故D正確．故選：ACD．10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A.兩條異面直線和所成的角為B.直線與平面所成的角等于C.點(diǎn)到面的距離為D.四面體的體積是【答案】BCD【解析】【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后借助空間向量逐項(xiàng)計(jì)算與判斷即可得.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，對(duì)A：、、、，則、，故，故，即異面直線和所成的角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，由軸平面，故平面法向量可為，則，故直線與平面所成的角為，故B正確；對(duì)C：，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，故，故C正確；對(duì)D：易得四面體為正四面體，則，故D正確.故選：BCD.11.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于第一象限），與C的準(zhǔn)線交于D點(diǎn)，F(xiàn)為線段AD的中點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，則（）A.直線l的斜率為 B.C. D.直線AE與BE的傾斜角互補(bǔ)【答案】ABD【解析】【分析】分析可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，分析可得，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可判斷A選項(xiàng)；再將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)A、的坐標(biāo)，利用平面向量與解析幾何的相關(guān)知識(shí)可判斷BCD選項(xiàng)的正誤.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，若軸，則直線與拋物線的準(zhǔn)線平行，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，則，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，可得，所以，直線的方程為，即，故直線的斜率為，A對(duì)；聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)、，易知點(diǎn)，所以，，，則，B對(duì)；易知點(diǎn)，，，故，C錯(cuò)；，，則，所以，直線與的傾斜角互補(bǔ)，D對(duì).故選：ABD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】8【解析】【分析】由直線過(guò)點(diǎn)，可得，從而有，展開后利用基本不等式可求得其最小值【詳解】解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8故答案為：8【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正二定三相等”的條件，屬于基礎(chǔ)題13.若函數(shù)在處取得極小值，則a=__________．【答案】2【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)得到或，討論的不同取值，利用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，驗(yàn)證極值點(diǎn)，即可得解.【詳解】由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，所以，解得或，若，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；綜上：.故答案為：2.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)時(shí)，一般需要先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)求出參數(shù)，再驗(yàn)證所求參數(shù)是否符合題意即可.14.已知數(shù)列中，，，，則的前項(xiàng)和__________．【答案】【解析】【分析】取倒可得，判斷是等差數(shù)列，即可求解，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由可得，所以是等差數(shù)列，且公差為2，所以，故，所以，所以故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若.（1）求角的大?。唬?）若，求，，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；（2）利用余弦定理求出，再結(jié)合求出，，即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又，所?【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理有，又，即，所以，聯(lián)立，即，所以，則，所以.16.已知數(shù)列滿足，，.（1）求；（2）求數(shù)列前20項(xiàng)的和.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由和求出，利用數(shù)列的前4項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，得到；（2）分別利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意知數(shù)列的前4項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，從第5項(xiàng)開始是公差為-4的等差數(shù)列.因?yàn)?，所以，又，所?（2）.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查分組求和公式，屬于中檔題．17.如圖，四棱錐，底面是正方形，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）取AB中點(diǎn)為G，求證：平面；（2）求平面和平面所成夾角大小【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，由線面垂直的判定定理可證明平面；（2）取中點(diǎn)，連接，過(guò)O作AB平行線，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩向量夾角公式求解.【小問(wèn)1詳解】取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，如圖所示：∵ABCD是正方形，∴，又∵，，，∴又∵E，F(xiàn)，G都是中點(diǎn)，∴，，，，，GF，平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，由（1）中，且，平面；所以平面，又，是正方形，所以；即可得兩兩垂直；過(guò)O作AB平行線，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：由題意得，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得；令，則，得，因此，所以平面和平面所成夾角大小為.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，直線，和直線分別交于點(diǎn)，，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)和將已知點(diǎn)代入列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，由此化簡(jiǎn)，從而證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．小問(wèn)2詳解】由（1）知，，設(shè)，直線的方程為，由消去得，，則，直線的方程為，由，得，同理，則，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處切線斜率為4，求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性：（3）已知的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算即可得解；（2）對(duì)a進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）由題可得，進(jìn)而可得函數(shù)的最小值為，再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)證明即可得證.【小問(wèn)1詳解】∵，則，由題意可得，解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，當(dāng)時(shí)，則恒成立，令，解得；令，解得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，則在定義域內(nèi)恒成立，故在上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，在上單