2025年浙江杭州錢塘區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學(xué)年第二學(xué)期學(xué)業(yè)水平測(cè)試（一）九年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上指定位置填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名，正確填涂準(zhǔn)考證號(hào)．3．全卷答案必須寫在答題卡的相應(yīng)位置上，做在試題卷上無效．4．如需畫圖作答，必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將圖形線條描黑．5．不允許使用計(jì)算器計(jì)算．一、選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知二次函數(shù)的圖象開口向下，則的值可以是（

）A． B．0 C．2 D．42．現(xiàn)有5張卡片，分別寫著數(shù)字1，2，3，4，5．若從中隨機(jī)抽取1張卡片，則該卡片上的數(shù)字“恰好是奇數(shù)”的概率為（

）A． B． C． D．3．用五個(gè)相同的小立方體搭成以下幾何體，其中主視圖與其他3個(gè)不同的是（

）A． B．C． D．4．已知的半徑是5，直線與相交，則圓心到直線的距離可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．75．將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B．C． D．6．下列命題正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧B．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線C．位似圖形一定是相似圖形D．若是線段的黃金分割點(diǎn)，，則7．如圖，的切線交直徑的延長線于點(diǎn)為切點(diǎn)．若的半徑為2，則的長為（

）A． B．2 C． D．28．如圖，已知鐘擺的擺長為米，當(dāng)鐘擺由位置擺動(dòng)至位置時(shí)，鐘擺擺動(dòng)的角度為，此時(shí)擺幅的長可以表示為（

）米A． B．C． D．9．復(fù)習(xí)課上，老師出了一道作圖題：“如圖，銳角內(nèi)接于于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在上找出點(diǎn)，使．”課堂上同學(xué)們提供了以下兩種方法．方法①：延長，交于點(diǎn)．方法②：作直線，，相交于點(diǎn)，連結(jié)，延長交于點(diǎn)．下列判斷正確的是（

）A．方法①，方法②都錯(cuò)誤 B．方法①，方法②都正確C．方法①錯(cuò)誤，方法②正確 D．方法①正確，方法②錯(cuò)誤10．已知二次函數(shù)的圖象上有四個(gè)點(diǎn)：，，其中，則下列結(jié)論一定不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分．11．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值．12．計(jì)算.13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB放大，得到線段，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．14．如圖，切線、分別與相切于點(diǎn)A、，切線與相切于點(diǎn)，且分別交、于點(diǎn)、，若的周長為12，則線段的長為．

15．如圖，在扇形中，過的中點(diǎn)作，垂足分別為．已知，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．16．如圖，已知四邊形內(nèi)接于，延長，交于點(diǎn)．若，，則圓的半徑為．三、解答題：本大題有8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知線段滿足，且．(1)求線段的長．(2)若線段是線段的比例中項(xiàng)，求線段的長．18．已知一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，它們除顏色外其余均相同．甲乙同學(xué)進(jìn)行摸球游戲，請(qǐng)分別求出下列兩個(gè)游戲中甲同學(xué)獲勝的概率．項(xiàng)目游戲一游戲二摸球規(guī)則摸出1個(gè)球先摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，再摸出1個(gè)球獲勝規(guī)則若摸出紅球，則甲勝若摸出兩球顏色相同，則甲勝若摸出白球，則乙勝若摸出兩球顏色不同，則乙勝19．如圖，在中，已知弦相交于點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)若，的半徑為4，求的長．20．如圖，已知四邊形對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連結(jié)，．(1)求證：．(2)若，求的長．21．在學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識(shí)后，李老師布置了一項(xiàng)綜合實(shí)踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量建筑物的高度．如圖，圓圓在自家樓頂處觀測(cè)，測(cè)得對(duì)面一幢樓房頂部處的仰角為，測(cè)得這幢樓房底部處的俯角為．已知觀測(cè)點(diǎn)處距地面的高度為24米（圖中點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．(1)求兩幢樓房之間的水平距離（結(jié)果保留根號(hào)）．(2)求對(duì)面這幢樓房的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：）22．【定理學(xué)習(xí)】歐幾里得在《幾何原本》中提出切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線（圓外一點(diǎn)引出一條與圓有兩個(gè)交點(diǎn)的直線叫割線），切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．【定理證明】（1）如圖①，點(diǎn)為外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，割線與圓相交于兩點(diǎn)，求證：（提示：連結(jié)，并延長交于點(diǎn)，連結(jié)）．【解決問題】（2）如圖②，是的切線，連結(jié)交于點(diǎn)的半徑為．若，求的值．23．已知二次函數(shù)（t為常數(shù)）的圖象經(jīng)過的圖象頂點(diǎn)．(1)求的值．(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的最小值．(3)若二次函數(shù)在時(shí)，，求的取值范圍．24．如圖，銳角內(nèi)接于，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，連結(jié)并延長交于點(diǎn)．(1)若，請(qǐng)直接寫出，的度數(shù)．(2)求證：是的切線．(3)若平分，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項(xiàng)系數(shù)決定了開口方向，大于零開口向上，否則開口向下．直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出a的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，即符合要求的為，故選：A．2．C【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，由此計(jì)算即可得解．【詳解】解：數(shù)字1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中“恰好是奇數(shù)”的數(shù)是1，3，5，∴從中隨機(jī)抽取1張卡片，則該卡片上的數(shù)字“恰好是奇數(shù)”的概率為，故選：C．3．D【分析】分別畫出各項(xiàng)幾何體的主視圖，即可求解．本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，熟練掌握主視圖是從正面看到的圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解∶A選項(xiàng)幾何體的主視圖為B選項(xiàng)幾何體的主視圖為C選項(xiàng)幾何體的主視圖為D選項(xiàng)幾何體的主視圖為∴幾何體的主視圖中與其他三個(gè)不同的是D選項(xiàng)．故選：D4．A【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線和相交即，即可判斷．【詳解】解：∵直線與相交，∴圓心到直線的距離小于，符合要求的為4，故選：A．5．B【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象平移規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)平移規(guī)律；根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是故選：B6．C【分析】根據(jù)菱形的判定方法、相似圖形、切線的判定和黃金分割點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：A、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，原命題是假命題；B、垂直于圓的半徑并且經(jīng)過半徑的外端的直線是圓的切線，原命題是假命題；C、位似圖形一定是相似圖形，原命題是真命題；D、已知點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，且，若，則，原命題是假命題；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定、命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定方法、相似圖形、切線的判定，難度不大．7．B【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半計(jì)算長，最后根據(jù)勾股定理解題．【詳解】解：連接，∵是的切線，∴，又∵，∴，∴，故選：B．8．D【分析】本題考查解直角三角形，根據(jù)題意可得為等腰三角形，因此作于C點(diǎn)，然后利用三角形函數(shù)表示，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)即可得到的長度，從而得出結(jié)論．【詳解】解：由題意可得，為等腰三角形，此時(shí)擺幅即為線段的長度，如圖所示，作于C點(diǎn)，則由“三線合一”知，，，∴在中，米，∴米，故選：D．9．B【分析】本題考查三角形的外接圓與外心，垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，分別根據(jù)方法①和方法②的描述，先作圖，運(yùn)用圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，得，再結(jié)合圓周角定理進(jìn)行作答即可．【詳解】解：方法①中，如圖：∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴，∵，∴，∴，∴，∴，方法②中，如圖：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)．∴，∴平分，∵，∴，∴，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．10．D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，已知拋物線上對(duì)稱的兩點(diǎn)求對(duì)稱軸，不等式的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先求出對(duì)稱軸，再根據(jù)或來判斷出對(duì)稱軸在軸的負(fù)半軸，再結(jié)合拋物線上對(duì)稱的兩點(diǎn)表示出對(duì)稱軸，結(jié)合開口方向進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：∵，∴對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，則，∴，此時(shí)對(duì)稱軸在軸的負(fù)半軸，拋物線的開口方向向上，∴越靠近對(duì)稱軸的所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，∵，，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴，即，故A選項(xiàng)不符合題意；∵，越靠近對(duì)稱軸的所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，∴或或或，故B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，∴，此時(shí)對(duì)稱軸在軸的負(fù)半軸，拋物線的開口方向向下，∴越靠近對(duì)稱軸的所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，∵，，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴，即，故C選項(xiàng)不符合題意；∵，越靠近對(duì)稱軸的所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，∴或或或，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．11．0【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，把直接代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：依題意，把代入，得，故答案為：012．1【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值作答．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，要熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．13．【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，由以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵A的坐標(biāo)為，以原點(diǎn)O為位似中心，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴相似比為，∴的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．14．6【分析】可通過切線長定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形的周長等于，又因?yàn)?，所以可求出的長．【詳解】解：，都是圓的切線，，同理，，的周長，；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長定理，解此題的關(guān)鍵是得出的周長．15．【分析】先證明四邊形是矩形，再證明得到，得到矩形是正方形，根據(jù)陰影部分圖形的面積和等于扇形面積減去正方形的面積即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴，∴矩形是正方形，∴，∵，，∴，∴圖中陰影部分的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算，勾股定理，圓心角與弧之間的關(guān)系，矩形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．7【分析】過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)E，連接，由題意易得，則有是等邊三角形，，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，然后可得，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)E，連接，如圖所示：∴，，∴，∵，∴是等邊三角形，，∴，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即圓的半徑為7；故答案為7．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．(1)線段的長為12，線段的長為3(2)線段的長為6【分析】本題考查了成比例線段，熟練掌握成比例線段是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，，代入計(jì)算可得的值，由此即可得；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)可得，由此即可得．【詳解】（1）解：∵，設(shè)，，∵，∴，，，，線段的長為12，線段的長為3．（2）解：線段是線段、的比例中項(xiàng)，，，，由題意知，，，線段的長為6．18．見詳解【分析】游戲一：根據(jù)概率公式用紅球的個(gè)數(shù)除以總球的個(gè)數(shù)即可得出答案；游戲二：根據(jù)題意先畫出樹狀圖，求出總情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【詳解】解：游戲一：∵已知一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，∴摸出1個(gè)球，且摸出一個(gè)球是紅球的概率是：．即甲同學(xué)獲勝的概率為；游戲二：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球恰好顏色相同的有5種等可能的結(jié)果，∴兩次摸出的球恰好顏色相同的概率是：．即甲同學(xué)獲勝的概率為．19．(1)見解析(2)【分析】本題考查的是弧長的計(jì)算、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、圓周角定理，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系定理得到，進(jìn)而得出根據(jù)圓周角定理證明即可；（2）根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)弧長公式計(jì)算得到答案．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：連接，，，，，，，∵的半徑為，的長為．20．(1)見詳解(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先由得出，再運(yùn)用夾角相等，兩邊成比例進(jìn)行證明，即可作答．（2）結(jié)合，則，然后把分別代入計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴．21．(1)為米(2)對(duì)面這幢樓房的高度約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答；（2）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：米，，在中，，(米)，米，∴兩幢樓房之間的水平距離為米；（2）在中，米，（米)，∵米，(米)，∴對(duì)面這幢樓房的高度約為米.22．（1）見解析

（2）的值為【分析】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，掌握構(gòu)造相似三角形，并應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)得到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)切線可得到，根據(jù)直徑得到，可推出，再由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等得到，然后證明得到結(jié)論（2）延長交于點(diǎn)，連結(jié)，，可以得到，由（1）的結(jié)論代入可得到關(guān)于的方程，解方程即可求出的值.【詳解】（1）證明：連接，并延長交于點(diǎn)，連接，∵與相切于點(diǎn)，∴，即，∴，∵是的直徑，∴，∴，