手拉手模型 壓軸題分類（解析版）-2022-2023學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)題型必刷題

專題06手拉手模型壓軸題真題分類-高分必刷題（解析版）

基礎(chǔ)模型

已知：在等腰中，0A=在等腰△OCD中，OC=

OD,ZAOB=ZCOD，將△OCD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一定角度后，連接

AC4。（稱為“拉手線”，左手拉左手,右手拉右手），相交于點(diǎn)E,連接

OE

結(jié)論1:AAOC^A30。,AC=3D（即拉手線相等）；

結(jié)論2:石。平分NAED;

結(jié)論3:兩條拉手線AC,BD所在直線的夾角與ZAOB相等或互補(bǔ)

1.（2022?廣東）如圖，已知AB=AC,AF=AE,NEAF=ZBAC,點(diǎn)、C、D、E、F共線.則下列結(jié)論，其

中正確的是（）

?AAFB^△AEC；②BF=CE；③NBFC=NEAF；@AB=BC.

A.①②③B.①②④C.①②D.①②③④

【詳解】：ZEAF=ZBAC,ZBAF=NCAE；在AAFB與AAEC中，

'AF=AE

<ZBAF=ZCAE,AAFB合△AEC（.SAS\：.BF=CE；ZABF=ZACE,

AB=AC

.1A、F、B、C四點(diǎn)共圓，二/8八>/24>/瓦1/；故①、②、③正確，④錯(cuò)誤.

故選A.

2.（202”湖南）如圖，直線AC上取點(diǎn)8,在其同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△A3。和ABCE,連接AE,CD

與GF,下列結(jié)論正確的有（）

@AE=DC；@ZAHC=120°；③AAGB乎DFB；④8H平分/AHC；(5)GFIIAC

A.①②④B.①③⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤

【詳解】解：丫△ABD和ABCE都是等邊三角形，/.BA=BD,BE=BC,ZABD=ZCBE=60°,「NDBE=

1800-60o-60°=60",ZABE=ZDBC=120",：BA=BD,ZABD=ZDBC,BE=BC,，△ABE空△DBC(SAS),

，AE=DC,所以①正確；

NBAE=NBDC,?/ZBDC+zBCD=ZABD=60",，NBAE+NBCD=60。，

ZAHC=180°-(ZBAH+ZBCH)=180O-60°=120°,所以②正確；

???ZBAG=ZBDF,BA=BD,ZABG=ZDBF=60°,△AGB^△DFB(ASA)；所以③正確；丫△ABE空△DBC,

，AE和DC邊上的高相等，即B點(diǎn)至!JAE和DC的距離相等,BH平分NAHC,所以④正確；AAGB空△DFB,

BG=BF,ZGBF=60°,二△BGF為等邊三角形，,NBGF=60。，,NABG=NBGF,

GFIIAC,所以⑤正確.故選D.

3.(2021?上海)把兩個(gè)含有45。角的直角三角板如圖放置，點(diǎn)D在BC上，連接BE、AD,AD的延長線交

BE于點(diǎn)F.

(1)求證：AD=BE；

(2)判斷AF和BE的位置關(guān)系并說明理由.

B

【詳解】(1)證明：△CDE,AACB都是等腰直角三角形，CE=CD,CB=CA,ZACD=ZBCE=90",

在AACD和ABCE中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,△ACDM△BCE(SAS),AD=BE.

CD=CE

(2)解：結(jié)論：AF_LBE.理由:???△ACD空△BCE,ZCAD=CBE,「ZCDA=NBDF,/.ZBFD=ZACD=90",

AF±BE.

4.(郡維)如圖，在△ABC中,以AB,AC為邊向外作等邊尸和等邊AACE,連結(jié)BE,CF交于點(diǎn)0.

求證：(1)AAEBSAACF；

(2)AO平分NEOF.

w

【詳解】(1),??△?和△ACE都是等邊三角形，二AC,ZCAE=ZBAF=60°,

/.ACAE+ABAC=ZBAF+ABAC,即/BAE=NE4C,

AB=AF

在和△ACT中，<NBAE=/FAC,:.^AEB=^ACF(SAS)；

AE=AC

(2)如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D,作AG_LCr于點(diǎn)G,連接AO由(1)已證：AAEBSAACF,

F

?,?￡語=5AAe，BE=CP，.?.；JBE.AO=：CQAG，.?.AD=AG，，點(diǎn)A在/EO尸的角平分線上,

即A0平分AEOF.

5.(2021?山東)(1)如圖1,已知以AABC的邊AB、AC分別向外作等腰直角與等腰直角AACE,

ZBAD=ZCAE=90°,連接3E和8相交于點(diǎn)0,AB交CD于點(diǎn)F，AC交BE于點(diǎn)G,求證：BE=DC,

且BELDC.

(2)探究：如圖2,若以AABC的邊AB、AC分別向外作等邊△ABD與等邊AACE,連接BE和8相交

于點(diǎn)0,43交。于點(diǎn)/，AC交BE于點(diǎn)G,則8E與。C還相等嗎？若相等，請證明，若不相等，說明

理由；并請求出N3OD的度數(shù)？

【詳解】(1)證明：,：△?￡>和AACE都是等腰直角三角形二AB=AD,AE=AC,又

ZBAD=ZCAE=90°.-.ZBAD+ABAC=ZCAE+ABAC,即NZMC=NB4E,

在A4BE■和AADC中

AB=AD

<ADAC=ZBAE,^ABE^Z\ADC(SAS),..BE=DC,ZABE=ZADC,

AE=AC

又：NBFO=NDFA,ZADF+ZDFA=9Q0,/.ZABE+NBFO=90。，：.ZBOF=ZDAF=90°,

即

(2)解：結(jié)論：BE=CD.理由：如圖2,■.?以A8、AC為邊分別向外做等邊△至￡＞和等邊AACE,

AD^AB,AE^AC,ZACE=ZAEC=60°,NZMB=/￡AC=60°,=ZDAB+ABAC=ZEAC+ABAC,

AD=AB

即NZMC=Z^4E,在△ZMC和AKAE中，<NDAC=NBAE,;（DACGBAE（SAS）,

AC=AE

：.CD=BE,ZBEA=ZACD,ZBOC=ZECO+Z.OEC=ZDCA+ZACE+ZOEC=ZBEA+ZACE+Z.OEC

-ZACE+ZAEC=600+60°=120°./.N30r>=180°-Z80C=60°.

6.（2020?遼寧）在△ABC中，AB=AC,。是直線8c上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），以AD為一邊在A。的右

側(cè)作△ADE,AD=AE,ZDAE=NBAC,連接CE.

（1）如左下圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，寫出△AB/均△ACE的理由；

（2）如下中圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上，NA4C=90。，直接寫出NBCE的度數(shù)；

（3）如右下圖，若NBCER,NB4C=B.點(diǎn)。在線段C8的延長線上時(shí)，則a、B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

寫出你的理由.

【詳解】解：(1),.,ZBAC=NDAE,/.ZBAC-ZDAC=NDAE-ZDAC,ZBAD=NCAE,在AABD和AACE中,

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,AAB睦△ACE(SAS)；

(2)/AB=AC,ZBAC=90",二NABC=NACB=45°,由⑴知,AABD空△ACE,/.ZACE=ZABC=45",

ZBCE=ZACB+ZACE=90°；

⑶同⑴的方法得，AABDJAACE(SAS),/.ZACE=ZABD,ZBCE=a,/.ZACE=ZACB+ZBCE=ZACB+a,

在AABC中，,；AB=AC,NBAC邛，

，NACB=NABC=；(18O°-|3)=90°-

ZABD=180°-ZABC=90°+y3，ZACE=ZACB+a=90°-；B+a,；NACE=NABD=90°+；B，

90°--^-|3+a=9O°+!|3,a=p.

7.（周南）如圖1,在AABC中，AE_LBC于，AE=BE,D是AE上的一點(diǎn)，且DE=CE,連接BD、AC.

(1)試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若將ADCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，仍然有DE_LEC,DE=CE,試判斷BD與AC的位置關(guān)系

和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；

(3)如圖3,若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變：

①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②你能求出BD與AC所成的角的度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出該角的度數(shù)；如果不能，請說明理由.

【詳解】解：(1)BD=AC,BD±AC,

理由是：延長BD交AC于F,AEJ_BC,二NAEB=NAEC=90°,

BE=AE

在△BED和△AEC中△BEDV△AEC,/.BD=AC,ZDBE=ZCAE,

DE=EC

■：ZBED=90°,zEBD+ZBDE=90°,：NBDE=NADF,zADF+ZCAE=90",

ZAFD=180°-90°=90°,/.BD±AC；

(2)不發(fā)生變化，

理由是：

?，-ZBEA=ZDEC=90",/.ZBEA+zAED=ZDEC+ZAED,/.ZBED=ZAEC,

BE=AE

在4BED和小AEC中(ZBED=ZAEC,/.ABED合△AEC,，BD=AC,ZBDE=ZACE,

DE=EC

■：ZDEC=90",ZACE+ZEOC=90",?/ZEOC=ZDOF,/.ZBDE+zDOF=90°,

ZDFO=180°-90°=90°,/.BD±AC；

(3)能，理由是：

:△ABE和△DEC是等邊三角形，AE=BE,DE=EC,ZEDC=ZDCE=60°,ZBEA=ZDEC=60",

ZBEA+ZAED=ZDEC+ZAED,ZBED=NAEC,

BE=AE

在4BED和小AEC中△BED2△AEC,/.ZBDE=ZACE,ZDFC=180°-(ZBDE+

DE=EC

ZEDC+ZDCF)=180°-(ZACE+zEDC+zDCF)=180°-(60°+60°)=60°,即BD與AC所成的角的度

數(shù)為60°.

8.（2019?湖南）已知：如圖①所示，在AABC和AAOE中，AB=AC,AD^AE,ZBAC=NDAE,且點(diǎn)3,

A,。在一條直線上，連接BE,CD,M,N分別為BE,CD的中點(diǎn).

（1）求證：①BE=a）；②AAMN是等腰三角形；

（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將AAOE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180。，其他條件不變，得到圖②所示的圖形.請

直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；

（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點(diǎn)P.求證：“BD-AMN.

圖①圖②

【詳解】(1)證明：①「ZBAC=NDAE,ZBAE=ZCAD,在AABE和AAC。中，

AB=AC

<ZBAE=ZCAD,△ABE^△ACD,BE=CD.

AD=AE,

②由AAB磅△ACD,WzABE=^ACD,BE=CD,'：M,N分別是BE,C￡>的中點(diǎn)，,BM=CN,

在"BAf和AACN中，

AB=AC

<ZABE=ZACDAABM^ACN.：.AM=AN,即AAMN為等腰三角形.

BM=CN,

（2）解：（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立.理由：??,BAC=ZDAE,：.ZBA￡=ZCAD,

在AABE和AAC。中，

AB=AC

<ZBAE=ZCAD:.AAB的△ACD,BE=CD.

AD=AE,

②由△人臺(tái)疫△ACD,WzABE=ZACD,BE=CD,'：M,N分別是BE,C￡>的中點(diǎn)，，BM=CN,

在"BM■和AACN中，

AB=AC

,NABE=NACD,△ABM^△ACN.:.AM=AN,即△AMN為等腰三角形.

BM=CN,

(3)證明：由(1)同理可證A4B腔△ACN,：.ZCAN=4BAM,：.4BAC=4MAN.

又ZBAC=ZDAE,ZMAN=NDAE=NBAC.

△AMN,A4DE和AABC都是頂角相等的等腰三角形.：NPBD=NABC,ZPDB=4ADE,

又?「NADE=NABC,：.△和A4WN都為頂角相等的等腰三角形，=ZPBD=NAMN,ZPDB=

ZANM,：.△PBD-△AMN.

圖①圖②

9.(2020?師大附中梅溪湖)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，人(-3,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、

。在尤正半軸上.

(1)如圖1,若NABC=60。，ZBCO=40°,BD、CE是AABC的兩條角平分線，且B。、CE交于點(diǎn)尸，連

接AF求證：△AFD為等腰三角形；

(2)如圖2,△A8D是等邊三角形，以線段BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊ABC。，連接。。并延長，交y

2

軸于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足叨=§DC?請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)如圖3,以A8為邊在AB的下方作等邊AABP,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求。尸的最小值.

【詳解】(1)ZABC=60°,NBCO=40。,

■.ZABC=180°-60°-40°=80°,

:BD、CE是AABC的兩條角平分線，AF也是AA8C的角平分線，ABD=NDBC=30°,

ZBCE=ZACE=20°,ZBAF=ZCAF=40°,ZAFD=ZABD+ZBAF=30°+40=70°,ZADF=ZBCO+ZDBC

=40°+30°=70°,NAFD=NADF,，AF=AD,AAFO為等腰三角形；

(2)r△ABD是等邊三角形，且A(-3,0),BO±AD,AO=OD=3,r△ABD和△BCQ是等邊三角形,

NABD=NCBQ=60。，,NABC=NDBQ,在ACBA和AQBD中，

BA=BD

<NABC=NDBQ,ACBAV△QBD(SAS),ZBDQ=NBAC=60°,/.ZPDO=60°,PD=2DO=6,

BC=BQ

2_

???PD=-DC,DC=9,即OC=OD+CD=3+9=12,/.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(12,0)；

(3)如圖3,以O(shè)A為對稱軸作等邊△ADE,連接EP,并延長EP交X軸于點(diǎn)F.

圖3

同理證得：AAEPS&ADB,/.ZAEP=ZADB=120°,ZOEF=NOEA=60°,又EO±AF,/.0F=0A=3,

二點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OP_LEF時(shí)，OP最小，ZOFE=90°-Z0EF=90°-60°=30o,

0P=10F=f-,則OP的最小值為

10.(2020青竹湖)如圖，A(m,n),B(t,0),C(m,0),m、n>t滿足+Jr_3+(/_4:=0.點(diǎn)P是

x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在APEF中，NPEF=90。，PE=EF.

(1)則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A,B,C.

(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上或其延長線上時(shí)，若CP=2BP,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的反向延長線上運(yùn)動(dòng)，連接AF.若S/=k,S?BE，k的值在:＜左變

化，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

圖①備用圖圖②

m-1=0

【詳解】解：(1)I忱-1|+J.-3+?-4)2=0,<n-3=0「.<n=3

t-4=0￡=4

「?A(1,3),B(4,0),C(1,0).

(2)如圖①中，當(dāng)點(diǎn)P落在線段CB上時(shí)，連接EC,BF.

?/AE=EB,/.CE±AB,CE=AE=EB,ZECB=ZECA=45°,

/.ZCEB=ZPEF=90°,：NCEP=NBEF,「EOEB,EP=EF,/.^CEP^BEF(SAS),

/.PC=BF,ZECP=ZEBF=45°,,/ZABC=45°,/.ZCBF=90°,PC=2PB,BC=3,/.PC=BF=2,

F(4,2),

當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)，如圖,

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4,2）或（4,6）.

（3）如圖②中，連接EC,BF.

圖②

結(jié)合（2）①：同法可證，APEC'FEB,；S.PEC=S"EB，PC=BF,ZPCE=ZEBF=135°,

???ZABC=45°,

c_cc_c

AEFFEBK,O

ZFBP=90°,即BF-LPB,；AE=EB,^~^,:.ZAEF-°#EC，~^PBE?

1144

S-PEc=kS/BE，當(dāng)k=一時(shí)，PC=BF=—PB,；BC=3,PC=FB=1,當(dāng)k=一時(shí)，PC=FB=—PB,可得PC=BF=12,

4455

二點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑=12-1=11.

IL（雅境）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,△ACB和△Z5CE均為等邊三角形，點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接

BE.

①/AEB的度數(shù)為

②猜想線段4。，8E之間的數(shù)量關(guān)系為：,并證明你的猜想.

（2）拓展探究：如圖2,△AC2和△OCE均為等腰直角三角形，/ACB=NOCE=90°,點(diǎn)A,D,E在

同一直線上，CM為△OCE中。E邊上的高，連接BE,請求出/AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的

數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：（1）①和△OCE均為等邊三角形，；.C4=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q

：.ZACB-NDCB=ZDCE-NDCB,即ZACD=/BCE,

在△ACD和△BCE中，

'CA=CB

<ZACD=ZBCE.

CD=CE

/.AACD^ABCE,：.ZCEB=ZCDA=120°,：.ZAEB=6Q°,故答案為：60°；

②AD=BE,證明：,；AACD烏ABCE,：.AD=BE,故答案為：AD=BE；

(2)ZAEB=90°,AE-BE=2CM,證明：：aDCE是等腰直角三角形，CM是中線，

'CA=CB

CM=DM=EM=AD￡,在△AC￡)和△BCE中，，ZACD=ZBCE>:.AACD沿ABCE,

CD=CE

：.ZCDA=ZCEB,'：ZCDA=135°,ZAEB=135°-45°=90°,:?BE=AD,

：.AE-AD=DE=2CM,：.AE-BE=2CM.

12.(郡維)如圖1,已知△ABC和都是等邊三角形，且點(diǎn)E在線段AB上.

(1)求證：BF//AC；

(2)過點(diǎn)E作EG〃BC交AC于點(diǎn)G,試判斷AAEG的形狀并說明理由；

(3)如圖2,若點(diǎn)。在射線CA上，且即=EC,求證：AB=AD+BF.

【解答】(1)證明：’.?△ABC和△￡1/(都是等邊三角形，：.ZA=ZABC=ZACB=ZECF=60°,AC=

'AC=BC

BC,CE=FC,：.ZACE=ZBCF,在Z\ACE與△FCB中，<ZACE=ZBCF-：.AACEm4FCB(.SAS),

CE=CF

/.ZA=ZCBF=6Q°,VZABC=60°,ZA+ZABC+ZCBF=1SO°,AZA+ZABF=180°,

：.AC//BF；

(2)解：ZVIEG是等邊三角形，理由如下：如圖1所示：?.?△ABC是等邊三角形，.?.NA=NABC=N

ACB=60°,,:EG〃BC,：.ZAEG=ZABC=60°,ZAGE=ZACB=60°,：.ZA=ZAEG=ZAGE=

60°,...△AEG是等邊三角形；

(3)證明：如圖2,過E作交AC于M,則NAEM=/A8C=60°,ZAME=ZACB=6Q°,

VZA=ZABC=ZACB=60°,Z.ZA=ZAEM^ZAM￡=60°,/XAEM是等邊三角形，

：.AE=EM=AM,：.ZDAE=ZEMC=120°,,:DE=CE,：.ZD=ZMCE,在△AOE和△MCE中，

，ZDAE=ZEMC

<ZD=ZMCE，；.AADE沿AMCE(AAS),：.AD=CM,：.AC=AM+CM,由(1)得△ACE0△尸CB，

AE=ME

：.BF^AE,C.BF^AM,：.AC^BF+AD,：.AB^AD+BF.

13.(中雅)已知△ABC為等邊三角形，取△ABC的邊AB,8C中點(diǎn)。，E,連接。E,如圖1,易證△O8E

為等邊三角形，將△O3E繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度/ABr>=a,其中0<a<180°.

E

D

ADBABAB

圖1圖2圖3

(1)如圖2,當(dāng)a=30°,連接A。，CE,求證：AD=CE；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)a超過一定角度時(shí)，如圖3,連接A。，CE會(huì)交于一點(diǎn),記交點(diǎn)為點(diǎn)R

AD交BC于點(diǎn)、P,CE交BD于點(diǎn)Q,連接請問8尸是否會(huì)平分/CB。？如果是，求出a,如果不是,

請說明理由；

(3)在第(2)問的條件下，試猜想線段AF,8尸和CT之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【解答】證明：(1);△ABC,都是等邊三角形，BD=BE,ZABC=ZDBE=6Q°,

'AB=CB

:.NABD=NCBE,在△ABD和△C8E中，，/ABD=NCBE，??.△ABD<△CBE(SAS),：.AD=CE；

BD=BE

(2)不存在，理由如下：如圖3,過點(diǎn)8作BNJ_A。于N,過點(diǎn)B作8H_LCE于H,

圖3

,/AABC,△D2E都是等邊三角形，：.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=6Q°,：.NABD=NCBE,

'AB=CB

在△48。和△CBE中，，NABD=NCBE，AABD^△CBE(SAS),：.AD=CE,SMBD=S^CBE,ZBAD

BD=BE

=ABCE,；.LXADXBN=LXCEXBH,：.BN=BH,又?：BF=BF,:.RtABFN咨RtABFH(HL),

22

:./AFB=NEFB,,:/BAD=NBCE,ZCPF=AAPB,：.ZAFC=ZABC=60°,:.NAFB=NEFB=

60°,：.ZCFB^ZDFB=120°,當(dāng)2尸平分NC8￡)時(shí)，貝UNCBP=ZBCF=180°-ZCBF

-ZCFB=180°-/DBF-/DFB=NADB,：.ZDAB^ZADB,C.AB^DB,與題干O8=_LBC=LB

22

相矛盾，，即不會(huì)平分/CB。；

(3)AF^CF+BF,理由如下：如圖4,在上截取加尸=2/，連接

c