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文檔簡介
2025屆北京市朝陽區(qū)高三2月模擬(三)數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若集合,則=()A. B. C. D.2.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調遞減區(qū)間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]3.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長寬高互不相等的長方體4.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.5.已知拋物線的焦點為,為拋物線上一點,,當周長最小時,所在直線的斜率為()A. B. C. D.6.若集合,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.7.函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.8.“學習強國”學習平臺是由中宣部主管,以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容,立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質平臺,現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學習過程中,“閱讀文章”不能放首位,四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有()A.60 B.192 C.240 D.4329.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.10.已知在中,角的對邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.11.如圖所示,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,其中左視圖中三角形為等腰直角三角形,則該幾何體外接球的體積是()A. B.C. D.12.若復數(shù)()是純虛數(shù),則復數(shù)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上單調遞增,則實數(shù)a值范圍為_________.14.將一顆質地均勻的正方體骰子(每個面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6)先后拋擲2次,觀察向上的點數(shù),則點數(shù)之和是6的的概率是___.15.展開式中的系數(shù)為_________.(用數(shù)字做答)16.已知,,,則的最小值是__.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知x∈R,設,,記函數(shù).(1)求函數(shù)取最小值時x的取值范圍;(2)設△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,求△ABC的面積S的最大值.18.(12分)已知(1)當時,判斷函數(shù)的極值點的個數(shù);(2)記,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,求證:.19.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點,△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.20.(12分)為響應“堅定文化自信,建設文化強國”,提升全民文化修養(yǎng),引領學生“讀經典用經典”,某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中,在某高中學校隨機抽取了120名學生做調查,統(tǒng)計結果顯示:樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系?男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計(2)為做好文化建設引領,實驗組把該校作為試點,和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經從所調查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表,這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會,記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數(shù),求5的分布列及數(shù)學期望附表及公式:.21.(12分)如圖,在四棱錐中,側面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點.(1)證明:平面平面;(2)已知點在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.22.(10分)某學校為了解全校學生的體重情況,從全校學生中隨機抽取了100人的體重數(shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率.(1)估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差;(結果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)從全校學生中隨機抽取3名學生,記為體重在的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(3)由頻率分布直方圖可以認為,該校學生的體重近似服從正態(tài)分布.若,則認為該校學生的體重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常?并說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計算能力,屬于基礎題.2.B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調遞減,在[2,+∞)上單調遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調遞增,在[2,+∞)上單調遞減,故選B.3.C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形,球的三個三視圖都是相等的圓,圓錐的三個三視圖有一個是圓,另外兩個是全等的等腰三角形,長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.故選:C.【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵.4.A【解析】
由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.5.A【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時A,P位于同一水平線上,計算點P的坐標,計算斜率,即可.【詳解】結合題意,繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值,即計算PA+PF最小值,結合拋物線性質可知,PF=PN,所以,故當點P運動到M點處,三角形周長最小,故此時M的坐標為,所以斜率為,故選A.【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質,難度中等.6.D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關系,考查了學生概念理解,數(shù)學運算能力,屬于基礎題.7.C【解析】
函數(shù)的定義域應滿足故選C.8.C【解析】
四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類.【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法,由于“閱讀文章”不能放首位,因此不同的方法數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查排列組合的應用,考查捆綁法和插入法求解排列問題.對相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法.9.C【解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運算,運用平面向量基本定理,結合向量數(shù)量積的定義和性質:向量的平方即為模的平方,化簡計算即可得到所求值.【詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【點睛】本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質,主要是向量的平方即為模的平方,考查運算能力,屬于中檔題.10.C【解析】
求出導函數(shù),由有不等的兩實根,即可得不等關系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質可得結論.【詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【點睛】本題考查導數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關鍵.11.C【解析】
作出三視圖所表示幾何體的直觀圖,可得直觀圖為直三棱柱,并且底面為等腰直角三角形,即可求得外接球的半徑,即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖,上下底面為腰長為的等腰直角三角形,三棱柱的高為4,其外接球半徑為,所以體積為.故選:C【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意球心的確定.12.B【解析】
化簡復數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對應的點的坐標.【詳解】是純虛數(shù),則,,,對應點為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查復數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問題等價于在時恒成立,∴,解得.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的單調性,解題關鍵是問題轉化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質易求解.14.【解析】
先求出基本事件總數(shù)6×6=36,再由列舉法求出“點數(shù)之和等于6”包含的基本事件的個數(shù),由此能求出“點數(shù)之和等于6”的概率.【詳解】基本事件總數(shù)6×6=36,點數(shù)之和是6包括共5種情況,則所求概率是.故答案為【點睛】本題考查古典概率的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意列舉法的合理運用.15.210【解析】
轉化,只有中含有,即得解.【詳解】只有中含有,其中的系數(shù)為故答案為:210【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解,考查了學生概念理解,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.16..【解析】
因為,展開后利用基本不等式,即可得到本題答案.【詳解】由,得,所以,當且僅當,取等號.故答案為:【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值,考查學生的轉化能力和運算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算,以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到f(x)=,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求出答案;(2)先求出C的大小,再根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求出,根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】(1).令,k∈Z,即時,,取最小值,所以,所求的取值集合是;(2)由,得,因為,所以,所以,.在中,由余弦定理,得,即,當且僅當時取等號,所以的面積,因此的面積的最大值為.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運算和二倍角公式,兩角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面積公式,屬于中檔題.18.(1)沒有極值點;(2)證明見解析【解析】
(1)求導可得,再求導可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷;(2)轉化問題為存在且,使,可得,由(1)可知,即,則,整理可得,則,設,則可整理為,設,利用導函數(shù)可得,即可求證.【詳解】(1)當時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.(2)由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面證明,只需證明:,令,則證,即.設,那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.19.(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用三角形面積公式以及并結合正弦定理,可得結果.(Ⅱ)根據(jù),可得,然后使用余弦定理,可得結果.【詳解】(Ⅰ),所以所以;(Ⅱ),所以,所以,,所以,所以邊.【點睛】本題考查三角形面積公式,正弦定理以及余弦定理的應用,關鍵在于識記公式,屬中檔題.20.(1)見解析,沒有(2)見解析,【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.(2)先判斷出的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】(1)男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學423072不喜歡閱讀中國古典文學301848總計7248120所以,沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.(2)設參加座談會的男生中喜歡中國古典文學的人數(shù)為,女生中喜歡古典文學的人數(shù)為,則.且;;.所以的分布列為則.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗,考查隨機變量分布列和數(shù)學期望的求法,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.21.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標系,可求得面PAB的法向量,再運用線面角的向量求法,可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,,而、分別是、的中點,,故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內的兩條相交直線,故面面.(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,,,,設是平面PAB的法向量,,令,則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面平行的判定,以及線面角的空間向量的求解方法,屬于中檔題.22.(1)60;25(2)見解析,2.1(3)可以認為該校學生的體重是正常的.見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差;(
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