直角三角形（講義）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題18直角三角形的核心知識(shí)點(diǎn)精講

O復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解直角三角形的概念；

2.證明并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余（無需證明）；直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半；

3.掌握直角三角形的判定定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；

4.掌握勾股定理；會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問題；會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊和一組直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

O考點(diǎn)植理O

考點(diǎn)1:直角三角形的性質(zhì)與判定

1.兩銳角之和等于90°

2.斜邊上的中線等于斜邊的一半

3.30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

1,若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°

性質(zhì)（應(yīng)用時(shí)需先證明）

2.勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,則

2122

a+b=c

直

角1.有一個(gè)角為90°的三角形時(shí)直角三角形

2.有兩個(gè)角的和時(shí)90°的三角形是直角三角形

1,一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形

角判定2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足

形

a+b2=c，那么這個(gè)三角形為直角三角形。

S」ab=J'其中'是底邊常，hs是底邊上的高

一仗

面積公式

b

考點(diǎn)2：勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別

為a,b,斜邊長為c,那么/+/=。2.

直角邊

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+62=02,那么這個(gè)三角形是直角三

角形.

（3）勾股數(shù)：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)

0刃典例引領(lǐng)

【題型1：直角三角形的性質(zhì)與判定】

【典例1】（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，菱形4BCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是AB的中點(diǎn)，連

接。E.若。E=3,則菱形的邊長為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC1BD,根據(jù)"直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半"可得0E=/8,即

可得解.

本題主要考查了菱形的性質(zhì)和"直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半"的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：???四邊形力BCD是菱形，

???ACLBD,

■■E是4B的中點(diǎn)，

■■.OE=^AB,

.'.AB=2OE=2x3=6。

故選：A.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C在4B的延長線上，CD與。。相切于點(diǎn)D,若

ZC=20°,貝！UC4D=

D

【答案】35

【分析】本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對(duì)等角求解.連接0。，構(gòu)造直角

三角形，利用。力=?！辏?從而得出NC4D的度數(shù).

【詳解】解：連接。。，

D

'J???CD與。。相切于點(diǎn)D,

???4。。。=90。，

???=20°,

???乙COD=70°；

OA=OD,

：./LODA=^CAD=^COD=35°,

故答案為：35

2.（2024?山東青島?中考真題）如圖，菱形ABCD中，BC=10,面積為60,對(duì)角線NC與AD相交于點(diǎn)O,

過點(diǎn)/作AE18C,交邊BC于點(diǎn)￡,連接E。，則EO=.

【答案】V10

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)

求出AC、8。的長度.根據(jù)菱形的面積公式結(jié)合BC的長度即可得出BD、AC的長度，在RtaBOC中利

用勾股定理即可求出C。的長度，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???四邊形4BCD為菱形，

■,ACLBD,0A=OC,OB=OD1AB=BCCD=DA=10,

菱形4BCD=2A<-

：.AC-BD=120,

..BO?OC=30.

■.-BO2+C02=BC2=100,

..{BO+OC)2—2BO-CO=100,

.-.BO+C0=4V10（負(fù)值已舍去），

■.BO=4V10-OC,

■.BO2+CO2=102-

.■■（4V10-OC）+C02=100,

.-.co=Vio，CO=3V10（舍去）.

■：AEVBC,AO=CO,

.".EO-CO=V10.

故答案為：Vio.

3.（2024?山東東營?中考真題）如圖，△28C內(nèi)接于。。，4B是。。的直徑，點(diǎn)E在。。上，點(diǎn)C是麗的中

點(diǎn)，AELCD,垂足為點(diǎn)。，DC的延長線交力8的延長線于點(diǎn)尸.

（1）求證：CD是。。的切線；

⑵若CD=百，^ABC=60°,求線段4F的長.

【答案】①見解析

（2）6

【分析】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握?qǐng)A周角定理及推論，圓切線的判定.含30。的直角

三角形性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

（1）連接。C,由。2=。。，BC=CE,推出=得到0C||2D,由4E1CD,得到CD1OC,

即得；

（2）由直徑性質(zhì)可得〃CB=90。，推出ND4c=NB4C=30。，根據(jù)含30。的直角三角形性質(zhì)得到

AD=3,根據(jù)NF=30。，得到4F=6.

【詳解】（1）證明：???連接。C,貝U（M=OC,

：.Z.OAC=Z-OCA,

??,點(diǎn)C是麗的中點(diǎn)，

：.BC=CE,

：.Z-OAC=Z.DAC,

.'.Z.OCA=Z-DAC,

：.OC||AD,

'：AE1CD,

??CD1OC,

??.C。是。。的切線;

(2)解：MB是。。的直徑，

.ZCB=90。，

???乙48。=60。，

：.LBAC=90°-AABC=30°,

.-.ZDi4C=30°,

,-CD=百，

：.AD=V3CD=3,

??2F=90°-(N84C+ZJX4C)=30°,

：.AF=2AD=6.

◎胃典例引領(lǐng)

【題型2：勾股定理及逆定理】

【典例2】(2024?四川巴中?中考真題)〃今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊?問:

水深幾何？〃這是我國數(shù)學(xué)史上的〃葭生池中〃問題.即AC=5,DC=1,BD=BA,貝()

A.8B.10C.12D.13

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用.設(shè)8。=%,則8。=84=(%+1),由勾股定理列出方程進(jìn)行求

解即可.

【詳解】解：設(shè)3。=%,貝ijBD=84=(%+1),

由題意，得：（%+1）2=52+/,

解得：久=12,即BC=12,

故選：C.

1.（2024?遼寧，中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形40BC的頂點(diǎn)4在%軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)B在直

線y=|x上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8,為點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.(—1,6)B.(-2,6)

【答案】B

【分析】過點(diǎn)5作BD1X軸，垂足為點(diǎn)。，先求出B（8,6），由勾股定理求得B0=10,再由菱形的性質(zhì)

得到BC=BO=10,BC||x軸,最后由平移即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)2作軸，垂足為點(diǎn)。,

???頂點(diǎn)B在直線y='上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8,

：.yB=8X-=6,即8。=6,

???8(8,6)，

■:BD1久軸,

???由勾股定理得：BO=VBD2+DO2=10,

?.?四邊形A8CD是菱形，

,-.BC=BO=10,BC||x軸，

???將點(diǎn)B向左平移10個(gè)單位得到點(diǎn)C,

，點(diǎn)C（—2,6），

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)平移，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確

添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，將矩形紙片ABCO沿邊EF折疊，使點(diǎn)。在邊中點(diǎn)M處.若

AB=4,BC=6,則CF=.

7

【答案】g/0.875

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理列出關(guān)于》的方程.由矩形

的性質(zhì)推出CD=4B=4,ZC=9O°,由線段中點(diǎn)定義得到CM=：BC=3,由折疊的性質(zhì)得到：

MF=DF,設(shè)FC=x,由勾股定理得到（4一x）2=3?+久2,求出％=得到FC的值.

【詳解】解：,??四邊形4BCD是矩形，

??.CD=AB=4,Z.C=90°,

是BC中點(diǎn),

.-.CM=iflC=iX6=3,

由折疊的性質(zhì)得到：MF=DF,

設(shè)尸C=久，

■?.FD=4-x,

.■.MF=4-x,

-：MF2=MC2+FC2,

■■■（4-x）2=32+x2,

?-y——7

"X-8,

■,'FC=i'

故答案為：，

3.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在RtaABC中，34cB=90。,AC=6,BC=4,。是邊4c的中點(diǎn),E

是邊BC上一點(diǎn)，連接B。、DE.將△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)尸處，貝ME=.

【答案】I

【分析】本題考查勾股定理與折疊問題,勾股定理求出BD的長，折疊得到CD=DF,CE=EF/EFD=90°,

設(shè)CE=x,在Rt^BFE中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：??,立力CB=90。，AC=6,BC=4,。是邊47的中點(diǎn)，

：.CD=^AC=3,

■■BD=7fiC2+CD2=5，

?.?將△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)F處,

.-.CD=DF=3,CE=EF/EFD=90°,

.-.BF=BD-DF=2,乙BFE=90°,

設(shè)CE=x,貝lj：EF=x,BE=BC-CE=4-x,

在Rt^BFE中，由勾股定理，得：（4-X）2=X2+22,

解得：久=I；

...CE=|；

故答案為：

典例引領(lǐng)

【題型3：勾股定理與弦圖、拼圖】

【典例3】（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖是源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與

一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小

的銳角為a,則cosa的值為（）

【答案】D

【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形短

的直角邊為a,則較長的直角邊為a+1,再接著利用勾股定理得到關(guān)于a的方程，據(jù)此進(jìn)一步求出直角三

角形各個(gè)直角邊的邊長，最后求出cosa的值即可.

【詳解】???小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,

???小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5,

設(shè)直角三角形短的直角邊為a,則較長的直角邊為a+1,其中a〉0,

???a2+(a+l)2=52.其中a>0,

解得：a=3,a+1-4,

4

■■■cosa=

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)

鍵.

多即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?江蘇揚(yáng)州?中考真題)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖"，后人稱之為“趙

爽弦圖"，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成.如圖，直角三角形的直角邊長為a、b,

斜邊長為c,若b-a=4,c=20,則每個(gè)直角三角形的面積為.

【答案】96

【分析】由題意知，a2+h2=c2,由力一。=4,c=20,可得/+Q+=20?’計(jì)算求出滿足要求

的a,然后求6,根據(jù)每個(gè)直角三角形的面積為3b,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知，a2+fo2=c2,

'：b—a=4,c=20,

??.a2+(a+4)2=202,

解得a=12,a=-16(舍去)，

???b—16,

??.每個(gè)直角三角形的面積為京6=96,

故答案為：96.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理.解題的關(guān)鍵在于對(duì)勾股定理的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

O好題沖關(guān)O

基礎(chǔ)過關(guān)

1.（24-25八年級(jí)上?吉林四平?期末）如圖，RtAABC=RtADBE,若乙4=30。，貝I此E的度數(shù)為（）

A.60°B.45°D.30°

【答案】A

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得=30°,然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解答.

【詳解】解：,.?內(nèi)△Z8CwRtZ\DBE,

=乙4=30°,

：Z-DBE=90°,

?"=90。一功二60。.

故選A.

2.（24-25八年級(jí)上?河南鄭州?期中）如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然

后將繩子拉到離旗桿底端5m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1m.如果設(shè)旗桿的高度為xm,那么

根據(jù)題意可列方程（）

A.(%-1)2+52=x2B.(x+I)2+52=x2

C.x2+52=(x-1)2D.%2+52=(%+I)2

【答案】D

【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；由題意可直接進(jìn)行求解

【詳解】解：由題意可得方程為久2+52=（久+1）2；

故選D

3.（24-25八年級(jí)上?四川?期中）一架長5m的梯子，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子的底端離墻1.4m,如果

梯子的頂端下滑0.8m,那么他的底部滑行了（）

A.0.8mB.ImC.1.2mD.1.6m

【答案】D

【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；由題意易得2B=4.8m,設(shè)它的底

部滑行了xm,則有BE=(1.4+K)m,然后根據(jù)勾股定理可建立方程進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖，

由題意得：AC=DE=Sm,AD=0.8m,BC=1.4m,=90°,

■■AB=yjAC2-BC2=4.8m,

■?.BD=AB-AD=4m,

設(shè)它的底部滑行了xm,則有BE=(i.4+；Qm,

.?-42+(1.4+X)2=52,

解得：x=1.6；

故選D.

4.(20-21八年級(jí)上?全國?課后作業(yè))如圖，長方體的長為15cm,寬為10cm,高為20cm，點(diǎn)B與點(diǎn)C的距

離為5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)2爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是

A.25cmB.20cmC.24cmD.10V5cm

【答案】A

【分析】本題考查了平面展開一最短路徑問題，勾股定理，分三種情況：把左側(cè)面展開到水平面上；把

右側(cè)面展開到正面上；把向上的面展開到正面上；分別利用勾股定理計(jì)算，再比較即可得解.

則力B=7(10+20)2+52=5V37(cm);

如圖，把右側(cè)面展開到正面上，連接力B,

圖2

則4B=7(10+5)2+202=25(cm);

如圖，把向上的面展開到正面上，連接4B,

貝口B=J(20+5)2+1()2=5歷(cm)；

'?-5V37>5V29>25,

二一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)4爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是25cm,

故選：A.

5.(24-25八年級(jí)上?河北保定?階段練習(xí))如圖，以數(shù)軸上的原點(diǎn)為圓心，。8長為半徑畫圓弧，交數(shù)軸正半

軸的點(diǎn)/處，則點(diǎn)/所表示的數(shù)為()

'B

-10121X

A.V9B.V7C.V6D.VS

【答案】D

【分析】此題考查了勾股定理，以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

運(yùn)用勾股定理求得0B,即可得到點(diǎn)/所表示的數(shù).

【詳解】解：由勾股定理得：OB=0A=飛=行,

???則點(diǎn)/所表示的數(shù)為打，

故選：D.

6.（24-25八年級(jí)上?河北保定?階段練習(xí)）下圖是由正方形和直角三角形拼組成的，若正方形3的面積分

別為9,4,則正方形C的面積是（

A.5B.V5D.V13

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理得〃=SB+Sc，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：由勾股定理得，SA=SB+SC,

-A,2的面積分別為9,4,

二正方形C的面積為9-4=5,

故選：A.

7.（2024?安徽安慶?二模）如圖，在長方形力BCD中，DC=6,在DC上存在一點(diǎn)E,沿直線4E把△4DE折疊,

使點(diǎn)。恰好落在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為尸，若AABF的面積為24,則CE的長度為（）

8

A.3.5B-E3

【答案】B

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理，由矩形的性質(zhì)可得4B=CD=6,AD=BC,

/_B=/_C=90°,求出BF=8,再由勾股定理結(jié)合折疊的性質(zhì)可得4。=4尸=8。=10,DE=EF,設(shè)

CE=x,則DE=EF=6—x,再由勾股定理計(jì)算即可得解.

【詳解】解：??,在長方形4BCD中，DC=6,

.-.AB=CD=6,AD=BC,z5=zC=90°,

?△力BF的面積為24,

：^AB?BF=24,

：.BF=8,

■■-AF=yjAB2+BF2=10,

由折疊的性質(zhì)可得力D=4F=8C=10,DE=EF,

：.CF=BC-BF=2,

設(shè)CE=x,則DE=EF=6-x,

由勾股定理可得：CF2+CE2=EF2,即2?+?勾=(6—X)2,

解得：x=*

.3*

故選：B.

8.(24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期末)如圖，2B是。。的直徑，4C是O。的弦，AB=2,NB4C=30。，若

點(diǎn)。在。。上，且NB4D=60。，貝脂。長為______.

B

【答案】1或2

【分析】本題考查了圓周角定理，含30度的直角三角形的性質(zhì),90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑，運(yùn)用

分類討論思想是解題的關(guān)鍵.分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)。在前上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)。在痂上時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【詳解】解：分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)。在前上時(shí)，如圖：

B

MB是。。的直徑，

=90°,

"48=30。，48=2,

：.BC=1AB=1,

■：^DAB=60°,

：.^DAC=乙DAB—乙CAB=30°,

：.^DAC=^CAB=30°,

：.DC=BC=1；

當(dāng)點(diǎn)。在痂上時(shí)，如圖：

-ADAB=60°f^CAB=30°,

.'.Z.CAD=乙BAD+/.CAB=90°,

??.CO是。。的直徑，

.,.CD=AB=2；

綜上所述：CD=1或2,

故答案為：1或2.

9.(24-25八年級(jí)上?上海?期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力的坐標(biāo)為(0,5)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0)，則線段4P=

【答案】V34

【分析】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答的關(guān)鍵.

由題意可知。a=5,OP=3,再由勾股定理列式計(jì)算即可.

【詳解】解:設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為。，

,?,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,5)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0)，

：.0A—5,OP—3,

???尸=90。,

■■AP=J。屋+OP2=正+32=京,

故答案為：V34-

10.(24-25八年級(jí)上?吉林長春,期末)如圖，將等腰直角三角尺一條直角邊放在數(shù)軸上，頂點(diǎn)B和C對(duì)應(yīng)的數(shù)

分別為o和1,再將三角尺繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得斜邊與數(shù)軸重合，則頂點(diǎn)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)

是

【答案】—42

【分析】本題主要考查了勾股定理和用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

先求出2B的長，再確定頂點(diǎn)4在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù).

【詳解】解：???△ABC是等腰直角三角形，直角邊BC=1,

斜邊48=Vl2+I2=瓜

???點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是0,旋轉(zhuǎn)后，4在點(diǎn)B的左側(cè)，且48=五，

???頂點(diǎn)4在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是-五.

故答案為：-五.

11.（24-25八年級(jí)上?福建廈門?期中）如圖，在△ABC中，AB=BC,乙480=120。，過點(diǎn)B作BD18C,交

2C于點(diǎn)。，若2。=1,貝必。的長度為.

【答案】3

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形30。所對(duì)的邊等于斜邊的一半，需要熟練運(yùn)用考查的

性質(zhì)進(jìn)行解題.

過點(diǎn)B作BE14C于點(diǎn)E,設(shè)DE=K,然后通過直角三角形30。角的性質(zhì)求得BD=2X,CD=4x,

CE=3%,再運(yùn)用由等腰三角形的性質(zhì)得到力E=CE,列方程求解x,即可求出CD的長，進(jìn)而求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)8作BE1AC于點(diǎn)E,

設(shè)DE=x,則力E=AD+DE=1+久,

???AB=BC,N力BC=120。，

Z.A=Z-C=30°,

,；BD_LBC,

???乙DBC=9U。,

Z.EDB=60°,=30°,

BD=2DE=2x,DC—2DB=4%,

CE=DC—DE=3%,

vAB=BC,BE1AC,

AE=CE,

1+x=3x,

解得x=9，

CD=4x=2,

AC=AD+CD=1+2=3；

故答案為：3

12.（24-25八年級(jí)上?陜西?期中）如圖，在中，AACB=90°,Z/4=30°,4B=8,BC=4,若點(diǎn)。

在直線上，且NBCD=30。，貝口。的長為.

【答案】6或12

【分析】本題考查了含30。的直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握含30。直角三角形的性

質(zhì)，學(xué)會(huì)分類討論是解題的關(guān)鍵；

分①點(diǎn)。在線段4B時(shí)，②點(diǎn)。在線段4B延長線上時(shí)，③點(diǎn)。在線段BA延長線上時(shí)，三種情況討

論求解即可.

【詳解】解：,?,A4CB=90。，A4=30。，AB=8,BC=4,

.-.^ABC=60°,

①點(diǎn)。在線段48時(shí),

?"CD=30。，ZB=6O°,

.-.ZBDC=9O°,

.；BD=加=2,

.-.AD=AB-BD=6；

②點(diǎn)D在線段48延長線上時(shí),

?"CD=30°,^ABC=60°,

；ZD=4ABC—乙BCD=30°=乙BCD,

.-.BC=BD=4,

：.AD^AB+BD=12；

③點(diǎn)。在線段B2延長線上時(shí),

止匕時(shí)即N8CO〉90。，故不符合題意，舍去,

綜上，2。的長為6或12.

故答案為：6或12

13.(24-25八年級(jí)上?遼寧鞍山?期中)如圖,4(0,3)，氏2,0),47=43,4。148,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

【答案】(3,5)

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)與幾何圖形，余角的定義，解題的關(guān)鍵是正確

添加輔助線構(gòu)造全等三角形；

過點(diǎn)C作軸，再利用AAS判定△CD4三△AOB可得CD=4。，4D=OB,根據(jù)點(diǎn)/、8的坐標(biāo),

得出。力，0B,即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CDly軸，

：.^CAB=90°,4。4B+NZMC=90°.

■,-ADCA+Z.DAC=90°,

..Z-OAB=Z-DCA,

在△C1X4和△AOB中,

(^CDA=^LAOB=90°

]^ACD=^LOAB,

IAC=BA

：.△CDA=△ZOB(AAS)，

.t.CD=AO,AD=OB,

??,點(diǎn)/的坐標(biāo)為(0,3)，點(diǎn)8坐標(biāo)為(2,0)，

.,.AO=3,BO=2,

:.CD=3,AD=2,

；.OD=5,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,5)

故答案為：(3,5).

14.(24-25八年級(jí)上?河北保定?階段練習(xí))數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，系在旗桿頂端的繩子垂到地面時(shí)多出了3米,

把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)/處(如圖12所示)，測(cè)得繩子底端/與旗桿根部C

之間的距離為9米，設(shè)旗桿8c的高度為x米.

⑴用含x的式子表示繩子4B的長為米；

⑵求旗桿的高度8C；

⑶珍珍在繩子底端又接上了長5米的繩子(接頭處忽略不計(jì))，把繩子拉直，若要拼接后繩子的底端恰

好接觸地面的點(diǎn)。處，求珍珍應(yīng)從N處向東走多少米？

【答案】⑴Q+3)

(2)12米

(3)7

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題.

(1)根據(jù)系在旗桿頂端的繩子垂到地面時(shí)多出了3米即可求解；

(2)根據(jù)勾股定理Be?+4。2=ag2列方程求解即可；

(3)先根據(jù)勾股定理求出CD,即可得解.

【詳解】(1)解：用含x的式子表示繩子48的長為Q+3)米，

故答案為：(%+3)：

(2)解：由題意知：力C=9米，乙4cB=90。，

BC2+AC2=AB2,

???X2+92=(X+3)2,

解得：x=12,

???旗桿的高度8c=12米；

(3)解：由(2)知，48=久+3=15米，貝防。=15+5=20米，

???CD=^BD2-BC2=16米，

：.AD=CD-AC=7^z,

珍珍應(yīng)從N處向東走7米.

15.(2024?廣東汕頭?一模)如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，^ACB=^.DCE=90°,AC=BC,

DC=EC,連接力。,8￡;

⑴求證：△4CD三△8CE；

⑵直接寫出an和BE的位置關(guān)系.

【答案】⑴見解析

(2)AD1BE

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，對(duì)頂角相等，證明△4CD三

△8CE是解答本題的關(guān)鍵.

(1)先證明乙4CD=NBCE,然后根據(jù)SAS即可證明△2CD三△BCE；

(2)延長交BE于點(diǎn)「交BC于點(diǎn)M由全等三角形的性質(zhì)得=由4乙4。+NANC=90。

可證NCBE+乙BNF=90°,進(jìn)而可證結(jié)論成立.

【詳解】(])-^ACB=/.DCE=90°,

'?Z-ACB—Z-BCD=Z-DCE—乙BCD,

：.Z.ACD=乙BCE,

-AC=BC,DC=EC,

△AC。三△BCE(SAS)；

(2)延長AD交BE于點(diǎn)R交BC于點(diǎn)N

B

-AACD=ABCEf

：.Z-CAD=Z-CBE

^^LACB=90°,

.?2OW+NANC=90。,

?:乙ANC=幺BNF,

乙CBE+乙BNF=90。,

??/BFN=9。。,

.,.AD1BE.

常能力提升

1.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，菱形A8CD中，點(diǎn)。是BD的中點(diǎn)，AM1BC,垂足為M,AM

交BD于點(diǎn)、N,OM=2,BD=8,則MN的長為（）

A.V5B.警C.誓D.等

【答案】C

【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

先由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線4C與BD交于點(diǎn)O,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長，由5也4隊(duì)4。=5也4。8。=卷解三角形即可求出

MC=ACsm^MAC=^-,MN=BMtanAOBC=

55

【詳解】解：連接AC,如圖,

?.?菱形ABCD中，AC與BD互相垂直平分,

又點(diǎn)。是BD的中點(diǎn)，

.??/、。、C三點(diǎn)在同一直線上，

.?.。4=0C,

???0M=2,AMLBC,

：.0A=0C=0M=2,

:BD—8,

.-.0B=0D=^BD=4,

-BC=VOB2+OC2="+22=2V5,tanzOBC=^=7=p

ubqz

?"CM+/MAC=90。，乙4cM+4。8。=90。，

：.^MAC=Z.OBC

??.sin/MAC=sin乙OBC=黑=三=恒,

BC2V55

：.MC=ACsm^MAC=等

：.BM=BC-MC=2石一臂=等，

■,MN=BMX.anA.OBC=迪x:=幽

故選：c.

2.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形4BCD中，4B=百，BC=1,動(dòng)點(diǎn)￡,尸分別從點(diǎn)/,C同時(shí)出

發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿48,CD向終點(diǎn)3,D運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)￡,p作直線/,過點(diǎn)/作直線/的

垂線，垂足為G,貝MG的最大值為（）

A.V3B.等C.2D.1

【答案】D

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵.

連接AC,BD交于點(diǎn)0,取。4中點(diǎn)H,連接GH,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出G的軌跡,

從而求出4G的最大值.

【詳解】解：連接4C8。交于點(diǎn)0,取。4中點(diǎn)H,連接GH,如圖所示：

???四邊形力BCD是矩形，

■.^ABC=90°,0A=0C,AB||CD,

.?.在Rt△ABC中，AC=y/AB2+BC2=J(百了+/=2,

.-.0A=0C=^AC=l,

-：AB||CD,

Z.EA0=Z.FC0,

在△40E與△C0尸中，

(AE=CF

]/.EAO=乙FCO

I0A=0C

.?.AT10E=ACOF(SAS),

Z.AOE=Z-COF,

■-E,0,F共線，

AG1EF,“是。B中點(diǎn)，

.?.在Rt△AG。中，GH=/O=g,

G的軌跡為以H為圓心，￡為半徑即2。為直徑的圓弧.

.?.2G的最大值為2。的長，即4Gmax=40=l.

故選：D.

3.（2024?西藏?中考真題）如圖，在Rta4BC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,點(diǎn)P是邊48上任意一點(diǎn),

過點(diǎn)尸作PD1AC,PELBC,垂足分別為點(diǎn)。，E,連接OE,則DE的最小值是（）

A

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、矩形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的面積的不同求法，題目難

度不大，設(shè)計(jì)很新穎，解題的關(guān)鍵是求DE的最小值轉(zhuǎn)化為其相等線段CP的最小值.連接CP,根據(jù)矩形

的性質(zhì)可知：DE=CP,當(dāng)DE最小時(shí)，貝UCP最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CP_L48時(shí)，則CP最小，再

根據(jù)三角形的面積為定值即可求出CP的長.

【詳解】解：■■RtAABC^,ZC=90°,2C=12,8C=5,

AB=Vxc2+BC2=13,

連接CP,如圖所示：

?十。12。于點(diǎn)。，PE1CB于點(diǎn)E,Z.ACB=90°,

：.z.PDC=乙PEC=/.ACB=90°,

四邊形DPEC是矩形，

；.DE=CP,

當(dāng)DE最小時(shí)，貝IJCP最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CPLAB時(shí)，則CP最小,

此時(shí)。9=6=等=,.

故選：B.

4.（2024?廣西中考真題）如圖，邊長為5的正方形力BCD,E,F,G,〃分別為各邊中點(diǎn)，連接4G,BH,

CE,DF,交點(diǎn)分別為N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為（）

DGC

o

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先證明四邊形MNPQ是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出。Q=PQ,AM=QM,證

明△4DG三△B2H(SAS)得出=則可得出/QMN=NAMB=90。，同理N&QD=90。，得

出平行四邊形MNPQ是矩形，證明△4DQ三△BAM(AAS)，得出DQ=2M,進(jìn)而得出

DQ=AM=PQ=QM,得出矩形MNPQ是正方形，在Rt△力DQ中，利用勾股定理求出QM?=5,然后

利用正方形的面積公式求解即可.

【詳解】解：???四邊形2BCD是正方形，

.-.AB=BC=CD=DA,AB\\CD,AD\\BC,/.DAB=AABC=ABCD=ACDA=90°,

?■E,F,G,〃分別為各邊中點(diǎn)，

:.CG=DG=^CD^AH,AE=^AB,

；.DG—CG—AE,

.??四邊形2ECG是平行四邊形，

,■,AGWCE,

同理。F||BH,

四邊形MNPQ是平行四邊形，

■■AGWCE,

DQDG.

?,而=布=1，

■-DQ=PQ,

同理4M=QM,

-DG=AH,^ADG=Z.BAH=90°,AD=BA,

△ADG=△BZH(SAS)，

：.Z-DAG=乙ABH,

'.^DAG+Z.GAB=90°,

.?ZABH+2LGAB=90°,

.?ZQMN=/AMB=90。,同理NZQZ)=90。，

???平行四邊形MNPQ是矩形，

■：^AQD=^AMB=90°,4DAG=4ABH,AD=BA,

△ADQ三△BAM(AAS)，

??.DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

：.DQ=AM=PQ=QM,

矩形MNPQ是正方形，

在Rt^ADQ中，AD2-DQ2+AQ2,

■-52=QM2+Q2QM)2,

■■■QM2=5,

正方形MNPQ的面積為5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理

等知識(shí)，明確題意，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵.

5.(24-25九年級(jí)上?重慶榮昌?期中)如圖，在正方形2BCD中，E,F分別為BC,CD邊上的點(diǎn)，AF與DE交

于點(diǎn)M,N為力E的中點(diǎn)，連接MN,若4B=4,CE=DF,CF=3DF,則MN的長度為.

【答案】|

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).證明

△。。七三4力。尸后可得44"6=90。，CE=DF=1,由已知及正方形的性質(zhì)可求4E=5,利用直角三

角形斜邊中線等于斜邊一半可得結(jié)果.

【詳解】解：???正方形4BCD,

AD=CD=AB=BC=4f匕ADF=4DCE=90。,

???段尸分別為BC,CO邊上的點(diǎn)，CF=3PF,

...”=#。=3,DF=1,

vEC=DF,Z.ADF=ADCE=90°,CD=AD,

DCE=△ZDF(SAS)，

Z-DAF=Z.CDE,CE=DF=1,

???乙4DE+NCDE=90。，

zX￡)E+zD^F=90°,

??/DMA=Z.AME=90°,

??.BE=4—EC=3,

???AE=JAB2+BE2=&+32=5，

?；N為力E的中點(diǎn)，

■■MN=^AE=l，

故答案為：|.

6.（24-25九年級(jí)上?廣東汕頭?期中）如圖，△ABC中，乙4c8=90。，BC=8,2C=6,將△ABC繞點(diǎn)B逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△4BC',若點(diǎn)。在4B上，連接力4,貝必4的長為.

【答案】2V10

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理得出ac',4c’的長度,

利用勾股定理即可得出答案.

【詳解】解：???將△28C繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△4BC',

Z.A'C'B=NC=90°,A'C=AC=6,BC'=BC=8,AB=A'B,

根據(jù)勾股定理得：AB=7BC2+AC2=10,

???AB=AB—10,

AC=AB-BC'=2,

在Rt^AAC'中，由勾股定理得：AA'=^AC'2+A'C'2=2V10.

故答案為：2V10.

7.（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽?階段練習(xí)）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直

角三角形圍成的，若正方形4BCD的面積為25,正方形EFGH的面積為1,則tan/ABF的值為.

【答案】^/1|

【分析】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以求出直角三角形

各邊的長，然后即可計(jì)算出tan乙48F的值.

【詳解】解：???正方形4BCD的面積為25,正方形EFGH的面積為1,

.-.AB^AD=5,EF=1,

???"趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，

：.AE=BF,

設(shè)4E=BF=x,則4?=力岳+岳?=乂+1,

在RtLBF中，AF2+BF2-AB2,

.?.(%+I)2+x2=52,

整理得/+%-12=0,

解得=3,x1=-4,

.t.AE=BF=%=3,AF=AE+EF=%+1=4,

,CLAF4

.-.tan^ABF=-=-,

故答案為：2

8.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在△A8C中，乙48c=60。，BC=8,E是8c邊上一點(diǎn)，且BE=2,點(diǎn)

/是△48C的內(nèi)心,B/的延長線交"于點(diǎn)D,P是8。上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PC,則PE+PC的最小值為.

【答案】2Vli

【分析】在48取點(diǎn)R使BF=8E=2,連接PF,CF,過點(diǎn)尸作FH，BC于“，利用三角形內(nèi)心的定義

可得出N2BD=NCB。，利用SAS證明ABFr三ZiBEP,得出PF=PE,則PE+PC=PF+PC2CF,當(dāng)

C、P、廠三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最小，最小值為CF,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出BH,利用勾股

定理求出FH,CF即可.

【詳解】解：在4B取點(diǎn)尸，使BF=BE=2,連接PF,CF,過點(diǎn)尸作FH1BC于X,

BHEC

?”是△ABC的內(nèi)心，

.?卸平分乙4BC,

：.Z-ABD=乙CBD,

又BP=BP,

△BFP=△BEP(SAS)，

；.PF=PE,

；.PE+PC=PF+PCNCF,

當(dāng)C、P、下三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最小，最小值為CF,

■：FH1BC,^ABC=60°,

.-.^BFH=30°,

.-.BH=^BF=1,

..FH=YJBF2-BH2=V3-CH=BC-BH=7,

■■CF=VCH2+FH2=2V13，

■-PE+PC的最小值為2后.

故答案為：2V13.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理

等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含30。的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

9.(2024?四川雅安?中考真題)如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)￡處，BE與AD交

于點(diǎn)R若AB=6,BC=