中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)提升：尺規(guī)作圖與定義、命題、定理（講義2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)18種題型）（解析版）

第七章圖形的變化

第30講尺規(guī)作圖與定義，命題，定理

（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)18種題型）

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航＞題型07作垂線

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航??題型08作等腰三角形

03考點(diǎn)突破?考法探究＞題型09畫(huà)圓

考點(diǎn)一尺規(guī)作圖??題型10過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線

考點(diǎn)二定義、命題、定理■題型11作正多邊形

04題型精研?考向洞悉＞題型12格點(diǎn)作圖

命題點(diǎn)一尺規(guī)作圖＞題型13無(wú)刻度直尺作圖

??題型01作線段＞題型14最短路徑問(wèn)題

??題型02作一個(gè)角等于已知角命題點(diǎn)二定義、命題、定理

??題型03尺規(guī)作角的和、差＞題型01判斷是否是命題

＞題型04過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線＞題型02判定命題的真假

??題型05作三角形■題型03寫(xiě)成命題的逆命題

??題型06作角平分線■題型04反證法

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)考杳頻率新課標(biāo)要求

尺規(guī)作圖★★能用尺規(guī)作圖

通過(guò)具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義.

★

定義、命題、

結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念.會(huì)識(shí)

定理

別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.

【命題預(yù)測(cè)】本考點(diǎn)內(nèi)容以考查尺規(guī)作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為6分

左右.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是

單一的對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融合，既體

現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問(wèn)題的能力，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌

握.

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

定義判斷T牛事的語(yǔ)句

題設(shè)已知事項(xiàng)I

^6

結(jié)論推出的事項(xiàng)

真命題

分類(lèi)I---------

假命題

證明推理過(guò)程

尺規(guī)作圖與定義，命題，定理

真命題繼續(xù)推理的依據(jù)

先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么

關(guān)

尺規(guī)作圖鍵讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問(wèn)題

切記作圖中一定要保留作圖痕跡

考點(diǎn)突破?考法探究

考點(diǎn)一尺規(guī)作圖

定義：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱(chēng)作基本作圖,

五種基本作圖：

1）作一條線段等于已知線段

己知線段a1a1

求作線段0A,使0A等于a

.\A

作法1）任作一條射線OP；

o~r----尸

2）以點(diǎn)0為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0P于點(diǎn)A,則線段0A即

為所求

依據(jù)圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.

2）作一個(gè)角等于已知角

已知ZA0B

求作NA'0'B',使/A'O'B'=/AOBX

作法1）作射線O'A'；

2）以點(diǎn)0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0A于點(diǎn)C,交0B于點(diǎn)D；

3）以點(diǎn)0'為圓心，0C的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O'A'于點(diǎn)E；

4）以點(diǎn)E為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)F；

5）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F作射線O'B',乙A'O'B'即為所求.

依據(jù)1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；E

2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

3）兩點(diǎn)確定一條直線.

3）作已知角的角平分線

己知ZAOBB

求作射線0P,使/AOP=NBOP

作法1）以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0A于點(diǎn)M,交0B于點(diǎn)N；

2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于‘MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NA0B的

2B

內(nèi)部相交于點(diǎn)P；/*

3）作射線0P,射線0P即為所求.

依據(jù)1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；

2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

3）兩點(diǎn)確定一條直線.

4）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線

已知直線AB和AB上的一點(diǎn)M

求作AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M

作法作平角乙ACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.

AMBAJ-IMEB

已知直線AB和AB外一點(diǎn)M

求作AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)M

M

作法1）任意取一點(diǎn)P,使點(diǎn)P和點(diǎn)M在AB的兩旁；

ABA^p-

2）以點(diǎn)M為圓心，MP的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D；D-B

3）分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于』CD的長(zhǎng)為半徑作弧，乏

2

兩弧相交于點(diǎn)E；

4）作直線EM,直線EM就是所求作的垂線.

依據(jù)1）等腰三角形“三線合一”；

2）兩點(diǎn)確定一條直線.

5）作線段的垂直平分線

已知線段AB

求作線段AB的垂直平分線

作法I）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于LAB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

2

相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；L

2）作直線MN,直線MN就是線段AB的垂直平分線.

依據(jù)1）到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；

2）兩點(diǎn)確定一條直線.

尺規(guī)作圖的關(guān)鍵：

1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；

2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問(wèn)題；

3）切記作圖中一定要保留作圖痕跡；

4）無(wú)刻度直尺作圖通常會(huì)與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)和勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)

結(jié)合，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2024.吉林長(zhǎng)春.中考真題）如圖，在A4BC中，。是邊4B的中點(diǎn).按下列要求作圖:

①以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段B。于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E；

②以點(diǎn)。為圓心、BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段04于點(diǎn)F；

③以點(diǎn)F為圓心、DE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前一條弧于點(diǎn)G,點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線同側(cè)；

④作直線。G,交4C于點(diǎn)M.下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.AAOM=ZBB.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-AB

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了作一個(gè)角等于已知角，平行線的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，先根據(jù)作圖得出=根據(jù)平行線的判定得出。MIIBC,根據(jù)平行線的

性質(zhì)得出NOMC+NC=180。，根據(jù)平行線分線段成比例得出空=第=1,即可得出AM=CM.

CMOB

【詳解】解：A.根據(jù)作圖可知：乙4OM=/B一定成立，故A不符合題意；

B.?:乙AOM=LB,

???△OMC+NC=180。一定成立，故B不符合題意；

C.二。是邊的中點(diǎn)，

：.A0=B0,

9：OM\\BC,

,AMAOy

??—=1,

CMOB

.?.AM=CM一定成立，故C不符合題意；

D.不一定成立，故D符合題意.

2.（2024?四川?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,NA=40。，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)8為圓心，

適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交B4BC于點(diǎn)、D,E-,②分別以點(diǎn)D,E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在

乙4BC的內(nèi)部相交于點(diǎn)F,作射線BF交AC于點(diǎn)G.貝吐4BG的大小為度.

【答案】35

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的尺規(guī)作法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的

尺規(guī)作法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)4B=AC,NA=40。，由等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可得乙4BC=

^ACB=70°,由尺規(guī)作圖過(guò)程可知BG為N&BC的角平分線，由此可得=乙GBC=^ABC=35°.

【詳解】解：???AB=AC,乙4=40°,

???/.ABC=Z.ACB=70°,

根據(jù)尺規(guī)作圖過(guò)程，可知BG為N4BC的角平分線，

.-.乙IBG=乙GBC=-/LABC=35°,

2

故乙4BG=35°,

故答案為:35。.

3.（2024山東德州?中考真題）已知乙4。8,點(diǎn)尸為04上一點(diǎn)，用尺規(guī)作圖，過(guò)點(diǎn)尸作。8的平行線.下列

作圖痕跡不正確的是（）

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖.作一個(gè)角等于已知角，作一個(gè)角的平分線，平分線的判定，菱形的判定

和性質(zhì)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、由作圖知，。。是乙4。8的平分線，且PO=PC,

/.z.1=z2,zl=43,

Az.2=43,

：.PC\\OB,故本選項(xiàng)不符合題意;

B、由作圖知，PD是乙4PC的平分線，且PO=OC,

.-.Z3=Z4,zl=Z2,不能說(shuō)明N2與N4相等，

...四邊形POCD是菱形，

：.PC\\OB,故本選項(xiàng)不符合題意;

：.PC\\OB,故本選項(xiàng)不符合題意;

4.（2024.廣東廣州.中考真題）如圖，Rt△力BC中”AB=90°.

A

(1)尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線B。(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

(2)在(1)所作的圖中，將中線B。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到。0,連接AD,CD.求證：四邊形48CD是矩

形.

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；

(1)作出線段2C的垂直平分線EF交2C于點(diǎn)O,連接B。，則線段B。即為所求；

(2)先證明四邊形48CD為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖，線段B。即為所求;

(2)證明：如圖,

?.?由作圖可得：AO=C0,由旋轉(zhuǎn)可得：BO=D0,

四邊形2BCD為平行四邊形,

;乙4BC=90°,

二四邊形4BCD為矩形.

考點(diǎn)二定義、命題、定理

1.命題

定義：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.

組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由己知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

表達(dá)形式：可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)

論.

2.真命題、假命題

內(nèi)容舉例注意

真命如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成對(duì)頂角不相等說(shuō)明一個(gè)命題是真命題,需從已知出發(fā),經(jīng)過(guò)一

題立的命題，叫做真命題步步推理，最后得出正確結(jié)論

假命命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)相等的角是對(duì)判定一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)例子（反

題論一定成立的命題，叫做假命題頂角例），使它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論即可

3.逆命題

逆命題：把原命題的結(jié)論作為命題的題設(shè)，把原命題的題設(shè)作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的

逆命題.

互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命

題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它

的逆命題.

4.公理、定理

公理：如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，

這樣的真命題叫做公理.如：兩點(diǎn)之間線段最短.

定理：如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作

為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理.

5.互逆定理

互逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，

其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.

6.反證法

定義：先假設(shè)原命題的結(jié)論不正確，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理論證，最后得出與學(xué)過(guò)的概念、

基本事實(shí)、已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，這種證明的方法叫做反證法.

反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出與公理、定理、定義或

已知條件相矛盾的結(jié)論；③說(shuō)明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2024.江蘇宿遷?中考真題）請(qǐng)寫(xiě)出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理.

【答案】同位角相等，兩直線平行

【分析】本題考查了逆定理的改寫(xiě)，根據(jù)題意，將題設(shè)與結(jié)論交換位置即可.

【詳解】解：定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，兩直線平行，

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

2.（2024.山東濰坊?中考真題）下列命題是真命題的有（）

A.若a=6,貝!|ac=6c

B.若a>6,則ac>6c

C.兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)

D.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積仍為無(wú)理數(shù)

【答案】AC

【分析】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了等式及不等式的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)及有理數(shù)的積.利用等

式及不等式的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)及有理數(shù)的積分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】

解：A、由等式的性質(zhì)可得，若a=b,則ac=bc,原命題為真命題；

B、由不等式的性質(zhì)可得，若a>b,且c>0,則ac>bc,原命題為假命題；

C、兩個(gè)有理數(shù)的積仍為有理數(shù)，原命題為真命題；

D、兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積不一定為無(wú)理數(shù)，比如魚(yú)又虎=2,原命題為假命題.

故選：AC.

3.（2022?上海.中考真題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

【答案】A

【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系，分別舉出反例，再進(jìn)行判斷，即可得出答案.

【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項(xiàng)符合題意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等沒(méi)有逆定理，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對(duì)頂角相等的逆命題是：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題而

不是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角的逆命題是：對(duì)頂角相等，它是真命題，

故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關(guān)鍵.把一個(gè)命題的條件

和結(jié)論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題.

4.（2022?黑龍江綏化?中考真題）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等

C.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【答案】B

【分析】利用三角形的中位線定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判

斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【詳解】解：A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不

符合題意；

B.如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角不一定相等，故此選項(xiàng)是假命題，符合題意；

C.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是真

命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解三角形的中位線定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以

及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).

題型精研?考向洞悉

命題點(diǎn)一尺規(guī)作圖

＞題型01作線段

1.（2023?山西太原?模擬預(yù)測(cè)）已知線段a、b、c.

b

（1）用直尺和圓規(guī)作出一條線段AB,使它等于a+c-6.（保留作圖痕跡，檢查無(wú)誤后用水筆描黑，包括痕

跡）

（2）若a=6,b=4,c=7,點(diǎn)C是線段4B的中點(diǎn)，求力C的長(zhǎng).

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析

（2）4.5

【分析】（1）作射線4M,在射線4M上順次截取2E=a,EF=c,在線段R4上截取FB=b,則線段48即為

所求；

（2）由（1）中結(jié)論及已知條件，求得4B的長(zhǎng)，再利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可解得AC的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：如圖，線段48即為所求：

（2）如圖,

AB=a+c—b=6+7—4=9

???點(diǎn)C是線段4B的中點(diǎn)，

11

AC--AB=-x9=4.5

22

即4C的長(zhǎng)4.5.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖、線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△力BC中，AACB=90°,以點(diǎn)A為圓心，4C長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于

點(diǎn)、D,再分別以8,。為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于Af,N兩點(diǎn)，作直線MN分別交4B于點(diǎn)

E,若4。=3,BE=1,貝l|BC的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】B

【分析】本題考查了，作圖等長(zhǎng)線段，作圖垂直平分線，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：由作圖方法得到等量

關(guān)系式.根據(jù)取等長(zhǎng)線段的做法，垂直平分線的做法，得到aC=2D=3,DE=BE,即可求出力B=AD+

BD=5,在RtAABC中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得：AC=AD=3,MN為的垂直平分線，

???BE=1,

???BD—2BE—2,

???AB=AD+BD=5,

???乙ACB=90°,

BC=7AB2-"2=4,

故選：B.

3.(2024.廣東.模擬預(yù)測(cè))如圖，在等邊AABC中，AD為BC邊上的高.

(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)，以CD為邊在CD下方作等邊ACDE,延長(zhǎng)ED交42于點(diǎn)M；(要求：尺規(guī)作圖并保

留作圖痕跡、不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母)

(2)應(yīng)用與證明：在(1)的條件下，證明CE=BM.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了作線段，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).熟練掌握作線

段，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖，分別以C、D為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為E,連接CE、DE,則等邊ACDE即為所作，

延長(zhǎng)ED交4B于點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所作；

(2)證明△BMDSACED(ASA),進(jìn)而可證CE=BM.

【詳解】(1)解：如圖，分別以C、。為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為E,連接CE、DE,則CD=CE=DE,

等邊ACDE即為所作，延長(zhǎng)ED交力B于點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所作；

(2)證明：???△ABC為等邊三角形，力。為BC邊上的高,

=^ACB=60°,BD=CD,

?.,等邊△CDE,

；/ECD=60°,

.,2B=Z-ECD,

又"MDB=乙EDC,

.*.△BMD=△CED(ASA),

；,CE=BM.

＞題型02作一個(gè)角等于已知角

1.（2024?北京?中考真題）下面是“作一個(gè)角使其等于N40B”的尺規(guī)作圖方法.

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等

【答案】A

【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得。C=O'C',OD=O'D',CD=CD',

故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，

故選A.

2.（2024河南.中考真題）如圖，在RtAABC中，CD是斜邊48上的中線，BEIIDC交4C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

ADB

⑴請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作"CM,使NEC"=乙4,且射線CM交BE于點(diǎn)”保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形CD8F是菱形

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：

（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；

（2）先證明四邊形CDBF是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出CD=BD=143,最后

根據(jù)菱形的判定即可得證.

【詳解】⑴解：如圖,

（2）證明：??2ECM=",

■.CMWAB,

■.■BEWDC,

???四邊形CD8F是平行四邊形，

?在RtZkABC中，CD是斜邊4B上的中線，

■.CD=BD=-AB,

2

平行四邊形CDBF是菱形.

3（2021?山東青島?中考真題）已知：/。及其一邊上的兩點(diǎn)4B.

求作：Rt^ABC,使NC=90。，且點(diǎn)C在4。內(nèi)部，ABAC=ZO.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】先在NO的內(nèi)部作ND43=NO,再過(guò)3點(diǎn)作A。的垂線，垂足為C點(diǎn).

【詳解】解：如圖，放AABC為所作.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基

本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

＞題型03尺規(guī)作角的和、差

1.（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，已知NP4Q及4P邊上一點(diǎn)C.

（1）用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在射線4Q上求作點(diǎn)0,使得NCOQ=2NC4Q；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)。為圓心，以。力為半徑的圓交射線4Q于點(diǎn)B,用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上

求作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線力Q的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（3）在（1）、（2）的條件下，若sinA=|,CM=12,求8M的長(zhǎng).

【答案】（1）作圖見(jiàn)詳解

⑵作圖見(jiàn)詳解

（3）BM=6A/5

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角等于已知角的方法即可求解；

（2）根據(jù)尺規(guī)作圓，作垂線的方法即可求解；

（3）根據(jù)作圖可得“勿14Q,CM=WM=12,是直徑，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可得4M的值，根據(jù)

勾股定理可求出4C的值，在直角△BCM中運(yùn)用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，

P

4K

/J/o

??Z-COQ=2Z.CAQ；

點(diǎn)o即為所求

(2)解：如圖所示，

連接BC,以點(diǎn)B為圓心，以BC為半徑畫(huà)弧交AQ于點(diǎn)以點(diǎn)當(dāng)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交4Q于點(diǎn)的,

DI,分別以點(diǎn)G，劣為圓心，以大于3為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)6，連接B/1并延長(zhǎng)交2P于點(diǎn)M,

必B是直徑，

.?.乙4cB=90°,即BCJ.4P,

根據(jù)作圖可得B1G=B]DrC16=D/1，

1AQ,即乙MB]B=90°,MB1是點(diǎn)M到4Q的距離,

,?BC=BBi，

???Rt△BCM=RtABBiM(HL),

??.CM=

點(diǎn)M即為所求點(diǎn)的位置；

(3)解：如圖所示，

根據(jù)作圖可得，NCOQ=2NC4Q,MC=MW=12,MW1AQ,連接BC,

???在RtMMW中，sin/l=籌=|,

…=-5-W-M=-5-X-1-2=2“0,

33

■.AC=AM-CM=20-12=8,

,MB是直徑,

：.^ACB=90°,

???s.i.nZ=——BC=-3

AB5

設(shè)BC=3x,貝！MB=5%,

.?.在RtAABC中，(5x)2=(3x)2+82,

解得，x=2（負(fù)值舍去）,

-'-BC=3%=6,

在Rt△BCM中，BM=y/CM2+BC2=V122+62=6西.

【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角，尺規(guī)作垂線，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)的綜合,

掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）操作探究題

（1）已知力C是半圓。的直徑，"OB=（詈）。5是正整數(shù)，且?guī)撞皇?的倍數(shù)）是半圓。的一個(gè)圓心角.

操作：如圖1,分別將半圓。的圓心角“OB=（詈）。（n取1、4、5、10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓

規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）;

n=5n=10

圖I

從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用60°、圈T所對(duì)的弧去找僵f的三分

之一即篝T所對(duì)的孤?

交流：當(dāng)幾=11時(shí)，可以?xún)H用圓規(guī)將半圓。的圓心角乙40B=（詈）。所對(duì)的弧三等分嗎?

我發(fā)現(xiàn)了它們之間的數(shù)量關(guān)系是4x9工|°-60。=第:

我再試試：當(dāng)”=28時(shí).嚼|°、60?、匿］°之間存在數(shù)量關(guān)系

因此可以?xún)H用圓規(guī)將半K1O的圓心角乙所對(duì)的弧三等分.

探究：你認(rèn)為當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，就可以?xún)H用圓規(guī)將半圓。的圓心角/2。8=（詈）。所對(duì)的弧三等分？說(shuō)

說(shuō)你的理由.

（2）如圖2,。。的圓周角NPMQ=（―）。.為了將這個(gè)圓的圓周14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分?、撸ㄒ?/p>

求：僅用圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

Q

【答案】⑴作圖見(jiàn)解析；交流：60?！?x（罷）。=償）。，或19x（詈）。一2x60。=G）。；

探究：正整數(shù)n5不是3的倍數(shù)），理由見(jiàn)解析

（2）作圖見(jiàn)解析

【分析】（1）由操作可知，如果（*）?？梢杂?0。與（詈）。的線性表示，那么該圓弧就可以被三等分

（2）將圓周14等分就是把NPMQ=（等）。所對(duì)的圓周角NQOP所對(duì)弧三等分即可,給出一種算法：180。-

540°r180°

——x2=——

77

【詳解】⑴

操作：

圖中的J、5點(diǎn)即為三等分點(diǎn)圖中的C點(diǎn)即為三等分點(diǎn)

圖中的C點(diǎn)即為三等分點(diǎn)圖中的。點(diǎn)即為三等分點(diǎn)

交流：60。-9x（詈）。=（繳。，或19x（翳）。-2X60。=鬻）。；

探究：設(shè)60。-卜（詈）。=（第。，解得n=3k+l（k為非負(fù)整數(shù)）.

或設(shè)人（詈）?！?0。=（第。，解得n=3k-l（k為正整數(shù)）.

所以對(duì)于正整數(shù)n（n不是3的倍數(shù)），都可以?xún)H用圓規(guī)將半圓。的圓心角乙4OB=（詈）。所對(duì)的弧三等分;

（2）

【點(diǎn)睛】本題考查了用圓規(guī)作圖的基本技能，需要準(zhǔn)確理解題意，對(duì)于復(fù)雜圖形的作圖要學(xué)會(huì)將其轉(zhuǎn)化成

基本圖形去作，本題第二問(wèn)利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為第一問(wèn)的思路從而得以解決，這也是本題求解的關(guān)鍵.

＞題型04過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線

1.（2024.山東青島.中考真題）已知：如圖，四邊形4BCD,E為。C邊上一點(diǎn).

求作：四邊形內(nèi)一點(diǎn)尸，使EPIIBC,且點(diǎn)尸到4B,4。的距離相等.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線和作一個(gè)角等于已知角

的尺規(guī)作圖方法.作乙D4B的平分線4M,以E為頂點(diǎn)，ED為一邊作乙DEN=NC,EN交AM于P,點(diǎn)P即為

所求.

【詳解】解：作的平分線ZM,以E為頂點(diǎn)，ED為一邊作乙DEN=LC,EN交AM于P,如圖，點(diǎn)P即

為所求.

2.(2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，一次函數(shù)丫=久—2的圖象與反比例函數(shù)y=?的圖象交于A,8(3,n)兩

點(diǎn)，且直線與坐標(biāo)軸分別交于尸，Q兩點(diǎn).

(1)求m和n的值；

(2)已知點(diǎn)”(0,2),請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)M作直線4B的平行線(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法);

(3)若(2)中所作的平行線交了軸負(fù)半軸于點(diǎn)N,連接NP,QM,求四邊形NPQM的面積.

【答案】(l)m=3,n=l

(2)見(jiàn)解析

(3)8

【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，尺規(guī)作圖：

(1)將B(3,n)代入y=x-2可得w的值，將8(3,幾)代入y=?可得利的值；

(2)以知為頂點(diǎn)，y軸為角的一邊，作一個(gè)角等于NMP8即可；

(3)先求出直線4B與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得AOMN為腰長(zhǎng)是2的等腰直角三角形，再根據(jù)S四邊形痔。.

c.cPM'OQ,PM,ONnn-p-

S^PMQ+S“MN=22即可求解,

【詳解】(1)解：一次函數(shù)y=%—2經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(3,九)，代入解得九二1,

???8(3,1)在反比例函數(shù)y=3的圖象上,

??.TH=1x3=3；

(2)解：所作平行線如圖所示：

(3)解：由(1)知反比例函數(shù)解析式為y=：,

當(dāng)x=0時(shí)，y=0—2=—2,

當(dāng)y=0時(shí)，0=%—2,

解得：%=2,

則y=%-2交坐標(biāo)軸于Q(2,0),P(0,-2),

.?.OP=0Q=0M=2,PM=4,

.,ZOMN=4)PQ=45°,

.*.△OMN為腰長(zhǎng)是2的等腰直角三角形，

__PMOQPMON_4X24x2_

,3四邊形NPQM="PMQ十'△PMN=一h—十一\一

＞題型05作三角形

1.(2022?廣西貴港?中考真題)尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法):

如圖，已知線段相，n.求作△ABC,使乙4=90°,AB=m,BC=n.

n

【答案】見(jiàn)解析

【分析】作直線/及/上一點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)A作/的垂線；在/上截取48=??；作8。=九；即可得到AaBC.

【詳解】解：如圖所示：AABC為所求.

注：(1)作直線/及/上一點(diǎn)A；

(2)過(guò)點(diǎn)A作/的垂線；

(3)在/上截取=m；

(4)作BC=n.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型.

2.(2023?江蘇南京?中考真題)在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度火0。<8<180。),

再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)a為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k,稱(chēng)這種變

換為自旋轉(zhuǎn)位似變換.若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作7(4順。，fc);若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作7(4,逆仇k).

例如：如圖①，先將AABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。，得到△&BG，再將Aa/G以點(diǎn)B為位似中心縮小到原

來(lái)的點(diǎn)得到A&BCZ，這個(gè)變換記作T(B,逆50。，

(1)如圖②，ZkABC經(jīng)過(guò)T(C,順60。，2)得到用尺規(guī)作出△49C.(保留作圖痕跡)

(2)如圖③，AABC經(jīng)過(guò)7(B,逆a,kJ得至IJAEBD,AaBC經(jīng)過(guò)T(C,順0,得至IJAFDC,連接4E,AF.求

證：四邊形4FDE是平行四邊形.

D

E.

(3)如圖④，在△ABC中，乙4=150。,48=2,4C=1.若AaBC經(jīng)過(guò)(2)中的變換得到的四邊形4FDE

是正方形.

①用尺規(guī)作出點(diǎn)。(保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明)；

②直接寫(xiě)出力E的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)①見(jiàn)解析；②竽

【分析】(1)旋轉(zhuǎn)60。，可作等邊三角形DBC,ACE,從而得出B點(diǎn)和點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)D,E,進(jìn)而作出圖形；

(2)根據(jù)AEBD和AABC位似，AFDC與△ABC位似得出NEBD=N力BC,髻=鋁，笠=級(jí)，進(jìn)而推出4

ABBCCDBC

EBAfDBC,從而殷=再，進(jìn)而得出4E=DF,同理可得：DE=AF,從而推出四邊形力FDE是平行四邊

CDBC

形；

(3)要使EL4FDE是正方形，應(yīng)使NE4F=90°,AE=AF,從而得出NB4E+^FAC=270°-AC=120°,

從而得出4OBC+乙DCB=120°,從而N8DC=60°,于是作等邊△BCG,保證480。=NG=60°,作直徑BD,

保證BD=2CD,這樣得出作法.

【詳解】(1)解：如圖1,

圖1

1.以B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，以C為圓心，8c為半徑畫(huà)弧，兩弧在BC的上方交于點(diǎn)。，分別以力，C為圓

心，以力C為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E,

2.延長(zhǎng)CD至B',使。8'=CD,延長(zhǎng)CE至4,使4E=CE,連接4B',

則444C就是求作的三角形；

(2)證明：???△EBO和位彳以，△FOC與位彳以,

BE_BDDFAB

Z.EBD=Z.ABC,

AB~BCCDBC9

???Z-EBA=乙DBC,

EBADBC,

AEAB

:.---=----,

CDBC

AEDF

--=--9

CDCD

AE=DF,

同理可得：DE=AF,

.??四邊形4FDE是平行四邊形;

(3)解：如圖2,

2.作等邊三角形BCG的外接圓0,作直徑BD,連接CD,

3.作N08E=Z_ABC,Z.BDE=/.ACB,延長(zhǎng)84,交O。于F,連接CF,DF,

則四邊形4FDE是正方形,

證明：由上知：AEBAfDBC,AFAC-ADBC,

AE_AB_2AF_AC1

/.BAE=Z.DCB,/.FAC=乙DBC,CD-BC~BC"BD~BCBC‘

Z.BAE+Z-FAC=Z-DCB+/JDBC,

要使團(tuán)/FOE是正方形，應(yīng)使乙E/F=90。，AE=AF,

???乙BAE+乙FAC+乙BAC=270°,BD=2CD,

???/-BAE+/.FAC=270°-Z.BAC=270°-150°=120°,

???(DBC+乙DCB=120°,

(BDC=60°,

???作等邊△BCG,保證乙BDC=4G=60。，作直徑BD,保證BO=2CD,這樣得出作法；

???乙ABE=乙DBC=30°,/LEAB=(BCD=90°,AB=2,

廠V3Nn2^3

AAE=—AB=—.

33

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，確定圓的條件，尺規(guī)作圖等知識(shí)，解決問(wèn)題

的關(guān)鍵是較強(qiáng)的分析能力.

＞題型06作角平分線

1.(2024?西藏?中考真題)如圖，在RtAdBC中，ZC=90°,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BC,

于點(diǎn)。，E,再分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于:DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在乙48。的內(nèi)部相交于點(diǎn)P,作

射線BP交4C于點(diǎn)F.已知CF=3,AF=5,貝IjBF的長(zhǎng)為.

【答案】3V5

【分析】本題考查了作圖-基本作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理及全等三角形的判定與

性質(zhì)等知識(shí).根據(jù)基本作圖可判斷BF平分N4BC,過(guò)尸作FG14B于G,再利用角平分線的性質(zhì)得到GF=

CF=3,根據(jù)勾股定理求出力G=-xlAF2-FG2=V52-32=4,證明Rt△CBFmRt△GBF,得出BG=BC,

設(shè)BG=BC=x,則48=4+x,AC=AF+CF=5+3=8,根據(jù)勾股定理得出8?+/=(4+乂尸，求出

x=6,根據(jù)勾股定理求出BF=VCF2+BC2=V32+62=3V5.

【詳解】解：過(guò)/作FG1AB于G,

：.GF=CF=3,

在Rt△4FG中根據(jù)勾股定理得：AG=y/AF2-FG2=V52-32=4,

VFG=CF,BF=BF,

???Rt△CBF三RtAGBF(HL),

BG-BC,

設(shè)BG=BC=x,貝!MB=4+X,AC=AF+CF=5+3=8,

在口△ABC中，根據(jù)勾股定理得：

AC2+BC2=AB2,

即：82+x2=(4+x)2,

解得：x=6,

BC=6,

在Rt△8CF中根據(jù)勾股定理得：BF=yJCF2+BC2=V32+62=3星.

故答案為：3瓜

2.(2024.江蘇宿遷?中考真題)如圖，在AABC中，NB=50。，NC=30。，4。是高，以點(diǎn)A為圓心，力B長(zhǎng)

為半徑畫(huà)弧，交力C于點(diǎn)E,再分別以8、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在ABAC的內(nèi)部交于點(diǎn)

F,作射線4F,貝吐￡MF=.

【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出力F平分NB4C,然后利用三角形

內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：因?yàn)镹B=50。，ZC=30°,

所以N84C=180°-50°-30°=100°,

根據(jù)題意得：4F平分NB4C,

所以NB4F=l^BAC=50°,

因?yàn)?。為高，

所以N8D4=90°,

所以NB/W=180°-50°-90°=40°,

所以N￡MF=/.BAF-/.BAD=50°-40°=10°,

故答案為：10。.

3.（2024?江蘇無(wú)錫?中考真題）如圖，在A48C中，AB>AC.

（1）尺規(guī)作圖：作NB4C的角平分線，在角平分線上確定點(diǎn)D,使得DB=DC；（不寫(xiě)作法，保留痕跡）

（2）在（1）的條件下，若NBAC=90。，4B=7,AC=5,則2。的長(zhǎng)是多少？（請(qǐng)直接寫(xiě)出4。的值）

【答案】（1）見(jiàn)詳解

（2）672

【分析】（1）作NB4C的角平分線和線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)。，即為所求.

（2）過(guò)點(diǎn)￡＞作。E1交28與點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)￡）作DF14C交AC與點(diǎn)R先利用角平分線的性質(zhì)定理證明四邊

形2EDF為正方形，設(shè)4E=49=EO=DF=x,貝!=7—x,FC=5-x,以。8=DC為等量關(guān)系利用

勾股定理解出x,在利用勾股定理即可求出4D.

【詳解】（1）解：如下圖：4。即為所求.

（2）過(guò)點(diǎn)D作OE1交48與點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作OF1AC交2C與點(diǎn)F,

貝4ED=Z.AFD=90°,

又:乙BAC=90°

???四邊形4EDF為矩形，

必。是N84C的平分線，

：.DE=DF,

???四邊形4EDF為正方形，

??AE=AF=ED=DF,

設(shè)/E=AF=ED=DF=X,

■,■BE=AB-AE=7—x,FC=AC-AF=5—x,

在RtABED中，BO?=E￡)2+8E2=%2+(7一%)2,

在RtACFD中，CD2=DF2+FC2=%2+(5-%)2,

■：DB=DC

：.DB2=DC2

■■-x2+(7—x)2—x2+(5—x)2

解得：x=6,

■.AD=VXF2+DF2=V62+62=6V2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作角平分線以及垂直平分線，角平分線的性質(zhì)定理，正方形的判定以及勾股定理

的應(yīng)用，作出圖形以及輔助線是解題的關(guān)鍵.

＞題型07作垂線

1.（2021?江蘇南京?中考真題）如圖，已知尸是。。外一點(diǎn).用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)尸作。。的一條切線.要

求：

（1）用直尺和圓規(guī)作圖；

（2）保留作圖的痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【分析】方法一：作出。尸的垂直平分線，交。P于點(diǎn)A,再以點(diǎn)A為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。。于點(diǎn)

Q，連結(jié)P。，尸0即為所求.

方法二：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一作。。的切線，作射線P。，交O。于點(diǎn)M,N,以P為圓心，P。為

半徑作OP,以。為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OP于點(diǎn)2,連接24,。4,。4交0。于點(diǎn)3,則APA。是等腰

三角形，。8=［。4貝IJPB1Q4,PB即為所求.

作法：連結(jié)尸。，分別以尸、。為圓心，大于孑。的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交于兩點(diǎn)，連結(jié)兩點(diǎn)交PO于點(diǎn)A；

以點(diǎn)A為圓心，用長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。。于點(diǎn)。連結(jié)尸。，P。即為所求.

作法：作射線P0,交O。于點(diǎn)M,N,以P為圓心，P。為半徑作OP,以。為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OP于

點(diǎn)4,連接以,。4。4交00于點(diǎn)B，則AP力。是等腰三角形，08=卯4則PBLCM,PB即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，

圓的作法等知識(shí)點(diǎn).復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖.解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性

質(zhì)，結(jié)合基本幾何圖形的性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

＞題型08作等腰三角形

1.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtAAOB中，乙4。3=90。，2。=3,B0=4,C是直線B0上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，若AABC是等腰三角形.

⑵求0C的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)