曲線擬合的應(yīng)用

曲線擬合的應(yīng)用摘要：在實際問題中，常常會從一組數(shù)據(jù)中篩選出對自己有用的部分，這樣的問題可轉(zhuǎn)化為尋找一種函數(shù)曲線去擬合這些數(shù)據(jù)，在解決這類問題的數(shù)據(jù)處理和誤差分析中應(yīng)用最廣泛的是曲線擬合。它不但可以提高數(shù)據(jù)處理效率，而且還能保證相當(dāng)?shù)木_度。關(guān)鍵詞：曲線擬合，最小二乘法，應(yīng)用1.直線擬合直線擬合數(shù)據(jù)點的最小二乘法，即找一個一次函數(shù)，使二元函數(shù)達到最小。由多元函數(shù)取得極值的必要條件知，由方程組：化簡可得正規(guī)方程組：（1-1）由方程組（1-1）解出，即得一次函數(shù)為所求的擬合直線.2.冪函數(shù)擬合在某些情況下的擬合函數(shù)，其中是一個已知常數(shù)設(shè)有個點，最小二乘冪函數(shù)擬合曲線，求函數(shù)的最小值？對上式求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)：令導(dǎo)數(shù)等于0，化簡得：即：為所求的擬合曲線。3.指數(shù)擬合3.1求解的非線性最小二乘法設(shè)給定一組點集，需要擬合指數(shù)曲線采用非線性最小二乘法求下式的最小值：（3.1-1）對上式分別求關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于0（3.1-2）化簡可得正規(guī)方程組：（3.1-3）方程（3.1-3）對于未知數(shù)和是線性的，可用牛頓法求解。但這是一個耗時的計算，而且迭代需要好的和的初始值。3.2求解線性化方法設(shè)給定一組點集，求指數(shù)函數(shù)的擬合曲線.對上式兩邊同取對數(shù)得： 令：，，設(shè)方程組為（6-1）其中為列滿秩矩陣，且方程組（6-1）是矛盾方程組，則因為列滿秩，所以正定對稱，因而可逆，從而為矛盾方程組的最小二乘解。7.求解數(shù)據(jù)組的最小二乘擬合函數(shù)的一般步驟(1)由給定數(shù)據(jù)點確定近似函數(shù)的表達式，一般可通過描點觀察或經(jīng)驗估計得到。(2)按最小二乘原則確定表達式中的參數(shù)，即由偏差平方和最小導(dǎo)出正規(guī)方程組，求解參數(shù)。注意：一些簡單的非線性最小二乘問題通常需先做變量代換將問題化為線性最小二乘問題再求解。8.典型應(yīng)用（1）已知一組實驗數(shù)據(jù)如下表，求它的擬合曲線？-2-1012101029解：建立文件w1.mx=[-2,-1,0,1,2];y=[10,1,0,2,9];plot(x,y,'o')xlabel('自變量xi')ylabel('函數(shù)yi')title('散點圖')畫出所給數(shù)據(jù)的散點圖圖8-1數(shù)據(jù)的散點圖圖8-1數(shù)據(jù)的散點圖從圖可見它像一條拋物線，因而可取拋物線函數(shù).將數(shù)據(jù)帶入方程組（5-4）中，得：解得：，，.擬合曲線為：（2）設(shè)一發(fā)射源的發(fā)射強度公式形如：現(xiàn)測得與的數(shù)據(jù)如下表：0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56使用最小二乘法確定與.解：対強度公式兩邊同取對數(shù)得：令：,,,得：表8-2數(shù)據(jù)的代換0.20.30.40.50.60.70.81.15060.86710.559620.292670-0.30111-0.57982將數(shù)據(jù)帶入方程組（1-1）中得：解得：,,則：強度公式為：(3)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)2004-2010年的利潤如下表所示，試預(yù)測2011和2012年的生產(chǎn)利潤？年份2004200520062007200820092010利潤/(萬元)80116144158174196202解：由已知數(shù)據(jù)做一草圖，發(fā)現(xiàn)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的年生產(chǎn)利潤呈直線上升趨勢，因此，可用作為擬合函數(shù)來預(yù)測該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)未來的年生產(chǎn)利潤，為簡化計算，可把年份記為，相應(yīng)年份的利潤記作，求如表8-3所示數(shù)據(jù)的線性最小二乘擬合.表8-3數(shù)據(jù)的簡化123456780116144158174196202方法一：將數(shù)據(jù)帶入方程組（1-1）中得：解得：,擬合曲線為：，則：2011年的生產(chǎn)利潤為232.2857萬元，2012年的生產(chǎn)利潤為252.1428.參考文獻[1]JohnH.MathewskurtisD.Fink著.數(shù)值方法(MATLAB版)(