2025年 九年級數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí) 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 專題提升訓(xùn)練

2025年春九年級數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)《二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)》專題提升訓(xùn)練（附答案）一、單選題1．關(guān)于二次函數(shù)y=x?52+7A．開口向上 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是5,7C．它有最大值為7 D．當(dāng)x>5時，y隨x的增大而增大2．若點(diǎn)Px0,y0在拋物線y=ax2a≠0上，則下列各點(diǎn)在拋物線A．x0+?,yC．x0??,y3．直線l:y=kx+bk≠0與拋物線y=x?22?3交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線y=?x?12+3交于C，DA．3,32 B．32,?1 C．4．已知點(diǎn)A(a,b)，B(a+2,c)兩點(diǎn)均在函數(shù)y=(x?1)2?2025的圖象上．若b<c，則aA．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)>0 D．0<a<25．將拋物線y=12x+1A．2,2 B．2,?2 C．?2,2 D．4,?26．已知二次函數(shù)y=3x?2①其圖象的開口向上；②其圖象的對稱軸為直線x=?2；③其最大值為1；④當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小；⑤頂點(diǎn)坐標(biāo)為?2，A．1 B．2 C．3 D．47．已知拋物線y=x?22?1與y軸交于點(diǎn)D0,?3，其頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與x軸交于B,?C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），連接DB,?A．2,??1 B．0.5,?1.25 C．8．如圖，矩形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，連接CE．點(diǎn)F為點(diǎn)B關(guān)于CE的對稱點(diǎn)，連接AF，BF，tan∠BAF=43．設(shè)AB=x，△ABF的面積為y，則y與xA．B． C． D．二、填空題9．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=?2x?12+3的頂點(diǎn)與點(diǎn)10．已知拋物線y=?x2+2，則當(dāng)?1≤x≤5時，y11．將二次函數(shù)y=x?32+4的圖象向下平移bb>0個單位長度后，所得到的二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A2,?312．已知拋物線C1與C2關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，若拋物線C1的解析式為y=?5x?2213．若某飛機(jī)落地時，飛機(jī)在地面滑行距離S（米）與滑行時間t（秒）的關(guān)系近似滿足：S=?2t?152+20014．如圖，拋物線y=x??2+12與平行于x軸的直線l交于A,?B15．如圖，點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D分別在y=12x2和y=12x2?4的圖像上．若點(diǎn)A，C的橫坐標(biāo)均為?2，點(diǎn)B16．已知二次函數(shù)y=x?3a2+a?1（a為常數(shù)）．當(dāng)a取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．如圖，這些分別是當(dāng)a=?1，a=0，a=1，三、解答題17．已知函數(shù)y=?1(1)函數(shù)圖象的開口方向是______，對稱軸是______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為______．(2)當(dāng)x______時，y隨x的增大而減?。?3)當(dāng)x取什么數(shù)時函數(shù)能取到最值？是最大值還是最小值？函數(shù)的最值是多少？(4)怎樣平移拋物線y=?12x18．已知拋物線C:y=ax2+bx+c(1)求b，c的值；(2)若a=1，拋物線與直線L:y=12x+2相交，P為y軸右側(cè)拋物線C上一動點(diǎn)，過P作直線PN⊥x軸交x軸于點(diǎn)N，交直線L于M點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)2PM=PN(3)已知點(diǎn)P0,2、Q0,4，若點(diǎn)A、B均為y軸右側(cè)拋物線C上兩動點(diǎn)，且∠APO=∠BPQ，求證：直線19．“強(qiáng)化課程建設(shè)，提升育人質(zhì)量”，瑤海區(qū)某中學(xué)校本課程“物理@數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)小組對一款熱水器的工作電路展開研究，將變阻器R的滑片從一端滑到另一端，繪制出變阻器R消耗的電功率P隨電流I變化的關(guān)系圖象如圖所示，該圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條拋物線的一部分．(1)求拋物線解析式（不必寫出取值范圍）；(2)變阻器R消耗的電功率P最大為多少瓦？20．如圖所示將運(yùn)動員的身體看作一點(diǎn)，則他在跳水過程中運(yùn)動的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，運(yùn)動員從點(diǎn)A0,10起跳，從起跳到入水的過程中，運(yùn)動員的豎直高度ym與水平距離水平距離x00.51豎直高度y1011.2510(1)在平時的訓(xùn)練完成一次跳水動作時，運(yùn)動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表：根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的關(guān)系式；(2)在（1）的這次訓(xùn)練中，求運(yùn)動員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離OD的長；(3)信息1：記運(yùn)動員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)B到水面的高度為km，從到達(dá)到最高點(diǎn)B開始計時，則他到水面的距離?m與時間ts信息2：已知運(yùn)動員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.5s的時間才能完成極具難度的270問題解決：①請通過計算說明，在（1）的這次訓(xùn)練中，運(yùn)動員甲能否成功完成此動作？②運(yùn)動員甲進(jìn)行第二次跳水訓(xùn)練，此時他的豎直高度ym與水平距離xm的關(guān)系為y=ax2?ax+1021．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y=x2+bx+c與y軸相交于點(diǎn)A0,?3，與x(1)求拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式及d(2)M是拋物線上的一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M到x軸的距離為3時，△BDM的面積為_______．②如圖2，過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，當(dāng)線段MN最大時，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)將拋物線C1：y=x2+bx+c沿x軸翻折，得到拋物線C2，點(diǎn)P（橫坐標(biāo)為x）在拋物線C2上，其最大值為m，最小值為n．若對于任意22．如圖，點(diǎn)A，C為拋物線y=ax2+4(a為常數(shù)，且a<0)上兩定點(diǎn)，點(diǎn)B為點(diǎn)A，C之間的拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），過點(diǎn)B作x軸垂線，交直線AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A，C作直線BE的垂線，垂足分別為F(1)若a=?1，點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為?3，m，1，(?3<m<1)，①求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；②BE=______；（用含m的代數(shù)式表示）③試猜想BE，AF，CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明：(2)若（1）中a的值改為?2，其余條件不變，請直接寫出BE，AF，CD之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)a的值確定，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間的拋物線上運(yùn)動時，BE，AF，CD之間的數(shù)量關(guān)系是______．23．如圖1，已知拋物線y1=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C(0,?3)，其對稱軸為直線l1:x=1，頂點(diǎn)為D，將拋物線y1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線y2，拋物線y2與y軸交于點(diǎn)(1)試求拋物線y1和拋物線y(2)在圖1中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0)，動點(diǎn)M在直線l1上，過點(diǎn)M作MN∥x軸與直線l2交于點(diǎn)N，連接PM,EN，求(3)如圖2，將直線DF沿y軸平移，交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CE上運(yùn)動（包括端點(diǎn)），△QDF的面積為正整數(shù)時，恰好直線DF與拋物線y1或拋物線y2交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，請直接寫出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為參考答案1．解：對于二次函數(shù)y=x?5由于a=1>0，故圖象開口向上，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為5,7，有最小值，對稱軸為直線x=5，當(dāng)x>5時，y隨x的增大而增大；故選項C錯誤，符合題意；故選：C．2．解：∵點(diǎn)Px0,∴將Px0,y0A、x0+?,y0代入B、x0+?,y0+k代入y=aC、x0??,y0?k代入y=aD、?x0??,y0+k代入故選：D．3．解：設(shè)直線l與拋物線y=x?22?3的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1,聯(lián)立y=kx+by=得：x2∴x1+∴AB========1+同理可得：CD=1+∵AB=CD，∴1+∴4+k解得：b=?3∴y=kx+b=kx?3當(dāng)x=32時，∴直線l必過的定點(diǎn)為32故選：C．4．解：∵函數(shù)y=x?1∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，∵b<c，∴點(diǎn)A到對稱軸的距離小于點(diǎn)B到對稱軸的距離，∴a+2?1>1?a，解得：a>0，故選：C．5．解：將拋物線y=12x+12向右平移3個單位，再向下平移2個單位所得到的拋物線的解析式為y=1∵拋物線y=1∴關(guān)于頂點(diǎn)對稱后得到的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,?2，故選：B．6．解：∵二次函數(shù)y=3(x?2)則a=3>0，∴該函數(shù)圖象開口向上，故①正確；其圖象的對稱軸為直線x=2，故②錯誤；當(dāng)x=2時，函數(shù)有最小值1，故③錯誤；當(dāng)x<2時，y隨x增大而減小，故④正確；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，故⑤錯誤；∴錯誤的有②③⑤，共3個，故選：C．7．解：依題意，拋物線上存在一點(diǎn)P，故連接PC,OP,DC,BD，如圖所示：∵點(diǎn)D0,∴OD=3，∵y=x?22?1與x軸交于B,?C∴令y=0，則0=x?2解得x∴B1,0∴OC=3,BC=3?1=2，∵拋物線上存在一點(diǎn)P，使得S△POC∴12則3×y即yP把yP=2代入y=x?2解得x觀察四個選項，唯有2?3故選：D．8．解：設(shè)BF,CE交于點(diǎn)G，∵點(diǎn)F為點(diǎn)B關(guān)于CE的對稱點(diǎn)，∴CE垂直平分BF，∴BG=FG,∠EGB=90°，∵E為AB中點(diǎn)，∴EG為△AFB的中位線，∴EG∥AF，∴∠AFB=90°，∴tan∠BAF=∴設(shè)BF=4m,AF=3m，則：AB=5m=x，∴m=x∴BF=4∴y=12BF?AF=625∴y與x的函數(shù)圖象大致為：故選D．9．解：∵拋物線y=?2x?1∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,3，∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴兩點(diǎn)間的距離公式為x2將頂點(diǎn)與原點(diǎn)坐標(biāo)代入，得1?02故答案為：10．10．解：∵a=?1<0，對稱軸為y軸，∴x>0時，y隨x的增大而減小，∵?1≤x≤5，x=?1,與x=1關(guān)于y軸對稱，∴x=0時，y的最大值=2；當(dāng)x=5時，y最小=?5∴y的取值范圍是?23≤y≤2．故答案為：?23≤y≤2．11．解：將二次函數(shù)y=x?32+4的圖象向下平移b∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)2,?3，∴?3=2?3解得b=8，故答案為：8．12．解：∵拋物線C1的解析式為y=?5∴拋物線C1的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,?1∵拋物線C1與C∴拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?2,1，∴拋物線的解析式為y=5x+2故答案為：y=5x+213．解：對于二次函數(shù)S=?2(t?15)2+200根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x??)2+k(a≠0)，當(dāng)x=?時，y在函數(shù)S=?2(t?15)2+200中，當(dāng)t=15故答案為：15．14．解：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為Bm,n∵AB平行于x軸，且AB=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為Am?3,n將點(diǎn)Am?3,n，Bm,n代入y=x??解得m??=3將m??=32代入②得：所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為114故答案為：11415．解：如圖，分別連接AB、CD．∵若點(diǎn)A，C的橫坐標(biāo)均為?2，點(diǎn)B，D的橫坐標(biāo)均為4，∴BD∥又∵上面的拋物線為y=12x∴AC=BD=4．∴四邊形ACDB為平行四邊形．又由平移可得，∴陰影部分的面積為平行四邊形ACDB的面積=AC·x故答案為：24．16．解：∵y=x?3a2+∴設(shè)x=3ay=a?1，消去a得y=∴它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是y=1故答案為：y=117．（1）解：∵函數(shù)y=?1∴該函數(shù)的圖象的開口方向是向下，對稱軸是x=4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,?1．故答案為：向下，x=4，4,?1．（2）解：∵函數(shù)y=?12x?42?1∴當(dāng)x>4時，y隨x的增大而減?。蚀鸢笧椋簒>4．（3）解：∵函數(shù)y=?12x?42?1∴當(dāng)x=4時，函數(shù)能取到最大值，最大值為?1．（4）解：拋物線y=?12x18．（1）解：設(shè)這個拋物線的表達(dá)式為y=ax??∵這個拋物線的頂點(diǎn)是0,0，∴這個拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=ax∴b=0，c=0；（2）解：當(dāng)a=1時，拋物線的表達(dá)式為y=x∵P為y軸右側(cè)拋物線C上一動點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Pm,m2∵2PM=PN，∴21∴m=?17+12（舍去）或17+1∴m=17+12或（3）解：作點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)M，∵拋物線關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)M在拋物線上，連接MP，∵∠MPO=∠APO=∠BPQ，∴M，P，B三點(diǎn)共線，設(shè)Ap,ap2設(shè)直線PM的解析式為y=kx+b，得ap∴k=2?a∴直線PM的解析式為y=2?a∵點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線C與直線PM的交點(diǎn)，∴y=2?a∴ax∴xB∵xM∴xB把xB的值代入y=ax2∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2ap∵Ap,a∴同理可求直線AB的解析式為y=2+a當(dāng)x=0時，y=?2，∴直線AB恒過一個定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為0,?2．19．（1）解：∵該圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條拋物線的一部分，過1,165和4,0點(diǎn)，∴拋物線的對稱軸為I=2，設(shè)拋物線的解析式為P=aI?2∴解得，a=?55∴拋物線解析式為P=?55I?2（2）解：由（1）可知，拋物線解析式為P=?55I?2∵?55<0，∴當(dāng)I=2時，P取最大值220，∴變阻器R消耗的電功率P最大為220瓦．答：變阻器R消耗的電功率P最大為220瓦．20．（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)0,10,∴拋物線的對稱軸是直線x=0+1∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)0.5,11.25，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是0.5,11.25，設(shè)拋物線解析式為y=ax?把0,10代入y=ax?∴10=a×0?解得：a=?5，拋物線解析式為y=?5x?（2）解：把y=0代入y=?5得?5x?解得x1=2，∴運(yùn)動員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離OD的長為2米；（3）解：①運(yùn)動員甲能成功完成此動作，理由如下：運(yùn)動員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)B到水面的高度k為454即k=45把?=0代入?=?5t得?5t解得t1=1.5，∵1.5=1.5，∴運(yùn)動員甲能成功完成此動作；②由運(yùn)動員甲進(jìn)行第二次跳水訓(xùn)練，豎直高度ym與水平距離xm的關(guān)系為該拋物線的頂點(diǎn)為12∴k=10?1∴?=?5t把?=0代入?=?5t整理得：t2由運(yùn)動員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.5s的時間才能完成極具難度的270C得t≥1.5，則t2≥1.5解得a≤?5.1．21．（1）解：把A0,?3，B3,0代入c=?39+3b+c=0，解得：b=?2∴拋物線C1的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)把Dd,0代入yy解得：d1=?1，∴D?1,0∴d=?1．（2）解：①∵B3,0，D∴BD=3?∵當(dāng)點(diǎn)M到x軸的距離為3時，∴S△BDM②過點(diǎn)M作MP⊥x于P，連接MA，MB，∵A0,?3，B∴AB=32設(shè)點(diǎn)Mx,∵點(diǎn)M在第四象限內(nèi)，∴MP=?x2?2x?3=?x∴1∴1∴MN=?∵?∴當(dāng)x=32時，MN有最大值∴當(dāng)x=32∴當(dāng)線段MN最大時，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為32（3）解：∵拋物線C1：y=x2?∴拋物線C2：y=?∵?1<0∴拋物線C2：y=?x?12+4開口向下，當(dāng)x<1時，y隨x增大而增大，當(dāng)x>1時，，y隨x增大而減小，當(dāng)當(dāng)t+1≤1，即t≤0時，在t?1≤x≤t+1時，最大值m=?t+1?1最小值n=?t?1?1∵m?n≤6∴?解得：t≥?∴?1∴t的整數(shù)值為0，②當(dāng)t?1<1且t+1>1，即0<t<2時，在t?1≤x≤t+1時，i)當(dāng)0<t≤1時，最大值m=?t+1?1最小值n=?t?1?1∵m?n≤6，∴?t解得：t≥1∴12∴t的整數(shù)解為1；ii)當(dāng)1<t<2時，∴t無整數(shù)解；③當(dāng)t?1≥1，即t≥2時，最大值m=?t?1?1最小值n=?t?1?1∵m?n≤6，∴?t解得：t≤5∴2≤t≤5∴t的整數(shù)解為2；綜上，若對于任意t?1≤x≤t+1，m?n≤6恒成立，實數(shù)t的所有整數(shù)值的和為0+1+2=3．22．（1）解：①若a=?1，拋物線的表達(dá)式為：y=?x當(dāng)x=?3時，y=??3當(dāng)x=m時，y=?m當(dāng)x=1時，y=?1∴A?3,?5，Bm,?m設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∴?3k+b=?5k+b=3，解得k=2∴直線AC的表達(dá)式為：y=2x+1；②對于直線AC：y=2x+1，當(dāng)x=m時，y=2x+1=2m+1，∴Em,2m+1∴BE=?m故答案為：?m③BE=AF?CD，理由如下：∵A?3,?5，C1,3，Bm,?BE=?m2?2m+3，AF=m+3∴BE=AF?CD；（2）解：BE=2AF?CD，理由如下：當(dāng)a=?2時，拋物線的表達(dá)式為：y=?2x∴A?3,?14，Bm,?2m同理可得：直線AC的表達(dá)式為：y=4x?2，∴Em,4m?2∴BE=?2mCD=1?m，AF=m+3，∴BE=2AF?CD；（3）解：BE=?a?AF?CD，理由如下：設(shè)點(diǎn)At,a